Phương pháp vector phạm kim chung

Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc m Lời nói đầu Thanh Long ngày 18/03/2007 Phạm Kim Chung kh on gb oc uo c co Khi dạy hình học không gian cảm thấy phiền lúc phải mang thớc bên để vẽ đợc hình không gian phức tạp , lúc học sinh cảm giác toán hình học không gian toán khó để giải buộc phải có tởng tợng không gian phong phú cảm nhận đợc điều trớc nhăn nhó học sinh Tôi mong muốn đọc đợc tài liệu mà cho phơng pháp đỡ t hình vẽ ; Tôi cố gắng tìm tòi đọc đợc số tài liệu hay nh: Tạp chí TH&TT; Quy trình giải toán hình học pp véc tơ (Nguyễn Văn Lộc); Toán nâng cao hình học (Phan Huy Khải) ; Hình học KG(Trần Văn Hạo) ; Giải toán hình học (Trần Thành Minh) ; Hình học không gian (Sa-r-gin) số tài liệu khác có nhiều phơng pháp tâm đắc nh phơng pháp véc tơ, phơng pháp đại số hoá, phơng pháp trải tứ diện , phơng pháp chiếu vuông góc,song song, phơng pháp sử dụng phép biến hình Tôi thử nghiệm vài phơng pháp dạy lớp , nhận thấy pp véc tơ phù hợp với lực hs đồng thời giúp học sinh có chuẩn bị tốt học hình giải tích (lớp 12) Vì cố gắng viết tài liệu cho riêng tôi, phù hợp với phong cách giảng dạy ; Nhng cảm thấy cha thật vừa ý , tổ có đa yêu cầu viết chuyên đề nên có dịp đa để thu thêm nhiều ý kiến đóng góp ,phê bình quý báu cho công tác giảng dạy sau Trong viết thiên việc giải toán SGK , toán khác mang tính chất phụ hoạ cho phơng pháp véc tơ mà Vì thời gian viết chuyên đề ngắn nên số phần nh: góc, thể tích,mặt cầu, bất đẳng thức hình họccha kịp làm, hy vọng với góp ý thầy cô viết đợc tài liệu có chất Rất mong đợc đóng góp quý báu thầy cô! Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc a, lý thuyết Phơng pháp véc tơ: I) Quy trình giải toán m Bớc 1: Lựa chọn Hệ véc tơ gốc.-> Phiên dịch giả thiết , kết luận toán hình học cho ngôn ngữ véc tơ Bớc 2: Thực yêu cầu toán thông qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc Bớc 3: Chuyển kết luận véc tơ sang tính chất hình học tơng ứng BG: JJJK JJJK JJJK Chọn hệ A, AB, AC , AD làm sở { c A co VD1: (Bài tập 7.Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD Gọi M,N lần lợt trung điểm AB,CD G trung điểm đoạn thẳng MN a) Chứng minh đờng thẳng AG qua trọng tâm A tam giác BCD Phát biểu kết luận tơng tự đờng thẳng BG,CG DG b) Chứng minh GA=3GA } oc uo *Phiên dịch giả thiết , kết luận theo hệ véc tơ gốc +Giả thiết: (H.1) JJJJK JJK J M trung điểm AB AM = AB M JJJK JJJK JJJK N trung điểm CD AN = ( AD + AC ) G G trung điểm đoạn MN D JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK AG = AM + AN = AB + AC + AD (1) B A JJJJK JJJK JJJK JJJK N A trọng tâm tam giác BCD AA ' = AB + AC + AD (2) + Dễ thấy yêu cầu toán tơng đơng với yêu cầu chứng minh C JJJK JJJJK AG = AA ' Từ (1),(2) ta dễ dàng giải toán II, Một số tính chất cần ghi nhớ Để giải toán hình học không gian phơng pháp véc tơ học sinh cần nắm vững khái niệm tính chất sau: JJJK JJJK JJJK 1) Quy tắc điểm: AB + BC = AC , với A,B,C điểm không gian JJJK 2) Quy tắc hiệu véc tơ chung gốc: AB véc tơ cho trớc với điểm O , ta có: JJJK JJJK JJJK AB = OB OA JJJK JJJK JJJK 3) Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC hình bình ta có : OB = OA + OC 4) Tính chất trung điểm: Nếu M trung điểm đoạn AB thì: JJJK JJJK K + MB + MA = JJJK JJJK JJJJK + OA + OB = 2OM , với điểm O 5).Tính chất trọng tâm tam giác : Nếu G trọng tâm tam giác ABC thì: JJJK JJJK JJJK K + GA + GB + GC = JJJK JJJK JJJK JJJK + OA + OB + OC = 3OG với điểm O kh on gb ( ) ( ( ) ) Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK 6) Tích vô hớng véc tơ: AB.CD = AB CD cos AB, CD G G G G G G 7) Điều kiện để véc tơ phơng : Véc tơ a phơng với véc tơ b(b 0) k R : a = kb JJJK JJJK 8) Điều kiện để điểm thẳng hàng ĐK cần đủ để điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là: k : AB = k AC JJJK JJJK JJJK JJJK G 9) Điều kiện để véc tơ vuông góc: AB CD AB.CD = 10) Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ gọi đồng phẳng đờng thẳng chứa chúng song song với mặt phẳng 11).Công thức mối liên hệ độ dài tích vô hớng véc tơ: G G G G G G2 + a.b = a + b a b GG G G G2 G2 + a.b = a b a b x1 = x2 G G G G G G G G G 12) Nếu a, b, c véc tơ không đồng phẳng thoả mãn : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c thì: y1 = y2 z = z JJJK JJJK JJJJK OA kOB 13) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k với điểm O ta có: OM = k JJJK JJJK JJJK 