phương pháp giải toán đồ thị

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN NGUYỄN NAM TRUNG NGUYỄN MINH TUẤN NGUYỄN QUANG PHÁT NGUYỄN THỊ KIM ANH NGUYỄN TIẾN DŨNG MA TRUNG HIẾU PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ OMATHS Blog Fanpage Phone Contact lovetoan.wordpress.com 0343763310 tuangenk@gmail.com TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC C CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN LỜI GIỚI THIỆU biến hóa thành nhiều dạng, điều làm cho nhiều bạn học sinh tỏ vô lúng túng đối mặt với dạng tốn này, phần chưa có phương pháp làm đồng thời chưa tiếp xúc nhiều với dạng tập Với tư cách người trải qua kỳ thi THPT Quốc Gia nhiều kỳ thi thử khác bọn định viết nên ebook nhằm gửi tới cho sĩ tử ơn thi THPT Quốc Gia năm tổng ôn tập lại tiếp xúc với nhiều toán để chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc Gia đến gần Các toán ebook chủ yếu trích từ đề thi thử trường, số bọn tự sáng tác, số sưu tầm từ thầy cô mạng Xin gửi lời cảm ơn tới Thầy Nguyễn Đăng Ái – Thuận Thành Bắc Ninh Thầy Đào Văn Tiến – THPT A Nghĩa Hưng Thầy Đỗ Văn Đức Anh Phạm Minh Tuấn – ĐH Bách Khoa Đà Nẵng Anh Nguyễn Quang Huy – ĐH Sư phạm Thái Nguyên Bạn Ngô Nguyên Quỳnh – ĐH Sư Phạm Quy Nhơn Thầy Nguyễn Chiến HỌCHỌC TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Với kỳ thi THPT Quốc Gia nay, tốn ln có chỗ đứng định ngày Bạn Tạ Cơng Hồng – THPT Chun Lê Khiết Đã giúp đồng thời viết tài liệu hay để bọn tham khảo Thay mặt nhóm tác giả gồm  Nguyễn Minh Tuấn – ĐH FPT Hà Nội  Nguyễn Thị Kim Anh – THPT Chuyên Nguyễn Trãi  Nguyễn Quang Phát – THPT Chuyên Nguyễn Trãi  Nguyễn Nam Trung  Nguyễn Tiến Dũng – THPT Đô Lương – Nghệ An  Ma Trung Hiếu – THPT Trịnh Hoài Đức Cảm ơn người theo dõi fanpage Chúc bạn có mùa thi thành cơng! Mọi ý kiến đóng góp vui lòng gửi địa NGUYỄN MINH TUẤN – K14 ĐẠI HỌC FPT EMAIL: tuangenk@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Tạp chí tư liệu tốn học I LÝ THUYẾT Trước vào toán cụ thể cần nắm kiến thức sau Cách vẽ tịnh tiến đồ thị đặc biệt – Thầy Nguyễn Chiến ĐỒ THỊ CÁCH VẼ y  f  x  Lấy đối xứng đồ thị y  f  x  qua trục Oy y   f  x Lấy đối xứng đồ thị y  f  x  qua trục Ox + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy đồ thị y  f  x  y fx + Bỏ phần đồ thị bên trái Oy y  f  x  , lấy đối xứng phần đồ thị + Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox đồ thị y  f  x  y  f x + Bỏ phần đồ thị phía Ox y  f  x  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox y fx y  u  x  v  x  với C  : y  u  x  v  x  y  f  x   m với m0 y  f  x   m với m0 y  f  x  n  với n0 y  f  x  n  với n0 y  f  px  với p  y  f  px  với 0p1 y  qf  x  với q  1 Thực liên hoàn biến đổi đồ thị y  f  x  thành đồ thị y  f  x  , sau biến đổi đồ thị y  f  x  thành đồ thị y  f  x  + Giữ nguyên phần đồ thị miền u  x   đồ thị y  f  x  + Bỏ phần đồ thị miền u  x   y  f  x  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox Dịch chuyển đồ thị lên m đơn vị Dịch chuyển đồ thị xuống m đơn vị Dịch chuyển đồ thị sang trái n đơn vị Dịch chuyển đồ thị sang phải n đơn vị Co đồ thị theo chiều ngang hệ số p Giãn đồ thị theo chiều ngang hệ số p Giãn đồ thị theo chiều dọc hệ số q Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN giữ qua Oy HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y  qf  x  với q  y  f x  m Co đồ thị theo chiều dọc hệ số q Vẽ y  f  x  trước sau tịnh tiến đồ thị lên xuống tùy theo m y  f  x  m Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau lấy đối xứng qua trục Ox (Giữ nguyên phần Ox , bỏ phần Ox , lấy đối xứng phần bị bỏ qua Ox ) y  f  x  m Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau lấy đối xứng qua trục Oy (Giữ nguyên phần bên phải Oy , bỏ phần bên trái Oy , lấy đối xứng phần giữ nguyên qua Oy ) TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC y  f  xm  Vẽ y  f  x  trước sau tịnh tiến đồ thị