CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM

GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM   I LÝ THUYẾT Khái niệm nguyên hàm - Cho hàm số  f ( x)  xác định trên  K  Hàm số  F ( x)  được gọi là nguyên hàm của hàm số  f ( x)  trên  K    nếu:  F ( x)  f ( x),  x  K   -  Nếu  F ( x)  là một  nguyên  hàm của  f ( x)  trên  K   thì  họ nguyên hàm  của  hàm số  f ( x)  trên  K   là:   f ( x)  dx  F ( x)  C ,  const  C     Tính chất: Nếu  f ( x),  g ( x)  là 2 hàm số liên tục trên  K  và  k   thì ta ln có:       f ( x)dx  f ( x)  C           kf ( x)dx  k  f ( x)dx             f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx   Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý) x 1 (ax  b) n 1 n     x  dx  C   ( ax  b )  dx   C    1 a n 1 1  dx   ln ax  b  C        dx  ln x  C    x ax  b a 1 1      dx    C    dx    C    x x (ax  b) a ax  b     sin x  dx   cos x  C    sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C       cosx  dx  sin x  C    cos(ax  b)  dx  a  sin(ax  b)  C   1      dx   cot x  C   dx   cot(ax  b)  C    sin x sin (ax  b) a 1  dx  tan x  C       dx  tan(ax  b)  C   2  cos x cos (ax  b) a x x ax b ax  b     e  dx  e  C    e  dx  a  e  C   dx xa ax   ln C       a x  dx  C   2  x a 2a xa ln a ♦ Nhận xét. Khi thay  x  bằng  (ax  b)  thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm   a Một số lưu ý: Cần nắm vững bảng ngun hàm.  Ngun hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số khơng bằng tích (thương) của các  ngun hàm của những hàm thành phần.  Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành tổng hiệu của những  hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).  II BÀI TẬP Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM BẰNG BẢNG NGUN HÀM Phương pháp: PP   khai triển.  - Tích của đa thức hoặc lũy thừa   PP - Tích các hàm mũ    khai triển theo cơng thức mũ.  PP   chuyển về lũy thừa.  - Chứa căn   PP   khai triển theo cơng thức tích thành tổng.  - Tích lượng giác bậc một của sin và cosin       sin ax.cos bx  sin(a  b) x  sin( a  b) x    Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 1   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài  cos(a  b) x  cos(a  b) x        cos ax.cos bx   cos(a  b) x  cos(a  b) x    PP   Hạ bậc.  Bậc chẵn của sin và cosin   Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau (giả sử điều kiện xác định): Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số vận dụng tính chất nguyên hàm.  a a2 f (a )  3a             ĐS:   F (a)  a   C   4 b 5b f (b)  2b3  5b            ĐS:   F (b)    7b  C   2 c3 f (c)  6c5  12c3  c          ĐS:   F ( x)  c  3c   8c  C   x x 3x f ( x)  ( x  x)  ( x  1)          ĐS:   F ( x)     C   (3  x)4 f ( x)  (3  x)           ĐS:   F ( x)    C   1 x3 x f ( x)   x             ĐS:   F ( x)      C   x x 3 102 x f ( x)  102 x   ĐS:   F ( x)   C   ln10 x4 f ( x)  x  x     ĐS:   F ( x)   x  3.ln x  C   x 4 2 2t  f (t )    ĐS:   F (t )   t   C    t t x 1 f ( x)     ĐS:   F ( x)  ln x   C   x x x f ( x)  sin    ĐS:   F ( x)  x  sin x  C   1 f ( x)  cos2 x   ĐS:   F ( x)  x  sin x  C   f ( x)  tan x   ĐS:   F ( x)  tan x  x  C   f ( x)     C   ĐS:   F ( x)   2 sin x.cos x sin x f ( x)  sin x cos x   ĐS:   F ( x)   cos x  cos x  C   f ( x)  e x (e x  1)   ĐS:   F ( x)  e2 x  e x  C   x   e f ( x)  e x    ĐS:   F ( x)  2e x  tan x  C     cos x       sin ax.sin bx  23  x  C   2 ĐS:   I  x  3 x  C I  x   C   x 25 x  C   ĐS:   F ( x)  x  x  I   ( x  x )  dx   ĐS:   I    I    2x2    dx    x   I     dx    x x x I   4sin x  dx   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng ĐS:   I  x  sin x  C   2   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp I  Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài  cos x  dx   x sin x   C   3x 1 ĐS:   I  3sin x   C   ln ĐS:   I  tan x  cot x  x  C   ĐS:   I  I   (3cos x  3x 1 )  dx    I   (tan x  cot x) dx   33 u  3 u  C   Ví dụ Chứng minh F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) trường hợp sau: Phương pháp: Để F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x), ta cần chứng minh: F ( x)  f ( x) I   u (u  4).du   ĐS:   I  a)    F ( x)  x3  x  x  120 f ( x)  15 x  x    b)    F ( x)  ln( x  x  3) f ( x )  x2    c)    F ( x)  (4 x  5)  e x f ( x)  (4 x  1)  e x   d)    F ( x)  tan x  x     f ( x)  tan x   tan x     x2       2 x e)    F ( x)  ln     f ( x)  ( x  4)  ( x  3)  x 3    2( x  1) x2  x  f)     F ( x)  ln  và f ( x)  x4  x  x 1    Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn   điều kiện cho trước trường hợp sau: Phương pháp: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x), tức tính  f ( x)  dx  F ( x)  C Rồi sau F ( xo )  C   để tìm số C f ( x)  x  x  5,  F (1)          ĐS:   F ( x)  f ( x)   cos x,  F ( )     5x2 ,  F (e)    x x2  f ( x)  ,  F (1)     x f ( x)  x x  ,  F (1)  2   x   I   sin x.cos x.dx,  biết  F       3 x4  x2  5x     4 ĐS:   F ( x)  x  5sin x   3   x 5e     2 x2 ĐS:   F ( x)   ln x    2 22 x  x    ĐS:   F ( x)  5 1 ĐS:   F ( x)   cos x  cos x     12 f ( x)  ĐS:   F ( x)  3ln x  3x  x3   dx,  biết  F (1)    x2 x3  x  3x  I   dx,  biết  F (0)    ( x  1) x    I   sin  dx,  biết  F       2 1  I   x   x    dx,  biết  F (1)     x     x x2 ĐS:   F ( x)   x    x 1 x sin x    ĐS:   F ( x)   2 ĐS:   F ( x)  x3  x  I  x2 ĐS:   F ( x)   x   3ln x    x 2 cos x      dx,  biết  F       ĐS:   F ( x)  x  tan x    cos x 4 Ví dụ Tìm điều kiện tham số m a, b, c để F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) : Phương pháp: Để F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x)  F ( x)  f ( x) Từ đó, ta sử dụng đồng thức để tìm tham số cần tìm I  Ngun hàm, Tích phân Ứng dụng 3   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài  F ( x)  mx3  (3m  2) x  x      f ( x)  x  10 x   F ( x)  ln x  mx      2x   f ( x)  x  3x    F ( x)  (ax  bx  c)  e x    x  f ( x)  ( x  3)  e  F ( x)  (ax  bx  c)  e 2 x    2 x  f ( x)  (2 x  x  7)  e  F ( x)  (ax  bx  c)  e  x    x  f ( x)  ( x  x  2)  e b c   F ( x)  (a  1) sin x  sin x  sin 3x     f ( x)  cos x ĐS:   m    ĐS:   m  3   ĐS:   a  0,  b  1,  c  4   ĐS:   a  1,  b  3,  c    ĐS:   a  1,  b  1,  c  1   ĐS:   a  b  c     F ( x)  (ax  bx  c)  x      20 x  30 x   f ( x)  2x   ĐS:   a  4,  b  2,  c     f ( x)  x  x ,  ( x  3)    F ( x )  ( ax  bx  c )   x  Câu 2 12 ĐS:   a  ;  b   ;  c      5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM  Nguyên hàm của hàm số  f  x   x3  3x   là hàm số nào trong các hàm số sau?  x 3x x4   x  C   B F  x    x  x  C   4 x x C F  x     x  C   D F  x   3x  3x  C   Hàm số  F  x   x  x  x  120  C  là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?  A F  x   Câu A f  x   15 x  x    B f  x   x  x    x x3 x C f  x       D f  x   x  x    là  x Câu Họ nguyên hàm của hàm số:  y  x  x  Câu x3 x3 A F  x    x  ln x  C   B F  x    x  ln x  C   3 x C F  x    x  ln x  C   D F  x   x    C   x Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x    x  1 x     x3 2  x  x  C   3 x3 C F  x   x   C   D F  x    x  x  C   3 2    là hàm số nào?  Nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x    2x x x2 A F  x   Câu x3  x  x  C   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng B F  x   4   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài  C   x 3 C F  x   ln  x  ln x   C   D F  x    ln  x  ln x   C   x x Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  x  x   là  A F  x    ln  x  ln x  Câu Câu  x  3 B x  x  C   C   B  x  3   C Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  x3  x   là  A Câu B F  x    ln  x  ln x  x4  x3  x  C   Một nguyên hàm của hàm số  g ( x)  5 x  x   là:  A  x5  x3  x  C   B 20 x3  x  C   C 20 x  x   Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)   x  3  là  A x  x   Câu  C   x  x  3  x  3   D  x  3 D  x5  x4 A x  x   B x  x  C   C  x3  x  C   4 Câu 10 Một nguyên hàm của hàm số  g ( x)  5 x  x   là:  A  x5  x3  x  C   B 20 x3  x  C   C 20 x  x   Câu 11 Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)   x  3  là:  D x  x  x  C   x C    x  3   D x  x  x  C   D  x5  x C    x  3   B  x  3   C   D     Câu 12 Tính    3x   dx   x   x A  ln x  x  C   B x3   x  C   C x3  ln x  C   D x3  ln x  x  C   x Câu 13 Cho  f ( x)   x3  x  x  Một nguyên hàm  F ( x)  của  f ( x)  thỏa  F 1   là: A x4 x4 x4 x4  x  x    B   x  x    C   x  x    D   x  x    4 4 4 Câu 14 Gọi  F ( x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số  f ( x)  x  x   thì  F ( x) là:  A F ( x)  x3  x  x  C   B F ( x)  x3  x   C   1 C F ( x)  x( x  x  1)  C   D F ( x)  x3  x  x  C   2 Câu 15 Kết quả của   x  x  1 dx bằng:  A  x A F ( x)   1 x B F ( x)  C    x  x3 C F ( x)    x   C   2  D F ( x)  Câu 16  Một nguyên hàm  F  x   của hàm số   f ( x)  A F ( x)     x2 B F ( x)    x2  1 C   x2 x  1  C     là:  x C F ( x)  ln x   Câu 17 Tìm họ nguyên hàm  F  x  của hàm số  f ( x)  3sin x  Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 5   D F ( x)     x , ta được kết quả là:  x Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp A F ( x)  3cos x  ln x  C   Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài   C F ( x)  3cos x  ln x  C   B F ( x)  3cos x  ln x  C   D F ( x)  3cos x  ln x  C   Câu 18 Tìm họ nguyên hàm  F  x   của hàm số f  x      3x –  3x , ta được kết quả là:  3x C   ln x 3x C F ( x)   C   ln Câu 19 Tính   1 x  dx , ta được kết quả là:  A F ( x)  x3  3x C   ln x 3x D F ( x)   C   ln B F ( x)  x3  1 10 10 B F ( x)   1  x   C   1  x   C   10 10 1 10 10 C F ( x)  1  x   C   D F ( x)   1  x   C   10 10 Câu 20 Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số f  x   x  x     , ta được kết quả là:  A F ( x)  x4  x  x2  C   x3 C F ( x)   x  C   Họ nguyên hàm của  f ( x)  x  x   là:  A F ( x)  x3   x  C   C F ( x)  x3  x  x  C   Nguyên hàm của hàm số f ( x)  (2 x  1)3   là: A (2 x  1)  C   B (2 x  1)  C   Nguyên hàm của hàm số f ( x)  (1  x)5   là: A  (1  x)6  C   B (1  x)6  C   12 Nguyên hàm của hàm số f(x) =   x   là :  x 3 A x   C   B x   C   x x Tìm hàm số  f  x   biết rằng  f ’  x   x   và  A F ( x)  Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 B F ( x)  x4  x2  C   D Kết quả khác.  