Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu và có độ dài cạnh bằng 3 hoặc 3... HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang Nội dung.[r]
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phú,(không kể thời gian giao đề) Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình 3x x 3x 4x 2xy 4x 3y 0 2 4x y 12x 4y b) Giải hệ phương trình Câu (3,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương (x, y) cho (x 2)(xy 2) Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c 2 P = (a b) (b c) 4a Câu (6,0 điểm) Cho điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (O) Kẻ tiếp tuyến AE, AF (O) (E, F tiếp điểm) Điểm D di động cung lớn EF cho DE < DF, D không trùng với E tiếp tuyến D (O) cắt tia AE, AF B, C a) Gọi M, N giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng OB, OC Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn b) Kẻ tia phân giác DK góc EDF, OI góc BOC (K thuộc EF, I thuộc BC) Chứng minh OI // DK c) Chứng minh đường thẳng IK qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Mỗi điểm mặt phẳng gắn với hai màu đỏ xanh Chứng minh tồn tam giác có ba đỉnh màu có độ dài cạnh HẾT Họ tên thí sinh Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Nội dung Câu ĐKXĐ: x Điểm (*) Với điều kiện (*) phương trình cho tương đương với: 1,0 3x x (5 3x)( x 1) 3x x x x 3x x 0 (1) Đặt x x t (t 0) t 1 a t 2t 0 t 4,0đ Pt (1) trở thành 1,0 0,5 Với t = -3 (loại) Với t = (thỏa mãn đk t 0), 13 3x x 1 3x x 0 x (TM (*)) ta có Câu 7,0đ b 3,0đ Câu 3,0 đ 1,0 13 x Vậy phương trình cho có nghiệm 0,5 2xy 4x 3y 0 (2x 3)(y 2) 0 2 4x y 12x 4y 0 4x y 12x 4y 0 Ta có: 1,0 3 x y y 0 0,5 y (II) x 12 x 3 x y 3 x y 0 (I) 5 x y (II) (I) 1 x y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) 3 3 5 1 ;0 , ; , ; , ; Với x =1, từ giả thiết ta có -1 ( y 2) vơ lý, y 1 Với x 2 2 Ta có: ( x 2)( xy 2) y ( x 2) ( xy 2) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Câu Nội dung x( xy 2) 2( x y ) xy 2( x y )xy 2( x y ) k( xy 2) (k * ) Nếu k = 1, ta có 2(x + y) = xy + ( x 2)( y 2) 2 (1) Điểm Mà x 0 y 0 (2) x 3 x 4 Từ (1) (2) suy y 4 y 3 0,25 Thử lại ta thấy có x = 4, y = thỏa mãn đề Nếu k 2, ta có: 2( x y ) 2( xy 2) x y xy ( x 1)( y 1) 0 (vô lý) x 4 Vậy y 3 cặp số cần tìm 0,25 0,5 0,25 c 4a 0,25 0,25 1 (*) 2 (1 x ) (1 y ) xy Ta chứng minh (2 x y x y )(1 xy ) (1 x x )(1 y y ) 0,25 xy x y x y xy 0 0,25 2 (1 xy ) xy ( x y ) 0 ( x, y 0) xy Từ (*) P xy 0,25 0,25 1 xy 1 2 4 4 P xy 3 P = x = y = Vậy giá trị nhỏ P a = b =c Câu 6,0 đ 0,25 0,5 b c 1 1 a b Ta có P = b c x , y ( x, y 0) a b Đặt 1 xy 2 Thay vào ta P = (1 x) (1 y ) Câu 2,0 đ 0,25 a 3,0 0,25 0,25 M A F N E O C B D Đặt BAC = A, ABC = B, ACB = C 1,25 Câu Nội dung B+C A NOB = = 900 - = AEF 2 Ta có điểm B, E, N, O thuộc đường tròn 0 Mà BEO = 90 BNO = 90 (1) Điểm B+C A MOC = = 900 = AFE 2 Mặt khác điểm M, F, O, C thuộc đường tròn 0 Mà CFO 90 CMO 90 (2) 1,25 Từ (1) (2) suy tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn 0,5 A F L K H O E C b 2,0 đ B D I B C B C EDF 1800 EDB FDC 1800 900 900 Ta có C C 1 B C B KDC KDF FDC EDF FDC 900 900 4 4 (3) 1 C C B B B B B OIC BOI BOC 1800 900 (4) 2 2 2 4 c 1,0 đ 0,5 0,5 0,5 Từ (3) (4) DK//OI (đpcm) Gọi L, H giao điểm OA với (O), EF Ta có A, L, O thẳng hàng; L, K , D thẳng hàng; AO EF H Vì DK // OI DOI ODK Mà ODK KLO nên DOI KLH LK LH DOI LHK 900 LHK ODI (*) OI OD Kết hợp với 0,5 0,25 0,25 OFA vuông F, FH OA H OH.OA = OF2 OF OH OL OH OL OH AL LH LH 1 1 OA OF OA OL OA OL AO OL OD (**) AL LK Từ (*) (**) AO OI Kết hợp với LK // OI A, K, I thẳng hàng KI qua điểm cố định A 0,25 Câu 2,0 đ 0,25 G E O K F Câu Nội dung Điểm A B C Dựng tam giác ABC có cạnh TH1: đỉnh tam giác màu đpcm TH2: Có hai ba đỉnh A, B, C khác màu Giả sử A, B khác màu Dựng tam giác cân ABD với DA = DB = D có màu khác với hai điểm A, B tồn đoạn thẳng có độ dài cho hai đầu mút khác màu Gọi đoạn thẳng EF (E, F khác màu) 0,25 0,5 Lấy K trung điểm EF K trùng màu với hai điểm E, F 0,25 Không tính tổng quát, giả sử E K màu xanh F màu đỏ 0,25 Dựng hình thoi EGKH với EGK, EHK 3 OK , GO GK OK , HG 3 2 Gọi O giao điểm EK GH FG FH OF2 OG 3 Nếu hai điểm G, H có điểm màu xanh Kết hợp với E, K màu xanh ta tam giác có ba đỉnh màu xanh có độ dài cạnh Nếu G, H màu đỏ ta có tam giác GHF có ba đỉnh màu đỏ có độ dài cạnh bẳng Suy đpcm Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm thành phần, khơng làm trịn 0,25 0,25 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Nội dung Câu ĐKXĐ: x Điểm (*) Với điều... y) 3 3 5 1 ;0 , ; , ; , ; Với x =1, từ giả thi? ??t ta có -1 ( y 2) vơ lý, y 1 Với x 2 2 Ta có: ( x 2)( xy 2) y ( x 2) ( xy 2)... KDF FDC EDF FDC 900 900 4 4 (3) 1 C C B B B B B OIC BOI BOC 1800 900 (4) 2 2 2 4 c 1,0 đ 0,5 0,5 0,5 Từ (3) (4) DK//OI