SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thức KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2009 – 2010 Mơn thi: TỐN LỚP - BẢNG A Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f (x) (x 12x 31)2010 Tính f (a) a 16 16 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5(x xy y2 ) 7(x 2y) Câu (4,5 điểm): 2 a) Giải phương trình: x x x x x 1 1 x y z b) Giải hệ phương trình: 4 xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 A x y3 y3 z z x Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang ) Mơn: TỐN - BẢNG A Câu Nội dung Ý Điểm a 16 16 a3 32 3 (16 5)(16 5).( 16 16 ) a) a 32 3.(4).a (2,0đ) a3 32 12a a3 12a 32 a3 12a 31 f (a) 12010 (1) 5( x2 xy y ) 7( x y) 7( x y) ( x y) 1, (4,5đ) Đặt x y 5t (2) (t Z ) (1) trở thành x xy y 7t (3) Từ (2) x 5t y thay vào (3) ta y 15ty 25t 7t (*) b) 84t 75t (2,5đ) Để (*) có nghiệm 84t 75t 0t 28 25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì t Z t t Thay vào (*) Với t y1 x1 y2 x2 1 y3 x3 Với t ĐK x x Với x thỗ mãn phương trình 2 2, a) Với x Ta có x x x ( x 1) ( x x 1) (4,5đ) (2,5đ) 2 x x 1( x x) ( x x 1) x3 x x x x 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 x2 x 1 Dấu "=" Xẩy 0,25 x x 1 x x Vô lý x x 1 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x 0,25 0,25 x x 1 1 x y z (1) ĐK x; y; z (I ) (2) xy z 1 2 Từ (1) x y z xy xz yz 0,25 Thế vào (2) ta được: 0,25 1 1 2 2 2 2 xy z x y z xy xz yz 1 2 b) x y z xz yz (2,0đ) 1 ( 2)( 2) x xz z y yz z 0,25 0,25 0,25 1 1 1 x z y z 1 x z x y z 1 0 y z 0,25 Thay vào hệ (I) ta được: ( x; y; z ) ( ; ; ) (TM ) 0,25 Ta có (x y)2 x; y 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 2 x2 xy y xy 3, (3,0đ) Mà x; y > =>x+y>0 Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) x3 + y3 ≥ (x + y)xy x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz x3 + y3 + ≥ xy(x + y + z) > Tương tự: y3 + z3 + ≥ yz(x + y + z) > z3 + x3 + ≥ zx(x + y + z) > 1 A xy(x y z) yz(x y z) xz(x y z) xyz A xyz(x y z) 0,25 1 xyz Vậy giá trị lớn A x = y = z = A 4, (5,5đ) Ta có: BDE BAE (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O) BAE BMN (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O') BDE BMN hay BDI BMN BDMI tứ giác nội tiếp a) MDI MBI (cùng chắn cung MI) (3,0đ) mà MDI ABE (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) ABE MBI mặt khác BMI BAE (chứng minh trên) MBI ~ ABE (g.g) MI BI MI.BE = BI.AE AE BE Gọi Q giao điểm CO DE OC DE Q OCD vng D có DQ đường cao 2 b) OQ.OC = OD = R (1) (2,5đ) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO' OO' AB H Xét KQO CHO có Q H 900 ;O chung 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 0,50 0,50 KQO ~ CHO (g.g) Từ (1) (2) KO.OH R OK 5, (2,5đ) 0,50 KO OQ OC.OQ KO.OH (2) CO OH R2 OH Vì OH cố định R không đổi OK không đổi K cố định 0,50 ABC vuông cân A AD phân giác góc A AD BC D (O; AB/2) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP mà NHP 900 H thuộc đường trịn đường kính NP AHN AMN 450 (1) Kẻ Bx AB cắt đường thẳng PD E tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác BED = CDP (g.c.g) BE = PC mà PC = BN BN = BE BNE vuông cân B NEB 450 mà NHB NEB (cùng chắn cung BN) 0,25 0,50 0,25 0,50 NHB 450 (2) Từ (1) (2) suy AHB 900 H (O; AB/2) gọi H' hình chiếu H AB HH'.AB SAHB SAHB lớn HH' lớn mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường trịn đường kính AB OD AB) 0,50 0,50 Dấu "=" xẩy H D M D Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn ... Số báo danh: SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang ) Mơn: TỐN... ABC vuông cân A AD phân giác góc A AD BC D (O; AB/2) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP mà NHP 900 H thuộc đường