Trong mục này chúng ta xét sâu hơn cấu trúc của không gian vectơ thông qua tìm hiểu mối quan hệ của toàn thể một không gian vectơ với một tập con của nó. Toàn thể không gian C(A) được xác định bởi một tập con của nó gồm những vectơ cột của A. Để mở rộng điều này cho một không gian vectơ V ta cần tổng quát hóa khái niệm không gian cột C(A).
Trang 14.6 SỰ ĐỘC LẬP, CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU
Trong mục này chúng ta xét sâu hơn cấu trúc của không gian vectơ thông qua tìm hiểu mối quan hệ của toàn thể một không gian vectơ với một tập con của nó
Tập sinh
Toàn thể không gian C(A) được xác định bởi một tập con của nó gồm những vectơ cột của A Để
mở rộng điều này cho một không gian vectơ V ta cần tổng quát hóa khái niệm không gian cột C(A)
Định nghĩa Cho v1, ,v n là những vectơ trong không gian vectơ V Một tổng có dạng x1v1 + ⋅⋅⋅ +
x n v n , trong đó x1, , x n là các vô hướng được gọi là một tổ hợp tuyến tính của v1, ,v n Tập hợp tất
cả những tổ hợp tuyến tính của v1, ,v n được ký hiệu là Span(v1, , v n)
Nếu v1, ,v n là tất cả những vectơ cột của một ma trận A, thì C(A) = Span(v1, , v n)
Định lý 4.6.1 Nếu v1, ,v n là những vectơ trong không gian vectơ V, thì Span(v1, , v n) là một
không gian con của V
Chứng minh Cho x là một vô hướng và cho v = x1v1 + ⋅⋅⋅ + x n v n bất kỳ thuộc Span(v1, , v n) Từ
xv = (xx1)v1 + ⋅⋅⋅ + (xx n )v n
suy ra xv∈Span(v1, , v n ) Tiếp theo ta phải chỉ ra rằng hai vectơ bất kỳ trong Span(v1, , v n) có
tổng thuộc Span(v1, , v n ) Cho v = x1v1 + ⋅⋅⋅ + x n v n và w = y1v1 + ⋅⋅⋅ + y n v n
v + w = (x1 + y1)v1 + ⋅⋅⋅ + (x n + y n )v n ∈ Span(v1, , v n)
Theo định nghĩa, Span(v1, , v n) là một không gian con của V ☺
Cho v1, ,v n là những vectơ trong không gian vectơ V Ta nói Span(v1, , v n) là không gian
con của V sinh bởi (hoặc căng bởi) v1, ,v n Có thể tình cờ xảy ra Span(v1, , v n) = V, khi ấy ta
nói rằng các vectơ v1, ,v n sinh ra V (hoặc căng V) hay {v1, ,v n } là một tập sinh của V
Định nghĩa Ta nói rằng tập {v1, ,v n }là một tập sinh của không gian V, nếu và chỉ nếu mỗi
vectơ trong V có thể biểu diễn được ở dạng một tổ hợp tuyến tính của v1, ,v n
Ví dụ 1 Tập tất cả các vectơ cột của ma trận A là tập sinh của C(A) Tập tất cả các vectơ hàng của
ma trận A là tập sinh của C(AT) Tập tất cả những nghiệm đặc biệt của Ax = 0 là tập sinh của N(A)
Ví dụ 2 Những tập nào sau đây là tập sinh của R2?
Trang 2(a)
1
0 , 0
1
(b)
7
4 , 1
0 , 0
1
(c)
−
−
1
1 , 1 1
Giải Cho
y
x
là vectơ bất kỳ trong R2 Do
y
x
= x
0
1
+ y
1
0
và
y
x
= x
0
1
+ y
1
0 + 0
7 4 nên mỗi tập vectơ trong (a) và (b) đều là một tập sinh của R2
Vì phương trình x
1
1
−
− 1
1 =
2
1
vô nghiệm, nên
2
1 không phải là tổ hợp tuyến tính
của
1
1
−
−
1
1
Suy ra
−
−
1
1 , 1
1
, không phải là tập sinh của R2
Ví dụ 3 Ký hiệu e j là vectơ của Rn mà có thành phần thứ j bằng 1 còn những thành phần khác
bằng 0 Do [e1 e2 e n ] = I và phương trình Ix = b có nghiệm x = b với mọi b∈R n nên {e1, , e n} là một tập sinh của Rn
Ví dụ 4 {1, x, x2, , x n} là một tập sinh của không gian Pn (xem 4.2 Ví dụ 6)
Ví dụ 5 Tập gồm tất cả các ma trận trong M(m×n, R) (xem 4.1 Ví dụ) mà có một phần tử bằng
1, những phần tử còn lại bằng 0, là một tập sinh của không gian M(m×n, R) Chẳng hạn như với
mỗi (a ij) ∈ M(2×2, R), ta có
22 21
12 11
a a
a a
0 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0
22
1 0
0
Vì vậy,
1 0
0 0 , 0 1
0 0 , 0 0
1 0 , 0 0
0 1
là một tập sinh của M(2×2, R)
Nhận xét
1) Một không gian vectơ có thể có nhiều tập sinh
2) Tập tất cả các vectơ cột của A là một tập sinh của R m khi và chỉ khi hệ m phương trình, n ẩn Ax =
b có nghiệm với mọi b∈R m Do đó, theo Hệ quả 4.3.4, tập tất cả các vectơ cột của A là một tập sinh
của Rm khi và chỉ khi r(A) = m
Sự độc lập tuyến tính
Trong Ví dụ 2 ta thấy mỗi tập vectơ ở (a) và (b) đều là tập sinh của R2, nhưng tập vectơ ở (a) là một tập con thực sự của tập vectơ ở (b), nên một vectơ trong tập ở (b) là thừa Vì vậy, một câu hỏi tự
nhiên được đặt ra: khi nào một tập sinh của không gian vectơ V không thừa một vectơ nào (tức là
Trang 3nếu bỏ đi bất cứ một vectơ nào của tập sinh này thì được tập vectơ mới không phải là tập sinh của
V) Ta sẽ có câu trả lời với khái niệm độc lập tuyến tính
Định nghĩa
1) Ta nói các vectơ v1, v2, ,v n của không gian vectơ V độc lập tuyến tính, nếu x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ +
x n v n = 0 kéo theo x1 = x2 = = x n = 0
2) Ta nói các vectơ v1, v2, ,v n của không gian vectơ V phụ thuộc tuyến tính, nếu chúng không độc lập tuyến tính Điều này có nghĩa là tồn tại ít nhất một vô hướng x j khác không sao cho x1v1 +
x2v2 + ⋅⋅⋅ + x n v n = 0
Ví dụ 6 Các vectơ
v1=
3 2
1
, v2=
10 8
2
, v3=
13 10 3
phụ thuộc tuyến tính vì
1.v1 + 1.v2 + (-1)v3 = 0
Giả sử
x1v1 + x2v2 = 0,
Khi ấy ta có hệ thuần nhất
x1 + 2x2 = 0
2x1 + 8x2 = 0
3x1 + 10x2 = 0
Hệ này có nghiệm duy nhất là x1 = x2 = 0, nên v1, v2 độc lập tuyến tính
Ví dụ 7 Để kiểm tra xem các vectơ trong Pn (n ≥ 2)
p1(x) = x2 - 2x + 3 p2(x) = 2x2 + x + 8 p3(x) = x2 + 8x + 7
có độc lập tuyến tính hay không, ta xét
c1p1(x) + c2p2(x) + c3p3(x) = 0x2 + 0x + 0 Nhóm các số hạng theo lũy thừa của x, ta có
(c1 + 2c2 + c3)x2 + (-2c1 + c2 + 8c3)x + (3c1 + 8c2 + 7c3) = 0x2 + 0x + 0
Khi so sánh các hệ số ta có hệ phương trình
c1 + 2c2 + c3 = 0
-2c1 + c2 + 8c3 = 0
3c1 + 8c2 + 7c3 = 0
Trang 4Ma trận hệ số của hệ này có hạng nhỏ hơn 3, nên hệ này có nghiệm không tầm thường (Định lý
4.4.1) Do đó p1(x), p2(x), p3(x) phụ thuộc tuyến tính
Bằng cách tương tự ta chứng minh được trong Pn (n > 0) các vectơ 1, x, , x m (m ≤ n) độc lập
tuyến tính
Ví dụ 8 Trong M(2×2, R), các vectơ
0 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 0 độc lập tuyến tính, vì
a11
0 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0
22
1 0
0
0 0
0 0 , hay
22 21
12 11
a a
a a
0 0
0 0 ,
kéo theo a11 =a12 = a21 = a22 = 0
Ý nghĩa của khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Nếu {v1, v2, , v n } là tập sinh của không gian V và v1, v2, , v n phụ thuộc tuyến tính thì ta có
thể loại đi một vectơ nào đó của {v1, v2, , v n} để tập các vectơ còn lại vẫn là tập sinh của V (Từ
đây suy ra: nếu {v1, v2, , v n } là tập sinh của không gian V và v1, v2, , v n độc lập tuyến tính thì tập sinh này không thừa một vectơ nào)
Thật vậy, nếu v1, v2, , v n phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất một vô hướng x j khác không
sao cho x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + x n v n = 0 Chẳng hạn x n ≠ 0, thì v n =
n x
x1
n x
x2
− v2 - ⋅⋅⋅
n
n x
x −1
− v n-1 Vì {v1,
v2, , v n } là tập sinh của không gian V nên với mỗi u∈V, tồn tại các vô hướng c1, , c n - 1 , c n sao
cho u = c1v1 + ⋅⋅⋅ + c n-1 v n-1 + c n v n = c1v1 + ⋅⋅⋅ + c n-1 v n-1 + c n(
n x
x1
− v1 - ⋅⋅⋅
n
n x
x−1
− v n-1 ) = (c1
n x
x1
− )v1 + ⋅⋅⋅
+ (c n-1
n
n
x
x −1
− )v n-1 Suy ra, {v1, v2, , v n-1}cũng là tập sinh của không gian V
Minh họa hình học
Nếu v1, v2 là hai vectơ hình học cùng phương thì chúng phụ thuộc tuyến tính, bởi vì tồn tại vô
hướng x sao cho v1 = xv2 hoặc v2 = xv1 kéo theo (-1).v1 + xv2 = 0 hoặc xv1 + (-1)v2 = 0
Trang 5Ngược lại, nếu v1, v2 là hai vectơ hình học không cùng phương thì chúng độc lập tuyến tính,
bởi vì nếu x1v1 + x2v2 = 0 mà x1 ≠ 0 hoặc x2 ≠ 0 sẽ kéo theo v1 =
1
2
x
x
− v2 hoặc v2 =
2
1
x
x
− v1, nên v1,
v2 cùng phương, trái với giả thiết
(a) v1, v2 phụ thuộc tuyến tính (b) v1, v2 độc lập tuyến tính
Nếu v1, v2 , v3 là ba vectơ hình học đồng phẳng thì chúng phụ thuộc tuyến tính Thật vậy, nếu
v1và v2 cùng phương thì tồn tại vô hướng x sao cho v1 = xv2 hoặc v2 = xv1 kéo theo (-1).v1 + xv2 + 0v3
= 0 hoặc xv1 + (-1)v2 + 0v3 = 0 Suy ra ba vectơ này phụ thuộc tuyến tính Còn nếu v1và v2 không
cùng phương, thì do v3 nằm trong mặt phẳng chứa v1và v2 phải tồn tại x1 và x2 sao cho v3 = x1v1 +
x3v2 hay x1v1 + x3v2 + (-1)v3 = 0 Suy ra v1, v2 , v3 phụ thuộc tuyến tính
Ngược lại, nếu v1, v2 , v3 là ba vectơ hình học không đồng phẳng thì chúng độc lập tuyến tính,
bởi vì nếu chúng phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất một vô hướng x j khác không sao cho x1v1 +
x2v2 + x3v3 = 0 Chẳng hạn x3 ≠ 0 sẽ kéo theo v3 =
3
1
x
x
3
2
x
x
− v2 Suy ra v3 nằm trong mặt phẳng
chứa v1và v2, trái với giả thiết v1, v2 , v3 là ba vectơ hình học không đồng phẳng
(a) v1, v2 , v3 phụ thuộc tuyến tính (b) v1, v2 , v3 độc lập tuyến tính
Nhận xét
1) Ký hiệu A là ma trận có các vectơ cột là v1, ,v n , thì do x1v1 + ⋅⋅⋅ + x n v n = Ax với x = (x1, x2, ,
