Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm?. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm x; y với x, y là các số nguyên dơng.. Xác định tất cả các giá trị của tham số m đ
Trang 1Hệ phơng trình
A.Kiến thức cơ bản
1.Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
a Phơng trình bậc nhất hai ẩn
• Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)
• Tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c
- Nếu a ≠0, b ≠0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị hàm số y a x c
b b
= − +
- Nếu a ≠0, b = 0 thì phơng trình trở thành ax = c hay x = c/a và đờng thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
- Nếu a = 0, b ≠0 thì phơng trình trở thành by = c hay y = c/b và đờng thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành
b Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
• Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax by c a x b y c'+ '= '
trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R
• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có
(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
(d) ∩(d’) = { } A thì hệ có nghiệm duy nhất
(d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm
• Hệ phơng trình tơng đơng
Hệ hai phơng trình tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
c Phơng pháp giải hệ: Phơng pháp thế; Phơng pháp cộng đại số
Chú ý: Phơng pháp đặt ẩn phụ.
Bài tập 1 : Giải các hệ sau:
a) ( 2)( 2)
( 1)( 2) ( 1)( 3) 4 ( 3)( 1) ( 3)( 5) 18
( 5)( 2) ( 5)( 12)
d)
16
31
e)
28
3 12
15
f)
4 3 5
15 9 3
14
x
x y
y
x y
−
+ =
+ =
g) ( 3)( 5)
( 2)( 5)
( 1) ( 2) ( 1) ( 1)
xy x y
x y
+ =
Bài 2(đặt ẩn phụ)
a)
3
x y x y
b)
3
6
c)
8
1,5
d)
10
18
e)
1
1
f)
36
6 10
1
40 40
9
x y x y
1 1 3
4
x y
+ =
Hớng dẫn:
h)Chia cả hai vễ của phơng trình (1) cho (x + y)(x – y) rồi đặt: X = 1/x+y; Y = 1/x – y
2.Hệ phơng trình đa về phơng trình bậc hai
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2≥ 4P) khi đó hai số x, y là nghiệm của phơng trình: x2 + SX + P = 0
B.Kiến thức bổ xung
1.Hệ phơng trình đối xứng loại 1
Trang 2*Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phơng trình của hệ không đổi
*Cách giải
• Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 ≥ 4P
• Giải hệ để tìm S và P
• Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phơng trình:
t2 – St + P = 0
Bài 3: Giải hệ phơng trình:
a)
2 2
7 13
x y xy
x y xy
b) 2 2
1 0 22
x y xy
2 2 8 ( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y
2.Hệ phơng trình đối xứng loại 2
*Định nghĩa
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ
hai ẩn x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia và ngợc lại
*Cách giải
• Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn
• Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích
• Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
• Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn
• Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ
Bài 4: Giải hệ phơng trình
2 2
3 3
13 6
13 6
3.Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2
*Định nghĩa
- Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
0
ax bxy cy
a x b xy c y
*Cách giải
- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không
- Nếu x ≠0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ
- Khử x rồi giải hệ tìm t
- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x)
- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự
Bài 5: Giải hệ phơng trình
a)
2
x xy y
y xy
x xy y
Các bài tập khác tham khảo:
Bài 6 Giải các hệ phơng trình
1 4 4
+ + − =
3 0
y x
1 4 4 0
+ + − =
1 3 3
− + − =
2 2
10 25 5
x y
2
x xy y
x xy y
341 330
x x y y
x y y x
2 2 11
3 4 2
x y
x xy y
6
x y
1 0 22
x y xy
7 13
x y xy
x y xy
2 2
5 5
x xy y
y x
4 2 2 4
481 37
x x y y