B F ( x)  x   C   D F ( x)  x  x2  x  C   C 2(2 x  1)4  C   D Kết quả khác  C 5(1  x)6  C   D 5(1  x)  C   C x  3ln x  C   D Kết quả khác  f 1    A x  x    B x  x    C x  x   Câu 26 Tìm hàm số  y  f ( x)  biết  f ( x)  ( x  x)( x  1)  và  f (0)    D Kết quả khác  x4 x2 x4 x2   3  B y  f ( x)    4   x x C y  f ( x)      D y  f ( x)  x    2 Câu 27 Cho  f ( x)  x  x   có một nguyên hàm triệt tiêu khi  x   Nguyên hàm đó là kết quả nào sau  đây?  A F ( x)  x3  x  x   B F ( x)  x3  x  x    C F ( x)  x3  x  x    D F ( x)  x3  x  x    b Câu 28 Tìm hàm số  f  x   biết rằng  f '( x)  ax  , f '(1)  0, f (1)  4, f (1)  x A y  f ( x)  Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 6   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp A Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài x2     x B x2     x Câu 29 Một nguyên hàm của hàm số f  x   x  C x2     x D Kết quả khác   x    là  x x3 x3 3  3ln x  x    C F  x    3ln x  x     3 x3 x3 B F  x     x    D.  F  x    3ln x  x    x 3 Câu 30 Một nguyên hàm của hàm số f  x    x  3   là:  A F  x    x  3 F ( x)   x  3 F ( x)   x  3 F ( x)    B F ( x)   x     C   D Câu 31 Nguyên hàm  F  x   của  f  x   x  3x  x   thỏa mãn  F 1     là: A 3   x4 x4  x3  x     B F  x     x3  x     4 4 4 x x C F  x     x3  x    D F  x     x3  x    4 NHĨM 2: HÀM SỐ VƠ TỶ ( CHỨA CĂN) Câu 32 Nguyên hàm của hàm số  f ( x)   là  2x  A  f  x  dx  2x   C   B  f  x  dx  2x   C   A F  x    C  f  x  dx  2x   C   Câu 33 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)  D 2x   C     3 x  f  x  dx  2  x  C   C  f  x  dx   x  C   A Câu 34 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)  2x    A  f  x  dx   2x  1 2x   C   2x   C   C  f  x  dx   Câu 35 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)   3x   A  f  x  dx     3x   3x  C   C  f  x  dx    3x   3x   Câu 36 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)  x    A  f  x  dx   x   x   C   C  f  x  dx   x   x    Câu 37 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)   3x   A  f  x  dx   1  3x   3x  C   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng  f  x  dx  2  f  x  dx    x  C   D  f  x  dx  3  x  C   B B  f  x  dx   2x  1 D  f  x  dx  B  f  x  dx     3x  D  f  x  dx   B  f  x  dx    x   2x   C   2x   C   2 f  x  dx   3x  C   x   C     x    C   D  B  f  x  dx   1  3x  7    3x   3  3x  C   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài  3  C    3x  3x  C   D f x d x    3x         Câu 38 Hàm số   F  x    x  1 x   2016  là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?  C f  x  dx   x  1 x    2 C f  x    x  1 x    A f  x   B f  x    x  1 x   C   D f  x    x  1 x   C   Câu 39 Biết một nguyên hàm của hàm số   f  x     là hàm số  F  x   thỏa mãn  F  1   Khi đó   3x F  x   là hàm số nào sau đây?   3x     3x    C F  x   x   3x     3x   D F  x    a Câu 40 Biết  F ( x)   x  là một nguyên hàm của hàm số  f ( x)   Khi đó giá trị của  a  bằng  1 x A 3   B   C   D  .   1 Câu 41 Tính     dx    x 2 A F  x   x  A x x  C   2 B x  Câu 42 Cho hàm số  f  x    A  f  x  dx   x B F  x   x  x C   C x  xC  2 x  C   x D  . Khi đó :  x C   B  f  x  dx  x  ln x  C   f  x  dx  x   C   x 1 1 C  D  f  x  dx  1     2 x Câu 43 Gọi  F ( x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số  f ( x)   thì  F ( x) là:   2x 1 A F ( x)  ln  x  C   B F ( x)  ln  x  C     2 x C   C F ( x)  ln  x  C   D F ( x)  x  x2 Câu 44 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số  f ( x)  x    biết  F (0)   Kết quả là:  2 2 3 A F ( x)  B F ( x)   3x       3x      9 9 10 10 3 C F ( x)  D F ( x)   3x       3x      3 3 4  Câu 45 Tìm nguyên hàm    x  dx   x  A x5  ln x  C   B  x5  ln x  C   3 C x5  ln x  C   D x5  ln x  C   5 Câu 46 Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  x  k  với  k  0?   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 8   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài x k x  k  ln x  x  k   2 k C f ( x)  ln x  x  k   A f ( x)  x x  k  ln x  x  k   2 D f ( x)    x k B f ( x)  Câu 47 Trong các hàm số sau:  (I) f ( x)  x    (III)  f ( x)    x2  (II)  f ( x)  x      -2    (IV)  f ( x)  x2  Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số  F ( x)  ln x  x    A Chỉ (I)  B Chỉ (III)  C Chỉ (II)  D Chỉ (III) và (IV)    Câu 48 Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)   x    là hàm số nào sau đây:  x  A F ( x)  3 12 x x  x  ln x   5   C F ( x)  x x  x    1  B F ( x)   x     3 x 12 D F ( x)  x x  ln x  x   5  Câu 49 Nguyên hàm   x x  e 2017 x dx  =  e 2017 x x x C  2017 e2017 x C x x  C   2017 Câu 50 Câu 51 Câu 52 Câu 53 e2017 x x x C   2017 e 2017 x D x x  C  2017 NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)  cos  x     6      A  f ( x)dx  sin  x    C   B  f ( x).dx  sin  x    C    6 6      C  f ( x)dx   sin  x    C   D  f ( x)dx  sin  x    C    6  6 x Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)   tan   x x A  f ( x)dx  tan  C   B  f ( x)dx  tan  C   2 x x C  f ( x)dx  tan  C   D  f ( x)dx  2 tan  C   2 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)     2 sin  x   3      A  f ( x)dx   cot  x    C   B  f ( x)dx   cot  x    C   3 3       C  f ( x)dx  cot  x    C   D  f ( x)dx  cot  x    C   3 3   Tính    sin x  cos x dx   A B A  cos x  sin x  C   C cos x  sin x  C   B  cos x  sin x  C   D cos x  sin x  C   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 9   