x n ), nên v1, ,v n độc lập tuyến tính khi và chỉ khi Ax = 0 có nghiệm duy nhất (tức là N(A) = {0}) 2) Một vectơ v độc lập tuyến tính khi và chỉ khi vectơ đó khác vectơ 0, do Định lý 4.1.1 5)
Trang 6Định lý 4.6.2 Các vectơ v1, ,v n của Rm độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hạng của ma trận
[v1, ,v n ] bằng n
Chứng minh Ký hiệu A = [v1, ,v n ] Xét hệ Ax = 0 Dãy v1, ,v n độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
Ax = 0 có nghiệm duy nhất Theo Định lý 4.4.1, điều này tương đương với hạng của A bằng n.☺
Bình luận Định lý này cung cấp cho ta một phương tiện hữu hiệu để kiểm tra sự độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính của dãy vectơ v1, ,v n trong Rm : Trước hết tính hạng của ma trận A
= [v1, ,v n ] Nếu r(A) = n thì dãy này độc lập tuyến tính Nếu r(A) ≠ n, thì dãy này phụ thuộc tuyến
tính
Ví dụ 9 Xác định các vectơ sau đây có phụ thuộc tuyến tính hay không
v1=
3 2
1
, v2=
10 8
2
, v3=
13 10
3
Giải
[v1, v2,v3] =
13 10 3
10 8 2
3 2 1
→
4 4 0
4 4 0
3 2 1
→
0 0 0
4 4 0
3 2 1
nên r[v1, v2,v3] = 2 < 3 Suy ra v1, v2, v3 phụ thuộc tuyến tính
Hệ quả 4.6.3 Nếu n > m thì mọi dãy gồm n vectơ trong R m phụ thuộc tuyến tính
Chứng minh Ký hiệu A = [v1, ,v n ] Với dãy vectơ v1, ,v n trong Rm thì A = [v1, ,v n] là ma
trận m×n nên r(A) ≤ min{m, n}= m < n (Xem Chú ý trong 4.3) Theo Định lý 2 suy ra v1, ,v n phụ thuộc tuyến tính ☺
Cơ sở của một không gian vectơ
Ở trên ta đã biết rằng một tập sinh của không gian V là không thừa một vectơ nào khi và chỉ khi nó độc lập tuyến tính Điều này là nền tảng cho định nghĩa sau đây
Định nghĩa Tập vectơ {v1, v2, , v n }được gọi là một cơ sở của không gian vectơ V nếu nó có hai
tính chất:
1 {v1, v2, , v n } là tập sinh của V
2. v1, v2, , v n độc lập tuyến tính.
Trang 7Ví dụ 10
1) {e1, e2, , e n }(các vectơ cột của ma trận I cỡ n×n) là một cơ sở của R n, được gọi là cơ sở chính tắc Nói riêng, {i j
, } là cơ sở chính tắc của R2, {i j k
, , } là cơ sở chính tắc của R3
2) {1, x, x2, , x n} là một cơ sở của không gian Pn, được gọi là cơ sở chính tắc
3) Tập gồm tất cả các ma trận trong M(m×n, R) mà có một phần tử bằng 1, những phần tử còn lại bằng 0, là một cơ sở của không gian M(m×n, R), được gọi là cơ sở chính tắc
Chú ý Z = {0} không có cơ sở vì 0 phụ thuộc tuyến tính
Ứng dụng của cơ sở Nếu {v1, , v n } là cơ sở của không gian V, thì mỗi u ∈V được biểu diễn một cách duy nhất ở dạng tổ hợp tuyến tính của v1, ,v n Thật vậy, giả sử u = x1v1 + ⋅⋅⋅+ x n v n và u =
y1v1 + ⋅⋅⋅+ y n v n Trừ vế với vế, ta có 0 = (x1-y1)v1 + ⋅⋅⋅+ (x n - y n )v n Vì v1, ,v n độc lập nên x i - y i = 0
hay x i = y i (i = 1, , n)
Khẳng định này cho phép thay thế mỗi vectơ u ∈V bởi vectơ (x1, , x n)∈Rn (sao cho u =
x1v1 + ⋅⋅⋅+ x n v n) Trong Hình học sơ cấp cách làm này được gọi là Phương pháp tọa độ, cho phép phiên dịch một bài toán hình học sang một bài toán đại số mà có thể dễ giải quyết hơn
Số chiều của một không gian vectơ