14) Trong không gian cho hệ O, OA, OB, OD Điểm D mp ( ABC ) JJJK JJJK JJJK JJJK OD = OA + OB + OC ,( + + = 1; , , R ) ( ) ) } oc uo { c co ( m ( ) b, Các dạng bi tập kh on gb *Bi tập hình thnh phơng pháp Dạng Bi tập phân tích véc tơ theo véc tơ không đồng phẳng (Xem khái niệm véc tơ đồng phẳng mục A-II-10) VD2: Cho tứ diện ABCD Các trung tuyến AA1 BB1 tam giác ABC cắt M Có thể JJJJK biểu diễn véc tơ DM theo ba véc tơ ,trong ba véc tơ cho sau đây? JJJK JJJK JJJK 1) DA, DC , DB JJJK JJJK JJJK 2) DA, AA1 , BB1 JJJK JJJK JJJJK D 3) AB, DA, A1 B1 JJJJK JJJK JJJK JJJK 1) DM = DA + DB + DC A B1 C A1 ) JJJJK JJJK JJJK JJJK 2) DM = DA + AA1 + 0.BB1 (H.2) B M ( 3) Do A1B1//AB nên véc tơ JJJJK đồng phẳng , mặt khác véc tơ DM không đồng JJJJK phẳng với véc tơ véc tơ , DM JJJK JJJK JJJJK không biểu diễn đợc theo véc tơ: AB, DA, A1 B1 VD3: Cho tứ diện ABCD Điểm M trọng tâm tam giác ABC JJJJK JJJK JJJK JJJK Hãy biễu diễn DM theo véc tơ: DA, AC , CB Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc JJJJK JJJK JJJK JJJK HD: (Xem hình 2.) M trọng tâm tam giác ABC nên: DM = DA + DB + DC Vậy để giải JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK toán ta cần biểu diễn DB, DC theo véc tơ DA, AC , CB Ta có: JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK + DB = DA + AC + CB DC = DA + AC Từ suy ra: DM = 3DA + AC + CB Bi tập tự giải: 1).Cho tứ diện ABCD M N trung điểm DB DC Hãy phân tích véc tơ JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK AM , BN , MN theo DA, DB, DC 2) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O JJJK JJK JJK JJJK a) Hãy phân tích SD theo SA, SB, SC JJK JJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK b) Hãy phân tích véc tơ SA, SB, SC , SD theo véc tơ AB, AC , SO 3).Cho hình lập phơng ABCD.ABCD Gọi O tâm hình lập phơng I tâm mặt CDDC Hãy JJJK JJK JJJK JJJK JJJJK phân tích véc tơ AO, AI theo AB, AD, AA ' 4) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C G G G JJJK JJJJK G JJJK G JJJK G1 1 a) Đặt AC1 = c; BA1 = a; CB1 = b Hãy phân tích véc tơ AA1 theo a, b, c JJJJK JJJK JJJK JJJK b) M trung điểm đoạn B1C Hãy phân tích véc tơ AM theo AA1 , AB, AC ( ) ) c co m ( oc uo MD NA 5) Cho tứ diện ABCD M N điểm chia đoạn thẳng DB, AC theo tỉ số = m; = n Hãy phân MB NC JJJJK JJJK JJJK JJJK tích véc tơ MN theo AB, DA, BC 6) Cho mặt cầu tâm O bán kính R Từ điểm S vẽ tiếp tuyến SA, SB, SC với mặt cầu (A,B,C tiếp điểm ) JJJK JJK JJK JJJK Hãy phân tích véc tơ SO theo SA, SB, SC biết ba véc tơ cặp tạo với góc 600 -Dạng 2: Bi tập lựa chọn hệ véc tơ gốc gb * Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc quan trọng giải toán phơng pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải véc tơ không đồng phẳng + Hệ véc tơ gốc nên hệ véc tơ mà chuyển yêu cầu toán thành ngôn ngữ véc tơ cách đơn giản kh on VD4: (Bài tập 6- Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lần lợt trung điểm AB CD Gọi R điểm nằm cạnh BC cho BR=2RC S giao điểm cạnh AD với mp(PRQ) Chứng minh AS=2SD BG: A P JJJK JJJK JJJK Chọn hệ A, AB, AC , AD làm sở Ta có: JJJK JJJK P trung điểm AB AP = AB S JJJK JJJK JJJK D Q trung điểm CD AQ = AC + AD JJJK JJJK JJJK R nằm BC BR=2RC AR = AB + AC 3 Q JJJK JJJK JJJK JJJK Yêu cầu toán tơng đơng với việc chứng minh : AS = SD hay AS = AD (H.3) { } ( B R C ) Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc JJJK JJJK Giả sử AS = k AD Điểm S thuộc mp(PQR) tồn , , R cho: JJJK JJJK JJJK JJJK AS = AP + AQ + AR ;( + + = 1) (Xem mục A-II-14) JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK Hay k AD = AB + AC + AD + AB + AC k AD = + AB + + AC + AD 2 3 2 + + = 1 + = 2 k = (Xem mục A-II-12), suy đpcm + = k=1 Bình luận : Với chứng minh ta nhận thấy pp véc tơ tránh cho phải kẻ thêm nhũng hình phụ phức tạp, điểm yếu học sinh học hình học không gian Ta xét sang VD khác , để nhận thấy rõ u điểm phơng pháp véc tơ VD5:(Bài tập 5-Tr86-SGK11) Chứng minh đờng thẳng nối trung điểm hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đờng vuông góc chung AB CD AC=BD, AD=BC BG: ) c co m ( Giả sử M,N trung điểm AB, CD JJJK JJJK JJJK Chọn hệ A, AB, AC , AD làm sở A oc uo { JJJJK JJK J M trung điểm AB AM = AB JJJK JJJK JJJK N trung điểm CD AN = ( AD + AC ) JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK MN = AN AM = AC + AD AB JJJK JJJK JJJK CD = AD AC (H.4) M B D on C gb N ( ) + MN vuông góc với AB nên: JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK MN AB = AC + AD AB AB = JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK = AB AC + AB AD AB (1) + MN vuông góc với CD nên: ( ) JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK MN CD = AC + AD AB AD AC = ( JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK AD = AC AB AC + AB AD (2) JJJ K JJJK Lấy (2)-(1) theo vế ta đợc: AD = AB AC kh } ( ) )( ) = BC AD = BC Cộng vế theo vế ta đợc AC=BD Suy điều phải chứng minh Bình luận: +Mặc dù tập SGK ,tuy nhiên toán tập khó kể với HSG , việc vẽ hình phụ để giải toán phơng pháp hình học KG tuý không đơn giản + Bài toán giải phơng pháp đại số hoá cách đặt AB=x; AC=y; AD=z sau áp dụng công thức trung tuyến phơng pháp hay Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Bi tập tự giải: 1)(Bài tập 4-Tr41-SGK11).Chứng minh tổng bình phơng tất đờng chéo hình hộp tổng bình phơng tất cạnh hình hộp 2)(Bài tập 1-Tr59-SGK11) Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cạnh Chứng minh : AC B ' D ', AB' CD ', AD' CB ' 3)(Bài tập 2-Tr59-SGK11) Cho tứ diện ABCD cạnh a , gọi M trung điểm BC Tính cosin góc n AB, DM ( ) oc uo c co m 4)( Bài tập 3-Tr59-SGK11) Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c a) Chứng minh đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vuông góc với hai cạnh b) Tính cosin góc hợp đờng thẳng AC BD 5)( Bài tập 3-Tr69-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA=SC, SB=SD Chứng minh : a) SO mp ( ABCD ) b) AC SD 6) ( Bài tập 5-Tr69-SGK11) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB CD AC BD AD BC 7) ( Bài tập 7-Tr69-SGK11) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc Kẻ OH mp ( ABCD ) H nằm mp(ABC) Chứng minh : a) H trực tâm tam giác ABC 1 1 b) = + + 2 OH OA OB OC 8) ( Bài tập 8-Tr86-SGK11) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA=SB=SC=SD = a Gọi I J lần lợt trung điểm AD BC a) Chứng minh mp(SIJ) vuông góc với mp(SBC) b).Tính khoảng cách hai đờng thẳng AD SB -*bi tập phân theo dạng toán giải đợc pp véc tơ on gb Một câu hỏi thờng gặp học sinh dạy phơng pháp véc tơ : Những toán có dạng nh giải đợc phơng pháp véc tơ ?, dạng toán phơng pháp véc tơ u điểm ? , đờng lối giải nh ? Thực để trả lời đợc câu hỏi khó toán sơ cấp nói chung hình học không gian nói riêng khó tìm phơng pháp giải hết toán nh không muốn nói Tuy nhiên tập SGK làm rõ đợc phần nào, ví dụ hs trung bình dừng lại toán có giả thiết kết luận đơn giản nh trung điểm, trọng tâm , vuông góc; hs nâng cao lên toán khoảng cách , tính góc , thẳng hàng, đẳng thức hình học; hs giỏi thêm dạng toán đồng phẳng , đồng quy,bất đẳng thức hình học, quan hệ song song ,vuông góc mức độ khó kh Dạng 1: Bi tập trọng tâm tam giác , tứ diện JJJJK JJJK JJJK + M trung điểm AB OM = OA + OB JJJK JJJK JJJK JJJG +G trọng tâm tam giác ABC OG = OA + OB + OC (Với điểm O không gian ) ( ) ( ) VD6: Cho hình hộp ABCD.ABCD Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC M Chứng minh M trọng tâm tam giác ABD Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc B C JJJJK JJJK JJJK HD: Chọn hệ véc tơ sở A, AA ', AB, AD { } Phân tích toán: A *Giả thiết: Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC M Suy ra: JJJJK JJJJK + M AC ' k R : AM = k AC ' JJJJK JJJJK JJJK JJJK hay AM = k AA ' + AB + AB D M B ) m ( (H.5) M mp( A ' BD) JJJJK JJJJK JJJK JJJK AM = AA ' + AB + AD C co ( , , R : + + = 1) D A *Yêu cầu toán tơng đơng với việc chứng JJJJK JJJJK JJJK JJJK minh: AM = AA ' + AB + AD Với việc lập hệ phơng trình giải tơng tự VD4 , ta suy đpcm ) c ( gb oc uo Bi tập tự giải: 1) Cho hình hộp xiên ABCD.ABCD Gọi P,Q,R ảnh đối xứng điểm D qua điểm A, B, C Chứng tỏ B trọng tâm tứ diện PQRD 2) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N,P,Q lần lợt trung điểm AB,BC,CD,DA Chứng minh tam giác ANP CMQ có chung trọng tâm 3) Chứng minh hai tứ diện ABCD ABCD có Gcùng trọng tâm khi: JJJJK JJJJK JJJJK JJJJK AA ' + BB ' + CC ' + DD ' = 4) Cho tứ diện ABCD Gọi A, B, C ,D lần lợt điểm cạnh AB,BC,CD,DA cho: A ' A B ' B CC ' D ' D = = = =k A ' B B 'C C ' D D ' A Chứng minh hai tứ diện ABCD ABCD có trọng tâm 5) Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Gọi P,R theo thứ tự trung điểm AB, A1D1 ; Gọi P1 ,Q ,Q1 ,R1 theo thứ tự giao điểm đờng chéo mGặt (ABCD), (CDD1C1), (A1B1C1D1),(ADD1A1) JJJK JJJJK JJJK a) Chứng minh : PP1 + QQ1 + RR1 = b) Chứng minh hai tam giác PRQ P1R1Q1 có trọng tâm B on kh Dạng 2: bi tập điểm thẳng hng JJJK JJJJK JJJK Để chứng minh điểm P, M, N thẳng hàng ta chứng minh: AP = AM + AN ( , R: + = 1) A điểm (thông thờng A gốc hệ sở) VD7: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a Gọi P,Q điểm xác định : AP = AD ' , C ' Q = C ' D ; M trung điểm BB Chứng minh P, M, Q thẳng hàng HD: JJJJK G JJJJJK G JJJJJK G Chọn hệ A ', A ' A = a, A ' B ' = b, A ' D ' = c làm sở { } Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Phân tích toán: G JG JJJK JJJJK JJJJK * Giải thiết : AP = AD ' AP = AD ' A ' P = 2a d G JG G JJJJK JJJJJK JJJJK C ' Q = C ' D C ' Q = C ' D A ' Q = 2b + d a JJJJJK JJJJK JJJJJK 1G G M trung điểm BB A ' M = A ' B + A ' B ' = a + b 2 JJJJJK JJJJK JJJJK * Yêu cầu toán tơng đơng với việc chứng minh: , : A ' M = A ' P + A ' Q ( ) m Thay đẳng thức giải hệ phơng trình ta đợc = = ( + = 1) oc uo c co Bi tập tự giải : 1) Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Gọi P trung điểm cạnh B1C1 Đờng thẳng d qua P cắt đờng thẳng AB M cắt đờng thẳng DD1 N Chứng minh P trung điểm đoạn MN 2).Cho tứ diện OABC Gọi M,N ,P lần lợt điểm đối xứng với O trung điểm cạnh tam giác ABC Chứng minh , điểm O trọng tâm tam giác ABC , MNP thẳng hàng 3) Cho tứ diện OABC Gọi P, Q,R lần lợt trọng tâm tam giác AOB, BOC, COA Chứng minh điểm O trọng tâm tam giác ABC, PQR thẳng hàng 4) Chứng minh tứ diện trực tâm : trọng tâm , trực tâm, tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm đờng thẳng (đờng thẳng Ơ-le tứ diện) 5) Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 P điểm đờng thẳng CC1 cho : CP = CC1 M điểm đờng MD thẳng AD, N điểm đờng thẳng BD1 cho ba điểm M, N, P thẳng hàng Tính : MA Dạng 3: quan hệ vuông góc đờng thẳng v mặt phẳng gb VD8 (Bài tập 3-Tr69-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA=SC, SB=SD Chứng minh rằng: a) SO mp ( ABCD ) b) AC SD Chọn hệ véc tơ sở: JJJK JJJK JJJK O, OA, OB, OS S { a) on kh JJK JJJK JJJK Ta có: SA = OA OS JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK SC = OC OS = OA + OS ) Theo : SA=SC JJJK JJJK JJJK JJJK SA2 = SC OA OS = OA + OS ) (H.6) B ( ( A O } ) ( JJJK JJJK OA.OS = OA OS C Tơng tự ta chứng minh đợc : OB OS , suy ra: SO mp ( ABCD ) D JJJG JJJG JJJG JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK b) Ta có : AC = 2OA ; SD = OD OS Do đó: AD.SD = 2OA OD OS = AC SD ( ) VD9.(Bài tập 5-Tr69-SGK11) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB CD, AC BD thì: AD BC Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc JJJK JJJK JJJK HD: Chọn hệ A, AB, AC , AD làm sở JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK AB CD AB AD AC = AB AD AB AC = JJJK JJJK JJJK JJJK AC AD AB AD = (1) Ta có: JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK AC BD AC AD AB = AC AD AC AB = { } ( ( ) ) JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK Nên: AD.BC = AD AC AB = AD BC đpcm ( ) co m JJJK JJJK + Để chứng minh AB CD , ta chứng minh: AB.CD = + Để chứng minh AB ( ) , ta chứng minh AB vuông góc với đờng thẳng cắt thuộc mp ( ) + Để chứng minh ( ) ( ) , ta chứng minh đờng thẳng thuộc mặt phẳng vuông góc với đờng thẳng thuộc mặt phẳng gb oc uo c Bi tập tự giải : 1) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABC tam giác cân đỉnh A, D trung điểm BC , vẽ DE AB ( E AB ) , biết SE mp ( ABC ) Gọi M trung điểm DE Chứng minh : AM mp ( SEC ) 2).Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 Gọi M, N lần lợt trung điểm cạnh AD BB1 Chứng minh: MN A1C 3) Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC , đáy ABC tam giác cân (AB=AC) Vẽ SO mp ( ABC ) , D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh : CD mp ( SOE ) 4) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cạnh a M N điểm lần lợt thuộc đờng chéo AB BC Biết : A ' M = A ' B ; B ' N = B 'C 5 Chứng minh : MN A ' B MN B ' C 5) Tổng hai góc phẳng góc tam diện 1800 Chứng minh đờng vuông góc chung chúng vuông góc với phân giác góc phẳng thứ ba on - kh Dạng 4: Tính góc hai đờng thẳng GG aG + bG aG bG G G a.b cos a, b = G G = G G a b a b ( ) ( ) VD10(Bài tập2-Tr59-SGK11) Cho tứ diện ABCD cạnh a, gọi M trung điểm BC Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc AB, DM Tính cosin góc n ( A ) JJJK JJJK JJJG Chọn hệ véc tơ sở B, BA, BC , BD Ta có: { (H.7) } JJJK JJJJG JJJK JJJJG AB.DM Do đó: cos AB, DM = JJJJG JJJK DM AB ( D ) co B m JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG DM = BM BD = BC BD Dễ thấy : AB=a ; DM= M a ( oc uo c C JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK AB.DM = BA BC BD = BD.BA BA.BC = a cos a cos = a Do 3 JJJK JJJJG cos AB, DM = >0 AB, DM = cos n G G G G G G G G , b ; cos a, b < a, b = am ,b Chú ý : cos a, b > a, b = am ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gb Bi tập tự giải : 1)( Bài tập3-Tr59-SGK11) Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a , AC=BD=b, AD=BC=c a) Chứng minh đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vuông góc với hai cạnh b) Tính cosin góc hợp đờng thẳng AC BD 2)(Ví dụ 1-Tr56-SGK) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N lần lợt trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB, CD AB=CD=2a MN= a Tính góc n ( ) kh on 3) Trong hình chóp tam giác ABCD tất cạnh có độ dài Điểm M trung điểm cạnh AD, điểm O trọng tâm tam giác ABC , điểm N trung điểm cạnh AB điểm K trung điểm cạnh CD Tìm góc đờng thẳng MO KN 4) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 : BC=a; AC=b ; AB=c; AA1=h Tính cosin góc: a) Giữa đờng chéo AB1 BC1 b) Giữa cạnh AB đờng chéo B1C n = ; CSA n = ; ASB n = Tính cosin góc : 5)* Biết góc phẳng góc tam diện SABC: BSC a) Giữa cạnh SC phân giác góc n ASB ASB n ASC b) Giữa phân giác góc n c) Giữa cạnh SC hình chiếu vuông góc mặt phẳng chứa mặt đối diện JG JJG JG JJJK JG JJJK JJG JJJK JG { } 10 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Dạng 5: quan hệ song song đờng thẳng v mặt phẳng 1).Hai đờng thẳng song song JJJK JJJK Để chứng minh đờng thẳng AB//CD ta chứng minh : AB = kCD (k R) VD11 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F lần lợt trọng tâm tam giác AA1B ,A1B1C1 ,ABC , BCC1 Chứng minh MN//EF B JJJK G JJJK G JJJK G Chọn hệ véc tơ sở: A, AA1 = a, AB = b, AC = c N M JJJJK JJJK JJJJK M trọng tâm tam giác AA1B1 AM = AA1 + AB1 JJJK JJJK JJJJK JJJJK N trọng tâm tam giác A1B1C1 AN = AA1 + AB1 + AC1 JJJK JJJK JJJK E trọng tâm tam giác ABC AE = AB + AC JJJK JJJK JJJK JJJJK F trọng tâm tam giác BCC1 AF = AB + AC + AC1 ( B F E C ) ( oc uo B ) ( c (H.8) A Theo ta có: C1 } co { B1 A1 m B ) ( ) JJJJK JJJK Ta cần chứng minh : k : MN = k EF JJJJK JJJK JJJK G G JJJJK JJJK JJJJK G G Thật vậy: MN = AN AM = a + c ; EF = a + c từ suy ra: MN = EF MN//EF 3 2).Đờng thẳng song song với mặt phẳng ( ) ( ) gb G G G Để chứng minh đờng thẳng d//mp( ) ta lấy d véc tơ a , ( ) hai véc tơ b, c G G G sau chứng minh véc tơ đồng phẳng, nghĩa chứng minh k , l R : a = kb + lc VD12 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử M N lần lợt trung điểm cạnh AA1 B1C1 Chứng minh MN song song với mặt phẳng (DA1C1) on B B1 kh A1 C1 N Chọn hệ véc tơ sở: JJJK G JJJK G JJJJK G {D, DA = a, DC = b, DD = c} D1 (H.9) Ta có: M B C JJJJK JJJJK JJJJK JJG G G MN = DN DN = 2b a + c (1) ( ) Ta cần chứng minh : A D G G G G JJJJK JJJJK JJJJK x, y R : MN = xDC1 + yDA1 = x b + c + y a + c (2) ( ) ( ) 11 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Từ (1) (2) suy : x=1;y= Do MN//mp(DA1C1) x1 = x2 G G G G G G G G G Chú ý: Nếu a, b, c véc tơ không đồng phẳng thoả mãn : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c thì: y1 = y2 z = z 3).Hai mặt phẳng song song ) ( ) co ( m G G Để chứng minh mặt phẳng (P)//(Q), ta lấy (P) véc tơ a, b , (Q) véc G G JG G G JG G JG tơ x, y Sau chứng minh véc tơ a, x, y ; b, x, y đồng phẳng VD13 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N lần lợt trung điểm AA1 CC1; G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh mp(MGC1)//mp(AB1N) B B (H.10) M G1 C1 N } Ta cần chứng minh tồn x,y,x1,y1 cho: C G G G y a + xb + yc x = y = Tơng tự x1 = 0; y1 = , suy đpcm gb Tính toán ta có: JJJJK G G G MG = a + b + c = x + 3 { JJJJK JJJJK JJJK MG = x AB1 + y AN JJJJK JJJK JJJJK MC1 = x1 AB1 + y1 AN B A Chọn hệ véc tơ sở: JJJK G JJJK G JJJK G A, AA1 = a, AB = b, AC = c oc uo A1 c B1 kh on Bi tập tự giải : 1).Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử E tâm mặt ABB1A1; N, I lần lợt trung điểm CC1 CD Chứng minh EN//AI 2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M,N lần lợt trọng tâm tam giác ABA1 ABC Chứng minh MN//mp(AA1C1) 3) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M,N,E lần lợt trung điểm cạnh BB1, CC1 , AA1 ; G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: a) mp(MGC1)//mp(BA1N) b) mp(A1GN)//mp(B1CE) 4) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M,N lần lợt trung điểm SA ,SD a) Chứng minh: mp(OMN)//(SBC) b) Gọi P Q trung điểm AB ON Chứng minh : PQ//mp(SBC) 12 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Dạng 6: bốn điểm hay ba véc tơ đồng phẳng ) co ( m G G G G G G G G + Cho ba véc tơ a, b, c a b không phơng Khi ba véc tơ a, b, c G G G đồng phẳng có số k l cho: c = ka + lb + Bốn điểm A,B,C,D thuộc JJJG JJJGmột mặt phẳng JJJkhi G tồn số thực JJJK , cho: OA = OB + OC + (1 ) OD , điểm O G JG G VD14 Chứng minh ba véc tơ x, y, z xác định biểu thức sau đồng phẳng : G G G G G G JG G G G G G G x = a b; y = c a; z = 2a + b + c Với a, b, c ba véc tơ cho trớc không đồng phẳng JG G G G G G G G G G G JG G HD: Ta có : y x = c a a b = 2a + b + c = z Suy véc tơ x, y, z đồng phẳng } gb oc uo { c VD15 Cho tứ diện ABCD điểm I, K, E, F điểm thoả mãn : JJG JJK G JJJG JJJG G JJJK JJJK G JJJK JJJK G IB + IA = ; KC + KD = ; EB + 3EC = ;2 FA + 3FD = Chứng minh rằng: JJJG JJG JJJG a) Các véc tơ BC , IK , AD đồng phẳng JJJG JJJK JJJG b) Các véc tơ BA, EF , CD đồng phẳng c) Bốn điểm I, E, K, F thuộc mặt phẳng JJJK G JJJK JG JJJK G HD: Chọn hệ A, AB = x, AC = y, AD = z làm sở JJJG JJJG G JJJK JJJK JJJK JG G JJK JJK G JJK JJJK G Theo giả thiết ta có : IB + IA = AI = AB = x ; KC + KD = AK = AC + AD = y + z ; 3 3 3 JJJK JJJK G JJJK JJJK JJJK G JG JJJK JJJK G JJJK JJJK G EB + 3EC = AE = AB + AC = x + y ; FA + 3FD = AF = AD = z 5 5 5 JJK JJJK JJJK JJJK Ta cần chứng minh tồn , cho: AI = AE + AK + (1 ) AF (1) Thay biểu thức véctơ vào (1), ta có : 2G 3G G JG JG G x = x + y + y + z + (1 ) z áp dụng (A-II-12) ta tìm đợc , 5 VD16 Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AB CD ; P, Q hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh PA QB = Chứng minh điểm M, N ,P,Q thuộc mặt phẳng AC, BD cho: PC QD on A kh (H.11) B P Đặt PA QB AP BQ = = := k Do P, Q thuộc cạnh AC, BD nên: PC QD AC BD JJJK JJJK AP = k AC (1) JJJK JJJK BQ = k BD (2) M Bốn điểm M,N,P,Q thuộc mặt phẳng tồn số thực , cho: Q D JJJK JJJJK JJJK JJJK AQ = AM + AN + (1 ) AP (3) JJJK JJJK JJJJK JJJK Biểu diễn véc tơ AQ, AP, AM , AN theo sở thay vào (3) suy : = (1 k ) ; = 2k đpcm N C 13 co m Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Bi tập tự giải : 1) Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 Các điểm M,N lần lợt thuộc cạnh AD, BB1 cho AM=BN JJJJK JJJK JJJJG Chứng minh ba véc tơ MN , AB, B1D đồng phẳng 2) Cho hai hình bình hành ABCD A1B1C1D1 không thuộc mặt phẳng Chứng minh véc tơ JJJK JJJJK JJJJK BB1 , CC1 , DD1 đồng phẳng 3) Cho tứ diện ABCD Gọi A,B,C,D lần lợt điểm chia đoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo tỉ số k, tức : A ' A B ' B C 'C D ' D = = = =k A ' B B 'C C ' D D ' A Với giá trị k điểm A , B, C, D đồng phẳng 4).(Bài tập 7-Tr60-SGK12) Cho tứ diện ABCD ; P,Q lần lợt trung điểm AB CD Hai điểm M,N lần lợt chia hai đoạn thẳng BC AD theo tỉ số k Chứng minh bốn điểm P, Q, M, N nằm mặt phẳng c Dạng 7: chứng minh đẳng thức độ di, tính độ di đoạn thẳng G G G G G G2 + a.b = a + b a b GG G G G2 G2 + a.b = a b a b GG G G G G + a.b = a + b a b ( ) ) oc uo ( ( ) ( ) VD17 Các cạnh AB CD tứ tứ diện ABCD vuông góc với Chứng minh : AC AD = BC BD JJJK JJJK JJJK Chọn hệ véc tơ sở: A, AB, AC , AD Ta có: JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK BC = AC AB BC = AC AB = AC AC AB + AB (1) JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK BD = AD AB BD = AD AB = AD AD AB + AB (2) JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK Từ (1),(2) BC BD = AC AD + AB AD AC = AC AD + AB.CD = AC AD ,đpcm } gb { ) ) on ( ( ( ) kh VD18.(Đề thi HSG Tỉnh11).Cho hình chóp SABCD Đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) SA SC SB SD cắt SA, SB,SC,SD theo thứ tự K,L,M,N Chứng minh : + = + SK SM SL SN S Chọn hệ véc tơ sở: (H.12) K JJK G JJK G JJJK G {S , SA = a, SB = b, SC = c} N M L D A C B 14 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc SK SL SM SN Đặt : = x, = y, = z, = t SA SB SC SD G JJK G JJJK G G G JJJK G JJJK Từ ta có : SK = xa, SL = yb, SM = z b + c a , SN = tc JJJK JJJK JJK JJJK Vì K,L,M,N đồng phẳng nên: , , R : SM = SK + SL + SN ( ) ( + + = 1) z = x x = z G G G G G G z mà: + + = , nên ta có: Từ suy ra: z b + c a = xa + yb + tc y = z = y t = z z = t z z z 1 1 SA SC SB SD + + =1 + = + đpcm + = + x y t z x y t SK SM SL SN JJJK JJJK Để tính độ dài đoạn thẳng AB, ta biểu diễn