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài  là:  cos x A tan x  C   B cot x  C   C 2sin x  C   Câu 55 Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)    là:  sin x A x  tan x  C   B x  tan x  C   C x  cot x  C   Câu 54 Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  D cos x  C   D x  cot x  C     Câu 56 Cho  f ( x)  sin x  cos x  Một nguyên hàm  F ( x)  của  f ( x)  thỏa  F     là:  4 A  cos x  sin x    B  cos x  sin x    2 C cos x  sin x    D cos x  sin x    Câu 57 Cho hàm số  f ( x)  x  sin x  cos x  Một nguyên hàm  F ( x)  của  f ( x)  thỏa  F (0)   là:  A x  cos x  2sin x   B x  cos x  2sin x    C  cos x  sin x   D x  cos x  2sin x    Câu 58 Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  tan x  là:    2sin x tan x tan x   B   C tan x  x   D   cos3 x 3 cos x Câu 59 Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  cos4 x  sin x  là:  A cos 2x   B sin x   C sin 2x   D cos x   Câu 60 Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  sin x  cos x ?  1 3 A x  sin x   B x  sin x   C x  sin x   D x  cos x   4 16 4 Câu 61 Một nguyên hàm của hàm số  f  x   sin x  3x  là:  A cos x  x   1 C F  x    cos x  x3   D F  x    cos x  x3   2 Câu 62 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số  f  x   2sin x ?  A F  x   cos x  x   B F  x   A F  x   sin x   B F  x   cos x   C F  x   cos x   Câu 63 Hàm số  f ( x)  sin x  có một nguyên hàm là:  A F ( x)  cos x  C   C F ( x)   cos x      D F  x    cos x   B F ( x)  sin x  C   D F ( x)   sin x  C   Câu 64 Biết  F ( x)   1  tan x  dx  khi đó  F ( x)  là:  C   B F ( x)  tan x  C   cos x C F ( x)   tan x  C   D F ( x)  cot x  C   Câu 65 Gọi  F ( x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàmsố  f ( x)  sin x  thì  F ( x) là:  A F ( x)  cos x  C   B F ( x)  sin x  C   C F ( x)   cos x  C   D F ( x)   sin x  C   A F ( x)  Câu 66 Gọi  F1 ( x) là nguyên của hàm  số  f1 ( x)  sin x   thỏa mãn  F1 (0)   và  F2 ( x) là nguyên  của hàm số  f ( x)  sin x  thỏa mãn  F2 (0)   Khi đó phương trình  F1 ( x)  F2 ( x)  có nghiệm là:  Ngun hàm, Tích phân Ứng dụng 10   Tài liệu ơn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài  x  a  t  x  a  x  b  khi   dx  x  b  PP   Đặt        I        x  a  ( x  a)( x  b)  t   x  a   x  b  khi    x  b   Ví dụ Tính nguyên hàm sau: (1  x)2016 (1  x)2017 2015 ĐS:   I     C   I   x  (1  x)  dx    2016 2017 ( x  1)  C   ( x  1)12 2( x  1)11 ( x  1)10 ĐS:   I     C   12 11 10 (2  3x )10 (2  3x )9 ĐS:   I    C   180 81 ĐS:   I  ln x   C   2  C   ĐS:   I  ln x   x 1 1 1 ĐS:   I       C    ( x  1)  x   I   x  ( x  1)3 dx    ĐS:   I  I   x  ( x  1)9  dx    I   x3  (2  x )8  dx    xdx   x2  2x I  dx    ( x  1) x I   dx    ( x  1)5 I   x  I   dx      1 x            1   C   2(1  x ) 4(1  x ) 1     C   4x x 2x x  C   ĐS:   I  ln x   x 1   1 ĐS:   I      C   2  4(2 x  1) 2(2 x  1)   1 I   1     dx     x x xdx I    ( x  1)2 I  ĐS:   I   ĐS:   I   xdx   (2 x  1)3 x5  dx    x2  x4 I   10 dx    x 4 x4 x2   ln( x  1)  C   2 x5   C   ĐS:   I  ln 20 x  I  ĐS:   I  x3 dx   x 1 Ví dụ Tính nguyên hàm sau: ( x  1)dx I    x2  x  I  ĐS:   I  ĐS:   I  x  x   C   I   x  x dx   I  I  xdx ĐS:   I   ĐS:   I    x 4 x dx   1 x ĐS:   I   (2  x )3  C   33 ( x  4)  C   2(3x  x  8)  x  C   15 15 ĐS:   I   (1  x )  C   I   x  x dx   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng x3 x   x  ln x   C   22   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài I   x5 (1  x ) dx   I  I  I  I  ĐS:   I  4x 1 dx                        ĐS:   I  x   x   5ln 2x 1  x3  x2 dx   dx x x2  I  I  ĐS:   I  ln dx x ln x  3ln x ĐS:   I    x  3ln x  dx           ex   C   ( x  1)3 x3   C   3 ĐS:   I  ĐS:   I  ln x  C   (1  ln x)  C   2 (1  ln x)3   ln x  C   33 (2  ln x)  C    (1  3ln x)   3ln x   C     ĐS:   I  ĐS:   I  Ví dụ Tính nguyên hàm sau: dx I  x   e 1   ln  ex 1 ĐS:   I  ln x  C   e ex ln x  C   e 2 ex   C   ĐS:   I  ln x e 1 dx   x e 2 dx I  x   e  2e  x  I  ĐS:   I  ex I   x  x  dx    e e dx I  x   e  4.e  x Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng  C   ĐS:   I  3ln x  ln ln x  C   ln x  dx     ln x x log 32 x  ex 1 ĐS:   I  ln x  ln xdx I    x I  x2   1  3ln x  ln  C    3ln x  ĐS:   I    x  x2  Ví dụ Tính nguyên hàm sau: I   ln x  dx    x 3ln x  I  dx    x ln x I   (1  ln x)  dx    x I  x2   ĐS:   I    xdx ln ( x  x  1)3  x  x   C   ĐS:   I  (cos3 x  cos x) cos x  C   21 dx   x2  x  1  ex (4  x )3  4  x  C   ĐS:   I    x3  3x2  x dx x    C   ĐS:   I  I   sin x cos x dx   I  3(20 x  x  3) (1  x )  C   320 ln e x   C   ex   C   ĐS:   I  ln x e 2 ĐS:   I  23   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài (1  e x )3  dx    ex e2 x  3e x I   2x  dx    e  3e x  (1  e x )2  2(1  e x )  x  x  C   e x e 1 ĐS:   I  ln(e x  3e x  2)  ln x  C   2 e 2 I  I  I  I  e2 x ex 1  dx    dx ex  ex dx ĐS:   I  ĐS:   I  x  x   ĐS:   I   e  ln e    C         ĐS:   I  2ln   ex  Ví dụ Tính nguyên hàm sau: cos xdx I     sin x (2 sin x  3) cos x I   dx    sin x  3cos xdx I    (1  sin x) 2 cos xdx I     2sin x 2 (e x  1)3  e x   C   ĐS:   I   C   (2sin x  1)  ln sin x   C    C   ĐS:   I   sin x 3  ĐS:   I  ln  sin x    C   2  sin x sin x ĐS:   I    C   ĐS:   I  ln  sin x  C    sin x  C   ĐS:   I   sin x  C   ĐS:   I  ln(2  sin x)   sin x I   sin x.cos x.dx    2sin x  dx     sin x cos3 x I    dx    sin x sin x I   dx    (2  sin x)2 I  ĐS:   I  esin x  C   I   esin x cos x.dx      ĐS:   I  cos xdx    5sin x  sin x cos xdx I    11  sin x  cos x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: sin xdx I     cos x 4sin x I   dx     cos x I  sin x sin x sin x   sin x    C   x   sin x  ĐS:   I  ln    C     sin x   sin x ĐS:   I  ln  C    sin x ĐS:   I   ln  cos x  C   ĐS:   I  2(1  cos x)2  C   I   cos x sin xdx   ĐS:   I  sin x cos x  dx     cos x sin x I   dx     cos x I  Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng ex 1 ĐS:   I  ln  sin x  C   I   (cos3 x  1).cos x.dx ex ĐS:   I  cos5 x cos3 x   C   cos x  cos x  ln cos x   C   ĐS:   I  ln(3  cos x)  cos x   C   24   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp I  Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài sin x  sin x  dx    cos x ĐS:   I   x  tan    sin x.(1  sin x)  2 I   dx    cos3 x sin x I   dx    cos x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: tan x I   dx    cos x sin x I   dx    cos x tan x I   dx    cos x dx I    5cos x  8sin x cos x  3sin x (1  sin x)  dx I    2sin x cos3 x  cos x dx I    cos x sin x dx I      cos x cos  x   4    tan  x   4  I  dx    cos x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: cos x I   dx    sin x cos x I   dx    sin x dx I    sin x  cot x dx I    cos x sin x dx I      sin x sin  x   6  sin x.dx I    (sin x  cos x)3 Ví dụ Tính nguyên hàm sau: sin x  cos x I   dx    sin x  cos x cos xdx I    sin x  cos x  cos x  dx I   (sin x  cos x  2)3   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng ln 2 cos x   cos x  C   cos x  1  C   cos x 1   C   ĐS:   I  3cos x cos x ĐS:   I  tan x  C   tan x ĐS:   I   C   tan x tan x   tan x  ln  C   ĐS:   I   tan x  1 tan x  ĐS:   I  ln  C   tan x  ĐS:   I  tan x tan x ĐS:   I    ln tan x   C   4 tan x ĐS:   I   tan x   C   tan x ĐS:   I   ln  tan x  C   ĐS:   I   C    tan x ĐS:   I   cot x  C   15 cot x  42 cot x  35 cot x ĐS:   I   C   105 ĐS:   I   cot x  C   ĐS:   I   ln cot x  cot x  C   ĐS:   I  2 ln cot x  C   ĐS:   I   C   2(1  cot x) ĐS:   I   ln sin x  cos x  C   ĐS:   I  sin x  cos x   ln sin x  cos x    ĐS:   I  25   1   C   (sin x  cos x  2) sin x  cos x  Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài I   sin x.(1  sin x)3 dx   ĐS:   I  Ví dụ 10 Tính nguyên hàm sau: dx I     x2 I  I  dx x2  x2 dx ( x  1)3 ĐS:   I     C   25  x  C   ĐS:   I   25 x ĐS:   I  ( x  2)  x  C   3 2 I   x2  x2  C   9x x  C   ĐS:   I  x2    x 25  x x3 I  dx    1 x2 I  x ĐS:   I     dx I  (1  sin x)  C   1 x dx    x4 dx   x2  ĐS:   I   (1  x )  C   3x3 ĐS:   I  ln x  x   C   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 146 Tính   A C x 1 dx   x2  x  2x  C   x  2x  B x  x   C   x2  2x  C   D Câu 147 Họ nguyên hàm của hàm số  f  x   x x2  x2  2x   C    là  A F  x   ln x   C   B F  x   x   C   C F  x   x   C   D F  x    x  1 C   Câu 148 Một nguyên hàm của hàm số  f  x   cos x.esin x  là  A F  x   esin x   B F  x   ecos x   Câu 149 Cho hàm số  f  x   x  x  1 A  f  x x dx   f  x x dx   1 C   B  f  x x dx   f  x x dx  2016   D 2016 Câu 150 Hàm số  F  x   e x  là nguyên hàm của hàm số  C D F  x   sin x.esin x    . Khi đó :  2017 4034  1 2016 C F  x   e  sin x    1 2016 4032  1   2017 2017   2 ex A f  x   xe   B f  x   e   C f  x     D f  x   x e x    2x Câu 151 Họ các nguyên hàm của hàm số  f ( x)  tan x  là:  1 C   C    A F ( x)  B F ( x)  cos x sin x x2 Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 2x 26   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài C F ( x)  ln cos x  C   D F ( x)   ln cos x  C   Câu 152 Kết quả của   cos x s inx  1dx bằng:  C F ( x)  A F ( x)   s in x  1 C   s in x  1  C   ex Câu 153 Kết quả của   ex  B F ( x)   D F ( x)   s in x  1 C    s in x  1  C   dx  bằng:  A F ( x)  e x   C   B F ( x)  e x   C   C F ( x)  e x   C   D F ( x)  Câu 154 Hàm số  f ( x)  ex e x  3x C   ln x  có các nguyên hàm là:  x B F ( x)  ln x  C     C   D F ( x)  x.x A F ( x)  ln x  C   ln x  C   x )  có các nguyên hàm là:  Câu 155 Hàm số  f ( x)  ln x(  x ln x C F ( x)  ln x  x C   ln x x2 C F ( x)   x C   D F ( x)  ln x(ln x  )C   2 ln x   Câu 156 Gọi hàm số  F ( x) là một nguyên hàm của  f ( x)  , biết  F     Vậy  F ( x)  là:  s inx 2 1  cos x 1  cos x A F ( x)  ln B F ( x)  ln   1   cos x  cos x  cos x 1  cos x C F ( x)  ln D F ( x)  ln 1   1   cos x  cos x x Câu 157 Gọi  F ( x) là nguyên của hàm số  f ( x)   thỏa mãn  F (2)   Khi đó phương trình  F ( x)  x    x2 có nghiệm là:  A x    B x    C x  1   D x     Câu 158 Nguyên hàm của hàm số: y = sin x.cos x là: 1 1 A sin x  sin x  C   B  sin x  sin x  C    5 C sin x sin x + C  D Đápán khác.  x Câu 159 Một nguyên hàm của hàm số:  y   là:   x2 A F ( x)  x  x   B   x    x   C  x  x   D   x    x   3 Câu 160 Hàm số nào dướiđây là một nguyên hàm của hàm số:  y     x2 A F ( x)  ln x  x  C    B F ( x)   A F ( x)   ln x   x   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng   B F ( x)  ln x   x   27   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài C F ( x)   x   D F ( x)  x   