Bổ đề 4.6.4 Nếu {v1, v2, , v n } là một tập sinh của không gian V, thì các vectơ bất kỳ w1, w2, ,
w m của V, trong đó m > n, là phụ thuộc tuyến tính
Chứng minh {v1, v2, , v n} là tập sinh của V nên w j là một tổ hợp tuyến tính của chúng:
w j = a 1j v1+⋅⋅⋅+a nj v n (j = 1, , m)
Ký hiệu A là ma trận n×m có phần tử hàng i cột thứ j là a ij Hệ Ax = 0 có số phương trình nhỏ hơn
số ẩn nên theo Định lý 4.4.1 nó có nghiệm không tầm thường (x1, , x m)
∑
=
m
j j x
1
w j = ∑
=
m
j j x
1
(∑
=
n
i ij a
1
v i) = ∑ ∑
= =
m
j n
i j
a
1 1
= =
n
i m
j j
a
1 1
=
m
0 v i = 0
Theo định nghĩa, w1, w2, , w m phụ thuộc tuyến tính ☺
Định lý 4.6.5 Nếu {v1, , v n } và {w1, w2, , w m } là hai cơ sở của không gian V thì m = n
Chứng minh
Trang 8Nếu n < m, thì do v1, ,v n là tập sinh của V, nên w1, w2, , w m phụ thuộc tuyến tính (Bổ đề), mâu thuẫn
Nếu m < n, ta tráo đổi vai trò của hai cơ sở và lập luận tương tự cũng dẫn đến mâu thuẫn
Do đó n = m ☺
Định lý này cho thấy số vectơ cơ sở chỉ phụ thuộc vào không gian vectơ mà không phụ thuộc vào một cơ sở cụ thể Do đó định nghĩa sau đây là hợp lý
Định nghĩa Cho V là một không gian vectơ Nếu V có một cơ sở gồm n vectơ, ta nói rằng V có số chiều bằng n Quy ước không gian Z = {0}có số chiều bằng 0
Ví dụ 11 Số chiều của Rn bằng n Số chiều của không gian P n bằng n + 1 Số chiều của M(m×n, R)
bằng m×n
Ý nghĩa của số chiều
1) Ta thừa nhận khẳng định: Nếu W1, W2 là hai không gian con của không gian V và W1⊂W2, thì
chiều của W1 ≤ chiều của W2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi W1=W2
Như vậy, số chiều là một chỉ số đo "độ lớn" của một không gian con
2) Ta thừa nhận khẳng định: Nếu không gian V có số chiều bằng n, thì V có nhiều nhất là n vectơ
độc lập tuyến tính và V được sinh ít nhất bởi n vectơ
Như vậy số chiều là "chặn trên" cho số vectơ độc lập tuyến tính và là "chặn dưới " cho số vectơ của một tập sinh của không gian
Định lý 4.6.6 Nếu V là một không gian vectơ có số chiều n > 0, thì một tập con gồm n vectơ bất
kỳ của V là cơ sở của V khi và chỉ khi các vectơ của tập con này độc lập tuyến tính
Chứng minh Theo định nghĩa, một cơ sở của V thì phải độc lập tuyến tính
Ngược lại, giả sử v1, ,v n là các vectơ trong V và độc lập tuyến tính Với vectơ v bất kỳ của
V thì {v1, ,v n , v} có số vectơ là n + 1, trong khi một cơ sở nào đó của V có số vectơ bằng n Do đó
v1, ,v n , v phụ thuộc tuyến tính (theo Bổ đề), tức là tồn tại các vô hướng x1, , x n , x n+1 không đồng thời bằng 0 sao cho
x1v1 + ⋅⋅⋅ + x n v n + x n+1 v = 0
Nếu x n+1 = 0, thì x1v1 + ⋅⋅⋅ + x n v n = 0 Từ v1, ,v n độc lập tuyến tính suy ra x1= = x n = 0, vô lý Do
đó xn+1 ≠ 0 và ta có
v = c1v1 + ⋅⋅⋅ + c n v n
Trang 9với ci = -x i /x n+1 Suy ra {v1, ,v n } là tập sinh của V Mặt khác, v1, ,v n độc lập tuyến tính, nên nó
là một cơ sở của V ☺
Hệ quả 4.6.7 Tập vectơ {v1, , v n} là cơ sở của Rn khi và chỉ khi r([v1, ,v n ]) = n (hay
det[v1, ,v n] ≠ 0)
Chứng minh Rn có số chiều bằng n (Ví dụ 11), nên {v1, , v n} là cơ sở của Rn khi và chỉ khi
