toan 12

Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 Tóm tắt công thức tính đạo hàm 1/Định nghĩa: 0 0 0 0 ( ) ( ) ' '( ) lim lim x x f x x f x y y f x x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ = = = ∆ ∆ 2/Các quy tắc tính đạo hàm: 2 2 ( ) ' ' ' ( ) ' ' ' ' ( . ) . ' ( . ) ' '. '. '. ' '. ( ) ' 1 ' ( ) ' u v u v u v w u v w k U k U u v u v v u u u v v u v v v v v ± = ± ± ± = ± ± = = + − = =− ( với k là hằng số ) 3/Bảng tóm tắt công thức: Công thức hàm cơ bản Công thức hàm mở rộng ( u) 2 1 2 ( ) ' 0 ( )' 1 ( ) ' 2 ( ) ' . 1 1 ( ) ' 1 ( ) ' 2 n n C x x x x n x x x x x − = = = = =− = 2 1 2 ( ) ' 2 . ' ( ) ' . . ' 1 ' ( ) ' 1 ( ) ' . ' 2 n n u u u u n u u u u u u u u − = = =− = 2 2 2 2 (sin ) ' cos (cos ) ' sin 1 (tan ) ' 1 tan cos 1 (cot ) ' (1 cot ) sin x x x x x x x x x x = = − = + = = − + = − 2 2 2 (sin ) ' '.cos (cos ) ' '.sin 1 (tan ) ' '.(1 tan ) . ' cos 1 (cot ) ' '.(1 cot ) . ' sin u u u u u u u u u u u u u u u u = = − = + = = − + = − 1 Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 ( ) ' ( ) ' .ln x x x x e e a a a = = ( ) ' '. ( ) ' ' .ln u u u u e u e a u a a = = 1 (ln ) ' 1 (log ) ' ln a x x x x a = = 1 (ln ) ' . ' 1 (log ) ' . ' ln a u u u u u u a = = 4/Đạo hàm hàm đặc biệt: 2 ? ( )' ( ) ax b cx d cx d + = + + “? “ được tính theo a b c d 2 2 ? ( ) ' ( ) ax bx c dx e dx e + + = + + “ ? “được cho bởi a b c 0 d e 2 X 2 Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 Ứng Dụng Đạo Hàm – Bài Toán Khảo Sát Hàm Số Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Vấn đề 1: Điểm Cố Định Định nghĩa : khi 1 hàm số y=f(x,m), ứng với mỗi m ta sẽ vẽ được 1 đồ thị khác nhau , nhưng tất cả các đồ thị này đều đi qua 1 điểm (hay 2 điểm trở lên) khi m thay đổi => điểm cố định Phương pháp tìm: Cho hàm số y=f(x,m) ,ta chuyển về dạng sau: f(x,m) – y = 0 sau đó đưa về : A.m 2 +B.m+C = 0 với A,B,C là các biểu thức theo x và y. Tọa độ điểm cố định là nghiệm hệ phương trình sau: 0 0 ( ) 0 A B C =   = ∗   =  m ∀ ( ko ghi ý này ko cho điểm) VD: tìm tọa độ điểm cố định mà họ đường cong (C m ) 3 2 ( 3) 2 2y x m x mx= + − + + luôn đi qua: Giải : hàm số <=> 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 ( 3) 2 2 0 3 2 2 0 ( 2 ) ( 3 2 ) 0 0 2 2 0 0 2 2 18 3 2 3 2 0 x m x mx y x mx x mx y m x x x x y x x x x x x m y y y x x x x y + − + + − = ⇔ + − + + − = ⇔ + + − + − = = ∨ = −  + = = = −     ⇔ ∀ ⇔ ⇔ ∨     = = − = − + − + − =      Vậy : ta tìm được 2 điểm cố định là (0;2) và (-2;-18) 3 Điểm cố định khi m thay đổi (2,0) Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 Nhận xét : nếu (*) vô ngihệm thì ta kết luận (C m ) ko có điểm cố định Vấn đề 2 : Tính Đơn Điệu của Hàm Số 1/ Định nghĩa: cho hàm số y=f(x) xđ trên (a,b) a. Hàm số f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên (a,b) nếu với mọi x 1 ,x 2 thuộc khỏang (a,b) : x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 ) b. Hàm số f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên (a,b) nếu với mọi x 1 ,x 2 thuộc khỏang (a,b) : x 1 < x 2 => f(x 1 ) > f(x 2 ) c. Hàm hằng số nếu với mọi x 1 ,x 2 thuộc khỏang (a,b) và x 1 ≠ x 2 => f(x 1 = f(x 2 ) 2/ Định lý ( quan trọng ) : Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a,b): a. Nếu f’(x) > 0 ( , )x a b∀ ∈ thì f(x) đồng biến trên (a,b) b. Nếu f’(x) < 0 ( , )x a b∀ ∈ thì f(x) nghịch biến trên (a,b) c. Nếu f’(x) = 0 ( , )x a b∀ ∈ thì f(x) không đổi trên (a,b) 3/ Cách tìm khỏang đồng biến , nghịch biến ( đơn điệu ) của hàm số : B1: tìm tập xác định D , tìm y’ (đạo hàm cấp 1) B2: cho y’ = 0 suy ra các điểm tới hạn (đ/n : là điểm x 0 nào đó làm cho đạo càm cấp 1 ( y’) bằng 0 hay không xác định) B3: vẽ bảng biến thiên, suy ra các khỏang đơn điệu 4/ Chứng minh hàm số luôn đồng biến hay nghịch biến : Khi ta lấy đạo hàm của hàm số : 2 'y ax bx c= + + , lúc đó ta có a. Để chứng minh hàm số luôn đồng biến trên TXĐ ( tức là ' 0y ≥ ) ta chứng minh: 0 , ' 0 a >   ∆ ∆ ≤  b. Để chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên TXĐ ( tức là ' 0y ≤ ) ta chứng minh: 0 , ' 0 a <   ∆ ∆ ≤  Vấn đề 3: Cực Trị của Hàm Số ( Cực Đại & Cực Tiểu) 1/ Điều kiện cần để có cực trị: ∗ Định lý Fermat : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại x 0 thì f’(x 0 ) = 0 ứng dụng của định lý trên : ( ^ . ^ ) trong các bài tóan tìm m để hs đạt cựa trị tại một điểm nào đó ( hay lắm ) 2/ Dấu hiệu 1 ( định lý 1 ): dùng trong vẽ đồ thị và tìm cực trị Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a,b) 4 Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 a.nếu khi x đi qua x 0 mà đạo hàm đổi dấu từ + sang − thì hàm số đạt cực đại tại x 0 b. nếu khi x đi qua x 0 mà đạo hàm đổi dấu từ − sang + thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 bảng biến thiên 3/ Dấu hiệu 2 ( định lý 2) : dùng trong biện luận tham số m Giả sửa hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 ,liên tục tại x 0 , x 0 là điểm tới hạn a. Nếu 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =   <  thì hàm số đạt cực đại tại x 0 b. Nếu 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =   >  thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 Vấn đề 4 : Gía Trị Lớn Nhất & Giá Trị Nhỏ Nhất 1/Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) ,TXĐ: D a. Nếu ( ) ,f x M x D ≤ ∀ ∈ và 0 0 ( ) ,f x M x D = ∈ thì M là GTLN của hs trên D Kí hiệu Max y = M tại x = x 0 b. Nếu ( ) ,f x M x D ≥ ∀ ∈ và 0 0 ( ) ,f x M x D= ∈ thì M là GTNN của hs trên D Kí hiệu Min y = M tại x = x 0 2/ Tìm GTLN & GTNN: Dạng 1: nếu D là đọan [a,b] ( dễ làm nhất ) - tính y’ ,cho y’ = 0 ⇒ các điểm tới hạn 0 1 2 , , . [ , ]x x x a b ∈ ,không thuộc [a,b] ta không lấy , nếu không có giá trị nào cần tìm thì thôi… - tính các giá trị 0 1 2 ( ), ( ), ( ), ., ( ), ( )f x f x f x f a f b - nhìn , so sánh tìm ra giá trị lớn và nhỏ nhất và kết luận Min và Max Dạng 2 : nếu D là khỏang (a,b) ( ta fải vẽ bảng Biến Thiên mới ra ) - tính đạo hàm - lập BBT , suy ra GTLN , GTNN ( cũng không quá khó ) - chú ý : đôi khi ta còn xài bất đẳng thức CôSi, Bunhiacopski… VD:tìm GTLN & GTNN của hàm số 3 2 3 2y x x= − + trên đọan [1,3] x a x 0 b x a x 0 b y’ + - y’ - + CĐ CT y y 5 D D Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 Giải: TXĐ : D= R , 2 2 0 ' 3 6 , ' 0 3 6 0 2 x y x x y x x x =  = − = ⇔ − = ⇔  =  , nhìn vào đọan [1,3] ta chỉ nhận x =2 không nhận x = 0 Tính các giá trị 3 2 (2) (2) 2 3.2 2 2 (1) (1) 0 (3) (3) 2 f y f y f y = = − + = − = = = = ,ta kết luận ; Max y =2 khi x = 3 và Min y = -2 khi x = 2 [1,3] [1,3] Vấn đề 5 : Lồi , Lõm , Điểm Uốn 1/ Định nghĩa : cho hàmsố y = f(x) có đồ thị là (C) , một điểm ( )I C ∈ ngăn cách giữa phần lồi và phần lõm gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số , sau đây là hình minh họa: Hình vẽ này cũng minh họa cho cực đại , cực tiểu 2/ Định lý 