Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là học phần thứ hai của bộ môn giải tích, được giảng dạy cho sinh viên ngành Sư phạm Toán vào học kỳ 4. Học phần này trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về phép tính tích phân hàm nhiều biến và phương trình vi phân thường; Rèn luyện cho sinh viên khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng tính đạo hàm, tích phân, xét tính khả vi, liên tục của các hàm số, giải một số phương trình vi phân quen thuộc; Giúp cho sinh viên có những hiểu biết sâu sắc hơn những kiến thức đã học trong học phần Giải tích 1 và cung cấp cho họ các kiến thức cơ sở để học tiếp các học phần khác của bộ môn Giải tích, Xác suất và Hình học Trình bày được tính liên tục, khả vi, khả tích của tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng số và cận hàm số; Biết vận dụng để xét tính liên tục, khả vi, khả tích và tính giới hạn, đạo hàm, tích phân. 3 1.3.1 G1.2 Trình bày được khái niệm hội tụ đều, dấu hiệu hội tụ đều, tính liên tục, khả vi, khả tích của tích phân phụ thuộc tham số với cận vô hạn; Biết vận dụng để tính giới hạn, đạo hàm, tích phân, xét tính liên tục, khả vi, khả tích. 3 1.3.1 G2.1 Trình bày được các định nghĩa và tính chất cơ bản của tích phân bội. Chứng minh được một vài tính chất đơn giản. 3 1.3.1 G2.2 Biết vận dụng Định lý Fubini để tính tích phân 2 và 3 lớp. 3 1.3.1 G2.3 Biết vận dụng các công thức đổi biến để tính tích phân bội. 3 1.3.1 G2.4 Biết vận dụng Định lý Lebesgue để xét tính khả tích của một số lớp hàm quen thuộc. 2.5 1.3.1 G2.5 Ứng dụng tích phân bội để tính diện tích, thể tích, diện tích mặt cong, tìm tọa độ trọng tâm và khối lượng vật thể. 3 1.3.1G3.1 Trình bày được các định nghĩa và tính chất cơ bản của tích phân đường loại 1, loại 2; tích phân mặt loại 1, loại 2. 3 1.3.1 G3.2 Tính được tích phân đường loại 1, loại 2, tích phân mặt loại 1, loại 2. 3 1.3.1 G3.3 Phát biểu được công thức Green, Định lý 4 mệnh đề tương đương và biết áp dụng để tính tích phân đường loại 2 và tính diện tích hình phẳng. 2.5 1.3.1 G4.1 Trình bày được các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân, nghiệm tổng quát, nghiệm kỳ dị, đường cong tích phân. 3 1.3.1 G4.2 Nhận dạng và giải được các phương trình vi phân cấp 1 quen thuộc. 3 1.3.1 G4.3 Giải được phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 và hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số. 3 1.3.1 G4.4 Áp dụng phương trình vi phân để giải quyết các bài toán tìm đường cong.
ĐINH HUY HOÀNG (CHỦ BIÊN) KIỀU PHƯƠNG CHI - NGUYỄN HUY CHIÊU - NGUYỄN VĂN ĐỨC GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH NGHỆ AN, 2018 PGS TS ĐINH HUY HOÀNG (CHỦ BIÊN) PGS TS KIỀU PHƯƠNG CHI, TS NGUYỄN HUY CHIÊU, TS NGUYỄN VĂN ĐỨC GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH (DÙNG CHO ĐÀO TẠO CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC) NGHỆ AN, 2018 MỤC LỤC Lời nói đầu Chương 1.1 1.2 1.3 2.2 Tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận khơng đổi 10 1.1.1 Tính liên tục 10 1.1.2 Tính khả vi 12 1.1.3 Tính khả tích 15 Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm tham số 17 1.2.1 Tính liên tục 17 1.2.2 Tính khả vi 19 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận 22 1.3.1 Sự hội tụ 22 1.3.2 Tính liên tục 26 1.3.3 Tính khả tích 28 1.3.4 Tính khả vi 29 Chương 2.1 Tích phân bội 38 Định nghĩa tính chất tích phân bội 39 2.1.1 Tích phân bội điều kiện cần để hàm khả tích 39 2.1.2 Điều kiện cần đủ để hàm khả tích 45 2.1.3 Các tính chất tích phân bội 51 Chuyển tích phân bội tích phân lặp 58 2.3 2.4 2.2.1 Định lí Fubini 58 2.2.2 Các ví dụ 63 Đổi biến tích phân bội 66 2.3.1 Công thức đổi biến 67 2.3.2 Đổi biến tọa độ cực 70 2.3.3 Đổi biến tọa độ trụ 75 2.3.4 Đổi biến tọa độ cầu 78 Ứng dụng tích phân bội 81 2.4.1 Tính diện tích hình phẳng 81 2.4.2 Tính thể tích vật thể 83 2.4.3 Tính diện tích mặt cong 85 2.4.4 Tính khối lượng tìm tọa độ trọng tâm vật thể 89 Chương 3.1 3.2 Giáo trình Giải tích Tích phân đường tích phân mặt 102 Tích phân đường loại 103 3.1.1 Đường cong 103 3.1.2 Bài tốn dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 104 3.1.3 Định nghĩa tích phân đường loại 105 3.1.4 Sự tồn cách tính tích phân đường loại 106 3.1.5 Tính chất tích phân đường loại 109 Tích phân đường loại 116 3.2.1 Bài tốn dẫn đến tích phân đường loại 116 3.2.2 Định hướng đường cong 118 3.2.3 Định nghĩa tích phân đường loại 119 3.2.4 Sự tồn cách tính tích phân đường loại 120 3.2.5 Tính chất tích phân đường loại 121 3.2.6 Mối liên hệ tích phân đường loại tích phân đường loại 2123 3.2.7 Cơng thức Green 123 3.2.8 3.3 3.4 3.5 4.2 Định lí bốn mệnh đề tương đương 131 Tích phân mặt loại 136 3.3.1 Định nghĩa tích phân mặt loại 136 3.3.2 Sự tồn cách tính tích phân mặt loại 137 3.3.3 Các tính chất tích phân mặt loại 139 Tích phân mặt loại 143 3.4.1 Định hướng mặt 3.4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại 144 3.4.3 Sự tồn cách tính tích phân mặt loại 145 3.4.4 Công thức Ostrograsky công thức Stokes 147 143 Một số khái niệm tính chất từ lý thuyết trường 151 3.5.1 Tích vơ hướng tích có hướng 151 3.5.2 Trường vô hướng trường vectơ 151 3.5.3 Gradient trường vô hướng 152 3.5.4 Divergent trường vô hướng 152 Chương 4.1 Giáo trình Giải tích Phương trình vi phân 157 Các khái niệm phương trình vi phân 158 4.1.1 Khái niệm phương trình vi phân 158 4.1.2 Nghiệm Bài toán Cauchy 159 Phương trình vi phân cấp 160 4.2.1 Các khái niệm kết 160 4.2.2 Phương trình có biến số phân ly 167 4.2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp 170 4.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 174 4.2.5 Phương trình Bernoulli 176 4.2.6 Phương trình vi phân tồn phần thừa số tích phân 178 4.2.7 Phương trình Riccati 185 4.2.8 4.3 4.4 Giáo trình Giải tích Phương trình Lagrange phương trình Clairaut 188 Phương trình vi phân cấp hai 191 4.3.1 Mở đầu phương trình vi phân cấp hai 191 4.3.2 Phương trình vi phân cấp hai hạ cấp 193 4.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 204 4.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số 215 Hệ phương trình vi phân cấp 222 4.4.1 Các khái niệm 222 4.4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 228 Hướng dẫn giải tập 242 Tài liệu tham khảo 306 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình phần Giáo trình Giải tích Nó biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích khung chương trình đào tạo đại học qui theo hướng tiếp cận CDIO dành cho sinh viên ngành Sư phạm Toán trường Đại học Vinh Nội dung giáo trình bao gồm phép tính tích phân hàm nhiều biến phương trình vi phân thường, chia thành chương Chương trình bày tích phân phụ thuộc tham số, PGS.TS Đinh Huy Hoàng trực tiếp biên soạn Chương đề cập đến kết tích phân bội, TS Nguyễn Huy Chiêu đảm nhiệm Chương dành để giới thiệu nội dung tích phân đường tích phân mặt, PGS TS Kiều Phương Chi phụ trách Chương trình bày nội dung phương trình vi phân, TS Nguyễn Văn Đức biên soạn PGS TS Đinh Huy Hồng chủ biên, chịu trách nhiệm chất lượng, nội dung hình thức giáo trình Các kiến thức giáo trình giúp sinh viên hiểu sâu chất nhiều vấn đề học học phần Giải tích mà sinh viên giảng dạy trường phổ thông sau làm sở cho sinh viên học tập tiếp học phần khác chương trình đào tạo Với nội dung này, giảng viên lên lớp 60 tiết yêu cầu sinh viên tự học, tự nghiên cứu 120 tiết Để tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên trình tự học, tự nghiên cứu, chúng tơi cố gắng biên soạn giáo trình tương đối đầy đủ, chặt chẽ với nhiều ví dụ minh họa, đồng thời có thêm phần "Hướng dẫn giải tập" cuối giáo trình Để lĩnh hội nội dung giáo trình người đọc mặt cần phải nắm kiến thức Học phần Giải tích 1, mặt khác cần nỗ lực, cố gắng tự học, tự nghiên cứu bám sát mục tiêu chương Giáo trình biên Giáo trình Giải tích soạn dành cho sinh viên ngành Sư phạm Toán trường Đại học Vinh, tài liệu tham khảo tốt cho người học tập giảng dạy phần Giải tích cổ điển trường đại học Mặc dù cố gắng chắn giáo trình sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý người đọc để giáo trình hồn thiện Các ý kiến góp ý xin gửi Viện Sư phạm Tự nhiên, Nhà xuất Trường Đại học Vinh, số 182 Lê Duẩn, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An Xin trân trọng cảm ơn Các tác giả CHƯƠNG TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ Mục tiêu chương Học xong chương này, sinh viên có thể: Trình bày định lí tính liên tục, khả vi, khả tích tích phân phụ thuộc tham số với cận số; Biết vận dụng định lí để giải tốn xét tính liên tục, khả vi, khả tích tốn tính giới hạn, đạo hàm, tích phân; Trình bày định lí tính liên tục, khả vi tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm tham số; Biết vận dụng định lí để giải tốn xét tính liên tục, khả vi tốn tính giới hạn đạo hàm; Phát biểu định nghĩa hội tụ tích phân phụ thuộc tham số với cận vơ tận; Trình bày định lí dấu hiệu hội tụ đều, tính liên tục, khả vi, khả tích tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận; Biết vận dụng định lí để giải tốn xét tính liên tục, khả vi, khả tích tốn tính giới hạn, đạo hàm tích phân 10 1.1 Giáo trình Giải tích Tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi Giả sử A ⊂ R f : [a, b]×A → R Với α ∈ A, ta xác định hàm fα : [a, b] → R fα (x) = f (x, α) ∀x ∈ [a, b] Nếu với α ∈ A, hàm fα khả tích [a, b] tồn hàm I : A → R với b f (x, α)dx ∀α ∈ A I(α) = (1.1) a Hàm I(α) gọi tích phân phụ thuộc tham số (với cận số) Mục khảo sát tính chất liên tục, khả vi khả tích tích phân phụ thuộc tham số I(α) cho công thức (1.1) với a, b ∈ R số A = [c, d] đoạn R 1.1.1 Tính liên tục Định lí sau cung cấp điều kiện đủ cho tính liên tục tích phân phụ thuộc tham số với cận khơng đổi 1.1.1.1 Định lí Cho f : [a, b] × [c, d] → R hàm liên tục Khi đó, hàm số I(α) = b a f (x, α)dx liên tục [c, d] Chứng minh Vì f (x, α) hàm số liên tục tập ∆ = [a, b] × [c, d] nên với α ∈ [c, d] hàm số fα liên tục [a, b] tồn I(α) = b a f (x, α)dx Do f liên tục tập compact ∆ nên, theo Định lý Cantor, hàm f liên tục ∆ Từ suy với ε > tồn δ > cho |f (x, α + h) − f (x, α)| < x ∈ [a, b], α ∈ [c, d] h ∈ (−δ, δ) thỏa mãn α + h ∈ [c, d] Vì vậy, ta có |I(α + h) − I(α)| = = b b f (x, α + h)dx − a f (x, α)dx a b f (x, α + h) − f (x, α) dx a b |f (x, α + h) − f (x, α)| dx a ε b dx = ε a b−a Điều chứng tỏ I(α) liên tục đoạn [c, d] ε , b−a với 292 Giáo trình Giải tích Bài 3.14 Vì z = − x2 − y nên ta có ∂z = −2x ∂x ∂z = −2y ∂y Suy ∂z ∂z ) + ( ∂y ) = + ( ∂x (4.265) + 4x2 + 4y Đặt D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 1} (4.266) Ta có + 4x2 + 4y ds I= S + 4x2 + 4y + ( = ∂z ∂z ) + ( )2 dxdy ∂x ∂y D + 4x2 + 4y + 4x2 + 4y dxdy = D (1 + 4x2 + 4y )dxdy = (4.267) D Đổi sang tọa độ cực x = r cos ϕ y = r sin ϕ (4.268) Trong tọa độ cực, miền D chuyển thành D∗ xác định D∗ = {(r, ϕ) ∈ R2 : r 1, ϕ 2π} (4.269) Do ta có (1 + 4x2 + 4y )dxdy I= D (1 + 4r2 )rdrdϕ = D∗ 2π = 0 2π = 2π (1 + 4r2 )rdr = dϕ 3 dϕ = ϕ 2 r2 + r4 dϕ 2π = 3π (4.270) 293 Giáo trình Giải tích Chương Bài 4.1 Tích phân tổng qt có dạng 2xdx + (2y + 1)dy = C1 x2 + y + y = C với C1 , C2 số Thay x = 0, y = vào biểu thức tích phân tổng qt ta tìm C2 = Vậy đường cong tích phân qua gốc tọa độ x2 + y + y = Bài 4.2 Thay y = dy viết phương trình cho dạng dx xdy = y(y + 1)dx (4.271) Nhận thấy y = thỏa mãn phương trình cho Xét y = 0, viết lại phương trình (4.271) dạng dy dx = y(y + 1) x (4.272) Biến đổi phương trình (4.272) thành dy ydy dx − = y y +1 x (4.273) Lấy tích phân hai vế phương trình (4.273), ta thu tích phân tổng quát phương trình cho x= Cy + y2 (4.274) với C số Bài 4.3 Ta thấy phương trình đẳng cấp Đặt y = ux, ta có y = u + x du dx 2xy 2u = −y − u2 x2 (4.275) 294 Giáo trình Giải tích Thay vào phương trình cho ta du 2u = dx − u2 (4.276) 2u du = −u dx − u2 (4.277) u(u2 + 1) du = dx − u2 (4.278) u+x Phương trình tương đương với x x Nếu u = y = Ta thấy y = nghiệm phương trình cho Xét trường hợp u = Trong trường hợp này, ta viết lại phương trình (4.278) dạng (1 − u2 )du dx = u(u2 + 1) x (4.279) Với ý 2u − u2 = − , u(1 + u ) u + u2 ta viết lại phương trình (4.279) dạng du 2udu dx = − x u + u2 (4.280) Lấy tích phân hai vế phương trình (4.280), ta thu x(1 + u2 ) = C, C = u (4.281) Với ý y = ux, đẳng thức (4.281) biến đổi thành x2 + y − Cy = 0, C = (4.282) Đây tích phân tổng qt phương trình cho, biểu thị họ đường tròn tâm trục Oy, qua gốc O, trừ điểm O Bài 4.4 Ta kiểm tra thấy −2 −1 = (−2).