x xy y
2 2
2 2
8 7
y x xy
+ + + =
2 2 10
4
x y
x y
2 2 65 ( 1)( 1) 18
x y
5
x y xy
xy x y
Trang 33 3
1
x y
1
x y
+ =
( 1)( 1) 10 ( )( 1) 25
x y xy
5
13
6
x y
x y
y x
+ =
+ =
3 3
2 2
x y
x y xy
4 4
2 2
97
x y
xy x y
3
1
x y xy
x y xy
+ − =
2 3 2 6
x y xy
x y
+ + = +
9 27
x y z
+ + =
4 4
3
17
x y
x y
+ =
14
x xy y
x xy y
19 84
xy x y
x y xy
+ + =
( 1)( 1) 72
( 1)( 1) 2
xy x y
1 5
x y xy
x y
( 1)( 1) 10 ( )( 1) 3
x y xy
5 5
1
31
x y
x y
+ =
2
x xy y
x xy y
3 3
4 4
1 1
x y
x y
3
3
5
5
= +
2 2
x x xy y
y y xy x
2 2
1 1
( ) 17 ( ) 25
3 2
1 3
1 3
+ =
+ =
2
2
1 1
x xy y
x xy y
+ + =
3 3
2 2
2 2
+ =
2
2
1
3 1
3
x
x
x
x
y y
+ + =
+ + =
2
2
8
8
x y
x
y x
y
+ − =
2
2
1 0 4 1 0 4
x y
x y
+ + =
+ + =
3
3
13 6
13 6
2
2
4 3 4 3
y
x y
x x
y x
y
− =
− =
2 2 8 ( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y
2 2
3 54
4 115
x xy
xy y
2
21
x xy y
y xy
x xy y
2
2 17
x xy
1
x xy y
x xy y
x xy y
2
x xy
x xy y
2 2
2
2
x y
xy x
2
x xy y
y xy
3 3
1
x y
x y xy y
Trang 42 2
x xy y
xy
x y
2 2
xy x y
x y xy x y
=
19( ) 7( )
2
2 2
7
x y
x xy y
− =
2
12
x y
+ =
2 3 3 2 6 7
xy
x y yz
z y xz
x z
+
+
=
+
1 2 5 6 2 3
x y xyz
y z xyz
x z xyz
+ =
1
2
1
2
1
2
x
y
y
z
z
x
+ =
+ =
+ =
1 1 1 1 1 1
x y y z z x
− =
− =
− =
2 1 1 5 1 1 2
xyz
x y xyz
y z xyz
x z
+
+
=
+
1 1
16
1 1
20
1 1
18
x y
y z
z x
+ =
+ =
+ =
4
2 7 1
2
4,5 1
x z
x y y z
−
−
8 3 12 5 24 7
xy
x y yz
y z xz
z x
+
+
=
+
8
20 16
x y z
xy yz zx
xyz
+ + =
+ + =
x y x y z
y z x y z
x z x y z
a yz xy xz xyz
b xz xy yz xyz
c xy yz xz xyz
víi abc ≠ 0
0
1 1 1
1
27
x y z
x y z
xy yz xz
+ + =
+ + =
1 1 2
2
x y z
xy yz xz
+ + =
+ + =
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
x y x y z z z x x
+
+
=
+
1
1
1
1
1
1
x
y
y
z
z
x
− =
− =
− =
12 5 36 13 18 5
xy
x y xz
x z yz
y z
+
+
+
4
4
4
1 2
2 1 2 2 1 2 2
− = −
− = −
− = −
Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh
12
x y
+ =
4 4 144
x y
Trang 52 2 2 2
8 12
2
1 0
y xy
− + =
2 2
2 2 2
x y x y
1
2
x y
x y
2
4
x y
+ =
3 3 7 ( ) 2
x y
xy x y
− =
2 2
2 2
26 5 6
x y x y
x y x y xy
=
2
x xy y
y xy
2
( 1)(3 5 ) 144
4 5 24
2 3 10
+ = −
2
2
1
2(1 ) 2(1 )
x xy
5
x y xy
x y xy
− =
+ =
1 3
4
x y
+ = −
2 2 2 12
12
xy yz zx
+ + =
1 1
+ + =
2 2
x x xy y
y y xy x
2 2
11
x xy y
x y xy
2 2
2 2
x y x y
x y x y
4.Hệ phơng trình chứa tham số:
Bài 8 Cho hệ phơng trình
2
3 (1)
9 3 3(2)
− = −
x y m
x m y
a Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm
b Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phơng trình
c Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
HD:a)Từ (1) => y = 3x + m thay vào (2) => 3x(3 - m2) = m3 -3 3(*)
Với m = - 3 thì (*) có dạng: 0x = -6 3 phương trình vô nghiệm
y = 3x+ 3 b)Với m = 3 thì (*) có dạng: 0x = 0 phương trình vô số nghiệm Khi đó nghiệm của hệ:
x R ) 3 Hệ phương trình có nghiệm duy
c m
Bài 9 Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình 4
1
mx y
x my
+ =
− =
có nghiệm thỏa mãn điều kiện 2
8 1
x y m
+ =
+ Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
2
4(1)
Lấy (1) - (3) => Vì 0) x = =
Theo bài có: x + y = Khi đó x = y =
2
+ =
mx y
Bài 10 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình 2 3
1
x y m
+ =
+ = +
có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
1(3) 3 3 3 3(2)
*
Lấy (1) - (2) Nếu m = 3/2 (*) có dạng: 0x = -6, phương trình vô nghiệm =>Hệ vô nghiệm
2m+3
*Nếu m 3/2 (*) có nghiệm: x = T
3 - 2m
+ = + + = +
≠
1 1; 2;0;3;
2m+3 2m - 3 +6 6
ừ (3) nhận thấy m nguyên, x nguyên thì y nguyên x =
3 - 2m 3 - 2m 3 - 2m
x nguyên 3 - 2m 1;-1;2;-2;3;-3;6;-6
Trang 6Bài tập tơng tự để luyện:
Bài 11 Cho hệ phơng trình: 2 1
2 1
x my
+ =
+ =
a Giải và biện luận theo tham số m
b Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên
Bài 12 Cho hệ phơng trình: 4
x my
(m là tham số).
a Giải và biện luận theo m
b Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng
Bài 13 Cho hệ phơng trình: ( 1) 3 1
m x my m
x y m
− = +
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x
2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 14 Cho hệ phơng trình: ( 1) 2 2 1
2.
mx y m
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn
nhất
Bài 15 Cho hệ phơng trình: 2
2 1.
x my
a Giải hệ khi m = 2
b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0
c Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên
Bài 16 Cho hệ phơng trình: 1
x my
a Giải hệ khi m = - 3
b Giải và biện luận hệ đã cho theo m
Bài 17 Cho hệ phơng trình: 2
3 2 5
x y m
+ =
− =
(m là tham số nguyên).
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0
Bài 18 Cho hệ phơng trình: 2
mx y
x my
− =
+ =
Giải và biện luận hệ đã cho
a Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức:
2 2
1
3
m
x y
m
+ = −
+ .
*Bài 19 Cho hệ phơng trình: 2 1
( 1) 2
mx my m
x m y
+ + =
Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đờng thẳng cố định khi m thay đổi
Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất
Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5
HD:
Bài 20 Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phơng trình: 4 2
mx y m
x my m
+ =
có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
Bài 21 Cho hệ phơng trình: 2 1
2 1.
x my
Giải và biện luận theo m
Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên
Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đờng thẳng cố định
Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2
2 .
Các bài tập khác để tham khảo:
Bài 22 Cho hệ phơng trình
2 6
x y
+ =
− =
a Giải hệ phơng trình đã cho bằng phơng pháp đồ thị
b Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 3x – 7y = - 8 không ?
c Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ?
Bài 23 Cho hai đờng thẳng (d1): 2x – 3y = 8 và (d2): 7x – 5y = -5
Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2)
Bài 24 Cho ba đờng thẳng
(d1): y = 2x – 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m – 3)x – 1
Tìm các giá trị của m để ba đờng thẳng đồng quy
Trang 7Bài 25 Cho hệ phơng trình
2
2
mx y m
Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 26 Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức
P(x) = mx3 + (m + 1)x2 – (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x – 1) và (x + 2)
Bài 27 Cho hệ phơng trình
+ − =
Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhất
Bài 28 Cho hệ phơng trình
2
mx my m
m, n là các tham số
a Giải và biện luận hệ phơng trình
b trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 Bài 29 Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m
+ = − + −
Bài 30 Tìm tham số a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
4
Bài 31 Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình: 2 2 2
6
x y m
+ =
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).
Bài 31 Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình: 2 22 21
Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy nhỏ nhất.
Bài 32 Cho hệ phơng trình:
2
1 1 1
xy a
x y b
=
+ =
Giải và biện luận hệ phơng trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất.
