TÍCH PHÂN PHẠM KIM CHUNG

ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w ∫ t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co ph©n h t t p : / / w wtÝch w.ta ilieupro.co h t t p : / / w w w (tx a+1)i- (lx i-1e) u p r o c dx I = = h t t p : / / w∫ xw+1w2 ∫ t ax i+1l i edxu= p r o c http://www.tailieupro.c viên : iPhạm KimpChung h t t p : / / w w w tGi¸o a i l e u r o c Tỉ : To¸n http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Së GD & §t nghƯ an Trờng THPT Đặng thúc hứa sin4x + cos2x dx sin6 x + cos6 x 8 Năm häc : 2007 - 2008 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m om h thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u / / http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ h t t p : / / w w"w t a i l i e u p r o c o m / http://www.tailieupro.com/ h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m / ViÕt mét cuèn tμi liÖu khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi đẳng cấp thực ! Cũng may t«i kh«ng cã t− t−ëng lín cđa h hyt vọng t pở một: /điều/gìw wtôi biết tnăngalựci vềl môn i eToánul p r oKhi tôiccó ýotởngmviết /ra điều nh viết sách, không lớnw lao có hạn gom nhặt đợc mong qua ngy lĩnh hội sâu môn Toán sơ cấp qua tiết học học trò bớt băn hcònt ait đọcpbi:viết/ ny /w wđó t acó i l ingời e thầy, u pngờirbạnocùng cchungomộtm khoăn, ngơ ngác V nghĩaw l đâu niềm/đam mê diệu kì Toán học http://www.tailieupro.com/ Thử giải bi toán khó nh−ng ch−a thËtw hμi w lßng ! t a i l i e u p r o c o m / h t t p : / / w ( )( ( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) h t t p( : /) /( w ) w w t a( i l) i( e ) u p r o c o m / ( ) ( ) ( ) ( ) t t p : / / w w w t a i l i e u ∫ ∫h ∫ ∫ ( )( ) ( )( p r )o c o m / ( h ) t t p : / / w w w t a i l ( i e) u p r o c o m / ∫ ∫ ) h∫ t t p : / / w w w t( a ) i l i e∫ u p( r o) c (o m / ( u ) p r o c ( o) m / ( ) h t t p :( / /) w w w t a i l i e ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ) c /o m / ( ) h t t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr (oo m http://www.tailieupro.com/ h t t p : / / w w w t a( i l i e u p r o c o m / ) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú v nhộ ;) 12  Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Thực mặt đất lm có đờng, ngời ta thnh đờng ! - Lỗ Tấn - dx = x8 + = x6 + - x6 - x4 + - 2x x2 + dx + x + 2x + dx = 2 x2 + x2 -1 1+ x = dx + 2 ⎛ 1⎞ x + + ⎜ ⎟ x⎠ ⎝ x + ⎡ x - 2x + + ⎣ x + - 2x x - 2x + x + 2x + -1 1⎞ ⎛ d⎜x - ⎟ -1 x⎠ ⎝ + = 2 ⎛ 1⎞ ⎜x - ⎟ +2+ x⎠ ⎝ 2 - x2 ⎤ ⎦ dx + dx + x - ⎡ x - 2x + + ⎣ x + - 2x x2 - dx + x + 2x + x2 - x2 +1 x - 2x + x + 2x + 1⎞ ⎛ 1- ⎜ 1+ ⎟ dx x ⎠ ⎝ x + dx + 2 ⎡⎛ ⎤ ⎡⎛ ⎤ ⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ x + 2 x + 2 x + + ⎢⎜ ⎥ ⎢⎜ ⎥ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ x⎠ x⎠ x⎠ ⎝ ⎣⎢⎝ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ ⎦⎥ 1⎞ ⎛ d⎜x - ⎟ x⎠ ⎝ ⎡⎛ ⎤ 1⎞ x + 2 ⎢⎜ ⎥ ⎟ x⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ -1 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ d⎜x - ⎟ d⎜x + ⎟ x x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ + 2 ⎡⎛ ⎤ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎢⎜ x - ⎟ + + ⎥ ⎜x + ⎟ - 2x⎠ x⎠ ⎝ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟ - 2- ⎜x + ⎟ - 2+ 2+ 2- 2- 2 + x x⎠ ⎠ = u+ v+ ln ⎝ + ln ⎝ +C 1⎞ 1⎞ 8 16 16 ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟+ 2- ⎜x + ⎟+ 2+ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ ( + x2 ⎤ ⎦ dx Víi x - 1⎞ ⎛ ⎜ - ⎟ dx x ⎠ ⎝ 2 ⎡⎛ ⎤ ⎡⎛ ⎤ 1⎞ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ - + ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - - ⎥ x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ +1 + x x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ + 2 ⎡⎛ ⎤ ⎡ ⎤ 4 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎢⎜ x + ⎟ - + ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - - ⎥ x⎠ x⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ +1 = + tgu = - tgv x ) NÕu dïng kÕt qu¶ ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay h¬n ? _ Th¸ng 12 – năm 2007 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) (Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Phần lý thuyết Định nghĩa : Giả sử f(x) l hm số liên tục khoảng K, a v b l hai phần tử cđa K, F(x) lμ mét nguyªn hμm cđa f(x) trªn K Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi l tích phân từ a đến b f(x) v đợc kÝ hiÖu lμ b b ∫a f ( x )dx Ta dïng kÝ hiÖu F ( x ) a ®Ĩ chØ hiƯu sè : F(b) – F(a) b C«ng thøc Newton – Laipnit : ∫ f ( x )dx = F (x) a VÝ dô : ∫ x dx = b = F(b) – F(a) a x3 1 = (1 − 03 ) = 3 b Chó ý : TÝch ph©n ∫ f ( x )dx chØ phơ thc vμ f, a vμ b mμ kh«ng phơ thc vμo kÝ hiệu biến số tích phân Vì ta a b cã thÓ viÕt : F(b) – F(a) = ∫ f ( x )dx = b b a a ∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du a Các tính chất tích phân a ∫ f ( x )dx = a b a a b ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx b b b a a ∫ ⎡⎣αf ( x ) ± βg ( x )⎤⎦dx = α ∫ f ( x )dx ± β∫ g ( x )dx a e e e e e 3⎞ ⎛ VD : ∫ ⎜ 2x + ⎟dx = 2∫ xdx + 3∫ dx = x + ln x = ( e2 − 1) + (1 − ) = e2 + 1 x⎠ x 1⎝ 1 c b a a c ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx b VD : ∫ −1 x dx = ∫ −1 1 −1 x dx + ∫ x dx = − ∫ xdx + ∫ xdx = − x2 x2 + =1 −1 b f(x) đoạn [a ; b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ a b f(x) g(x) đoạn [a ; b] ⇒ b ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a a VD : Chøng minh r»ng : π π 0 ∫ sin2xdx ≤ 2∫ sinxdx b m ≤ f(x) ≤ M đoạn [a ; b] m(b a) = m ∫ dx ≤ a b b a a ∫ f ( x )dx ≤ M ∫ dx = M(b – a) 1⎞ ⎛ VD : Chøng minh r»ng : ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x đoạn [1; 2] ta cã : max y = ; y = HD Khảo sát hm số y = x + [1;2] [1;2] x ª 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ( ) http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thỳ v nhộ ;) 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 2 2 2⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ Do ®ã : 2∫ dx ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ ∫ dx ⇒ 2x ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x ⇒ ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1 x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 1 Phần phơng pháp Phơng pháp đổi biến số : t = v(x) x dx VD TÝnh tÝch ph©n : I = x +1 Đặt : t = x + Khi x= th× t=1, x=1 th× t=2 dt Ta cã : dt = 2xdx ⇒ = xdx Do ®ã : 2 x dt I=∫ dx = ∫ = ln t = ln 2 21 t x +1 b b a a ∫ f ( x )dx = ∫ g ( v ( x ) )v' ( x ) dx Quy tr×nh giải toán Bớc Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hm liên tục, đổi cận B−íc BiĨu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt v ( b) ∫ B−íc TÝnh g ( t )dt v(a) Bμi tËp rèn luyện phơng pháp : Tính tích phân sau : e2 ∫ e dx x ln x π ∫ ( 2x − 1) dx ∫π sin3 x dx x dx ∫0 x + 4 dx ∫ ( 2x + 1) x +1 xdx −1 ∫x dx ∫ x 1+ x Phơng pháp đổi biến số : x = u(t) VD TÝnh tÝch ph©n : sinx ∫ − x dx π ⎛ Đặt x = sint t ⎢ − ; ⎥ ⎟ Khi x=0 th× t=0, x=1 th× t= ⎣ 2⎦ ⎠ ⎝ π ⎤ ⎡ VËy víi x = sint th× x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ vμ dx = costdt ⎣ 2⎦ O cosx Do ®ã : ∫ − x dx = π ∫ − sin t cos tdt = π π ∫ cos t cos tdt = ∫ cos tdt = π π + cos 2t 1⎛ π ⎞ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = =∫ 2 b Quy trình giải toán ∫ f ( x )dx a B−íc §Ỉt x = u(t), t ∈ ⎡⎣α; β⎤⎦ cho u(t) có đạo hm liên tục đoạn ; , f(u(t)) đợc xác định đoạn ; v u ( α ) = a; u ( β ) = b ª 0974.337.449 _ Th¸ng 12 năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t ( a )i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul i(pe)ruop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thỳ v nhộ ;) 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Bớc BiĨu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt β B−íc TÝnh ∫ g ( t )dt α Bμi tËp rÌn lun ph−¬ng pháp : Tính tích phân sau : dx ∫ + x2 ∫ x ∫ 1− x 1 dx ∫x 2 ∫ − x dx x + x dx ∫ dx + x +1 5+x dx ( Đặt x=5cos2t) 5x Phơng pháp đổi biÕn sè : u(x) = g(x,t) VD1 TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ + x dx t2 − 2t t2 + Khi x =0 th× t= -1, x=1 