x   Câu 161 Một nguyên hàm của hàm số:  f ( x)  x sin  x  là:  A F ( x)    x cos  x  sin  x     B F ( x)    x cos  x  sin  x   C F ( x)   x cos  x  sin  x     D F ( x)   x cos  x  sin  x   Câu 162 Một nguyên hàm của hàm số:  f ( x)  x  x  là:  1  x2    x    A F ( x)  B F ( x)  2 x  x2   C F ( x)   x2   D F ( x)  2015 Câu 163 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số  f  x   x 1  x  , ta được kết quả là:          1 2017 2016 1  x   1  x   C     2017 2016 1 2017 2016 B F ( x)  1  x   1  x   C   2017 2016 1 2017 2016 C F ( x)   1  x   1  x   C   2017 2016 1 2017 2016 D F ( x)   1  x   1  x   C   2017 2016 2x Câu 164 Tìm nguyên hàm  F  x   biết  f ( x)   . Kết quả là:  x  x2 1 2 2 A F ( x)  x3   x  1 x    B F ( x)  x3   x  1 x    3 3 2 2 C F ( x)  x   x  1 x    D F ( x)  x3   x  1 x    3 3 A F ( x)  Câu 165 Tính:  P   x2  dx   x  A P  x x   x  C   C P  x   ln  B P  x   ln x  x   C    x2  C   x D Đápán khác.  sin x  . Kết quả là:  sin x  cos x 1 A F (x )  x  ln sin x  cos x  C   B F ( x)   x  ln sin x  cos x   C   2 1 C F ( x)   x  ln sin x  cos x   C   D F ( x)   x  ln sin x  cos x   C   2 Câu 167 Tìm nguyên hàm  F  x  biết f  x   cos x cos x sin x  . Kết quả là:  Câu 166 Tìm nguyên hàm  F x   biết  f (x )    1 1 cos x  cos x  cos x  cos x  C   28 20 12 1 1 B F ( x)   cos x  cos x  cos x  cos x  C   28 20 12 1 1 C F ( x)  cos x  cos x  cos x  cos x  C   28 20 12 A F ( x)   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 28   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài 1 1 cos x  cos x  cos x  cos x  C   28 20 12 Câu 168 Tìm nguyên hàm  F  x   biết  f ( x)  x sin x  Kết quả là:  D F ( x)   A F ( x)  2 x cos x  x sin x  cos x  C     B F ( x)  2 x cos x  x sin x  cos x  C   C F ( x)  2 x cos x  x sin x  cos x  C     D F ( x)  x cos x  x sin x  cos x  C   Câu 169 Tính nguyên hàm   xe x 1dx , ta được:  x2 1 e C   2 C F ( x)   e x 1  C   ln Câu 170 Tính   x dx  Kết quả sai  là:  x A F ( x)   x A F ( x)  2  1  C   B F ( x)  2 x  1  C     D F ( x)  x 1  C   Câu 171 Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của  f ( x)  ?   x2 x A F ( x)     B F ( x)  ln  x     1 x C F ( x)  x  B F ( x)  e x 1  C     2 D F ( x)  e x  C   C      C F ( x)  ln x   x   Câu 172 Nguyên hàm của hàm số  f ( x)  A F ( x)  ln  x  1  C   C F ( x)  x  C    D F ( x)  ln x   x   x   là  x 1 B F ( x)  ln  x  1  C   D F ( x)    x 1 ln C   x 1 cos x dx   sin 20 x 1 C   C   A F ( x)   B F ( x)  19 19sin x 19sin19 x 1 C  C   C F ( x)   D F ( x)  19 19 cos x 19 cos19 x Câu 174 Hàm số  F ( x)  ln sin x  3cos x   là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?  Câu 173 Tìm   A f ( x)  cos x  3sin x   sin x  3cos x C f ( x)  cos x  3sin x   Câu 175 Tìm   A  cosx  3sin x   sin x  3cos x sin x  3cos x D f ( x)    cos x  3sin x B f ( x)  x 1 dx   x  2x  2x  C   x2  2x  B x  x   C     x2  2x  C   D Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 29   C   x2  2x   C   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài   Câu 176 Nguyên hàm  F  x   của hàm số  f ( x)  sin 2 x.cos3 x  thỏa  F     là  2 1 1 A F  x   sin x  sin x   B F  x   sin x  sin x   10 10 1 1 C F  x   sin x  sin x    D F  x   sin x  sin x    10 15 10 15 x e Câu 177 Một nguyên hàm  F ( x)  của hàm số  f ( x)  x   thỏa  F     ln  là  e 2 A F ( x)  ln  e x    ln   B F ( x)  ln  e x    ln   C F ( x)  ln  e x    ln   D F ( x)  ln  e x    ln   x2 Câu 178 Nguyên hàm của hàm số  y  f  x   A F  x   x3   là  x x3  C   x3  C   C F  x   Câu 179 0034: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?  1  x   x dx  A x  x2 C  x 1  x  2 x  C   D F  x   C   x3   C    B F  x   1  x  dx  x C   Câu 180 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?  ln x dx  ln x  C   A  x ln x ln x B  dx  C  x B  x 1  x  1  x  dx  C   ln 1  x  x D  dx  C   x2   ln x    ln x  ln x  ln x C  dx   C   x 10 ln x ln x D  xdx  C   x Câu 181 Nguyên hàm của hàm số  y  f  x   e x  23 x  x  là  e x 23 x x e x 23 x x   C  B F  x     C   ln 2 ln 23 x x e x 23 x C F  x   e x   C   D F  x    1 C   ln 2 ln Câu 182 Hàm số  F  x   ln sin x  3cos x  là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây:  A F  x   cos x  3sin x   sin x  3cos x  cos x  3sin x C f  x     sin x  3cos x ln Câu 183 Tính   x dx , kết quả sai là:  x B f  x   cos x  3sin x   A f  x    A 2 x  1  C    B 2 x D f  x    1  C   C 21 x   sin x  3cos x   cos x  3sin x C   D x C  Câu 184 Kết quả nào sai trong các kết quả sau:  Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 30   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài A dx  x ln x.ln  ln x   ln  ln  ln x    C   C   cos x  tan  C   dx x Câu 185 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)  e3cos x sin x   A  f ( x)dx  e3cos x cos x  C   B C  f ( x)dx   e3cos x  C   D ln x Câu 186 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)    2x ln x A  f ( x)dx  C   B ln x C  f ( x)dx  C   D 4x Câu 187 Nguyên hàm của hàm số:  I   x3 x  1dx  là:  x  x2   1 ln  f ( x)dx  3e 3cos x C  3cos x cos x  C    f ( x)dx  3e   ln x C   f ( x)dx   C   2x f ( x)dx  2  A F(x) =    x  1   x  1   x  1   x  1  9  6 2  B F(x) =   x  1   x  1   x  1   x  1  9  6 2  C F(x) =   x  