Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt chuyên phan bội châu
năm học 2009 - 2010 Môn thi: to¸n
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Bài 1: (3.5 điểm)
a Gi¶i phơng trình
3 x2 7 x 3
b Giải hệ phơng trình
3
3
8
6
x y x
y
Bài 2: (1.0 điểm)
Tỡm s thc a phơng trình sau có nghiệm ngun
2 2 0
x ax a
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng A có đờng phân giác BE (E thuộc AC) Đ-ờng trịn đĐ-ờng kính AB cắt BE, BC lần lợt M, N (khác B) ĐĐ-ờng thẳng AM cắt BC K Chứng minh: AE.AN = AM.AK
Bµi 4: (1.5 ®iĨm)
Cho tam giác ABC có góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài độ dài cạnh BC Đờng trịn đờng kính BC cắt cạnh AB, AC thứ tự M, N (M khác B, N khác C) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đờng thẳng AO lần lợt I K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp đợc đ-ờng tròn tứ giác BICK hình bình hành
Bµi 5: (2.0 ®iĨm)
a Bên đờng trịn tâm O bán kính cho tam giác ABC có diện tích lớn Chứng minh điểm O nằm nằm cạnh tam giác ABC
b Cho a, b, c số thực dơng thay đổi thỏa mãn: a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
2 2
P a b c ab bc ca
a b b c c a
HÕt
-Họ tên thí sinh……… ……… SBD……… * Thí sinh khơng đợc sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích thêm.
(2)Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt chuyên phan bội châu năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán Híng dÉn chÊm thi
B¶n híng dÉn chÊm gåm 03 trang
Nội dung đáp án Điểm
Bµi 1 3,5 ®
a 2,0®
x2 3 7 x 3
3 3
2 7 27
x x x x x x
0.50®
3
9 (x 2)(7 x) 27
0.25®
3 (x 2)(7 x) 2
0.25®
(x 2)(7 x)
0.25®
2 5 6 0
x x
0.25®
1 x x
( tháa mÃn ) 0.50đ
b 1,50đ
Đặt
z
y 0.25®
Hệ cho trở thành
3 3 x z z x 0.25®
3
3 x z z x
0,25®
x z x xz z2 3
0,25®
x z
(vì x2 xz z 3 0,x z, ). 0,25đ Từ ta có phơng trình:
3 3 2 0
2 x x x x
Vậy hệ cho có nghiệm: ( , ) ( 1; 2), 2,1x y
0,25đ
Bài 2: 1,0 đ
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 0 a2 4a 0 (*) 0,25đ Gọi x1, x2 nghiệm nguyên phơng trình cho ( giả sử x1 x≥ 2)
Theo định lý Viet:
1
1 2
1
x x a
x x x x
x x a
0,25®
(x 1)(x 1)
1 x x
hc
1 1 x x
(do x1 - x≥ 2 -1)
1 x x
hc
1 2 x x
Suy a = 6 hc a = -2 (tháa m·n (*) )
0,25®
(3)Thư l¹i ta thÊy a = 6, a = -2 thỏa mÃn yêu cầu toán 0,25đ
Bài 3: 2,0 đ
Vì BE phân giác góc ABC nên ABM MBC AM MN 0,25đ
MAE MAN
(1) 0,50®
Vì M, N thuộc đờng trịn đờng
kính AB nên AMB ANB 900 0,25đ
ANK AME 900, kết hợp với (1) ta có tam giỏc AME ng
dạng với tam giác ANK
0,50®
AN AK
AM AE
0,25®
AN.AE = AM.AK (®pcm) 0,25®
Bài 4: 1,5 đ
Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ANM AIM Vì tứ giác BMNC nội tiếp nªn ANM ABC
AIM ABC
.Suy tø gi¸c BOIM néi tiÕp
0,25®
Từ chứng minh suy tam giác AMI đồng dạng với tam giác AOB
AM AI
AI AO AM AB
AO AB
(1)
0,25đ Gọi E, F giao điểm đờng thẳng AO
với (O) (E nằm A, O) Chứng minh tơng tự (1) ta đợc: AM.AB = AE.AF
= (AO - R)(AO + R) (víi BC = 2R) = AO2 - R2 = 3R2
0,25®
AI.AO = 3R2
2
3 3
2 2
R R R R
AI OI
AO R
(2)
0,25đ Tam giác AOB tam giác COK đồng dạng nên
OA.OK = OB.OC = R2
2
2
R R R
OK
OA R
(3)
0,25® Tõ (2), (3) suy OI = OK
Suy O trung điểm IK, mà O trung điểm BC
Vì BICK hình bình hành 0,25đ
Bài 5: 2,0 đ
a, 1,0 đ
Giả sử O nằm miền tam giác ABC Không tính tổng quát, giả sử A vµ O
nằm phía đờng thẳng BC 0,25đ Suy đoạn AO cắt đờng thẳng BC ti K
Kẻ AH vuông góc với BC H 0,25đ Suy AH AK < AO <1 suy AH < 0,25® Suy
2.1
1
2
ABC
AH BC
S
(mâu thuẫn với giả thiết) Suy điều phải chøng minh
0,25®
b, 1,0®
Ta cã: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)
= a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 0,25®
(4)mà a3 + ab2 2a2b (áp dụng BĐT C«si ) b3 + bc2 2b2c
c3 + ca2 2c2a
Suy 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 0
0,25®
Suy
2 2
2 2
P a b c ab bc ca
a b c
2 2
2 2
2 2
9 ( )
P
2( )
a b c
a b c
a b c
0,25®
Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh đợc t 3.
Suy
9
3
2 2 2 2
t t t
P t
t t
P DÊu b»ng x¶y vµ chØ a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ P
0,25®