th× t= − vμ dx = dt Do ®ã : 2t 1− 1− 1− 1− 1− − t2 − t2 + 1 t + 2t + 1⎛ 1 ⎞ I= ∫ dt = − dt = − tdt + dt + dt ⎟ = ⎜ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎜ 2t 2t −1 t ⎝ −1 t t ⎟⎠ −1 −1 Đặt Cách (1) = + x = x - t ⇒ = -2xt + t ⇒ x = 1− t2 − 1 1− − ln t + = − ln −1 8t −1 −1 −1 + 2 π ⎡ π⎤ C¸ch (2) : Đặt x=tgt , x 0;1 nên ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ Khi x=0 th× t=0, x=1 th× t = ⎣ 4⎦ dt Do ®ã : vμ dx= cos2 t ∫ + x dx = π ∫ 1 + tg t dt = cos t π π π ∫ π π 4 1 cos t dt dt dt = = = ∫ ∫ cos t cos t cos t cos t π ∫ d ( sin t ) (1 − sin t ) 2 = π ⎤ 1 ⎡ (1 − sin t ) + (1 + sin t ) ⎤ 14⎡ = ∫⎢ + ⎥ d ( sin t ) = ∫ ⎢ ⎥ d ( sin t ) = ⎣ (1 − sin t )(1 + sin t ) ⎦ ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ π π π ⎤ d ( sin t ) ⎡ 1 d (1 − sin t ) 4 d (1 + sin t ) = = ∫⎢ + + ∫ + ∫ ⎥ d ( sin t ) = − ∫ ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ (1 − sin t ) (1 − sin t )(1 + sin t ) (1 + sin t )2 π π π π ⎡ 1 ⎤ 1 + sin t sin t 1 + sin t = ⎢ = − ln − + − + ln = + ln 4 4 ⎥ 2 ⎣1 − sin t + sin t ⎦ − sin t cos t − sin t Bình luận : Bi toán ny giải đợc phơng pháp tích phân phần Còn với cách giảI rõ rng bắt gặp cách 1) ta nghĩ chứa đựng phép tính toán phức tạp cách 2) chứa phép tính toán đơn giản Nhng ngợc lại suy đoán - cách 2) lại chứa phép tính toán di dòng v thật không tích phân cha hẳn l đợc lm đợc m lại di dòng VD2 Tính tích phân : I = ê 0974.337.449 _ 1 + x2 dx Th¸ng 12 – năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w (w ) w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a( i ) l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 t2 − 2t t2 + Khi x =0 th× t= -1, x=1 th× t= − vμ dx = dt Do ®ã : 2t 1− 1− −2t t + 1 I= ∫ dt = − dt = ∫ t + 2t t −1 −1 + x = x - t ⇒ = -2xt + t x = Đặt Cách (1) 1− = − ln t −1 = − ln Cách (2) : Đặt x=tgt , x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ nªn ta cã thĨ chän t ∈ ⎢0; ⎥ Khi x=0 th× t=0, x=1 th× t = ⎣ 4⎦ dt vμ dx= cos2 t Do ®ã : ∫ π 1 + x2 dx = ∫ π π π 4 cos t 1 cos t dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = 2 2 cos t cos t cost cos t + tg t 0 = π d ( sin t ) ∫ (1 − sin t ) = π 1 − sin t ln = − ln + sin t −1 Bμi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích phân sau : ∫ x − 1dx 1 ∫1+ x − 4x + ∫ x2 − 1 −1 dx ∫ 1+ −2 x2 dx − 2x − x x + 2x + 2dx −1 dx ∫ ∫x+ xdx x2 − Chú ý : Khi đứng trớc bi toán tích phân, bi toán no xuất nhân tử để sử dụng phơng pháp đổi biến số Có nhiều bi toán phải qua hay nhiều phép biến đổi xuất nhân tử để đặt ẩn phụ ( nói đến phần Phân Loại Các dạng Toán ) Phơng pháp tích phân tõng phÇn NÕu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm số có đạo hm