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 33 Cho hệ phơng trình: 2
1.
x my m
+ =
a Giải hệ khi m = -1
b Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1
Bài 34 Giải và biện luận hệ phơng trình sau đây theo tham số m: 2 1
x my
+ =
Bài 35 Giải và biện các hệ phơng trình:
a
2
+ = −
1
x my
x y m
− =
Bài 36 Cho hệ phơng trình: 2 5
3 1
mx y
mx y
Giải hệ phơng trình lúc m = 1
Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số
Bài 37 Cho hệ phơng trình (m là tham số ): 1
.
mx y
− =
− + = −
Chứng tỏ lúc m = 1, hệ phơng trình có vô số nghiệm
Giải hệ lúc m khác 1
Bài 38 Tìm nghiệm nguyên dơng nhỏ nhất của hệ phơng trình:
= +
+ + =
Bài 39 Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 – 4x – 6y – 8z +3 = 0
Bài 40 Với giá trị nào của m, hệ phơng trình:
2 2 25
có nghiệm?
Trang 8Bài 41 Giải hệ phơng trình:
14
1 1 1
1
2 3 6 2 3 6
x y z
x y z
x y z
+ + =
(x, y, z là các số dơng)
Bài 42 Cho hệ phơng trình:
8
x y m
y x
x y
+ =
+ =
Xác định m để hệ phơng trình có nghiệm kép
Bài 43 Cho hệ phơng trình: 2 2
1
x y m
y x
− =
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó.
Bài 44 Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho: 2 2 71
880
xy x y
x y xy
+ + =
Tìm giá trị của biểu thức: M = x
2 +y2
Bài 45 Cho hệ phơng trình: 1
3 1
x my m
mx y m
a Giải và biện luận hệ phơng trình trên
b Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất?
Bài 46 Cho hệ phơng trình: ( 1) 1
+ − =
(a là tham số).
a Giải hệ phơng trình với a = 2
b Giải và biện luận hệ phơng trình
c Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên
d Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất
Bài 47 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:
A(-1; 1), B(-1; 3)
A(1; 2), B(3; 2)
A(1; 5), B(4; 3)
Bài 48 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD
Bài 49 Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng Bài 50 Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 51 Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: 2( 1) ( 2) 3
( 1) 3 7
m x my m
+ + = +
Bài 52 Cho hệ phơng trình: ( 1) 2 2 0
2 ( 1) ( 1) 0
m x my
mx m y m
(m là tham số).
a Giải hệ phơng trình trên
b Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y < 0
Bài 53 Cho hệ phơng trình: ( 1) 3 4
( 1)
+ − =
(m là tham số)
a Giải hệ phơng trình
b Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên
c Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 54 Cho hệ phơng trình: 1
3 1
x my m
mx y m
(m là tham số)
a Giải hệ phơng trình
b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất
Bài 55 Các số không âm x, y, z thỏa mãn hệ phơng trình: 4 4 2 1
8 4 8
x y z
x y z
+ + =
a Biểu thị x và y theo z
b Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y – z
Bài 56 Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2
x y z a
x y z a
x y z a
+ + =
+ + =
+ + =
Bài 57 Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
4
x y a
Bài 58
a Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phơng trình có nghiệm là số dơng, số âm
2
x ay
+ =
3 5
x y m
x y
+ =
Trang 9b Tìm giá trị nguyên của m để hệ phơng trình sau: 2
x y m
+ =
− =
có nghiệm x > 0 và y < 0.
c Với giá trị khác 0 nào của m thì hệ phơng trình: 2
mx y
x my
− =
+ =
có nghiệm thỏa mãn
2
2
1
3
m
x y
m
+ = −
+
Bài 59
1 Cho hệ phơng trình: 3
a x y
+ + =
a Giải hệ phơng trình với a = 2
b Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất
2 Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm
Bài 60 Cho hệ phơng trình:
2 2 2
2 1 2
Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt Tìm các nghiệm đó.
Bài 61 Cho hệ phơng trình 2
2 1
x ay
+ =
− =
Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 62 Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)
Bài 63 Tìm các giá trị của m để
a)Hệ phơng trình: 5
2 3 7
mx y
x my
− =
có nghiệm thoả: x > 0, y < 0 b)Hệ phơng trình:
3
mx y
x my
+ =
+ =
có nghiệm thoả: x > 1, y > 0
Bài 64 Cho hệ phơng trình
2 1
x my m
+ =
+ = +
Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình có nghiệm x, y là các số nguyên
A Phơng trình
C.1 Kiến thức cơ bản
C.1.1 Phơng trình bậc nhất một ẩn
a Định nghĩa
- Phơng trình có dạng ax + b = 0 Trong đó a, b ∈ R và a ≠0
b Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0 Khi đó: + b = 0 thì phơng trình có VSN
+ b ≠0 thì phong trình VN
- Nếu a ≠0 Khi đó phơng trình có nghiệm duy nhất x = - b/a
C.1.2 Phơng trình bậc hai một ẩn
a Định nghĩa
- Phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 Trong đó a, b, c ∈ R và a ≠0
b Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0 Phơng tình có dạng bx + c = 0: Phơng trình bậc nhất
- Nếu a ≠0 Khi đó ∆ = − b2 4 ac(hoặc ∆ = ' b '2− ac)
+∆ < 0 (hoặc ∆ < ' 0): Pt vô nghiệm
+∆ = 0 (hoặc ∆ = ' 0): Pt có nghiệm kép 1 2
2
b
x x
a
= = − (hoặc 1 2 b '
x x
a
+∆ > 0 (hoặc ∆ > ' 0): Pt có hai nghiệm phận biệt
' 1,2
'
b x
a
− ± ∆
1,2
2
b x
a
− ± ∆
• Chú ý: Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể viết
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) C.1.3 Định lí Viet
Định lí thuận
- Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là 1 2 b
S x x
a
a
Định lí đảo
- Nếu hai số x và y có tổng x1+ = x2 S và tích x x1. 2 = P thỏa mãn S2 ≥ 4 P thì hai số x và y là hai nghiệm của phơng trình t2 – St + P = 0
C.2 Kiến thức bổ xung
C.2.1 Phơng trình đa thức, phơng trình bậc cao
C.2.2 Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
C.2.3 Phơng trình vô tỉ
Trang 10C.2.4 Phơng trình nghiệm nguyên
C.3 Ví dụ minh họa
C.4 Bài tập chọn lọc
Bài 1 Tìm các giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung
x2 + mx + 1 = 0; x2 + x + m = 0
Bài 2 Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = 0
Chứng minh rằng nếu p p1 2≥ 2( q1+ q2) thì ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm
Bài 3 Với giá trị bào của k thì hai phơng trình sau:
2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0; 6x2 + (7k – 1)x - 19 = 0
Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4 Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Bài 5 Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của m ột tam giác Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm:
a2x2 + (a2 + b2 – c2)x + b = 0
Bài 6 Cho ba phơng trình
x2 + 2ax + ac = 0; x2 – 2bx + ab – c = 0; x2 + 2cx + c = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên có nghiệm
Bài 7 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đợc thỏa mãn
a(a + 2b + c) < 0
5a + 3b + 2c = 0
Bài 8 Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx2 – (1 – 2k)x + k – 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ
Bài 10 Cho phơng trình: 2x2 – 3x + 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Không giải phơng trình hãy tìm giá trị các biểu thức sau:
a
1 2
1 1
A
x x
1 x 1 x B
= + c C = x12+ x22 d 1 2
2 1 1 1
D
Bài 11 Cho phơng trình: x2 + (2m – 1)x – m = 0
Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để biểu thức A x = 12 + − x22 6 x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: 3x2 + 5x – 6 = 0 Không giải phơng trình hãy lập phơng trình bậc hai ẩn y có các nghiệm
1 1
2
1
y x
x
1
1
y x
x
= +
Bài 13 Cho phơng trình x2− 2 3 x + = 1 0 Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức
a A x = +13 x23
b
1 2 1 2
B
x x x x
=
+
Bài 14 Cho phơng trình (k – 1)x2 – 2kx + k – 4 = 0 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình trên, hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào k
Bài 15 Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình:
x2 + (m – 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn x12+ x22 = 10
x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x1 = 2x2
x2 - mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = 0
Bài 16 Cho phơng trình bậc hai: mx2 – (5m – 2)x + 6m - 5 = 0
Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 17 Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn
A = 10 x x1 2+ + x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó
Bài 18 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x1x2 - 2x1 – 2x2|
Bài 19 Cho phơng trình: x2 – mx + m – 1 = 0
Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 2
2( 1)
x x P
+
=
Bài 20 Cho phơng trình: x2 + px + q = 0
Tìm các giá trị của p và q sao cho hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn
1 2
3 3
1 2
5 35
x x
x x
− =
Bài 21 Cho phơng trình bậc hai: x2 – 2x – m2 = 0 có các nghiệm x1, x2 Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm y1, y2 sao cho:
y1 = x1 – 3, y2 = x2 – 3
y1 = 2x1 – 1, y2 = 2x2 – 1
Bài 22 Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm thỏa mãn: