MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1/ C/m điểm thuộc mặt phẳng : • Phương pháp : Để chứng minh điểm M ∈ mp α ta chứng minh : α∈⇒ α⊂ ∈ mpM mpathẳngĐường athẳngĐườngM 2/ Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng : • Phương pháp : Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mp α ta thực hiện các bước sau : Bước 1 : Chọn mặt phẳng phụ β chứa đường thẳng a ( Chú ý : Mặt phẳng α và β dể xác đònh giao tuyến ) Bước 2 : Tìm giao tuyến ∆ của α và β Bước 3 : Gọi I = giao điểm của a và ∆ . Chứng minh I là giao điểm của đường thẳng a và mp α ( Chứng minh : I vừa thuộc đường thẳng a vừa thuộc mp α ) 3/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng : • Phương pháp : Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng α và β ta dùng các cách sau : C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng β∩α=⇒ β∈ α∈ mpmpABthẳngĐường mpBA mpBA , , . C2 : Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến ( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố đònh cho trước ) Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các đònh lý : - Nếu a // (P) thì a // với giao tuyến d của mp(P) và mp(Q) đi qua a - Hai mặt phẳng song song bò cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì các giao tuyến này // - Hai mặt phẳng cắt nhau cùng // với một đường thẳng thì giao tuyến của hai mạt phẳng này // với đường thẳng đó . 4/ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng : • Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt α và β Þ A, B, C thuộc giao tuyến của α và β nên thẳng hàng > Thường CM như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B C α β α β ∩ = ⇒ ∈ ∈ ∩ , nên A, B, C thẳng hàng 5/ Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy : • Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực hiện các bước sau : Bước 1 : Đặt I = giao điểm của a và b. Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng α và β nào đó sao cho c = giao tuyến của α và β . Bước 3 : Chứng minh : cthẳngđườngI mpI mpI ∈⇒ β∈ α∈ ⇒ 3 đường thẳng a, b, c cùng đi qua I nên đồng qui. • Cách khác : Dùng đònh lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến này // hoặc đồng quy’’ Như vậy nếu chúng ta loại trừ được khả năng // thì chúng sẽ đồng quy. 6/ Chứng minh giao tuyến hay (đường thẳng) cố đònh : • Phương pháp : Ta chứng minh đường thẳng hay giao tuyến là giao của hai mặt phẳng cố đònh 7/ Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau : • Phương pháp : Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta chứng minh chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng (Thường dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai đường thẳng đó không chéo nhau. Suy luận để suy ra điều vô lý. Vậy hai đường thẳng đó phải // với nhau) 8/ Chứng minh hai đường thẳng // . a α M β α A B M β α ∆ a β α A B C b a c β α I C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng. C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba . C3 : Dùng đònh lý giao tuyến: C4 : Dùng đònh lý giao tuyến: C5 : Dùng đònh lý giao tuyến: C6 : Dùng đònh lý giao tuyến: 9/ Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng. C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng. C2 : Dùng hệ quả: . c b a a, b phân biệt & a // c, a // c ⇒ a // b (P) // (Q), ( ) ( ) , ( ) ( )R P a R Q b∩ = ∩ = ⇒ a // b b a Q P (P) // a, (Q) // a, ( ) ( )P Q a∩ = ⇒ a // b ∆ Q P b a a // b, (P) qua a, (Q) qua b, ( ) ( )P Q∩ = ∆ ⇒ ∆ // a, ∆ // b hoặc ∆ trùng với a hoặc b ( )a P⊄ , ( )b P⊂ , a // b , ⇒ a // ( )P b a P a Q P (P) // (Q), ( )a Q⊂ ⇒ a // ( )P b a ∆ P Q b a ∆ P Q b P a Q a // (P), (Q) qua a, ( ) ( )P Q b∩ = ⇒ a // b b a R Q P C3 : Dùng hệ quả: 10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song. C1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia. C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng . C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau . 11/ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng. C2 : a b ⊥ ⇔ góc ( ; ) 90 o a b = . C3: Dùng hệ quả: C4: Dùng hệ quả: C5 : Dùng hệ quả: H b a P ( )a P⊄ , ( ) ,P b a b⊥ ⊥ ⇒ a // ( )P P b a Q , ( )a b Q⊂ , a cắt b, a // (P) và b // (P) ⇒ ( )P // ( )Q P a Q ( )P , ( )Q phân biệt, ( ) , ( )P a Q a⊥ ⊥ ⇒ ( )P // ( )Q b // c , a b a c⊥ ⇒ ⊥ a c b ( ) ( ) a P a b b P ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ ⇒ ( )P // ( )Q a b P a P b ( ) ( ) a song song P a b b P ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ( )P // ( )Q C6 : Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc. C7: Dùng hệ quả: 12 / Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng. C1 : Dùng đònh lý. C2 : Dùng hệ quả: C3 : Dùng hệ quả: C4 : Dùng hệ quả: 13 / Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông. ∆ A C B A B BC A C ∆ ⊥ ⇒ ∆ ⊥ ∆ ⊥ c a b P b , c cắt nhau , , ( )b c P⊂ , ,a b a c⊥ ⊥ ⇒ ( )a P⊥ P b a a // b , ( ) ( )b P a P⊥ ⇒ ⊥ Q P b a ( ) ( ) ( ) ( ), P Q b a P a Q a b ∩ = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥ P ( β ) ( α ) ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) P P P α β α β ∩ = ∆ ⇒ ∆ ⊥ ⊥ ⊥ ϕ y x β α ∆ O C2 : Dùng hệ quả: CÁCH XÁC ĐINH GÓC 1 / Góc của hai đường thẳng 1 / Góc của hai mặt phẳng 1 / Góc của đường thẳng và mặt phẳng > Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng • ( ) ( ) α β ∩ = ∆ , ( ),Ox Ox α ⊂ ⊥ ∆ , ( ),Oy Oy β ⊂ ⊥ ∆ Khi đó: góc (( );( )) α β = góc · ( ; ) : 0 90 o Ox Oy xOy ϕ ϕ = = ≤ ≤ • ( ) ( ) 90 o α β ϕ ⊥ ⇔ = β α a ( ) ( ) ( ) ( ) a a β α β α ⊂ ⇒ ⊥ ⊥ • Chọn điểm O tuỳ ý. • Dựng qua O : a’ // a; b’ // b . • Góc (a,b) = góc (a’,b’) = · A OB • Thường chọn điểm O ∈ a hoặc O ∈ b b' a' B A O b a α = • Chọn điểm O thuộc giao tuyến của α và β . • Dựng qua O : ( )OA OA α ⊂ ⊥ ∆ và ( )OB OB β ⊂ ⊥ ∆ • Góc ( , ) α β = Góc ( , )OA OB = · A OB ϕ = Chú ý: * 0 90 o ϕ ≤ ≤ * Nếu 90 o ϕ > thi chọn góc · ( ; ) 180 o α β ϕ = − β α B O A ϕ ∆ KHOẢNG CÁCH HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT 1/ Hình chóp tam giác đều B O A ϕ a α • Chọn điểm A thuộc đường thẳng a. • Dựng qua ( )A B α ⊥ tại B. • Dựng giao điểm O của a và α nếu chưa có. ( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ( α )) • Khi đó: Góc ( ;( ))a α = Góc ( , )OA OB = · A OB ϕ = . Dùng MH ⊥ ∆ : d(M, ∆ ) = MH ∆ M H Dùng: MH ⊥ ( α ), H thc ( α ) ta cã: d(M,( α )) = MH α M H Chän ®iĨm M trªn ∆ 1 , dùng MH ⊥ ∆ 2 ( H thc ∆ 2 ) ta cã d( ∆ 1 , ∆ 2 ) = MH // ∆ 1 ∆ 2 ∆ 2 ∆ 1 M H Chän ®iĨm M thc ∆ , dùng MH ⊥ ∆ ( H thc ( α )), ta cã d( ∆ ,( α )) = MH ∆ // ( α ) ∆ α H M Ta cã: d(( α ),( β )) = d( ∆ ,( α )) = MH (M thc ∆ , MH ⊥ ( α ), H thc α ) ( α ) // ( β ), ∆ chøa trong ( α ) H M ∆ α β • Dùng mỈt ph¼ng ( α ) chøa b & ( α ) // a • Dùng MH ⊥ ( α ), M thc a, H thc ( α ) • Dùng a' trong mỈt ph¼ng ( α ), a' // a ®êng th¼ng a' c¾t ®êng th¼ng b t¹i B • Dùng ∆ qua B vµ // MH, ∆ c¾t a t¹i A Khi ®ã: d(a,b) = d(a,( α )) = d(M,( α )) = MH = AB • a vµ b chÐo nhau α B A H M a' b a Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng // song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai Đường thẳng chéo nhau > Hình chóp tam giác đều: ∗ Đáy là tam giác đều ∗ Các mặt bên là những tam giác cân > Đặc biệt: Hình tứ diện đều có: ∗ Đáy là tam giác đều ∗ Các mặt bên là những tam giác đều > Cách vẽ: ∗ Vẽ đáy ABC ∗ Vẽ trung tuyến AI ∗ Dựng trọng tâm H ∗ Vẽ SH ⊥ (ABC) • Ta có: ∗ SH là chiều cao của hình chóp ∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: · SA H α = . ∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: · SIH β = 2/ Hình chóp tứ giác đều > Hình chóp tứ giác đều: ∗ Đáy là hình vuông ∗ Các mặt bên là những tam giác cân > Cách vẽ: ∗ Vẽ đáy ABCD ∗ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD ∗ Vẽ SH ⊥ (ABCD) • Ta có: ∗ SH là chiều cao của hình chóp ∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: · SA H α = . ∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: · SIH β = 2/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy . h β α I C A H S B β α I H D A B C S β α A C B S ϕ β α D A B C S ∗ SA ⊥ (ABC) ∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: · SBA α = ∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: · SCA β = ∗ SA ⊥ (ABCD) ∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: · SBA α = ∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: · SCA β = ∗ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: · SDA ϕ = . phương của giao tuyến ( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố đònh cho trước ) Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các đònh. Đặt I = giao điểm của a và b. Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng α và β nào đó sao cho c = giao tuyến của α và β . Bước 3 : Chứng minh : cthẳngđườngI mpI mpI ∈⇒