véc tơ AB theo sở sau tính: AB m ) co ( oc uo c VD19 Cho tứ diện ABCD cạnh a E trung điểm cạnh CD, F trung điểm đờng cao BL mặt ABD Các điểm M,N lần lợt thuộc đờng thẳng AD BC Biết đờng thẳng MN cắt đờng thẳng EF MN vuông góc với EF Tính độ dài đoạn thẳng MN JJJK G JJJK G JJJK JG Chọn hệ véc tơ sở: B, BA = a, BC = c, BD = d A { } Theo giả thiết: (H.13) JJJJK JJJK MN EF MN.EF = JJJK JJJK JJJK JJJK M, N, E, F đồng phẳng BE = BF + BN + (1 ) BM (1) L gb M F C N E on D B Vì M,N thuộc BC,AD ta giả sử G JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK + BM = k BC = kc ;BN = lBA + (1 l ) BD JJJK JJJG JJJG G G + BE = BC + BD = c + d 2 JJJG JJJK G G JJJK JJJK JJJG + BL = BA + BD BF = BL = a + d 2 ( ( ) ( ) kh G G JJJJK JJJG JJJK G + MN = BN BM = la + (1 l ) d kc JJJK JJJK JJJK G G G GG G G G G + EF = BF BE = a c d ac = ad = cd = a cos = a 4 JJJJK JJJK * MN.EF = a ( k 2l ) = 2l = k (2) * Từ (1) suy : G G G G G G G c + d = a + d + la + (1 l ) d + (1 ) kc 1 1 + l = = + (1 l ) = (1 ) k 4 ( ) ( ) ( ) ) 15 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc JJJJK G G G 2l = k (3) Từ (2) (3) suy ra: l = ; k = MN = a + 5d 4c G G G 65 130 36 MN = a + 5d 4c = a MN = a 12 Bi tập tự giải : 1).Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c , BC=DA=a, CA=BD=b Chứng minh điều kiện cần đủ để trung tuyến tứ diện (đt kẻ từ đỉnh xuống trọng tâm mặt đối diện) AA1 CC1 vuông góc với là: a2+c2=3b2 2).(Bài tập 5-Tr78-SGK11) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a, BC=b, CC=c Chứng minh ) m ( c co đờng chéo hình hộp a2 + b2 + c JJJK JJJJG JJJJG JJJJK 3) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a Gọi P Q điểm xác định bởi: AP = D ' A, C ' Q = DC ' Tính độ dài PQ 4) Cho tứ diện ABCD Các điểm M,N lần lợt trung điểm cạnh AB,CD Các điểm P,Q thuộc cạnh QB PA AC,BD cho: = k Biết MN cắt PQ Tính tỉ số QD PC 5).(Đề thi HSG Tỉnh 12 năm 1999-2000) Cho tứ diện SABC, cạnh SA,SB,SC lần lợt lấy điểm D,E,F Biết mặt phẳng (ABF),(BCD),(ACE) cắt M đờng thẳng SM cắt mặt phẳng (DEF) NP MP N, cắt mặt phẳng (ABC) P Chứng minh : =3 NS MS oc uo - Dạng 7: khoảng cách 1) Khoảng cách từ điểm tới đờng thẳng gb Để tính khoảng cách điểm M đờng thẳng d, ta lấy d hai điểm A,B thực bớc sau: JJJJK JJJK JJJJK JJJK MN AB MN AB = JJJK JJJK +B1: Giả sử N hình chiếu vuông góc M d JJJK N, A, B thẳng hàng ON = OA + (1 ) OB JJJJK +B2: Thực phép biến đổi hệ véc tơ sở (gốc O gốc hệ sở) MN = ? JJJJK JJJJK +B3: Tính MN = MN kh on VD20.(Bài tập 1-Tr85-SGK11) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a Chứng minh khoảng cách từ điểm B, C, D, A, B, D tới đờng chéo AC Tính khoảng cách A D B C Chọn hệ véc tơ sở: (H.14) JJJK A B G JJJK G JJJK G {B, BA = a, BB ' = b, BC = c} Giả sử H hình chiếu B lên AC D C 16 Truy cp www.khongbocuoc.com khỏc G G G thờm cỏc ti liu hc JJJJK JJJJK JJJK download JJJK JJJJ K AC ' = BC ' BA = b + c a Suy ra: Do BH AC ' BH AC ' = GG GG GG G G G G G G (Chú ý: a.b = a.c = b.c = ) Do ta có: a + (1 ) b + c b + c a = a ( ) = = G G G JJJK JJJK a Hay BH = a b c BH = a BH = Bình luận: Mặc dù tập không khó , nhiên thấy đợc rõ lợi phơng pháp véc tơ ta không cần xác định rõ ràng vị trí điểm H hình vẽ 2) Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng )( ) m ( A B C oc uo D c co Để tính khoảng cách điểm M mặt phẳng (ABC) đó, ta gọi H hình chiếu M (ABC) +B1: Suy đẳng thức véc tơ dựa vào đồng phẳng của: A,B,C,H.(Nếu chọn gốc trùng với A,B,C việc tính toán dễ dàng hơn) JJJJG +B2: Dựa vào vuông góc MH với mp(ABC) để tìm yếu tố biểu diễn HM qua sở JJJJG +B3: Tính HM HM VD21 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a; BC=b; CC=c Tính khoảng cách từ B tới mp(DAC) (H.15) A B D C JJJK G JJJK G JJJK G Chọn hệ véc tơ: B, BA = a, BB ' = b, BC = c Gọi H hình chiếu B mp(DCA) JJJG JJJG JJJJG JJJG G G G G G Do H, D, C, A đồng phẳng nên: BH = BD + BC ' + (1 ) BA ' = a + c + c + b + (1 ) a Lại } gb { ( ) ( ) có: JJJJG JJJJG JJJG G G G G G G + DC ' = BC ' BD = b + c c + a = b a JJJJG JJJG JJJG G G G G G G + DA ' = BA ' BD = a + b a + c = b c GG GG GG JJJG JJJJG JJJG JJJJG (Chú ý: a.b = a.c = b.c = ) Do BH DC ' = 0, BH.DA ' = nên ta có hệ: ) ( ) ( on ( ( kh G G G (1 ) a + b + ( + ) c G G G (1 ) a + b + ( + ) c JJJG BH = (a a 2b + b2 ) ( ( + ) ) a2 G G = ba =0 a + b2 JJJG G b2 G a2 G a 2b BH a b c = + + 2 G G 2 2 a b c ) a +b a +b c2 ( a + b2 ) bc = = ( c ( a + b2 ) ) ) (a a 4b 2 + b2 ) + a 4b c2 ( a + b2 ) BH = ab ( c 2b + c a + a b c ( a + b2 ) ) 17 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 3) Khoảng cách hai đờng thẳng chéo m JJJJG JJJG JJJG * Chú ý: Điểm M AB R : OM = OA + (1 ) OB Để tính khoảng cách hai đờng thẳng chéo JJJJta G thực bớc sau: +B1: Gọi HK đờng vuông góc chung , biến đổi HK theo sở.