1   x  1   x  1   x  1  7 9  6 2  D F(x) =    x  1   x  1   x  1   x  1  9  dx Câu 188 Nguyên hàm của hàm số:  I     là:  2x    2x   4  C   2x   ln  2x     C   dx C   x2  x2   xdx 1  ln  x  C   D   2x B x 1  C   x 1  C   x 1  C   x 1  C    A F(x) =  2x   ln B F(x) = 2x   ln C F(x) = D F(x) =  2x   ln Câu 189 Nguyên hàm của hàm số:  y      2x    C     2x    C   cos5 x dx là:   sin x sin x cos x  C   sin x cos x C sin x   C   sin 3x cos 4 x  C  sin x cos x D sin x   C   A cos x  B sin x  ( x  x )e x dx  là:  x  e x A F(x) =  xe x   ln xe x   C   B F(x) =  e x   ln xe x   C   Câu 190 Nguyên hàm của hàm số:  y   C F(x) =  xe x   ln xe  x   C   dx là:  x  a2 xa xa A ln +C  B ln +C  2a x  a 2a x  a dx Câu 192 Nguyên hàm của hàm số:  y   là:  a  x2 Câu 191 Nguyên hàm của hàm số:  y   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng D F(x) =  xe x   ln xe x   C   C 31   xa ln +C  a xa D xa ln +C  a xa Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài ax ax xa ln +C  B ln +C  C ln +C  2a a  x 2a a  x a xa Câu 193 Nguyên hàm của hàm số:  y   x x  dx là:  A D xa ln +C  a xa 5 2 2  4x  72    4x  72   C    4x  72    4x  72   C   B   20  18  5 2 2  4x  72    4x  72   C    4x  72    4x  72   C   C D   14  16  Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Định lý:  Nếu hai hàm số  u  u ( x)  và  v  v( x)  có đạo hàm và liên tục trên  K  thì  A I   u ( x)  v( x)  dx  u ( x)  v( x)   u ( x)  v( x)  dx hay  I   udv  uv   vdu        Vận dụng giải toán:  - Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác   e x sin x.dx,   Vi   phân u      du   dx - Đặt:     Suy ra:  I   udv  uv   vdu   Nguyên  ha  m   v   dv   dx    - Thứ tự ưu tiên chọn u:  log – đa – lượng – mũ và  dv   phần lại. Nghĩa là nếu có ln hay  log a x  thì chọn  ln x  và  dv   còn lại. Nếu khơng có  ln;   log  thì chọn  u   đa thức và  dv   còn lại.  u  ln  hay  u  log a x  ln a Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn  u   lượng giác,….  - Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.  Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi Ví dụ Tính nguyên hàm sau: I   x  sin x  dx    ĐS:   I  sin x  cos x  C   I   (1  x)  e x  dx    ĐS:   I  (3  x)  e x  C   ex (sin x  cos x)  C   x2 ĐS:   I  ( x  x) ln x   x  C   3x xe e3 x ĐS:   I    C   x3 ln x x ĐS:   I    C   ĐS:   I  x ln x  x  C   I   e x  cos x  dx    ĐS:   I  I   (2 x  1)  ln x  dx    I   x  e3 x  dx    I   x  ln x  dx    I   ln x  dx    ĐS:   I   I   ( x  1)  sin x  dx    I   x  e x  dx    x 1 cos x  sin x  C   ĐS:   I  (1  x)  e  x  C   I   x  cos x  dx    e x  (sin x  cos x)  C   ĐS:   I  x sin x  cos x  C   x I   x  sin  dx    x I   x  e  dx    x x ĐS:   I  2 x cos  sin  C   2 x ĐS:   I  xe  e x  C   I   e x  sin x  dx    ĐS:   I  ĐS:   I  I   x  ln(1  x)  dx    Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 32   x2 ln(1  x) (1  x)2 ln(1  x)    C   2 Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài I   x  sin x  dx    ĐS:   I  I   ln( x   x )  dx    I   x  ln I  ĐS:   I  x ln( x   x )   x  C   x2 1  x ln  C   1 x ln x ĐS:   I     C   2x 4x 1 ĐS:   I   x cos x  sin x  C   ĐS:   I  e 2 x (3sin x  cos x)  C   13 1 ĐS:   I  x tan x  ln cos x  C   2 x ĐS:   I   sin x  cos x  C   4 x ln x x ĐS:   I    C   16 1 x  dx    1 x ĐS:   I  x  ln x  dx    x3 I   x  sin x  cos x  dx    I   e2 x  cos x  dx    I  x  dx    cos x I   x  (2 cos x  1)  dx    I   x3  ln x  dx    I  x  dx    sin x ĐS:   I   x cot x  ln sin x  C   1 ( x  2)e2 x  e x  C   2 ĐS:   I  ( x  1) ln( x  1)  x   C   I   ( x  2)  e x  dx    ĐS:   I  I   x  ln( x  1)  dx    Ví dụ Tính nguyên hàm sau: x2  I    ln x  dx    x 1  ĐS:   I   x    ln x  x   C   x x  ĐS:   I  x sin x  cos x  C   I   cos x  dx    ĐS:   I  2 x cos x  2sin x  C   I   sin x  dx    2 I   (8 x3  x)  e x  dx    x2 x x e  e  C   2 1 ĐS:   I  x 3e x  e x  C   3 sin x ĐS:   I  2sin x.e  2esin x  C   ĐS:   I  I   x5  e x  dx    I   esin x  sin x  dx    I   x  e x  dx    ĐS:   I  xe  xe x  4e x  C   ĐS:   I   ln( x  1)  dx    x2 I   e x  ln(e x  1)  dx    ln(4 x  x  3)  dx    ( x  1)3 x ( x  1) ln( x  1)  x  x  C   1 x ĐS:   I    ln x   ln  C   x x x 1 I   x  ln( x  1)  dx    I  ĐS:   I  (4 x  1)  e x  4e x  C   I   x3 e x  dx    I  x x sin x cos x    C   4 ĐS:   I  (e x  1) ln(e x  1)  e x  C   ĐS:   x2  8x  ln x  x   ln x   C   2( x  1)2   I   1  ĐS:  I  ( x  x  1) ln x  x   x  x  C     ln( x  x  1)  dx     x BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 194 Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  xe x  là:  Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 33   Tài liệu ơn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài B e x  x  1  C   A e x  C   C e x  x  1  C   D x2 x e C   Câu 195 Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  ( x  x).e x  là:  A (2 x  2).e x   B x e x   C ( x  x).e x   D ( x  x).e x   Câu 196 Cho hàm số  f ( x)  x.e  x  Một nguyên hàm  F ( x)  của  f ( x)  thỏa  F (0)   là:  A ( x  1)e x    B ( x  1)e x    C ( x  1)e  x    D ( x  1)e x    Câu 197 Cho  f ( x)  x sin x  Nguyên hàm của  f ( x)  là:  A  x cos x  C   B x sin x  cos x  C     C sin x  x cos x  C   D  x cos x  sin x  C   x2 Câu 198 Nguyên hàm của hàm số  f ( x)  xe  là hàm số:  2 2 A F ( x)  2e x   B F ( x)  e x   C F ( x)  x e x   D F ( x)  e x  xe x   x Câu 199 Cho  f ( x)   ln tdt  Đạo hàm  f '( x)  là hàm số nào dưới đây?  B ln x x Câu 200 Một nguyên hàm của  f ( x)  x3e x  là:  A C ln x A ( x  x  x  6)e x   C ( x  x  6)e x   B ( x  x  6)e x   D x e x   D ln x 2 Câu 201 Một nguyên hàm của hàm số  f  x   x.e x  là :  A F  x   2e x   B F  x   x e x   C F  x   x2 e   2 D F  x   xe x  e x   Câu 202 Hàm số  f ( x)  ( x  1) sin x  có các nguyên hàm là:  A F ( x)  ( x  1) cos x  s inx  C   B F ( x)  ( x  1) cos x  s inx  C   C F ( x)  ( x  1) cos x  s inx  C   D F ( x)  ( x  1) cos x  s inx  C   Câu 203 Hàm số  f ( x)  ln x  có các nguyên hàm là:  A F ( x)  x(ln x  1)  C   B F ( x)   C   x ln x C F ( x)  C   D F ( x)  x(ln x  1)  C     Câu 204 Hàm số  f ( x)  cos x   x   có các nguyên hàm là:   cos x    x A F ( x)  sin x  B F ( x)  x(1  sin x)  cos x  C    x2   C    sin x  C F ( x)  x(1  sin x)  cos x  C   D F ( x)  x(1  sin x)  cos x  C   Câu 205 Gọi hàm số  F ( x) là một nguyên hàm của  f ( x)  x cos x , biết  F (0)   Vậy  F ( x)  là:  1 1 A F ( x)  x sin x  cos x  C   B F ( x)  x sin x  cos x    9 1 C F ( x)  x sin x   D F ( x)  x sin x  cos x    9 x Câu 206 Tính   xe dx , ta được kết quả là:  A F  x     e x – xe x  C   B F  x   e x  xe x  C   C F  x     e x – xe x  C   D F  x     e x  xe x  C   Câu 207 Tính   x cos xdx , ta được kết quả là:  Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng 34   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài A F  x   x sin x  cos x  C   B F  x   x sin x  cos x  C   C F  x    x sin x  cos x  C   D F  x    x sin x  cos x  C   Câu 208 Tìm    x cos xdx  là:  1 1 x sin x  cos x  C   B x sin x  cos x  C   2 x sin x C C   D sin x  C   Câu 209 Một nguyên hàm của hàm số  f ( x)   x  x  e x  là  A A F ( x)  (2 x  2).e x   C F ( x)  ( x  x).e x   Câu 210 Một nguyên hàm của  f ( x)  x e x   là  x A F ( x)  ( x  x  2)e   C F ( x)  ( x  x  2)e x   B F ( x)  x e x   D F ( x)  ( x  x).e x   x3 x B F ( x)  e   D F ( x)  xe x   Câu 211 Nguyên hàm  F  x   của  f ( x)  xe  x  thỏa  F      là  A F ( x)    x  1 e  x    B F  x     x  1 e  x    C F ( x)   x  1 e  x    D F ( x)   x  1 e  x    Câu 212 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?   x cos x A  x sin xdx  C   C  x cos xdx  x sin x  cos x  C   Câu 213 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?  xe3 x x A  xe3 x dx   e C   x C  xe x dx  e x  C   Câu 214 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?  A  ln xdx  x ln x  x  C   x2 x2 ln x   C   Câu 215 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?  C  x ln xdx  A  ln xdx  x ln x   x ln x  x   C   ln x  ln x dx   C   x x x Câu 216 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?  x x A  x dx  x  x  C   e 2e 4e 3x xe C  xe3 x dx   e3 x  C   Câu 217 Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?  x3 A  x ln xdx   C   x C  Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng B  x sin xdx   x cos x  sin x  C   D  x sin xdx  B  xe dx  xe D e x x x dx  x  x cos x  sin x  C    ex  C   x  C   ex ex C  x x3 x3 D  x ln xdx  ln x   C   B  ln xdx  ln x C  ln x  ln x  C  D  dx  x 2x 4x B  ln xdx  B  xe x dx   xe  x  e x  C   x2 x D  xe dx  e  C   2x 35   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   GV: Vũ Viết Tiệp B Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài  x ln xdx  x3 x3 ln x   C       C  ln x   x dx  x ln x   x   x  C   e x  sin x  cos x  C   D  e sin xdx  Câu 218 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)  x.sin  x  1   x A x  f ( x)dx   cos  x  1  sin  x  1  C   x2 B  f ( x)dx   cos  x  1  C   x C  f ( x)dx  cos  x  1  sin  x  1  C   x D  f ( x)dx   cos  x  1  sin  x  1  C   2 Câu 219 Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x)  x.ln 1  x     f ( x)dx  B  f ( x)dx  C  D  A x2 C   2( x  1) x2 ln 1  x   x3 ln(1  x)  C   x f ( x)dx   x  1 ln 1  x   x   C   2 x x f ( x)dx  ln 1  x   x   ln( x  1)  C   2 Câu 220 Nguyên hàm của hàm số:  I   cos x.ln(sin x  cos x)dx  là:  1 1  sin x  ln 1  sin x   sin x  C   1 B F(x) =  1  sin x  ln 1  sin x   sin x  C   1 C F(x) =  1  sin x  ln 1  sin x   sin x  C   4 1 D F(x) =  1  sin x  ln 1  sin x   sin x  C   4 Câu 221 Nguyên hàm của hàm số:  I    x   sin 3xdx  là:  A F(x) =  A F(x) =    x   cos 3x  sin 3x  C    x   cos 3x  sin 3x  C   C F(x) =   Nguyên hàm, Tích phân Ứng dụng B F(x) =   x   cos x  sin 3x  C    x   cos 3x  sin 3x  C   D F(x) =   3 36   Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia   ... C   Nguyên hàm của hàm số f ( x)  (2 x  1)3   là: A (2 x  1)  C   B (2 x  1)  C   Nguyên hàm của hàm số f ( x)  (1  x)5   là: A  (1  x)6  C   B (1  x)6  C   12 Nguyên hàm của hàm số f(x) =  ... Bậc chẵn của sin và cosin   Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau (giả sử điều kiện xác định): Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số vận dụng tính chất nguyên hàm.   a a2 f (a )  3a          ...   ;  c      5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM  Nguyên hàm của hàm số  f  x   x3  3x   là hàm số nào trong các hàm số sau?  x 3x x4   x  C   B F  x    x  x  C