v1, , v n độc lập tuyến tính Nhưng theo Định lý 4.6.2 v1, , v n độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
r ([v1, ,v n ]) = n ☺
Ví dụ 12
5
2 , 2
1
là cơ sở của R2 do
5 2
2 1 ≠ 0
4.7 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA BỐN KHÔNG GIAN CON CHỦ YẾU
LIÊN QUAN ĐẾN MỘT MA TRẬN
Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 1)
Cho A là ma trận m×n có hạng bằng r Khi đó ta có:
Số chiều của C(A), C(AT) cùng bằng r
Số chiều của N(A) bằng n - r
Số chiều của N(AT) bằng m - r
Chứng minh Các vectơ cột c1, , c n của A sinh ra C(A) Ký hiệu v1, , v r là những cột trụ của A
Do r[v1, , v r ] = r, nên v1, , v r độc lập tuyến tính (Định lý 4.6.2)
Nếu r = n, thì {v1, , v r }= {c1, , c n }, nên theo định nghĩa {v1, , v r } là một cơ sở của C(A)
và số chiều của C(A) bằng n Trong trường hợp này N(A) = {0}(Định lý 4.4.1), nên số chiều của N(A) bằng 0 = n - n
Nếu r < n, thì do Định lý 4.6.2 c1, , c n phụ thuộc tuyến tính, nên ta có thể loại đi tất cả
những vectơ thuộc {c1, , c n }\{v1, , v r } mà vẫn đảm bảo tập còn lại {v1, , v r}là tập sinh của
C(A) (Xem Ý nghĩa của khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính) Như vậy {v1, ,
v r }là một cơ sở của C(A) và số chiều của C(A) bằng r Trong trường hợp này N(A) có tập sinh gồm các nghiệm đặc biệt s1, , s n-r của Ax = 0 (Định lý 4.4.1) Nếu t1s1+ ⋅⋅⋅ + t n-r s n-r = 0 , thì do t1, , t n-r
là giá trị của biến tự do xuất hiện trong một số thành phần của vectơ ở vế trái nên t1 = ⋅⋅⋅ = t = 0,
Trang 10hay s1, , s n-r độc lập tuyến tính Vì vậy, {s1, , s n-r } là một cơ sở của N(A) và số chiều của N(A)
bằng n - r
Vì AT có cỡ n×m, r(AT) = r(A) = r và những hàng trụ của A chính là những cột trụ của AT, nên
tương tự như chứng minh trên ta có tập những hàng trụ của A là một cơ sở của C(AT), số chiều của
C(AT) bằng r, N(AT) có một cơ sở gồm các nghiệm đặc biệt của ATy = 0, số chiều của N(AT) bằng
m - r ☺
Chứng minh của định lý này cũng cho ta cách tìm những cơ sở của 4 không gian con chủ yếu của một ma trận
Ví dụ 13 Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến
A =
25 0 15 5
16 1 6 2
5 0 3 1
Giải
A =
25 0 15 5
16 1 6 2
5 0 3 1
→ U =
0 0 0 0
6 1 0 0
5 0 3 1
nên A có các cột trụ là cột 1 và cột 3, A có các hàng trụ là hàng 1 và hàng 2, còn r(A) = 2
C(A) có: Cơ sở là (1, 2, 5) và (0, 1, 0) (hai cột trụ) Số chiều là 2
C(AT) có: Cơ sở là (1, 3, 0, 5) và (2, 6, 1, 16) (hai hàng trụ) Số chiều là 2
N(A) có: Cơ sở là (-3, 1, 0, 0) và (-5, 0, -6, 1) (hai nghiệm đặc biệt của Ax = 0) Số chiều là 2 N(AT) có: Cơ sở là (-5, 0, 1) (nghiệm đặc biệt của ATy = 0) Số chiều là 1
NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN 6
1. Tập sinh của một không gian vectơ
2. Khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Phương pháp kiểm tra sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của một dãy vectơ trong Rn
3. Cơ sở và số chiều của một không gian vectơ
4. Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 1) về chiều của bốn không gian con chủ yếu liên quan đến một ma trận