liên tục đoạn [a; b] th× : b b b u x v' x dx = u x v x - v ( x )u' ( x ) dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫a a ∫a hay b ∫ u ( x )dv = ( u ( x ) v ( x ) ) a b b - v ( x )du a ∫a π VD1 TÝnh ∫ x cos xdx du = dx u=x Đặt , ta cã : ⎨ ⎩dv = cos xdx ⎩ v = sin x ª 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ( ) w t a i l i (e ) u p r o c http://ww http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT §Ỉng Thóc Høa 2007 π π π π π π ∫0 x cos xdx = ( x sin x ) − ∫0 sin xdx = + cosx = − 0 NhËn xÐt : Một câu hỏi đặt l đặt u = cosx dv = xdx có đợc không ? π Ta h·y thö : π π ⎛ x2 ⎞ 12 = x cos xdx cosx ⎜ ⎟ + ∫ x sin xdx , râ rμng tÝch ph©n ∫0 ⎝ ⎠ 20 π ∫x sin xdx phức tạp tích phân cÇn tÝnh VËy viƯc lùa chän u vμ dv định lớn việc sử dụng phơng pháp tích phân phần Ta xét VD để tìm câu trả lời vừa ý ! ln x VD2 TÝnh ∫ dx x 1 u = Ta thử đặt : ⎨ x ⎪⎩ dv = ln xdx râ rμng ®Ĩ tính v= ln xdx l việc khó khăn ! ⎧ ⎪⎪ du = x ta cã : ⎨ ⎪ v = dx = − ∫ x5 ⎪⎩ 4x 2 ln x ln ⎛ ⎛ ln x ⎞ dx + ⎜− Do ®ã : ∫ dx = ⎜ − ⎟ + ∫ = − x 4x x 64 ⎝ 4x ⎝ ⎠ 1 ⎧ u = ln x ⎪ Gi¶i §Ỉt ⎨ ⎪⎩dv = x dx ⎞ 15 ln − ⎟1= 256 64 ⎠ NhËn xÐt : Tõ VD trªn ta cã thĨ rót nhận xét ( với tích phân đơn giản ) : ViƯc lùa chän u vμ dv ph¶i tho¶ mãn : du đơn giản, v dễ tính Tích phân sau vdu phải đơn giản tích phân cần tính udv Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích phân sau : x ∫ xe dx ∫ 3x xe dx x sin xdx ∫ ( x − 1)cosxdx e ∫ e x cosxdx π π 2 π ∫ π ∫ ∫ e 10 ∫x e −x dx 0 2x ln ( x − 1)dx ln xdx ∫ ( − x ) sin 3xdx ( ln x ) dx Mỗi dạng toán chứa đựng đặc thù riêng ! Phần phân loại dạng toán Tích phân hm hữu tỷ A Dạng : I = P (x) dx ax + b ª 0974.337.449 ( a ≠ 0) _ Tháng 12 năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 12 ∫ bµi giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Công thức cần lu ý : I = ∫ α α dx = ln ax + b + C ax + b a TÝnh I1 = x + dx ∫ x −1 TÝnh I2 = x − dx ∫ x +1 x3 TÝnh I3 = 2x + dx Phơng pháp : Thực phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đa tích phân dạng : dx ( Trong ®ã Q(x) lμ hμm ®a thøc viÕt d−íi d¹ng khai triÓn ) I = ∫ Q ( x ) dx + ∫ ax + b B D¹ng : I = ∫ P (x) dx ax + bx + c ( a ≠ 0) Tam thøc : f ( x ) = ax + bx + c cã hai nghiệm phân biệt Công thức cần lu ý : I = ☺ TÝnh I = ∫x u' ( x ) ∫ u ( x ) dx = ln u ( x ) + C dx −4 Cách ( phơng pháp hệ số bất định ) ⎧A + B = A B = + ⇒ ≡ (A + B) x + 2(A − B) ⇒ ⎨ ⇔ x −4 x −2 x +2 ⎩A − B = Do ®ã : I = ∫x ⎧ ⎪⎪ A = ⎨ ⎪B = − ⎪⎩ x −2 1 1 +C dx = ∫ dx - ∫ dx = ln x+2 −4 x −2 x+2 Cách ( phơng pháp nhảy tầng lầu ) ⎡ 2x 2x − ⎤ dx = ⎢ ∫ dx − ∫ dx ⎥ = ln x − − ln x + + C Ta cã : I = ∫ x −4 2⎣ x −4 x −4 ⎦ α dx < Tỉng qu¸t >TÝnh I = ∫ x − a2 