SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK KỲ THIHỌCSINHGIỎITỈNHNĂMHỌC2018–2019 MÔN THI: TỐN –THCSĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/4/2019 Bài 1: (4 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A 33 12 37 30 x x x 12 x y y 2) Giải hệ phương trình x x y Bài 2: (4 điểm) 1) Cho phương trình x x x m (với m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm M(0; 3) cắt parabol P : y x hai điểm A, B Gọi C, D hình chiếu vng góc A, B lên trục Ox Viết phương trình đường thẳng d, biết hình thang ABDC có diện tích 20 Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x y xy x y 20 2) Tìm tất số tự nhiên có bốn chữ số, biết số lập phương tổng chữ số Bài 4: (4 điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) cát tuyến ADE (O) cho ADE nằm hai tia AO AB; D, E (O) Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC, AB P, Q 1) Gọi H giao điểm BC với OA Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp 2) Gọi K điểm đối xứng B qua E Chứng minh ba điểm A, P, K thẳng hàng Bài 5: (2 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh CB, CD lấy điểm M, 450 Chứng N (M không trùng với B C; N không trùng với C D) cho MAN minh đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích Bài 6: (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa a b c Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 c2 a Hết G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 11 BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) 1) Ta có A 33 12 37 30 3 33 12 1 33 12 3 33 12 1 3 12 3 21 12 2) (ĐK: x 0, y ) 3 x x x 12 x y y x y x 2 y x y x x x x x y x x y x x y x y x y x y x x y x 3 x x x x x x y x x y 1 vo ly x 1 y 1 x x tm Vậy nghiệm hệ y 1 y 1 x 3 Bài 2: (4 điểm) 1) Ta có x x x m x x m * Đặt t x t Khi (*) trở thành: t 2t m ** Do (*) có bốn nghiệm phân biệt (**) có hai nghiệm dương phân biệt t 1 m 1 m Pt m 1 m m 1 S 20 t 2) Vì đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm M(0; 3), nên phương trình đường thẳng d có dạng y kx Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x kx x kx * Vì ac 3 , nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt Vì (d) cắt (P) hai điểm A; B, nên hoành độ điểm A, B hai nghiệm (*) x x k Theo Vi ét ta có: A B Lại có A x A ; x A2 , B xB ; xB2 , C xA ; , D xB ; x x A B Do 20 S ABDC AC BD CD xA2 xB2 2 x A xB x A xB 2 xA xB x A xB Đặt t xA xB , ta có: t 3 20 t t 6t 40 t t 4t 10 t t t G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 22 t x A xB 16 xA xB 2 x A2 xB2 x A xB x A xB x A xB 3 k k k 2 Vậy phương trình đường thẳng d là: y x y 2 x Bài 3: (4 điểm) 2 1) Ta có: x y xy x y 20 x 1 x y 25 2 2 Vì 25 02 52 02 5 32 32 4 3 42 3 4 , nên có trường hợp sau: x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x ; ) ; ) ; ) y 4 y 6 y 6 x y x y 5 x y x 5 x 1 x 1 x 6 x x ; ) ; ) ; ) y y x y x y x y y 2 x 1 x 4 x 3 x2 x 5 x 4 ; ) ; ) ) y 8 y x y 4 x y y x y x 1 x 3 x 4 x3 x 4 x 5 ; ) ; ) ) y 2 x y 3 y 8 x y 4 x y 3 y Vậy cặp số x; y là: 1; , 1; , 4; , 6; , 2; , 3; , 2; , 5; , 4; 3; , 4; , 5; Cách khác: x y xy x y 20 x 3 y x y y 20 * (*) có nghiệm y y y 20 y y 49 y y 49 y 1 50 y 1 y 1 8 y (vì y Z ) (*) có nghiệm nguyên y y 49 k k N y 8; 6; 2; 0; 4; x x x 1 * x x x 3x x 1 x x x * x x 24 x x 12 x x x 4 x 5 * x x 20 x 3x 10 x x x x 1 * x 14 x 12 x x x 1 x x 6 x 4 * x 18x 40 x x 20 x x x 5 +) Với y 8; * x 10 x 12 x x x x +) Với y 6; +) Với y 2; +) Với y 0; +) Với y 4; +) Với y 6; 2) Gọi abcd số