1: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên (a,b) 6 Điểm uốn I ( 1,0 ) Cực tiểu (2,-2) Cực đại (0,2) Phần lồi Phần lõm Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 a. Nếu "( ) 0, ( , )f x x a b < ∀ ∈ thì đồ thị lồi trên (a,b) b. Nếu "( ) 0, ( , )f x x a b > ∀ ∈ thì đồ thị lõm trên (a,b) c. Nếu "( )f x đổi dấu khi đi qua I x thì I là điểm uốn của (C) 3/ Cách tìm điểm uốn: - tìm TXĐ :D , tính đạo hàm cấp 1 , sau đó tính đạo hàm cấp 2 ( y”) - cho y” = 0 suy ra I x sau đó vẽ bảng “ xét tính lồi ,lõm ,điểm uốn “ - suy ra các khỏang lồi , lõm , và điểm uốn chú ý 1: một điểm ( ; ) M M M x y là điểm uốn của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi ( ) ( ),( ) "( ) 0 M M M y x f x y x = ∗   =  (*) có nghĩa là ta đem thế tọa độ M vào hàm số là xong, chú ý này giúp giải được nhiều bài tóan chú ý 2: tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có “ hệ số góc “ nhỏ hoặc lớn nhất ( tùy bài ). VD : tìm các khỏang lồi , lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số sau : 3 2 3 1y x x= + + Giải: D=R, 2 ' 3 6 " 6 6, " 0 6 6 0 1 3 y x x y x y x x y = + ⇒ = + = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ = Bảng xét tính lồi , lõm , điểm uốn: Vấn đề 6 : Tiệm Cận Cách xác định tiệm cận : A.Tiệm cận đứng :Nếu 0 lim x x y → = ∞ thì 0 x x= là TCĐ B. Tiệm cận ngang :Nếu 0 lim x y y →∞ = thì 0 y y= là TCN C. Tiệm cận xiên :Nếu lim[ ( )] 0 x y ax b →∞ − + = thì .y a x b= + là TCX D. Cách tìm hệ số a & b của TCX : lim lim( ) x x y a x b y ax →∞ →∞ = = − từ đó suy ra TCX : .y a x b= + −∞ +∞ x 1 − Đồ thị 0 "y +- lõmLồi Điểm uốn 7 Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 E. Các chú ý khi tìm tiệm cận : a.Hàm đa thức ( )y P x= không có đường tiệm cận b.Hàm phân thức ( ) ; ( ) 0 ( ) P x y Q x Q x = = có các nghiệm 0 1 , .x x x= không fải là nghiệm của P(x) thì các đường 0 1 , .x x x x= = là TCĐ c.Nếu Q(x) = 0 vô nghiệm thì hàm số không có TCĐ d.Bậc tử ≤ bậc mẫu thì có TCN , không có TCX e. Bậc tử > bậc mẫu 1 đơn vị thì có TCX VD1:Tìm tiệm cận của hàm số 2 2 3 x y x − = − Giải : ta thấy x=3 là cho mẫu = 0 nên ta chứng minh như sau : 3 3 3 3 2 2 2.3 2 4 lim lim ( lim lim ) 3 3 3 0 x x x x x y do x → → → → − − = = ∞ = = ∞ − − nên x=3 là TCĐ Nhận xét : bậc tử = mẫu nên sẽ có TCĐ , không có TCX : 2 2 2 2 2 lim lim lim 2 3 3 1 1 x x x x x y x x →∞ →∞ →∞ − − = = = = − − nên x=2 là TCĐ VD2: Tìm tiệm cận của hàm số 2 4 5 2 x x y x + + = − Giải: x=2 là nghiệm của mẫu nên 2 2 2 4 5 lim lim 2 x x x x y x → → + + = = ∞ − nên x=2 là TCĐ Nhận xét : bậc tử > mẫu 1 đơn vị nên sẽ có TCX , không có TCĐ : Tìm a : 2 2 2 2 4 5 1 4 5 4 5 1 lim lim lim lim 1 2 ( 2) 2 1 1 x x x x y x x x x x x a x x x x x x →∞ →∞ →∞ →∞ + + + + + + = = = = = = − − − Tìm b : 2 2 2 2 4 5 4 5 ( 2) 4 5 2 lim( ) lim( 1. ) lim( ) lim( ) 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x b y ax x x x x →∞ →∞ →∞ →∞ + + + + − − + + − + = − = − = = − − − 7 6 6 7 lim( ) lim( ) 6 2 2 1 x x x x x x →∞ →∞ + + = = = − − vậy TCX có dạng y=1.x+6 Ta có cách làm khác thông dụng để tìm TCN như sau : 2 4 5 17 6 2 2 x x y x x x + + = = + + − − ,sau đó la làm như sau : 17 ( 6) 2 y x x − + = − lấy lim 2 vế ta được: 17 17 lim[ ( 6)] lim ,( 0) 2 2 x x y x do x →∞ →∞ − + = = ∞ = − ∞ − ,vậy TCX cũng có dạng : y=1.x+6 8 Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 9 Nguyễn Vũ Minh điện thoại : (0613)916072 Y ! M : minhnguyen249 hay : 0914449230 10