sang trái phải tùy theo m Số điểm cực trị hàm trị tuyệt đối – Thầy Nguyễn Chiến  Gọi m số điểm cực trị hàm số y  f  x  k số giao điểm đồ thị y  f  x  với trục Ox  Số điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  m  k  Gọi m số điểm cực trị có hồnh độ dương hàm số hàm số y  f  x   số điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  n  Bài tốn chứa tham số: Cho hình vẽ đồ thị hàm số y  f  x  có n1 điểm cực trị Tìm giá trị tham số m để hàm số y  f  x  k   f  m  có n điểm cực trị + Khi tịnh tiến sang trái sang phải đơn vị số điểm cực trị hàm số y  f  x  k  số điểm cực trị hàm số y  f  x  + Để tìm số giao điểm y  f  x   f  m  với trục Ox ta chuyển dạng tìm số giao điểm đồ thị y  f  x  đường thẳng y   f  m  Lưu ý: số giao điểm khơng tính giao điểm cực trị hàm y  f  x  Phương pháp giải tốn đồ thị tìm khoảng đồng biến nghịch biến Đây dạng toán vô đơn giản, cách làm nào, ta có bước đạo hàm  Tìm nghiệm  Lập bảng biến thiên! Khi vào ví dụ cụ thể ta hiểu mấu chốt toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ĐỒ THỊ Phương pháp giải tốn đồ thị chứa tham số Ở ta xét dạng toán f  u  x    f  m  u  x  hàm liên quan tới x f  m  hàm theo biến m đề yêu cầu tìm giá trị m để thỏa mãn điều kiện Khi ta làm sau:  Bước Chặn giá trị x, u  x  , f  u  x    Bước Đặt t  u  x  , lập bảng biến thiên cho hàm f  t   Bước Từ bảng biến thiên suy điều kiện hàm f  m  , từ suy điều kiện m Với bạn cảm thấy khó hiểu tham khảo làm sau bạn Sơn Hoàng Link https://www.youtube.com/channel/UCiduEKtcZZO8Yei-XBUq9lQ Ví dụ đơn giản để hiểu, ta lấy đề kiểu sau Cho hàm số f  x  liên tục    x  m2  có nghiệm phân biệt Vậy ta làm theo bước trên, dễ thấy u   x  0;  , chuyển tốn tìm giá trị nguyên tham số M để phương trình f  u   M có nghiệm phân biệt, toán bản! Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN số m đề phương trình f có đồ thị hình vẽ, hỏi có giá trị nguyên tham HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA ĐỀ BÀI Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f     f  cos x   m có nghiệm x   ;   2  y 2 x O 1 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC 1 2 A B C Câu Cho hàm số f  x  liên tục D có đồ thị hình vẽ đây: y 2 O 1 x Số giá trị nguyên tham số m không vượt để phương trình m2   có hai nghiệm phân biệt A B C f  x   D Câu Cho hàm số f  x  liên tục  0; 5 có đồ thị hình vẽ Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y O x Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình A 2014 f  x   f  x    3x  10  x B 2015 C 2016 Câu Cho hàm số f  x  liên tục 1 D 2017 có đồ thị hình vẽ y O x 2 3 4 Tổng tất giá trị tham số m để bất phương trình 9.6 Đúng với x  A 10 f x    f  x   x   m2  5m  f x là? B C D Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Xét hàm số g  x   f  x   x  4x  3m  với m số thực Để g  x   x    ;  điều   kiện m Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Nghiệm với  2019  m  x   0;  ? HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA y f ' x   13 B A   f D m  f   f x Câu Cho  a   b   a hàm số y  g  x   f  x  1 A m  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC   f C m  f    x O B m      0;   Biết đồ thị hàm số x   a  1; b  1  có đạo hàm y  f  x  hình vẽ Khẳng định sau với y y  f x n m O A g  x   C g  x   f f   b 1 m b 1   a x b B g  x   f  a 1  n D 10  g  x   m Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x  Hàm số y  f '  x  liên tục tập số thực có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thuộc đoạn  1;  phương trình f  x   f   là? Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ y 1 O A B x C D Câu Cho đồ thị hàm số f  x  , F  x  , f '  x   hình vẽ Tính giá trị tích phân f    f  1.5   sin x.cos xdx ? f ' 1   F  1.5   3 1 2 13 2 O x  1 3 B A D C Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm \b hàm số g  x  có đạo hàm Biết đồ thị hai hàm số y  f '  x  , y  g '  x  hình vẽ Đặt h  x   f  x   g  x  S    h  x  b    h  b  x    h  c     h  c   với a,b,c số thực biết Khẳng định với x  là? y y  f x y  g  x  O A S   h  c  ; h  a  c   a b c x B S  h  c  Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN y PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Mà đồ thị y  f  x  cắt trục tung điểm có tung độ  b   b  3d   d c   d a    b  3 x3  ad  bc   2c  d   Từ   ,   ,   ,   ta có hệ    y  f x  x1  ad  bc  d c  b  d d  1  Đồ thị C  giao với Ox  3;0  , f   x    f   3  2  x  1 Phương trình tiếp tuyến C  điểm  3;  : y  1  x  3  y  x  2 Bài toán 123 cho điểm C tâm đối xứng đồ thị y 6, 2, O C x 2, 6, Xét cặp số  a ; b  với a , b  a  b cho đồ thị hàm số g  x    f  x   a   f  x   b  Cắt trục hồnh có cặp giao điểm đối xứng qua điểm C Tổng giá trị a nhận được? A 15 B C 12 D 10 Nhóm tốn VD – VDC Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y  g  x  với trục hoành  f x  a  f  x   a    f  x   b      f x  b 177 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ cắt trục hồnh điểm hình vẽ HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Vì đồ thị hàm số y  f  x  nhận điểm C làm tâm đối xứng nên để đồ thị hàm số y  g  x  cắt trục hồnh có cặp giao điểm đối xứng với qua điểm C giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  với đường thẳng y  a , y  b đối xứng với qua điểm C Do a  b   b   a  a   Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f  x   a với a  có nghiệm phân biệt 2.8  a  6.2 mà a số nguyên nên a  3; 4; 5 Do tổng giá trị a nhận T     12 Bài toán 124 Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục có đồ thị cho hình vẽ bên TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Số giá trị nguyên tham số m để bất phương trình f  x   g  m2   x  4x  10 có nghiệm x   1;  là? y y g x f x 30 O 1  2 x 11 O 15 x 32 A B C D Thầy Nguyễn Đăng Ái Lời giải Ta nhận thấy nhanh x  4x  10  15 f  x   với x  1;  f x  g  m2   x  x  10    x  4x  10  f  x   g  m2   có nghiệm x   1;  ta phải có   điều kiện g  m2    max  x  4x  10  f  x   30 1;4 Nhận thấy  x  4x  10  f  x   x  4x  10 f  x   15.2  30 với x  1;  Suy ra:  x  4x  10  f  x   30 dấu “=” xảy x  1   Suy ra: g  m2    max  x  4x  10  f  x   30 1;4 Nhìn vào đồ thị hàm số y  g  x  , ta có 7  m2   15 12  m2  20 g  m2    30    m  0; 1; 2; 4   2  11  m   m  Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton 178 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ĐỒ THỊ Suy có tất giá trị m nguyên thỏa mãn toán Vậy ta chọn đáp án A Bài toán 125 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục , hàm số g  x   x  đường thẳng d có đồ thị hình vẽ g x y f x B  x A d Biết A điểm chung đồ thị f  x  , g  x  , x A  , điểm B thuộc đồ thị g  x  xB   , đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  Tính f '  x A  B  C  A 1 D 2 2 Lời giải Vì điểm A thuộc đồ thị hàm g  x  nên y A  2.12   1 57  9  Điểm B thuộc đồ thị hàm g  x  nên yB        Đường thẳng tiếp tuyến có dạng y  ax  b qua điểm A , B nên ta có hệ  57 a  9  ab    4  a  b  1 b   5 Mà hệ số góc đường thẳng tiếp tuyến f  x  f '  x A  nên f '  x A   179 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor 5 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN O HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bài toán 126 Cho hàm số y  ax  bx  cx  dx  ex  f có đồ thị f   x  hình vẽ y y  x1 3 O x TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Hỏi hàm số y  g  x   f   x   x  đồng biến khoảng sau đây?  3  A  ; 1     1  B  ;   2 Ta có g  x   2 f    x   4x C  1;  D  1;  Lời giải 1t 1t  2 f   t     2 f   t     t    f   t   t  2 Dựa vào hình vẽ thấy đường thẳng y  x  ”nằm cao hơn” đồ thị f   x   x  Đặt t   x  x  Do đó, f   t   t    t     x   1  x  Chọn ý C Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton 180 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ĐỒ THỊ Bài tốn 127 Cho hàm số f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ: y 1 x O Có giá trị nguyên m   1; 2019  cho phương trình  2x f  1 x A 2018      f m  m   có nghiệm  C B 2019 D Lời giải Dựa vào đồ thị ta có f  x    f  x  nên hàm số f  x  hàm lẻ    2x  f  f m  m2     1 x   2x   2 x   f m  m2    f   f m  m2   f     1 x   1 x   Ta có      2 x 2 x 2 x 2 x  2 x     1    1; 1  f   đồng biến 2 x  x 2x x 1  x 1      Ta có: m  m2     ;   f m  m2  đồng biến   2 x  1  m  m2    m  m2   x 1 Luôn với m   1; 2019  Có 2019 giá trị nguyên m 181 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bài toán 128 Cho hàm số f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ: y 1 O TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Gọi M,m x giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số   g  x   f  sin x  cos x  Tổng M  m B A C D Lời giải Một tốn quen thuộc phải khơng nào?   Ta có  sin x  cos x     sin 2 x    cos 2 x    sin x  cos x   2    M  max f  t   f    1;2   Ta có  f t   f    m  1;2  Vậy M  m  Bài toán 129 Cho hàm số f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ: y 1 O Gọi x M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x     f  x     đoạn  1; 3 Tích M m A 2 B C 54 D 55 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton 182 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Lời giải Dựa vào đồ thị ta có max f  x   f    7; f  x   f          1;3  13 Đặt t  f  x    t   0;  Ta có : y  f  x     f  x     M  max g  t   g    55 0 ;5    t  3t   g  t    g t   g    m  0 ;5 Vậy M.m  55 Bài toán 130 Cho hàm số f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ: y O   x Ký hiệu g  x   f 2 x   x  m Tìm m để max g  x   g  x  A m  B m  Đặt t  2 x   x  t  1;  0;1 0;1 C  m  Lời giải Để max g  t   g  t   g    g     m    m   m  Chọn ý B 183 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor D m  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bài toán 131 Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục có đồ thị hàm số y  f   x  đường cong nét đậm y  g  x  đường cong nét mảnh hình vẽ y g ' x  O B C x TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC A f ' x  Gọi ba giao điểm A , B, C đồ thị y  f   x  , y  g  x  hình vẽ có hồnh độ a , b , c Giá trị nhỏ đoạn A h   B h  a  Ta có h  x   f   x   g  x  C h  b  D h  c  Lời giải Trên khoảng  a , b  đồ thị hàm số f   x  nằm thấp so với g  x  Suy h  x   với x   a ; b  Trên khoảng  b ; c  đồ thị hàm số f   x  nằm cao so với g  x  Suy h  x   với x   b ; c  Nên h  x  đạt cực tiểu x  b   a ; c  Vậy h  x   h  b   a ;c  Chọn ý C Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton 184 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ĐỒ THỊ Bài tốn 132 Cho hàm số f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ: y 1 O x thức P  m2  max g  x   g  x   m 0;1 0;1 A 105 B 102 C 50 D Lời giải Đặt x  x  x   t Do x   0; 1  t   2; 3 Ta có max g  t   g     3m; g  x   g     3m  ;3 2 ;3 Từ P  m2  22 m  19  102 Vậy Pmin  102 Chọn ý B Bài toán 133 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ y f x O x Có giá trị nguyên m với    f m m 1  f  để bất phương trình   x nghiệm với x   1;  B A m   1; 5 C  Lời giải  D  Với m   1; 5  m  m   1;    f m  m  nghịch biến 185 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Ký hiệu g  x   f  x  x  x    3m , với m tham số thực Giá trị nhỏ biểu HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Với x   1;    x  1;   f     x nghịch biến   Bất phương trình f m  m   f   x nghiệm  m  m    5x   m m 1 1 m  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn đề Chọn ý B Bài toán 134 Trên parabol y  x   P  lấy hai điểm A  1;  B  3; 10  gọi M điểm di động cung AB  P  , M khác A , B y B 10 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC M A O D E F x Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn , gọi diện tích hình phẳng giới hạn Gọi tọa độ điểm đạt giá trị nhỏ Tính x02  y 02 B 11 A 29 C D Lời giải Gọi M  a ; a     P  Ta viết phương trình đường thẳng MA : y   a   x    MB : y   a   x    10 a 3 13 Ta có S1  S2    a  1 x  1      a   x    10     x   dx  a  a   3 a Ta có  S1  S2    a   M  2;  Vậy x02  y 02  29 Chọn ý A Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton 186 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ĐỒ THỊ Bài tốn 135 Cho hàm số liên tục đoạn  1;  có đồ thị đường cong hình vẽ y x O 1 Có tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 16.3 f  x    f  x   f  x    f  x    m2  3m  f  x    Nghiệm với giá trị x   1;  ? A 22 B 31 C D Lời giải Từ đồ thị suy 4  f  x   x   2;  Đặt t  f  x  , t   4; 2 Ta tìm m cho 16.3t  t  2t   4t   m2  3m  6t với t   4;  16.3t  t  2t   4t   m2  3m  6t , t   4;  t 16 2  t  t  2t  8     m2  3m  , t   4;  3 Ta có 16  , t   4;  Dấu xảy t  2t t 2 Mà t  2t   , t   4;  Do t  2t      , t   4;  3 Dấu xảy t  t Suy 16 2  t  2t  8    , t   4;  t 3 t 16 2 Vậy t  t  2t  8     m2  3m  , t   4;   m  3m   1  m  3 Kết m  1; 0; 1; 2; 3; 4 187 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN 4 HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA Bài toán 136 Cho hai hàm số f  x  g  x  có đồ thị đạo hàm cho hình vẽ với f '  x  (màu xanh) g '  x  (màu hồng) có đồ thị hình vẽ y 1, 2 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC 1, 1 O x Hỏi hàm số h  x   f  x    g  x  đồng biến khoảng sau đây? A  1;   1 B  0;   2 1   C  1;     5 D  2;   2 Lời giải Ta có h  x   f  x    g  x   h '  x   f '  x    g '  x  Dựa vào đồ thị ta thấy f '  x   g '  x    x   2;   x  1   2; 0  x   1;   h '  x   f '  x  1  g '  2x     2 x   2; 0  Hàm số h  x   f  x    g  x  đồng biến khoảng  1;  Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton 188 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ĐỒ THỊ Bài tốn 137 Cho hai hàm số f  x  g  x  có đồ thị biểu diễn đạo hàm f   x  g  x  hình vẽ Biết hàm số y  f  x   g  x   đồng biến khoảng   ;   giá trị lớn biểu thức       ; phương trình tiếp tuyến với đồ thị y  g  x  điểm có hồnh độ x1  11 y  3x  phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x2  y  ax  Giá trị f   y f ' x  O A 13 21 C 26 B 28 x D 22 Thầy Nguyễn Đăng Ái Lời giải Ta có y   f   x   g  x   Đồ thị hàm số g  x  dịch sang trái đơn vị so với trục tung g  x   Dựa vào đồ thị ta có f     g   Giả sử x điểm thỏa mãn f   x0   g  x0   Trên khoảng  1; x0  f   x0  nằm cao so với g  x0   Nên y   với x   1; x0  Từ max        x0    x0  Hình vẽ tượng trưng y f ' x  g ' x  O 21 x Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y  g  x  điểm có hồnh độ x1  11 189 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN g ' x  HƯỚNG TỚI KỲ THI THPT QUỐC GIA   g  11  y  g  11 x  11  g  11     g  11  35 Ta có f     g  11   Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x2  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC  a  f     y  f    x    f       f    f      28 THE END GAME Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton 190 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC MỌI NGƯỜI CĨ THỂ TÌM ĐỌC CUỐN “TẠI SAO NGUN HÀM TÍCH PHÂN LẠI KHĨ” CỦA CÙNG TÁC GIẢ CHỊU TRÁCH NHIỆM NỘI DUNG VÀ THIẾT KẾ BÌA NGUYỄN MINH TUẤN NHĨM CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Mọi ý kiến thắc mắc, góp ý vui lòng gửi địa sau 0343763310 tuangenk@gmail.com Lovetoan.wordpress.com Đại học FPT Hà Nội ... tuangenk@gmail .com PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ĐỒ THỊ Tạp chí tư liệu toán học I LÝ THUYẾT Trước vào toán cụ thể cần nắm kiến thức sau Cách vẽ tịnh tiến đồ thị đặc biệt –... biến đổi đồ thị y  f  x  thành đồ thị y  f  x  , sau biến đổi đồ thị y  f  x  thành đồ thị y  f  x  + Giữ nguyên phần đồ thị miền u  x   đồ thị y  f  x  + Bỏ phần đồ thị miền... thể ta hiểu mấu chốt toán Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐỒ THỊ Phương pháp giải toán đồ thị chứa tham số Ở ta xét dạng toán f  u  x   