tự nhiên phải tìm 1000 abcd 9999 3 Ta có abcd a b c d 1000 a b c d 9999 10 a b c d 21 +) Nếu a b c d 10 abcd 1000 loai ; +) Nếu a b c d 11 abcd 1331 loai ; +) Nếu a b c d 12 abcd 1728 loai ; +) Nếu a b c d 13 abcd 2917 loai ; +) Nếu a b c d 14 abcd 2744 loai ; +) Nếu a b c d 15 abcd 3375 loai ; +) Nếu a b c d 16 abcd 4096 loai ; +) Nếu a b c d 17 abcd 4913 nhan ; G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 33 +) Nếu a b c d 18 abcd 5832 nhan ; +) Nếu a b c d 19 abcd 6859 loai ; +) Nếu a b c d 20 abcd 8000 loai ; +) Nếu a b c d 21 abcd 9261 loai B Vậy abcd 4913; 5832 E K I Bài 4: (4 điểm) K' Q D P A H O 1) Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp C Ta có: AB = AC (AB, AC hai tiếp tuyến (O)), OB = OC (bán kính) Nên OA trung trực BC Xét ABO: ABO 900 (AB tiếp tuyến (O)), BH OA (OA trung trực BC) AB AH AO a ABD AED sd BD (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây) Xét ABD AEB: (góc chung) Vậy ABD BAD AEB (g.g) AB AD AB AD.AE b AE AB AH AE AD AO AH AE chung Vậy AHD Xét AHD AEO: cmt , HAD AD AO AHD AEO Do tứ giác OEDH tứ giác nội tiếp (đpcm) Từ (a) (b) suy AH AO AD AE AEO (c.g.c) 2) Chứng minh ba điểm A, P, K thẳng hàng Ta có: ODE cân O (do OD = OE) EDO AHD AEO cmt EDO AEO mà AHD EHO (tứ giác OEDH nội tiếp) Lại có: EDO 900 BHA EHO BHD BHE AHD EHO AHD 900 EHO AHD BHO Nên HB phân giác DHE, mà HA HB (cmt) nên HA phân giác HD ID AD c (I giao điểm HB DE) HE IE AE DP ID DIP, DP // BE (gt) d (hệ Ta Lét) BE IE DQ AD ABE, DQ // BE (gt) e (hệ Ta Lét) BE AE DP DQ Từ c), d), e) DP DQ BE BE DP AD Gọi K’ giao điểm AP BE AEK’, DP // EK’ (gt) EK AE DQ DP Từ e), f) mà DP DQ cmt BE EK BE EK Mặt khác BE EK gt K K Vậy A, P, K thẳng hàng (đpcm) DHE f G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 44 Bài 5: (2 điểm) A Tứ giác ABMF: B 45 450 gt , MBF 450 (BD đường chéo hình vng) MAF E Vậy tứ giác ABMF nội tiếp AFM 1800 ABM 1800 900 900 450 , AFM: AFM 900 , FAM K F nên AFM vuông cân F AF = MF Tương tự AENvuông cân E AE = NE D M H N C AFH AEH 900 cmt (H giao điểm MF NE) Tứ giác AEHF: MHE EAF 450 nên tứ giác AEHF nội tiếp NHF Kẻ EK MF (K MF) NFH vng F; EKH vng K nên có: NH sin 450 , EK EH sin MHE EH sin 450 NF NH sin NHF Ta có: S MNFE S MHN S NHF S FHE S EHM 1 HF EK HM HE sin MHE HM NF HN HF sin NHF 2 2 HM HN sin 450 HN HF sin 450 HF HE sin 450 HM HE sin 450 HM HF HN HF HM HE sin 450 1 MF HN HE sin 450 MF NE sin 450 AF AE sin 450 S AEF 2 Bài 6: (2 điểm) Ta chứng minh a b c ab bc ca * Thật * a b c ab bc ca a b c ab bc ca 2 a b b c c a (luôn đúng) Dấu “=” xảy a b c Áp dụng (*), ta có: 32 ab bc ca ab bc ca 2 a 1 b a a 1 b 1 b Lại có: a b 1 b2 b2 Vì b 2b a 1 a 1 b b 1 Tương tự có: Vậy 1 a 1 b a 1 b a 1 b a 1 b a 1 b b 2b b2 2b b2 a 1 a 1 b a 1 ab b a 1 b 1 b b 1 bc c c 1 ca a b 1 ; c 1 2 c 1 a 1 a 1 b 1 c 1 ab bc ca a b c a b c b 1 c 1 a 1 2 Dấu “=” xảy a b c G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 55 ... Với y 6; 2) Gọi abcd số tự nhiên phải tìm 1000 abcd 99 99 3 Ta có abcd a b c d 1000 a b c d 99 99 10 a b c d 21 +) Nếu a b c d 10 abcd... ; +) Nếu a b c d 17 abcd 491 3 nhan ; G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii – TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh – BBM MTT – Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii... t t G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii – TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh – BBM MTT – Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg