Đề thi giải tích a1

GIẢI TÍCH A1 2007 – 2008 Câu 1: Cho 𝐴 𝐵 tập khác trống (−∞; 0) Giả sử với 𝑥 𝐴 có 𝑦 𝐵 cho 𝑥 ≤ 𝑦 Hỏi sup 𝐴 ≤ sup 𝐵 hay sai? Câu 2: Cho {𝑥𝑛 } {𝑦𝑛 } hai dãy hội tụ 𝑎 ℝ Đặt 𝑐2𝑘 = 𝑥2𝑘 𝑐2𝑘+1 = 𝑦2𝑘+1 với số nguyên dương 𝑘 Hỏi {𝑐𝑛 } có dãy hội tụ ℝ hay không? Câu 3: Đặt 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 < 5} Hỏi 𝐴 có bị chặn ℝ hay không, đặt 𝑏 = sup 𝐴, 𝑏 có √5 hay khơng? Câu 4: Cho 𝑎 số thực {𝑥𝑛 } dãy ℝ Giả sử lim⁡inf 𝑦𝑛 số thực 𝑏 𝑛→∞ Đặt 𝑐𝑛 = 𝑎 + 𝑥𝑛 Tính lim⁡inf 𝑐𝑛 𝑛→∞ Câu 5: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi ℝ cho 𝑓 ′ (0) > Hỏi có số thực dương 𝑎 cho 𝑓|[−𝑎;𝑎] hàm số đơn điệu tăng hay không? Câu 6: Cho 𝑓 𝑔 hai hàm số thực liên tục ℝ Giả sử 𝑓 (0) = 𝑔(0) 𝑥 𝑥 ∫ 𝑓(𝑡 )𝑑𝑡 = ∫ 𝑔(𝑡 )𝑑 (𝑡 ) , 0 Hỏi 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) với 𝑥 (1; ∞) hay sai? ∀𝑥 ∈ (1; ∞) GIẢI TÍCH A1 2008 – 2009 Câu 1: Cho 𝐴; 𝐵; 𝐶 𝐷 tập tập 𝑋 Giả sử 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐶 ∩ 𝐷 = ∅ Hỏi (𝐴 ∪ 𝐶 ) ∩ (𝐵 ∪ 𝐷) = ∅ hay sai? Câu 2: Cho 𝐴 tập tập 𝑋 𝑏 phần tử 𝑋\𝐴 Giả sử 𝐴 có 𝑛 phần tử (𝑛 ≥ 1) Hỏi tập 𝐴 ∪ {𝑏 } có 𝑛 + phần tử hay sai? Câu 3: Cho 𝑓 ánh xạ từ tập 𝑋 vào tập 𝑌 Cho 𝐶 𝐷 hai tập 𝑌 Hỏi 𝑓 −1 (𝐶\𝐷) = 𝑓 −1 (𝐶 )\𝑓 −1 (𝐷) hay sai? Câu 4: Cho 𝐴 𝐵 hai tập hợp khác trống Giả sử 𝐴 có 𝑚 𝐵 có 𝑛 phần tử 𝑚 < 𝑛 Hỏi có tồn ánh 𝑓 từ 𝐴 vào 𝐵 hay khơng? Câu 5: Cho 𝐴 𝐵 hai tập bị chặn ℝ cho 𝐴 ∩ 𝐵 khác trống Hỏi inf 𝐴 ≤ sup 𝐵 hay sai? Câu 6: Phủ định mệnh đề: Với số thực 𝑀 có số nguyên 𝑁 cho 𝑥𝑛 ≥ 𝑀 với 𝑛 > 𝑁 Câu 7: Cho 𝑎1 ;⁡𝑎2 ;⁡… ;⁡𝑎𝑛 𝑛 số thực Hỏi ta có bất đẳng thức sau hay không |𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 | ≤ |𝑎1 | + |𝑎2 | + ⋯ + |𝑎𝑛 | Câu 8: Cho 𝑎1 ;⁡𝑎2 ;⁡⋯ ;⁡𝑎𝑛 𝑛 số thực Hỏi tập {𝑎1 ; 𝑎2 ; ⋯ ; 𝑎𝑛 } có bị chặn ℝ hay không? Câu 9: Cho 𝐴1 ;⁡𝐴2 ;⁡⋯ ;⁡𝐴𝑛 𝑛 tập hợp bị chặn ℝ Hỏi tập đẳng thức sau hay sai inf 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 = inf{inf 𝐴1 ;⁡inf 𝐴2 ;⁡⋯ ;⁡inf 𝐴𝑛 } Câu 10: Cho 𝐴 tập hợp bị chặn ℝ Giả sử 𝐴 chứa khoảng mở (inf 𝐴 ; sup 𝐴) Hỏi 𝐴 có khoảng hay khơng? GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2008 – 2009 Câu 1: Cho dãy số thực {𝑥𝑛 } cho lim⁡inf 𝑥𝑛 số thực 𝑎 Đặt 𝐴 = {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ ℕ} Hỏi 𝑛→∞ 𝑎 = inf 𝐴 hay sai? Câu 2: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục khoảng mở (𝑎; 𝑏) Hỏi tập 𝑓((𝑎; 𝑏)) khoảng mở hay sai? Câu 3: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi khoảng mở (𝑎; 𝑏) Giả sử có 𝑥; 𝑦 𝑧 (𝑎; 𝑏 ) cho 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 𝑓(𝑦) < min{𝑓(𝑥); 𝑓(𝑧)} Hỏi có 𝑐 (𝑎; 𝑏 ) cho 𝑓 ′ (𝑐) = hay sai? Câu 4: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục khoảng mở (𝑎; 𝑏) Giả sử 𝑑 ∫ 𝑓(𝑡 )𝑑𝑡 ≤ 0, ∀𝑐; 𝑑 ∈ (𝑎; 𝑏 ), 𝑐 𝑁 𝑛𝜋 Câu 4: Cho 𝑥𝑛 = sin Tính lim⁡sup 𝑥𝑛 𝑛→∞ Câu 5: Cho 𝐴 tập bị chặn ℝ Giả sử với dãy {𝑥𝑛 } 𝐴, {𝑥𝑛 } có dãy {𝑥𝑛 } hội tụ Hỏi 𝐴 có bị chặn hay không? Câu 6: Cho 𝐵 tập khác trống bị chặn ℝ Hỏi có dãy {𝑦𝑚 } 𝐵 cho lim 𝑦𝑚 = inf 𝐵 hay không? 𝑚→∞ Câu 7: Cho 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + cos 𝑥 + sin 6𝑥 với số thực 𝑥 Hỏi phương trình 𝑓 (𝑥) = 2009 có nghiệm hay khơng GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2009 – 2010 Câu 1: Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực cho dãy {𝑥𝑛2009 } hội tụ Hỏi dãy {𝑥𝑛 } có hội tụ hay không? Câu 2: Hỏi bất đẳng thức sau hay sai? 1 < ∫ cos(𝑥 ) 𝑑𝑥 Câu 3: Phủ định mệnh đề sau: Với số thực dương 𝜀, có số nguyên dương 𝑁 cho |𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑚 (𝑥)| < 𝜀, ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∀𝑛 > 𝑚 > 𝑁 Câu 4: Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực bị chặn, {𝑥𝑛𝑘 } dãy hội tụ {𝑥𝑛 } Hỏi bất đẳng thức sau hay sai? lim 𝑥𝑛𝑘 ≤ lim⁡sup 𝑥𝑛 ℎ→∞ 𝑛→∞ Câu 5: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi khoảng (0; 12) Giả sử 𝑓(4) < 𝑓 (6) 𝑓(8) < 𝑓 (6) Hỏi phương trình 𝑓 ′ (𝑡 ) = có giải khoảng (0; 12) hay không? Câu 6: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi khoảng mở (𝑐; 𝑑) Cho [𝑎; 𝑏] khoảng đóng chứa (𝑐; 𝑑 ) Hỏi 𝑓 ([𝑎; 𝑏 ]) có bị chặn hay không? Câu 7: Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực Hỏi “{𝑥𝑛 } hội tụ” có tương đương với “{|𝑥𝑛 |} hội tụ” hay khơng? GIẢI TÍCH A1 2010 – 2011 Câu 1: Cho 𝑎1 ; ⋯ ; 𝑎𝑛 𝑛 số thực Hỏi có hay khơng số nguyên 𝑖 {1; ⋯ ; 𝑛} cho: 𝑎𝑘 ≤ 𝑎𝑖 , ∀𝑘 ∈ {1; ⋯ ; 𝑛} Câu 2: Cho 𝑓 ánh xã từ tập hợp 𝑋 vào tập hợp 𝑌 Giả sử 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓 (𝐵) = ∅ với tập 𝐴 𝐵 𝑋 có tính chất 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ Hỏi 𝑓 có đơn ánh hay không? Câu 3: Phủ định mệnh đề sau: Với số thực dương 𝜀, có số nguyên dương 𝑁 cho: |𝑥𝑛 − 𝑎| < 𝜀, ∀𝑛 > 𝑁 Câu 4: Cho số thực 𝑎, cho {𝑥𝑛 } dãy số thực hội tụ Đặt 𝑦𝑛 = 𝑎 + 𝑥𝑛 Hỏi {𝑦𝑛 } có hội tụ hay khơng? Câu 5: Cho 𝐴 tập khác rỗng ℝ Giả sử 𝐵 bị chặn 𝐵 tập khác rỗng hữu hạn chứa 𝐴 Hỏi 𝐴 có bị chặn hay không? Câu 6: Cho 𝐵 tập khác rỗng bị chặn ℝ Đặt 𝐴 ≔ {𝑥𝑦⁡|⁡𝑥; 𝑦 ∈ 𝐵} Hỏi 𝐴 có bị chặn hay khơng? Câu 7: Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực Đặt 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛2 với số nguyên dương 𝑛 Hỏi hai mệnh đề sau có tương đương hay khơng? (i) (ii) {𝑥𝑛 } hội tụ {𝑦𝑛 } hội tụ GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2010 – 2011 Câu 1: Cho 𝑛 số nguyên ≥ 𝑓 (𝑥) = √𝑥 với 𝑥 (0; ⁡∞) Hỏi công thức sau hay sai: 𝑓 (𝑛) (𝑥) = (−1)𝑛+1 1 ⋅ ⋅ ⋯ (2𝑛 − 3)𝑥 𝑛−2 Câu 2: Tính giới hạn dãy số sau 3𝑛 lim (1 + ) 𝑛→∞ 𝑛 Câu 3: Trình bày tiếng Việt thí dụ có sách “Calculus: concepts and contexts” James Stewart thực tiễn ba toán 93, 95 97 (trong slides giảng) Câu 4: Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực bị chặn Hỏi khẳng định sau hay sai? lim⁡sup 𝑥𝑛 ⁡là số thực 𝑛→∞ Câu 5: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục ℝ Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực bị chặn Hỏi tập {𝑓 (𝑥𝑚 ) ∶ 𝑚 ∈ ℕ} có bị chặn hay khơng? Câu 6: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi khoảng mở (𝑐; ⁡𝑑) Cho [𝑎; ⁡𝑏] khoảng đóng chứa (𝑐; ⁡𝑑 ), 𝑡 [𝑎; ⁡𝑏 ] cho 𝑓(𝑡 ) = max 𝑓([𝑎; ⁡𝑏 ]) Hỏi 𝑓 ′ (𝑡 ) có hay không? 2010 Câu 7: Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực dương Giả sử chuỗi số ∑∞ hội tụ Hỏi chuỗi 𝑛=1 𝑥𝑛 2011 ∑∞ có hội tụ hay không? 𝑛=1 𝑥𝑛 Câu 8: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục khoảng đóng [𝑎; ⁡𝑏] Đặt 𝑥 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡 )𝑑𝑡 , ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏 ) 𝑎 Giả sử 𝐺 nghịch biến khoảng (𝑎; ⁡𝑏 ) Hỏi "𝑓(𝑠) ≤ với 𝑠 (𝑎; ⁡𝑏 )” hay sai? GIẢI TÍCH A1 2011 – 2012 Câu 1: Cho 𝐴1 ;⁡⋯ ;⁡𝐴𝑛 ;⁡𝐵1 ;⁡⋯ ;⁡𝐵𝑛 2𝑛 tập tập hợp 𝑋 Giả sử 𝐴𝑖 ⊂ 𝐵𝑖 với 𝑖 = 1;⁡⋯ ; ⁡𝑛 Hỏi kết luận sau hay sai? 𝑛 𝑛 ⋃ 𝐴𝑖 ⊂ ⋃ 𝐵𝑖 𝑖=1 𝑖=1 Câu 2: Cho 𝐴 ≔ {𝑦 ∈ (0; ∞)⁡|⁡𝑦 < 5} Hỏi 𝐴 có bị chặn hay không? (lưu ý, ta chưa 𝟑 chứng minh tồn √𝟓) Câu 3: Cho {𝑥1;𝑛 };⁡{𝑥2;𝑛 };⁡⋯ ;⁡{𝑥𝑘;𝑛 } 𝑘 dãy số thực hội tụ 𝑎1 ;⁡𝑎2 ;⁡⋯ ;⁡𝑎𝑘 Hỏi kết luận sau hay sai? lim (𝑥1;⁡𝑛 𝑥2;⁡𝑛 ⋯ 𝑥𝑘;⁡𝑛 ) = 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑘 𝑛→∞ Câu 4: Cho dãy số thực {𝑥𝑛 }, hai số thực 𝑎 𝑏 Giả sử {𝑥𝑛 } hội tụ 𝑎 𝑏 Hỏi 𝑎 có 𝑏 hay không? Câu 5: Cho dãy số thực {𝑥𝑛 }, {𝑥𝑛𝑘 } dãy {𝑥𝑛 }, {𝑥𝑛𝑘𝑙 } dãy {𝑥𝑛𝑘 } Hỏi {𝑥𝑛𝑘 } có dãy {𝑥𝑛 } hay không? 𝑙 Câu 6: Đặt 𝐴 ≔ {𝑦 ∈ (0; ∞)⁡|⁡𝑦 < 5} 𝐵 ≔ {𝑧 ∈ (0; ∞)⁡|⁡𝑧 > 5} Hỏi “sup(𝐴) ≤ inf(𝐵)” hay sai? GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2011 – 2012 Câu 1: Cho 𝐴 tập khác trống ℝ, 𝑓 𝑔 hai hàm số liên tục 𝐴 Giả sử 𝑓(𝐴) 𝑔(𝐴) bị chặn ℝ Hỏi 𝑓 ⋅ 𝑔 có liên tục 𝐴 hay không? Câu 2: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi khoảng mở (𝑎; 𝑏) Giả sử 𝑓 ′ (𝑠) ≠ với 𝑠 (𝑎; 𝑏 ) Hỏi 𝑓 có đơn ánh (𝑎; 𝑏 ) hay không? Câu 3: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi khoảng mở (𝑎; 𝑏), 𝑐 (𝑎; 𝑏) Già sử 𝑓 ′ (𝑐) = Hỏi 𝑓 (𝑐) có cực tiểu cực đãi 𝑓((𝑎; 𝑏 )) hay không? −1 Câu 4: Đặt 𝑥𝑛 − (𝑛3 + 1)𝑛 Hỏi {𝑥𝑛 } có hội tụ hay không? Câu 5: Với số nguyên 𝑛, cho hàm số 𝑓𝑛 liên tục [0; ⁡1] Giả sử 𝑓𝑚 (𝑥) ≤ 𝑓𝑚=1 (𝑥) ≤ 2012, ∀𝑥 ∈ [0; ⁡1], 𝑚∈ℕ Câu 6: Cho 𝐴 tập khác trống ℝ, 𝑎 𝐴∗ ∩ 𝐴, 𝑓 hàm số thực 𝐴 Cho {𝑥𝑛 } dãy 𝐴 cho 𝑥𝑛 hội tụ 𝑎 𝑎 < 𝑥𝑛 với số nguyên 𝑛 Giả sử giới hạn bên phải 𝑎 𝑓 𝑓(𝑎) Hỏi kết luận hai kết luận sau đúng: (i) (ii) {𝑓 (𝑥𝑛 )} có giới hạn 𝑓(𝑎) 𝑓 liên tục 𝑎 Câu 7: Cho {𝑥𝑛𝑘 } dãy dãy số thực {𝑥𝑛 } Giả sử {𝑥𝑛𝑘 } hội tụ 𝑎, 𝑏 = lim⁡inf 𝑥𝑛 số thực Hỏi kết luận sau hay sai: 𝑏 ≤ 𝑎 n→∞ GIẢI TÍCH A1 2012 – 2013 Câu 1: Cho 𝑓 song ánh từ tập hợp 𝐴 vào tập hợp 𝐵 Cho 𝑔 ánh xạ ngược 𝑓 Hỏi 𝑔 có ánh xạ tồn ánh hay khơng? Câu 2: Cho 𝑓 ánh xạ từ tập hợp 𝐴 vào tập hợp 𝐵 Hỏi mệnh đề sau có tương đương với hay không? (a) Giả sử 𝑓 (𝐷) ∩ 𝑓 (𝐸 ) = ∅ với tập 𝐷 𝐸 𝐴 𝐷 ∩ 𝐸 = ∅ (b) 𝑓 đơn ánh Câu 3: Cho 𝐴 tập khác rỗng ℝ, 𝑓 ánh xạ từ 𝐴 vào 𝐴 Giả sử có số thực dương 𝐶 cho: |𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)| ≤ 𝐶 |𝑥 − 𝑦|, ∀𝑥; 𝑦 ∈ 𝐴 Đặt: 𝑓𝑛 ≔ 𝑓 ⏟∘ ⁡ ⋯ ∘ ⁡𝑓 ⁡ (𝑛⁡lần) Hỏi điều sau hay sai? |𝑓 𝑛 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑦)| ≤ 𝐶 𝑛 |𝑥 − 𝑦|, ∀𝑥; ⁡𝑦 ∈ 𝐴, ∀𝑛 ∈ ℕ Câu 4: Cho {𝑥𝑛𝑘 } {𝑥𝑚𝑘 } hai dãy dãy số thực {𝑥𝑛 } Đặt 𝑙𝑘 ≔ 𝑛𝑘 + 𝑚𝑘 với số nguyên dương 𝑘 Hỏi {𝑥𝑙𝑘 } có dãy dãy số thực {𝑥𝑛 } hay không? Câu 5: Cho 𝐴 tập khác rỗng bị chặn ℝ Cho 𝛼 chặn 𝐴 Giả sử có dãy số {𝑥𝑛 } hội tụ 𝛼 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 với số nguyên 𝑛 Hỏi 𝛼 có sup(𝐴) hay khơng? Câu 6: Phủ định mệnh đề sau: “∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ⁡sao cho⁡|𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓 (𝑥)| < 𝜀, ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∀𝑛 ≥ 𝑁” Câu 7: Cho hai dãy số thực {𝑥𝑛 } {𝑦𝑛 } hội tụ 𝑎 𝑏 Giả sử 𝑥𝑛 < 𝑦𝑛 với số nguyên dương 𝑛 Hỏi 𝑎 < 𝑏 hay sai? GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2012 – 2013 Câu 1: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi khoảng mở (1; ⁡6) Giả sử 𝑓 (2) < 𝑓(5) Hỏi có 𝑐 khoảng (1; ⁡6) cho 𝑓 ′ (𝑐) ≠ hay không? Câu 2: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi khoảng mở (𝑎; 𝑏), 𝑐 (𝑎; 𝑏) Giả sử 𝑓 ′ (𝑐) ≠ Hỏi có khoảng (𝛼; 𝛽) cho 𝑐 ∈ (𝛼; ⁡𝛽) ⊂ (𝑎; 𝑏 ) 𝑓 (𝑐) ≠ 𝑓(𝑥) với 𝑥 (𝛼; 𝛽)\{𝑐} hay không? Câu 3: Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực Giả sử 𝑥𝑛 khoảng [2012; ⁡2013] với số nguyên dương 𝑛 Hỏi lim⁡sup 𝑥𝑛 có số thực hay không 𝑛→∞ Câu 4: Cho 𝐴 tập khác trống ℝ, 𝑓 hàm số thực 𝐴, 𝐵 tập 𝐴 Giả sử: (i) (ii) Với 𝑥 𝐴, có dãy {𝑥𝑛 } cho 𝑥𝑛 thuộc 𝐵 với số nguyên dương 𝑛 {𝑥𝑛 } hội tụ 𝑥 𝑓 (𝑧) = với 𝑧 𝐵 Hỏi 𝑓(𝑥) có với 𝑥 𝐴 hay không? Câu 5: Cho 𝑓 𝑔 hai hàm số thực liên tục ℝ Đặt 𝑢 hàm hợp nối 𝑔 ∘ 𝑓 𝑓 𝑔 Hỏi 𝑢 có liên tục ℝ hay không? Câu 6: Cho 𝐴 tập khác trống ℝ, 𝑏 điểm ℝ Hỏi hai điều sau có tương đương hay khơng? (i) (ii) Có dãy số thực {𝑥𝑛 } 𝐴\{𝑏 } cho {𝑥𝑛 } hội tụ 𝑏 𝑏 điểm tụ 𝐴 GIẢI TÍCH A1 2013 – 2014 Câu 1: Cho {𝑥𝑛 } dãy Cauchy ℝ, {𝑥𝑛𝑘 } dãy {𝑥𝑛 } Hỏi {𝑥𝑛𝑘 } có dãy Cauchy ℝ hay không? Câu 2: Cho 𝐴 tập khác rỗng ℝ, 𝑓 ánh xạ từ 𝐴 vào 𝐴 Giả sử 𝑓 toàn ánh Đặt: 𝑓𝑛 ≔ ⏟ 𝑓 ∘ ⁡ ⋯ ∘ ⁡𝑓 , ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛⁡lần) Hỏi 𝑓 𝑛 có tồn ánh với 𝑛 ℕ hay không? Câu 3: Cho {𝑥𝑛𝑘 } {𝑥𝑚𝑘 } hai dãy dãy số thực {𝑥𝑛 } Đặt⁡𝑙𝑘 ≔ 𝑛𝑘 ⋅ 𝑚𝑘 với số nguyên dương 𝑘 Hỏi {𝑥𝑙𝑘 } có dãy dãy số thực {𝑥𝑛 } hay không? Câu 4: Cho 𝐴 𝐵 hai tập khác rỗng bị chặn ℝ Giả sử sup(𝐴) ≤ sup(𝐵) Hỏi kết luận sau hay sai: 𝑥 ≤ 𝑦, ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∀𝑦 ∈ 𝐵 Câu 5: Phủ định mệnh đề sau: “∃𝜀 > 0, ∀𝑁 ∈ ℕ, ∃𝑛 ∈ ℕ⁡và⁡|𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≥ 𝜀” Câu 6: Cho 𝐴 𝐵 hay tập khác rỗng bị chặn ℝ Giả sử sup(𝐴) ≤ sup(𝐵) Đặt: 𝐸 ≔ {𝑥𝑦⁡|⁡𝑥 ∈ 𝐴; ⁡𝑦 ∈ 𝐵 } Hỏi 𝐸 có bị chặn ℝ hay khơng? Câu 7: Cho 𝑎 số thực Giả sử 𝑎 > 𝑐 với số thực dương 𝑐 Hỏi 𝑎 ≥ hay sai? GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2013 – 2014 Câu 1: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục khoảng đóng [1; ⁡3] Hỏi 𝑓([1; ⁡3]) có bị chặn hay khơng? Câu 2: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục khoảng đóng [0; ⁡1] {𝑥𝑛 } dãy số thực [0; ⁡1] Hỏi có dãy {𝑥𝑛𝑘 } {𝑥𝑛 } cho dãy {𝑓(𝑥𝑛𝐾 )} hội tụ hay không? Câu 3: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục ℝ Giả sử 𝑓(𝑥) = với số vô tỉ 𝑥 Hỏi 𝑓 (𝑡 ) có với số thực 𝑡 hay không? Câu 4: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục khoảng đóng [𝑎; ⁡𝑐] khả vi khoảng mở (𝑎; ⁡𝑐), 𝑐 (𝑎; 𝑏 ) Giả sử 𝑓(𝑎) = 2013 𝑓 ′ (𝑥) = với 𝑥 (𝑎; 𝑐) Hỏi 𝑓 (𝑡 ) = 2013 với 𝑡 (𝑎; 𝑐) hay không? Câu 5: Cho 𝑓 𝑔 hai hàm số thực liên tục khoảng đóng [0; ⁡1] Giả sử 1 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 0 Hỏi 𝑓(𝑡 ) ≤ 𝑔(𝑡 ) với 𝑡 [0; 1] hay sai? Câu 6: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục khoảng đóng [𝑎; ⁡𝑏] Giả sử 𝑓 (𝑡) ∈ [0; ⁡1] với 𝑡 [0; ⁡1] Hỏi 1 3( ∫ 𝑓 𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 hay sai? GIẢI TÍCH A1 2014 – 2015 Câu 1: Cho 𝑃𝑘 mệnh đề Tốn học, 𝑘 ∈ ℕ Giả sử 𝑃𝑘 𝑃𝑘+1 với 𝑘 ℕ Hỏi 𝑃𝑘 có với 𝑘 ℕ hay không? Câu 2: Cho 𝐴𝑘 𝐵𝑖 tập bị chặn ℝ, 𝑘 = 1;⁡⋯ ; ⁡𝐾 𝑖 ∈ ℕ Hỏi: 𝐾 ∞ ⋃ 𝐴𝑘 ⁡và⁡ ⋃ 𝐵𝑖 𝑖=1 𝑖=1 có bị chặn ℝ hay khơng? Câu 3: Hỏi √6 có số hữu tỷ hay khơng? Câu 4: Cho 𝐴 tập khác rỗng ℝ {𝑥𝑛 } dãy 𝐴 Cho 𝑓 ánh xạ từ 𝐴 vào ℝ Hỏi {𝑓(𝑥𝑛 )} có dãy số thực hay khơng? Câu 5: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục [0; ⁡1] cho 𝑔 hàm số thực liên tục [1; ⁡2] cho 𝑓(1) = 𝑔(1) Đặt: ℎ (𝑥 ) = { 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), nếu⁡0 ≤ 𝑥 ≤ nếu⁡1 ≤ 𝑥 ≤ Hỏi ℎ có liên tục hay khơng? Câu 6: Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực 𝑎 số thực Giả sử {𝑥𝑛 } không hội tụ 𝑎 Hỏi có hay khơng số 𝜀 dương dãy {𝑥𝑛𝑘 } {𝑥𝑛 } cho: |𝑥𝑛𝑘 − 𝑎| ≥ 𝜀, ∀𝑘 ∈ ℕ GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2014 – 2015 Câu 1: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi khoảng mở 𝐴 = (1; ⁡3) Hỏi khẳng định hay sai (a) Nếu 𝑓 ′ (𝐴) bị chặn 𝑓 liên tục (1; ⁡3) (b) Nếu 𝑓 liên tục (1; ⁡3) 𝑓 ′ (𝐴) bị chặn Câu 2: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục ℝ Hỏi có hay khơng số thực 𝑀 cho |𝑓(𝑥) − 𝑓 (0)| ≤ 𝑀|𝑥|, ∀𝑥 ∈ ℝ Câu 3: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi ℝ Giả sử 𝑓 ′ (𝑥) ≠ với 𝑥 ℝ Hỏi 𝑓 có đơn ánh hay không? Câu 4: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi ℝ Giả sử 𝑓(0) ≥ 𝑓 ′ (𝑥) ≥ với 𝑥 (0; ∞) Hỏi khẳng định sau hay sai: 𝑓(𝑥) ≥ với 𝑥 (0; ∞)? Câu 5: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục khoảng đóng [1; ⁡2] Giả sử 𝑓(𝑡) ≥ với 𝑡 [1; 2] Hỏi khẳng định hay sai? ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≥ Câu 6: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục khoảng đóng [3; ⁡4] Giả sử 𝑓(𝑡) ≠ với 𝑡 [3; ⁡4] Hỏi ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≠ hay sai? GIẢI TÍCH A1 2015 – 2016 Câu 1: Cho 𝑎1 ; ⋯ ; 𝑎𝑛 𝑏1 ; ⋯ ; 𝑏𝑛 2𝑛 số thực Giả sử 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 < 𝑏1 + ⋯ + 𝑏𝑛 Hỏi hay không 𝑗 {1;⁡⋯ ; ⁡𝑛} cho 𝑎𝑗 < 𝑏𝑗 ? Câu 2: Cho {𝑎𝑛 } {𝑏𝑛 } dãy hội tụ 𝑎 𝑏 ℝ Giả sử 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 với số nguyên 𝑛 Hỏi kết luận sau hay sai (i) (ii) 𝑎 ≤ 𝑏 𝑎 < 𝑏 Câu 3: Cho 𝑗 hàm số thực liên tục ℝ Đặt 𝑓 (𝑥 ) , 𝑔 (𝑥 ) = { 𝑓(0) + 1, khi⁡𝑥 ∈ ℝ\{0} khi⁡𝑥 = Hỏi 𝑔 có liên tục ℝ hay khơng? Câu 4: Có hay khơng hàm số thực đơn điệu tăng ℝ không liên tục? Câu 5: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục ℝ {𝑥𝑛 } dãy Cauchy ℝ Hỏi {𝑓 (𝑥𝑛 )} có dãy Cauchy ℝ? Câu 6: Cho {𝑎𝑛 } dãy số thực âm cho ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 hội tụ Hỏi kết luận sau hay sai (i) (ii) (iii) ∑∞ 𝑛=1|𝑎𝑛 | hội tụ lim |𝑎𝑛 | = 𝑛→∞ ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 hội tụ GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2015 – 2016 Câu 1: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục ℝ {𝑥𝑛 } dãy số thực Giả sử {𝑓 (𝑥𝑛 )} dãy hội tụ ℝ Hỏi {𝑥𝑛 } có dãy hội tụ ℝ hay không? Câu 2: Cho 𝑓 hàm số thực khoàng (−1; 1) Giả sử 𝑓 có giới hạn Hỏi lim 𝑓 (𝑥) có xác định hay không? 𝑥→0+ Câu 3: Cho 𝑓 𝑔 hai hàm số thực ℝ Giả sử 𝑔 ∘ 𝑓 khả vi ℝ Hỏi kết luận sau hay sai (i) (ii) 𝑓 khả vi ℝ 𝑔 khả vi ℝ Câu 4: Cho 𝑓 hàm số thực đơn điệu tăng ℝ Giả sử 𝑓 khả vi ℝ Hỏi kết luận sau hay sai: 𝑓 ′ (𝑥) ≥ với 𝑥 ∈ ℝ Câu 5: Cho 𝑓 hàm số thực đơn điệu tăng ℝ Giả sử 𝑓 liên tục ℝ Hỏi kết luận sau hay sai: 𝑛+1 𝑓 (𝑛) ≤ ∫ 𝑛 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑓 (𝑛 + 1), ∀𝑛 ∈ ℕ GIẢI TÍCH A1 2016 – 2017 Câu 1: Với số nguyên 𝑛, cho 𝐴𝑛 𝐵𝑛 tập khác trống cho 𝐴𝑛 ⊂ 𝐵𝑛 Hỏi ∞ ⋃∞ 𝑛=1⁡ 𝐴𝑛 ⊂ ⋃𝑛=1⁡ 𝐵𝑛 hay sai? Câu 2: Cho {𝑥𝑛 } dãy hội tụ ℝ Hỏi có hay khơng số ngun 𝑁 cho < 𝑥𝑛 với 𝑛 ≥ 𝑁? Câu 3: Cho 𝑘 ∈ {1;⁡⋯ ; ⁡𝑁} {𝑥𝑘;⁡𝑛 }𝑛 dãy hội tụ 𝑎𝑘 ℝ Đặt 𝑦𝑛 = 𝑥1;⁡𝑛 + ⋯ + 𝑥𝑁;⁡𝑛 𝑏 = 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑁 Hỏi {𝑦𝑛 } có hội tụ 𝑏 hay khơng? Câu 4: Cho 𝑎 số thực {𝑥𝑛 } dãy số thực Giả sử dãy {𝑥𝑛𝑚 } {𝑥𝑛 } có dãy {𝑥𝑛𝑚 } hội tụ 𝑎 Hỏi {𝑥𝑛 } có hội tụ 𝑎? 𝑘 Câu 5: Với số nguyên 𝑛, cho 𝑓𝑛 hàm số thực [0; ⁡1] Phủ định mệnh đề sau: “Với số thực dương 𝜀, có thực dương 𝛿 (𝜀 ) cho |𝑓𝑚 (𝑥) − 𝑓𝑚 (𝑦)| ≤ 𝜀 với số nguyên dương 𝑚, với 𝑥; ⁡𝑦 [0; ⁡1], |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 (𝜀 )” GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2016 – 2017 Câu 1: Cho {𝑥𝑛 } dãy số thực hội tục 𝑎 ℝ Giả sử 𝑎 ∉ 𝐵 = {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ 𝑁} Hỏi 𝑎 có điểm tụ 𝐵? Câu 2: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi (0; ⁡3) Hỏi 𝑓 có liên tục [1; ⁡2]? Câu 3: Cho 𝑓 𝑔 hai hàm số thực ℝ Giả sử 𝑓𝑔 khả vi ℝ Hỏi 𝑓 𝑔 khả vi hay không ℝ? Câu 4: Cho 𝑓 song ánh từ (𝑎; ⁡𝑏) vào (𝑐; ⁡𝑑 ) đơn điệu giảm (𝑎; ⁡𝑏) Đặt 𝑔 ánh xạ ngược 𝑓 Hỏi 𝑔 có đơn điệu giảm (𝑐; ⁡𝑑 )? Câu 5: Cho 𝑓 𝑔 hai hàm số thực liên tục [0; ⁡1] cho 1 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 0 Hỏi kết luận sau hay sai: 𝑓 (𝑡 ) ≤ 𝑔(𝑡 ) với 𝑡 ∈ [0; ⁡1]? GIẢI TÍCH A1 2017 – 2018 Câu 1: Cho 𝐴 tập khác trống Đặt 𝑃 mệnh đề “Với số dương 𝜀, có tập hữu hạn phần tử 𝐵 chứa 𝐴 cho 𝐴 chứa ⋃𝑥∈𝐵(𝑥 − 𝜀; ⁡𝑥 + 𝜀 )” Viết 𝑃 dạng phủ định 𝑃 Câu 2: Có hay khơng dãy số thực {𝑥𝑛 } có tính chất sau: (i) (ii) {𝑥𝑛 } dãy khơng hội tụ có dãy {𝑥𝑛𝑘 } {𝑥𝑛 } cho {𝑥𝑛𝑘 } hội tụ Câu 3: Cho 𝑐 ∈ (0; ⁡1) 𝑥𝑛 = 𝑐 𝑛 𝑛 với số nguyên 𝑛 Hỏi {𝑥𝑛 } có hội tụ số thực hay không? Câu 4: Cho 𝑎 < 𝑏; ⁡𝑐 < 𝑑; ⁡𝑒 ∈ (𝑎; ⁡𝑏) 𝑓 hàm số liên tục từ (𝑎; ⁡𝑏) vào (𝑐; ⁡𝑑 ) Hỏi có hay khơng số dương 𝜂 cho 𝑓([𝑒; ⁡𝑒 + 𝜂 ]) chứa (𝑐; ⁡𝑑 )? Câu 5: Cho 𝑎 < 𝑏; ⁡𝑐 < 𝑑, 𝑓 ánh xạ từ (𝑎; ⁡𝑏) vào (𝑐; ⁡𝑑 ) 𝑔 ánh xạ từ (𝑐; ⁡𝑑) vào ℝ Giả sử (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑎 𝑏 ) bị chặn Hỏi 𝑔(𝑐; ⁡𝑑 ) có bị chặn hay khơng? GIẢI TÍCH VI TÍCH PHÂN A1 2017 – 2018 Câu 1: Cho 𝑎 < 𝑏, 𝑓 ánh xạ khả vi từ (𝑎; ⁡𝑏) vào ℝ, 𝑐 < 𝑑 cho 𝑎 < 𝑐 < 𝑑 < 𝑏 Hỏi 𝑓((𝑐; ⁡𝑑 )) có bị chặn trên? Câu 2: Cho 𝑓 hàm số thực khả vi (−1; ⁡1) Hỏi lim 𝑓(𝑠) = 𝑓 (0) hay sai? 𝑠→0 ∞ 2017 Câu 3: Cho {𝑎𝑛 } dãy số thực dương cho ∑∞ hội tụ hay 𝑛=1 𝑎𝑛 hội tụ Hỏi ∑𝑛=1 𝑎𝑛 không? Câu 4: Cho 𝑓 𝑔 hai hàm số thực khả vi (−1; ⁡1) Gải sử 𝑓(0) = 𝑔(0) 𝑓 ′ (𝑡) ≤ 𝑔′ (𝑡 ) với 𝑡 ∈ (−1; ⁡1) Hỏi 𝑓(𝑠) ≤ 𝑔(𝑠) với 𝑠 ∈ (0; ⁡1) hay sai? Câu 5: Cho 𝑓 hàm số thực liên tục [0; ⁡1] cho 𝑓 (𝑠) ≤ với 𝑠 ∈ [0; ⁡1] Hỏi kết luận sau hay sai: ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≤ ... thực Đặt