Gọi O là trung điểm của BC.. Tiếp tuyến của đờng tròn tại H cắt AB, AC lần lợt tại M, N.. a Chứng minh: ∆MOB ∆ONC b Xác định vị trí của điểm H sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất..
Trang 1Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10
trờng thpt chuyên phan bội châu Năm
học 2008-2009
Môn thi: toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy, biết rằng xxyy xx= 2+yy2
Bài 2: (2 điểm)
Giải phơng trình: 10 x3+ =1 3(x2 +2)
Bài 3: (1điểm)
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Biết rằng phơng trình: f(x) = x
vô nghiệm Chứng minh rằng phơng trình: a[f(x)]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm
Bài 4: (1điểm)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: xy + yz + zx = xyz Chứng minh rằng:
3
Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A Gọi O là trung điểm của BC Đờng tròn (O; R)
tiếp xúc với AB ở E, tiếp xúc với AC ở F Điểm H chạy trên cung nhỏ EF
(H khác E, F) Tiếp tuyến của đờng tròn tại H cắt AB, AC lần lợt tại M, N
a) Chứng minh: ∆MOB ∆ONC
b) Xác định vị trí của điểm H sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất
Bài 6: (1 điểm)
Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 4, trong đó không có ba
điểm nào thẳng hàng Ngời ta vẽ các đờng tròn có bán kính bằng 2 và tâm là
các điểm đã cho Hỏi có hay không ba điểm trong các điểm đã cho sao cho chúng
đều thuộc phần chung của ba hình tròn có tâm cũng chính là ba điểm đó? Vì sao?
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề chính thức
Trang 2Sở Giáo dục và Đào tạo
Nghệ An
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên phan bội châu
Năm học 2008-2009
h
ớng dẫn chấm và biểu điểm môn toán
Đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm này gồm có 04 trang)
Ta có: xxyy xx= 2 + yy (1)2
⇔ x.100.11+y.11= x2.112+y2.112
⇔100x+y=11(x2+y2)
0.5
=> x y+ M11
=> (x,y) chỉ có thể là các cặp (2, 9); (3, 8); (4, 7); (5, 6); (6, 5); (7, 4); (8; 3) (9, 2) 0.5
Thay lân lợt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ ó x=8 và y=3 thỏa mãn
Bài 2 (2,0 điểm).
Ta có: 10 x3 + =1 3(x2 +2)
⇔10 x+1 x2 − + =x 1 3(x2 +2)
0,25
Đặt
2
1 1
v x x , (điều kiện u ≥ 0, v > 0) khi đó phng trình (2) trở thành
10u.v = 3(u2+v2)
0,5
⇔(3u v u− )( −3 ) 0v =
3
3
=
⇔ =u u v v
0,25
Trờng hợp 1: u = 3v ta có:
x+ =1 3 x2− +x 1
9x2-10x+8 = 0 vô nghiệm
0,25
Trờng hợp 2: 3u = v ta có:
3 x+ =1 x2 − +x 1
9x + 9= x2 – x+1
0,25
Trang 3 x2 – 10x – 8 = 0
= −
⇔
= +
x
x (thỏa mãn điều kiện x ≥ -1)
Vậy phơng trình đã cho có các nghiệm là:
x = −5 33 và x= +5 33
0,25
Bài 3 (1,0 điểm)
Vì phơng trình f(x) = x vô nghiệm nên
f(x) > x, ∀x ∈ R hoặc f(x) < x, ∀x ∈ R
0,5
Nếu f(x)> x, ∀x ∈ R thì
a[f(x)]2 + b.f(x) + c = f(f(x)) > f(x) > x, ∀x ∈ R
suy ra phơng trình a[f(x)]2 + b.f(x) + c = x vô nghiệm
0,25
Nếu f(x)< x, ∀x ∈ R thì
a[f(x)]2 + b.f(x) + c = f(f(x)) < f(x) < x, ∀x ∈ R
suy ra phơng trình a[f(x)]2 + b.f(x) + c = x vô nghiệm
Vậy ta có điều phải chứng minh
0,25
Bài 4 (1,0điểm)
1
+ + =
x y z ta đợc a, b, c >0 và a+b+c=1 (1)
Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:
0,25
Ta sẽ chứng minh (2) đúng với mọi a, b, c thỏa mãn (1)
Thật vậy, do điều kiện a+b+c=1 nên ta có: (2)
0,25
( −1)(a b− ) +( −1)(b c− ) +( −1)(c a− ) ≥0
0,25
Bất đẳng thức đúng vì: a, b, c > 0
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c =1/3 hay x = y = z = 3
0,25
Bài 5 (3,0 điểm)
a (1,5 điểm)
A
N M
O
F H
E
Trang 4Theo tính chất tiếp tuyến ta có OM, ON lần lợt là phân giác của các góc
EOH, FOH
0,25
Từ đó MON= 180
2
o BAC
Suy ra MOB = ONC Vậy ΔMOB ΔONC
b, 1,25 (điểm)
Từ ΔMOB ΔONC => MB = OB
2
4
BC
= const Vì SAMN = SABC – SBMNC nên SAMN lớn nhất khi và chỉ khi SBMNC nhỏ nhất(do SABC
không đổi)
Ta có SBMNC = SBOM +SMON + SNOC = 1 ( )
2 R BM +MN CN+
=
1
2 R BM +CN +ME +NF doMN =ME +NF
= 1
2R BM +CN +BM −BE+CN−CF
= R(BM+CN-BE) do BE=CF
≥ R(2 BM CN −BE)
= R(BC-BE) không đổi
Dấu = xảy ra BM = CN MN //BC
H là trung điểm của cung nhỏ EF
Vậy SAMN lớn nhất khi H là trung điểm của cung nhỏ EF
Trang 5Câu 6 ( 1,0 điểm)
Chia hìh vung đã cho thành 16 hình vung đơn vị(các cạnh song song với các cạnh hình vuông đã cho và có độ dài bằng 1)
Do 33>16.2 nên theo nguyên lý Dirichlê, tồn tại ít nhất 3 điểm cùng nằm trong hoặc trên cạnh của một hình vuông đơn vị Giả sử đó là ba điểm A, B, C ở trong hoặc nằm trên cạnh của hình vuông đơn vị MNPQ
Ta có MP = 2 và với mọi điểm E thuộc hình vuông MNPQ thì MP ≥ AE, tức AE≤
2 Từ đó hình tròn (A; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ Tơng tự các hình tròn (B; 2 ), (C; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ
Suy ra ba hình tròn (A; 2 ), (B; 2 ), (C; 2 ) chữa hình vuông MNPQ và ba điểm
A, B, C nằm trong phần chung của ba hình tròn nói trên Vậy câu trả lời bài toán là có,