(có chứa tham biến) +B2: Dựa vào tính chất vuông góc HK với đờng thẳng thiết lập hệ pt JJJJG JJJJG JJJJG +B3: Giải hệ pt, tìm biểu thức véc tơ theo sở HK , áp dụng: HK = HK { co VD22(Ví dụ 2-Tr84-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy SA=a Tính khoảng cách hai đờng thẳng : a) SC BD b) AC SD JJJG G JJJG JG JJJG G Chọn hệ véc tơ sở: A, AS = s, AD = d , AB = b S Giả sử HK đờng vuông góc chung SC BD ( H SC , K BD ) } c JJJJG JJJG JJJG G JG G Do H SC AH = AC + (1 ) AS = b + d + (1 ) s JJJG JJJG JJJG G JG K BD AK = AB + (1 ) AD = b + (1 ) d JJJJG JJJG JJJJG G G JG HK = AK AH = ( + ) b (1 ) s ( + 1) d Lại có: B JJJG G JG G JJJG JG G SC = b + d s ; BD = d b G G G JG G JG Chú ý: c.s = c.d = s.d = oc uo (H.16) H A K ( ) C D ( ) on gb JJJJG JJJG JJJJG G G JG = HK SC = Do HK đờng vuông góc chung nên: JJJJG JJJG HK = b + 2s + d HK BD = = JJJJG a 36 HK = 6a HK = Tơng tự hs giải câu b) kh Bi tập tự giải : 1) Giải tập (2->8)-Tr86-SGK11 2).Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác vuông C, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , AC=a; BC=b, SA=h Gọi M N lần lợt trung điểm cạnh AC SB a) Tính độ dài MN b) Tìm hệ thức liên hệ a,b,h để MN đờng vuông góc chung AC SB 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đờng tròn đờng kính AD=2a có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA= a a) Tính khoảng cách từ A B đến mp(SCD) b) Tính khoảng cách từ đờng thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) -18 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Dạng 7: Góc đờng thẳng ,mặt phẳng v mặt phẳng 1).Góc đờng thẳng mặt phẳng M G a ( ) N m A G b M co P) aM G(P) +B1: Gọi N hình chiếu củJJJ JG JJJG G +B2: Biểu diễn véc tơ : AM , AN, a, b theo sở JJJJG G JJJJG G +B3: MN a; MN b , suy đẳng thức véc tơ JJJJG JJJG +B4: Tìm góc AM , AN Kết luận c VD23.Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 : BC=a, AC=b, AB=c, AA1=h Tính cosin góc B C gb A1 B1 kh on C1 oc uo A 19 [...]... + c b + c a = 0 a 2 ( 2 3 ) = 0 = 3 G G G JJJK JJJK 2 a 6 Hay 3 BH = 2 a b c 9 BH = 6 a 2 BH = 3 Bình luận: Mặc dù bài tập là không khó , tuy nhiên chúng ta thấy đợc rõ lợi thế của phơng pháp véc tơ là ta không cần xác định rõ ràng vị trí của điểm H trên hình vẽ 2) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng )( ) m ( A B C oc uo D c co Để tính khoảng cách giữa điểm M và mặt phẳng (ABC) nào... đờng thẳng chéo nhau m JJJJG JJJG JJJG * Chú ý: Điểm M AB R : OM = OA + (1 ) OB Để tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau JJJJta G thực hiện các bớc sau: +B1: Gọi HK là đờng vuông góc chung , biến đổi HK theo cơ sở.(có chứa tham biến) +B2: Dựa vào tính chất vuông góc của HK với 2 đờng thẳng thiết lập hệ pt JJJJG JJJJG JJJJG 2 +B3: Giải hệ pt, tìm biểu thức véc tơ theo cơ sở của HK ,... bằng a, SA vuông góc với đáy và SA=a Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng : a) SC và BD b) AC và SD JJJG G JJJG JG JJJG G Chọn hệ véc tơ cơ sở: A, AS = s, AD = d , AB = b S Giả sử HK là đờng vuông góc chung của SC và BD ( H SC , K BD ) } c JJJJG JJJG JJJG G JG G Do H SC AH = AC + (1 ) AS = b + d + (1 ) s JJJG JJJG JJJG G JG K BD AK = AB + (1 ) AD = b + (1 ) d JJJJG JJJG JJJJG G G JG... có: B JJJG G JG G JJJG JG G SC = b + d s ; BD = d b G G G JG G JG Chú ý: c.s = c.d = s.d = 0 oc uo (H.16) H A K ( ) C D ( ) on gb 2 JJJJG JJJG JJJJG G G JG = 3 HK SC = 0 Do HK là đờng vuông góc chung nên: JJJJG JJJG 6 HK = b + 2s + d HK BD = 0 = 1 2 JJJJG 2 a 6 36 HK = 6a 2 HK = 6 Tơng tự hs giải câu b) kh Bi tập tự giải : 1) Giải các bài tập (2->8)-Tr86-SGK11 2).Cho hình chóp S.ABC... giác vuông ở C, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , AC=a; BC=b, SA=h Gọi M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh AC và SB a) Tính độ dài MN b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,h để MN là đờng vuông góc chung của AC và SB 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đờng tròn đờng kính AD=2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA= a 6 a) Tính các khoảng cách