2x TÝnh I = ∫ dx − x2 3x + TÝnh I = ∫ dx x −1 x2 TÝnh I = ∫ dx x − 5x + TÝnh I = 3x x 3x + dx Phơng pháp : Khi bËc cđa ®a thøc P(x) x cos2 2 dx dx ∫ ∫ 2cos3x + sin 3x sin x + cosx sin x − 5cosx sin x − cosx + dx ∫ ∫ sin x + 2cosx + 3 ( sin x + 4cosx ) T¹o dx x ) dx ∫ sin x + 5cosx + D sáng tạo bi tập Nếu đợc phép hỏi, hỏi bạn có cảm thấy nhàm chán bạn suốt ngày ôm lấy sách tham khảo làm hết tập đến tập khác, mà đôi lúc bạn cảm giác khả giải toán không giỏi lên Còn đam mê môn Toán từ biết sáng tạo Bạn có muốn thử xem có khả sáng tạo hay không ? Dù khả sáng tạo tập đợc xuất phát từ chất sơ đẳng, bạn sáng tạo toán mà bạn bắt gặp sách nhng dÉu nã vÉn mang “ d¸ng dÊp “ cđa bạn Tôi mạn phép t để tham khảo cho vui ! Tôi lấy hm số f(x) no m thích, đạo hm để tìm d(f(x)) h Tôi chọn : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = ( sin3 xcosx − cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x − cos x ) = − sin 4x Một bi toán đơn giản đợc tạo : TÝnh sin4x ∫ sin x + cos xdx 4 Một bi toán nhìn đẹp mắt, bạn gặp đâu cha ? Nếu gặp bi toán ny trớc bạn biết sáng tạo bạn giải nh no ? Để tăng khả đánh lừa trực giác bạn tạo mẫu số thnh hm số hợp no quen thuộc , ví dụ : Tính tích phân sau : π ∫ π sin4x 4 sin x + cos x ª 0974.337.449 dx ∫ π sin4x ( sin x + cos x ) _ 2007 dx sin4x ∫ cos ( sin x + cos x )dx 4 Tháng 12 năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang 19 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 π sin4x ∫ tg ( sin x + cos x )dx 4 Biết đâu lúc no có hỏi cách giải bi toán lại quên !!!!! Tôi biÕt b¹n sÏ nghÜ t− kiĨu nμy “ cò rÝch “ VËy ta kh«ng thư t− kiểu no cho lạ tý : 1 2 Bμi to¸n nμy sÏ xuÊt phát từ đâu ? f ( x ) = sin x + cos x = − sin xcos2 x = − ( sin 2x ) = + ( cos2x ) 2 π TÝnh : sin2x + cos2x ∫ sin x + cos x dx 4 i NÕu nh− xuÊt phát từ lợng giác để tạo toán tích phân hàm lợng giác nghe hiển nhiên quá, ta xuất phát từ hàm phân thức hữu tỷ xem ? dx Tôi xuất phát từ bi toán tìm nguyên hm : I = x −1 1+ tg x dt = (1 + tg2 t ) dt mắt toán : I = dx Tôi đặt : x=tgt ⇒ dx = cos t − tg x Bạn suy nghĩ đơn giản nhng bạn cho cách giải với toán : d ( tgx ) 1 nhờng chỗ cho I= dx , phải bạn nghĩ I = dx = − tg x − tg x (1 − tg2 x )(1+ tg2 x ) nh÷ng lêi giải thông minh !!! a Bạn ôn thi đại học, bạn đọc nhiều tài liệu bạn gặp toán khó hay lời giải dài dòng bạn bạn thấy ngày tiến Đôi bạn gặp phơng pháp với tên gọi làm bạn hoảng hốt Hãy dừng lại v t duy, bạn tìm lời giải đáp ! Tôi đơn cử ví dụ Khi bạn đọc tài liệu bạn thấy cụm từ tích phân liên kết bạn bỏ qua nghĩ khó cosxdx VD Tính E = ∫ sin x + cosx sin x dx Lời giải : Xét tích phân liên kết với E lµ E1 = ∫ sin x + cosx sin x + cosx ⎧ E + E1 = ∫ dx = ∫ dx = x + C1 ⎪⎪ sin x + cosx Ta cã : ⎨ ⎪E − E = sin x − cosx dx = d ( sin x + cosx ) = ln sin x + cosx + C ∫ sin x + cosx ∫ sin x + cosx ⎩⎪ ⎧ ⎪⎪E = ( x + ln sin x + cosx ) + C Giải hệ phơng trình suy : E = ( x − ln sin x + cosx ) + C Bình luận : Sự đồ sộ lm bạn hoảng hốt, nhng suy nghĩ xem thực chất l phép tách đơn gi¶n : ⎡( cosx + sin x ) + ( cosx − sin x )⎤⎦ dx 1 d ( cosx + sin x ) = ∫ dx + ∫ = x + ln sin x + cosx + C E = ∫⎣ sin x + cosx 2 cosx + sin x NÕu ch−a thùc tin bạn thử với loạt bi toán khác tơng tự : sin4 x sin x sin 3x dx dx dx ∫ ∫ ∫ 3cosx + sin x 2cos3x − sin 3x sin x + cos x ViƯc ®−a bi toán l đúc rút kinh nghiệm l sáng tạo, nhng giúp lí giải đựơc điều quan trọng sáng tạo bi tập : l muốn có bi tập hay bạn cần kết hợp nhiều phép biến đổi v dĩ nhiên đòi hỏi bạn phải kiên trì v chút yếu tố may mắn d Tôi thư lÊy hµm sè : f ( x ) = sin2 x − sin2x + 5cos2 x vµ tách thành kiểu khác : Kiểu1 f ( x ) = sin2 x − sin 2x + 5cos x = ( sin x + cos x ) + ( sin x + 2cosx ) = + ( sin x + 2cosx ) = + u 2 ª 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang 20 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 12 ∫ Ph¹m Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 KiÓu2 f ( x ) = sin x − sin 2x + 5cos x = ( sin x + cos x ) − ( cosx − sin x ) = − ( cosx − sin x ) = − v 2 v ' = − sin x − 2cosx ⇒ u'+ v ' = −3 ( sin x + cosx ) sin x + cosx dx VËy ph¶i bi toán ny khó : 2 sin x − sin 2x + 5cos2 x Tôi nhìn thấy bạn cời chế diễu bạn bắt gặp nhng có điều muốn nói với bạn : - Hãy giải bi toán ny cách thật thông minh - Hãy mợn tạm t ny để bi tập dx Bạn quen với bi toán ny : nhng khẳng định bạn có chút băn khoăn với bi toán : sin x sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1) Tìm họ nguyên hm : I = ∫ dx sin6 x - Gi¶i ë kiĨu1 u' = cosx − sin x vμ kiÓu2 I=∫ sin xcosx ( sin x + sin x + 1) d ( sin3 x ) sinxcosx ( sin4 x + sin2 x + sinx + 1) sin xcosx d ( sin x ) dx = + = + ∫ sin6 x − ∫ sin6 x - sin6 x − ∫ ( sin3 x )2 − ∫ sin x − = ⎛ cos2 x ⎞ ln ⎜ ⎟ + ln ( cos x ) + C bạn tìm lời giải nhanh ! sin2 x + Bi toán bị lộ ý tởng giải toán xuất : sin4 x + sin2 x + nh−ng bμi toán ny bạn giải dùm sinxcosx ( sinx + 1) dx Tìm họ nguyên hm : I = ∫ sin6 x - Víi ý t−ëng nμy b¹n cã thĨ ung dung nghÜ r»ng : ng−êi kh¸c sÏ đau đầu bi toán bạn ! Hãy thử theo ý tởng bạn, đảm bảo bã tay com “ …!!! dïng ®å cđa ngời khác cảm zác không thoải máinhng dùng mi mà ngời ta không bắt trả lại thành ! < triết lí không ? > Đêm khuya rồi, tạm chia tay với tích phân hm lợng giác ! Nhờng lại sân chơi cho bạn ! Tìm hä nguyªn hμm : sin4x + cos2x ∫ sin x + cos x dx 6 ( Víi gi¸ dïng thư chØ cã dÊu “ = “ ) Vì đời phụ kiếp tài hoa Vì người gian díu hay ta tỡnh ?! Tích phân hm chứa dấu giá trị tuyệt đối VD Tính 2 1 x − dx = ∫ x − dx + ∫ x − dx = − ∫ ( x − 1) d ( x − 1) + ∫ ( x − 1) d ( x − 1) = (1 − x ) + ( x − 1) = −2 TÝch ph©n cđa hμm chøa dÊu giá trị tuyệt đối không khó lắm, phụ thuộc hon ton vo khả xét dấu hm số dấu giá trị tuyệt đối Khi xét dấu hm đa thức chứa dấu giá trị tuyệt đối bạn cần lu ý mẹo vặt : Đa thức có n nghiệm ta xét (n+1) khoảng Đa thức bậc n có n nghiệm đan dấu khoảng, khác n nghiệm tính đan dấu ê 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang 21 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị nhộ ;) 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 VD1 TÝnh x − dx −2 ⎡ x =1 Nh¸p : x − = ⇔ ⎢ ( tam thøc bËc cã nghiÖm ) ⎣ x = −1 xÐt dÊu : -2 + -1 + _ Thư mét sè bÊt k× khoảng Đan dấu Giải x − dx = −2 ∫ x − dx + −2 ∫ −1 x − dx + ∫ x − dx = −1 ∫ (x − 1) dx − −2 ∫ (x −1 − 1) dx + ∫ ( x − 1) dx = 28 ∫x VD2 TÝnh − x dx −1 Chóng ta th−êng nhÇm lÉn xÐt dÊu lμ ®a thøc cã nghiƯm vμ ®an dấu khoảng cho kết sai ! H·y lμm nh− sau : ∫ x − x dx = −1 1 −1 2 ∫ x x − 1dx = ∫ x x − dx + ∫ x x − dx =… C¸c bμi tËp rÌn lun : ∫x − x dx ∫ x − 1dx −1 3π ∫ 9x − 6x + 1dx ∫ + cos2xdx π π ∫ cos3 x cos2 xdx Tích phân phần b Tích phân dạng : P ( x ) sin xdx , a b ∫ P ( x ) cosxdx a Đặt u = P(x) để giảm bậc cña P(x) π VD TÝnh ∫x sin xdx ⎧du = 2xdx ⎪⎧ u = x Đặt Do : v = −cosx ⎩⎪dv = sin xdx π π π π 2 x sin xdx x cosx 2xcosxdx = − + = π + ( ) ∫0 ∫0 xcosxdx ∫0 π Ta sÏ tÝnh tÝch ph©n : ∫ xcosxdx ª 0974.337.449 _ Th¸ng 12 năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang 22 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 du = dx u=x Đặt Do : dv = cosxdx ⎩ v = sin x π π π π xcosxdx x.sin x = − ∫ sin xdx = cosx = −2 ∫0 0 π ∫x VËy sin xdx = π2 − Bμi tËp tù luyÖn : π ∫ xcos xdx π π ∫ x cosxdx 3 ∫ x sin xcos xdx 0 π ∫ x cos xdx π ∫x sin3 x dx b TÝch ph©n d¹ng : ∫ P ( x ) ln xdx a Đặt ê 0974.337.449 dv = P(x)dx để dễ tìm v _ Tháng 12 năm 2007 _ Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Trang 23 ... với tích phân đơn giản ) : ViƯc lùa chän u vμ dv ph¶i tho¶ mãn : du đơn giản, v dễ tính Tích phân sau vdu phải đơn giản tích phân cần tính udv Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích phân. .. ;) 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Bớc BiĨu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt β B−íc TÝnh ∫ g ( t )dt α Bμi tËp rÌn lun ph−¬ng pháp : Tính tích phân. .. thêm nhiều tài liệu hay thú v nhộ ;) 12 giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Phơng pháp nhảy tầng lầu đặc biệt có hiệu tử số phân thức l số Phơng pháp hệ số bất định :