TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 12 – CHƢƠNG II CHỦ ĐỀ 3.2 Tính đạo hàm hàm số mũ MỨC ĐỘ Câu [2D2-3.2-3] [THPT Quảng Xƣơng lần 2] Giá trị nhỏ hàm số f (x) 2x 22 x là: A minf(x) B minf(x) C minf(x) 4 D Đáp án khác x x x Hƣớng dẫn giải Chọn B 4 2 x x x 2 Vậy: f ( x) f (1) f (x) x 22 x x x Câu [2D2-3.2-3] [THPT Lê Hồng Phong] Tìm giá trị nhỏ hàm số f x x e2 x 1; 2 A f x 2e4 B f x e2 1;2 1;2 C f x 2e2 1;2 D f x 2e2 1;2 Hƣớng dẫn giải Chọn B Ta có: f x x e2 x x e2 x x x e2 x Do đó: f x x ( x 1; 2 ) Mà: f 1 e2 , f 2e4 , f 1 e2 nên f x e2 1;2 Câu [2D2-3.2-3] [Sở GD&ĐT Bình Phƣớc] Tính đạo hàm hàm số y esin x A y ' cos x.esin x C y ' cos x.esin x B y ' 2cos x.esin x D y ' cos x.esin x Hƣớng dẫn giải Chọn B Ta có y ' esin x sin x ' 2cos x.esin x Câu [2D2-3.2-3] [BTN 164] Giải phƣơng trình y biết y e x x A x 1 C x 1 1 , x 3 B x 1 1 , x 2 1 1 , x 2 Hƣớng dẫn giải D x Chọn B y ex x y ' 1 x e x x y " 2e x x 1 x e x x GV TRẦN TRUNG THÀNH 2 TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƢƠNG PHÁP Hay y " x x 1 e x x Do y " x x x Câu 2 1 [2D2-3.2-3] [THPT Tiên Lãng] Hàm số y e A e x 3 x x 1 B có giá trị lớn đoạn 0;3 là: D e3 C e zzzzz zzzzz Hƣớng dẫn giải Chọn B Tập xác định D \ 1 2 x 3x x x31x x x x x31x e Ta có y e x 1 x 1 y x2 x x 1 e x 3 x x 1 x 1 0;3 x2 2x x 3 0;3 Mà y 1 ; y y 3 e Vậy hàm số y e Câu x 3 x x 1 có giá trị lớn đoạn 0;3 [2D2-3.2-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Cho hàm số y 2017e x 3.e2 x Mệnh đề dƣới đúng? A y y y 3 C y y y B y y y 2017 D y y y Hƣớng dẫn giải Chọn D Đạo hàm cấp một: y 2017e x 6e2 x Đạo hàm cấp hai: y 2017e x 12e2 x Khi y y y 2017e x 12e2 x 2017e x 6e2 x 2017e x 3.e2 x Câu [2D2-3.2-3] [THPT chuyên Thái Bình] Biết chu kỳ bán hủy của chấ t phóng xạ plutôni Pu 239 24360 năm(tƣ́c là mô ̣t lƣơ ̣ng Pu 239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn la ̣i mô ̣t nƣ̉a ) Sƣ̣ phân hủy đƣơ ̣c tính theo công thƣ́c S Aert , đó A lƣợng chất phóng xạ ban đầu , r tỉ lệ phân hủy hàng năm ( r ), t thời gian phân hủy, S lƣợng còn lại sau thời gian phân hủy t Hỏi 10 gam Pu 239 sau khoảng năm phân hủy sẽ còn gam? A 82230 (năm) B 82232 (năm) C 82238 (năm) D 82235 (năm) Hƣớng dẫn giải Chọn D - Pu 239 có chu kỳ bán hủy 24360 năm, ta có: GV TRẦN TRUNG THÀNH TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƢƠNG PHÁP 10.er 24360 r ln ln10 0, 000028 24360 -Vậy phân hủy Pu 239 đƣợc tính theo cơng thức S A.e ln 5 ln10 t 24360 ln 5ln10 t 24360 ln10 ln10 82235 (năm) ln ln10 0, 000028 24360 Chú ý: Theo đáp án gốc D (SGK) Tuy nhiên: khơng làm tròn r kết -Theo đề: 10.e 10.e Câu ln 5 ln10 t 24360 t t ln10 80922 Kết gần A ln ln10 24360 [2D2-3.2-3] [THPT chuyên KHTN lần 1] Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f ( x) 2sin x 2cos x lần lƣợt 2 A B 2 C 2 Hƣớng dẫn giải D Chọn C Đặt cos2 x t ,(0 t 1) f ( x) 2t 21t Xét hàm số g (t ) 2t 21t , t [0;1] g (t ) 2t 21t ln g (t ) 2t 21t Câu g (0) t Mà g (1) g( ) 2 [2D2-3.2-3] [BTN 169] Hỏi hàm số y e x x tăng khoảng ? A 0; B ;0 C ; D 2; Hƣớng dẫn giải Chọn A TXĐ: D y e x x2 xe x , y x x Lập bảng biến thiên ta suy đƣợc hàm số đồng biến 0; Câu 10 [2D2-3.2-3] [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho hai số thực a, b thỏa mãn a b Tính giá Tmin biểu thức sau T log2a b loga.b a36 A Tmin không tồn B Tmin 13 C Tmin 19 trị nhỏ D Tmin 16 Hƣớng dẫn giải Chọn D T log 2a b log a.b a36 log a2 b Đặt 36 36 log a2 b log a ab log a b t log a b , a b loga b logb b t Xét f (t ) t GV TRẦN TRUNG THÀNH 36 36 f '(t ) 2t Cho f '(t ) t 1 t (1 t )2 TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƢƠNG PHÁP f (1) 19 Min f (t ) 16 MinT 16 Hàm số f (t ) liên tục [1; ) có f (2) 16 [1; ) [1; ) lim f (t ) t Câu 11 [2D2-3.2-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x3 x 4x 1 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y f x nghịch biến 2; B Hàm số y f x đồng biến 2;0 C Hàm số y f x nghịch biến ; 2 D Hàm số y f x đồng biến 0; Hƣớng dẫn giải Chọn A Do hàm số y x đồng biến y nên x dấu với x Vì f x dấu với biểu thức x3 x x x x x Bảng xét dấu f x là: x f x + 2 – 0 – + Căn vào bảng biến thiên ta có hàm số y f x nghịch biến 2; Câu 12 [2D2-3.2-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Giá trị nhỏ tham số m ðể hàm số ex m ðồng biến khoảng ln ;0 gần với số sau ðây: y x e m A 0, 03 B C 0, 45 D 1, 01 Hƣớng dẫn giải Chọn C Đặt e x t Suy y y m2 m t m2 t m2 1 đồng biến khoảng ;1 t m 4 1 Để hàm số đồng biến khoảng ;1 cần: 4 1 m m m 1 m m Suy chọn C 1 1 m m ;1 m 4 GV TRẦN TRUNG THÀNH TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƢƠNG PHÁP Câu 13 [2D2-3.2-3] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa] Gọi M m theo thứ tự giá trị lớn x2 giá trị nhỏ hàm số y x 1;1 Khi đó: e 1 A M ; m B M e; m C M e; m D M e; m e e Hƣớng dẫn giải Chọn C y' x x.e x x e x 1 Ta có: f 0; f 1 1 e; f 1 ; y ' 2x e e e x L Suy ra: y 0; max y e 1;1 1;1 Câu 14 [2D2-3.2-3] [THPT Quảng Xƣơng lần 2] Giá trị nhỏ hàm số f (x) 2x 22 x là: A minf(x) B minf(x) C minf(x) 4 D Đáp án khác x x x Hƣớng dẫn giải Chọn B 4 2 x x x 2 Vậy: f ( x) f (1) f (x) x 22 x x x Câu 15 [2D2-3.2-3] [Sở GD&ĐT Bình Phƣớc] Tính đạo hàm hàm số y esin x A y ' cos x.esin x C y ' cos x.esin x B y ' 2cos x.esin x D y ' cos x.esin x Hƣớng dẫn giải Chọn B Ta có y ' esin x sin x ' 2cos x.esin x Câu 16 [2D2-3.2-3] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa] Giá trị lớn hàm số 1 3 y e3 x 2 x 5x đoạn ; 2 2 A 114 e B 125 e 132 e Hƣớng dẫn giải C D 143 e Chọn C y 3e3 x x 5x 8x 5 e3 x 2 e3 x 2 12 x x 5 1 3 x 1 ; y 12 x x 1 3 x ; 12 2 GV TRẦN TRUNG THÀNH TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƢƠNG PHÁP 13 1 Ta có y e ; y e ; y 1 e5 2 2 13 Max y e 1 3 ; 2 2 Câu 17 [2D2-3.2-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Hàm số y eax a có đạo hàm cấp n là: A y n n!.eax B y n neax C y n a n eax D y n eax Hƣớng dẫn giải Chọn C Ta có y a.eax , y a eax , y a3 eax Dự đoán y n a n eax chứng minh quy nạp Câu 18 [2D2-3.2-3] [BTN 164] Giải phƣơng trình y biết y e x x A x 1 C x 1 1 , x 3 B x 1 1 , x 2 1 1 , x 2 Hƣớng dẫn giải D x Chọn B y ex x y ' 1 x e x x y " 2e x x 1 x e x x 2 Hay y " x x 1 e x x Do y " x x x 2 1 ex 1 Câu 19 [2D2-3.2-3] [THPT Thanh Thủy] Với giá trị m hàm số y x đồng biến e m khoảng 2; 1 m e B m C e 1 m e Hƣớng dẫn giải A m D m e2 Chọn C Đặt t e x t e x Bài tốn trở thành tìm m để hàm số y Có y m t m t 1 đồng biến khoảng t m 1 ; e e 1 Để hàm số đồng biến khoảng ; e e GV TRẦN TRUNG THÀNH TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƢƠNG PHÁP m y 0, t m m m e2 e 1 m ; m 1 e e e m e Câu 20 [2D2-3.2-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x3 x 4x 1 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y f x nghịch biến 2; B Hàm số y f x đồng biến 2;0 C Hàm số y f x nghịch biến ; 2 D Hàm số y f x đồng biến 0; Hƣớng dẫn giải Chọn A Do hàm số y x đồng biến y nên x dấu với x Vì f x dấu với biểu thức x3 x x x x x Bảng xét dấu f x là: x f x + 2 – 0 – + Căn vào bảng biến thiên ta có hàm số y f x nghịch biến 2; Câu 21 [2D2-3.2-3] [BTN 171] Cho hàm số y x , phƣơng trình y ' có nghiệm thực: A B C Hƣớng dẫn giải D Chọn A Xét hàm số y x 3 Ta có: y ' x 3 ' x 3 x với x ; 4 x 3 Ta thấy y ' với x ; 3; 3; phƣơng trình y ' vơ nghiệm Câu 22 [2D2-3.2-3] [BTN 169] Hỏi hàm số y e x x tăng khoảng ? A 0; B ;0 C ; D 2; Hƣớng dẫn giải Chọn A TXĐ: D y e x x2 xe x , y x x Lập bảng biến thiên ta suy đƣợc hàm số đồng biến 0; GV TRẦN TRUNG THÀNH TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƢƠNG PHÁP Câu 23 [2D2-3.2-3] [THPT Chuyên Quang Trung] Cho hàm số y 2017 e 3x m-1e x +1 Tìm m để hàm số đồng biến khoảng 1; A m 3e2 C 3e3 m 3e4 B 3e2 m 3e3 D m 3e4 Hƣớng dẫn giải Chọn D y 2017 = y 2017 e3 x m 1e x 1 e3 x m 1e x 1 3x x ln e m 1 e 1 2017 3x x ln 3e m 1 e 2017 Hàm số đồng biến khoảng 1; y 2017 e3 x m 1e x 1 e m 1e 2017 ln 2017 3x x 3x x ln 3e m 1 e 0, x 1; (*), mà 2017 1 0, x Nên (*) 3e3 x m 1 e x 0, x 1; 3e2 x m, x 1;2 Đặt g x 3e2 x 1, x 1; 2 , g x 3e2 x 0, x 1; Vậy (*) xảy m g m 3e Câu 24 [2D2-3.2-3] [THPT Chuyên Quang Trung] Tìm giá trị lớn y 2sin x 2cos x A B C Hƣớng dẫn giải D Chọn C Đặt t sin x, t 0;1 Tìm GTLN y 2t 21t 0;1 y 2t ln 21t ln 2t 21t t 1 f (0) 3; f (1) 3; f 2 2 Vâ ̣y max y 0;1 1 1 2 3log 2 2log x x Câu 25 [2D2-3.2-3] [THPT Chuyên KHTN] Kí hiệu f x x 8 1 Giá trị f f 2017 GV TRẦN TRUNG THÀNH TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN A 2017 PHƢƠNG PHÁP B 1500 C 2000 Hƣớng dẫn giải D 1017 Chọn A Điều kiện: x 1 1 1 2 log1 x 2 3log 2 log x log x 2log x log x x f x x 8 1 x.x 2 1 x.x 2 1 x.2 x 1 x 1 2 1 x Suy f 2017 2017 f f 2017 2017 Câu 26 [2D2-3.2-3] [THPT Chuyên KHTN] Cho hàm số y sin x 1 ln ln 2 , ta có ln 1 B y e 2 ln 4 ln A y e 2 ln 4 C y e 4 cos x D y e 4 Hƣớng dẫn giải ln 2 Chọn B Cách 1: Logarit Nepe hai vế hàm số y sin x ln y ln sin x cos x cos x , ta có: cos x ln sin x Tiếp tục đạo hàm hai vế, ta đƣợc: ln y y sin x cos x cos x ln sin x ln sin x cos x y cos x sin x Suy y sin x cos x cos x cos x sin x.ln sin x sin x cos x Vậy cos cos sin ln sin 4 4 y sin sin cos 4 4 ln 2 41 ln 4 ln e 2 2 Chú ý: Nếu giải toán theo cách phức tạp thời gian với hình thức thi trắc nghiệm Ta có cách giải nhanh hơn, hiệu nhờ tính “Tính đạo hàm điểm” máy tính cầm tay CASIO Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay CASIO: cos GV TRẦN TRUNG THÀNH TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƢƠNG PHÁP – Trƣớc hết, ta thấy toán liên quan đến hàm lƣợng giác, nên ta cần đổi đơn vị góc sang Radian (Rad) cách ấn SHIFT MODE (hình bên) – Ấn SHIFT Máy tính – Ta nhập vào máy tính: d sin X dx d dx cos X (nhƣ hình dƣới) x X 0.7371895357 – Từ đáp án Nhập vào máy tính để chọn giá trị ln 1 Ta thấy chỉ có y e 2 ln thỏa mãn 4 Câu 27 [2D2-3.2-3] [THPT Ngô Quyền] Cho hàm số f x e3x x Biết phƣơng trình f x có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1 x2 A x1 x2 B x1 x2 C x1 x2 D x1 x2 Hƣớng dẫn giải Chọn C f x x e3 x x ; f x 2 x e3 x x 2 f x x 12 x (có hai nghiệm) x1 x2 GV TRẦN TRUNG THÀNH TRANG 10 ... Vinh] Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x3 x 4x 1 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y f x nghịch biến 2; B Hàm số y f x đồng biến 2;0 C Hàm số y f ... Hàm số y f x nghịch biến 2; B Hàm số y f x đồng biến 2;0 C Hàm số y f x nghịch biến ; 2 D Hàm số y f x đồng biến 0; Hƣớng dẫn giải Chọn A Do hàm. .. biến thiên ta có hàm số y f x nghịch biến 2; Câu 12 [2D2-3.2-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Giá trị nhỏ tham số m ðể hàm số ex m ðồng biến khoảng ln ;0 gần với số sau ðây: y