(−1) − 2.1 = 295 Đặt z = x − y, ta có Giáo trình Giải tích dy dy dz dz =1− hay = − Thay vào phương trình cho dx dx dx dx ta dz −2z + = dx z+1 (4.283) dz −2z + =1− dx z+1 (4.284) dz 3z = dx z+1 (4.285) 1− Viết lại phương trình (4.283) thành hay Nếu z = y = x Ta kiểm tra trực tiếp thấy y = x nghiệm phương trình cho Xét trường hợp z = Trong trường hợp này, ta viết phương trình (4.285) dạng z+1 dz − 3dx = z (4.286) Lấy tích phân hai vế phương trình (4.286) ta z+1 dz − z dx = C1 (4.287) với C1 số Biến đổi phương trình (4.287) thành z + ln |z| − 3x = C2 (4.288) với C2 số Thay z = x − y vào phương trình (4.288) ta −2x − y + ln |x − y| = C2 (4.289) Đây tích phân tổng qt phương trình cho Bài 4.5 Ngoài phương pháp giải cách thay vào công thức nghiệm tổng quát, từ phương pháp giải trình bày phần lý thuyết ta giải trực tiếp cách làm cho vế trái phương trình trở thành đạo hàm hàm số sau: Nhân hai vế phương trình cho với x3 ta x3 y + 3x2 y = (4.290) 296 Giáo trình Giải tích Bây ý vế trái phương trình (4.290) đạo hàm hàm số x3 y Do ta viết lại phương trình (4.290) x3 y =2 (4.291) hay x3 y = 2x + C (4.292) C + x x (4.293) với C số Từ ta có y= Tiếp theo, ta thay y(1) = vào phương trình (4.294) ta 0= C + 1 (4.294) Suy C = −2, thay vào phương trình (4.294) ta nghiệm toán y= 2 − x2 x3 (4.295) Bài 4.6 Đây phương trình Becnulli với α = Nhận thấy y = nghiệm phương trình cho Xét trường hợp y = 0, chia hai vế phương trình cho cho y ta y 11 − =− y xy x (4.296) , phương trình (4.296) chuyển phương trình vi phân tuyến tính y cấp z Đặt z = 1 z + z= x x (4.297) Nhân hai vế phương trình (4.298) với x ta xz + z = (4.298) (xz) = (4.299) hay 297 Giáo trình Giải tích Từ phương trình (4.299) ta có xz = x + C với C số Do đó, nghiệm tổng quát phương trình cho y= x = z x+C (4.300) với C số Bài 4.7 Đặt Ta có M (x, y) = 3x2 + 6xy , (x, y) ∈ R2 N (x, y) = 6x2 y + 4y , (x, y) ∈ R2 (4.301) ∂M (x, y) = 12xy, (x, y) ∈ R2 ∂y ∂N (x, y) = 12xy, (x, y) ∈ R2 ∂x (4.302) ∂N ∂M (x, y) = (x, y), ∀(x, y) ∈ R2 ∂y ∂x (4.303) Suy Vậy phương trình cho phương trình vi phân tồn phần Chọn (x0 , y0 ) = (0, 1), ta có tích phân tổng quát phương trình cho x y M (x, y)dx + x0 N (x0 , y)dy = C (4.304) y0 với C số Phương trình (4.304) tương đương với x y (3x2 + 6xy )dx + 4y dy = C (4.305) hay x3 + 3x2 y + y − = C (4.306) Vậy tích phân tổng quát phương trình cho x3 + 3x2 y + y = C với C số (C = + C) (4.307) 298 Giáo trình Giải tích Bài 4.8 Nhận thấy x = thỏa mãn phương trình cho Xét trường hợp x = 0, đặt P (x, y) = − x2 y, Q(x, y) = x2 (y − x) Ta có ∂P (x, y) = −x2 , ∂y ∂Q (x, y) = 2xy − 3x2 ∂x Suy ∂P ∂Q (x, y) = (x, y) ∂y ∂x (4.308) Vậy phương trình cho khơng phải phương trình vi phân tồn phần Ta có ∂Q ∂P − −x2 − 2xy + 3x2 ∂y ∂x = = − := ψ(x) Q x (y − x) x (4.309) Do phương trình cho có thừa số tích phân phụ thuộc x µ(x) = e ψ(x)dx Nhân hai vế phương trình cho với −2 =e dx x = x2 ta x2 − y dx + (y − x)dy = x2 Đặt Ta có (4.310) (4.311) M (x, y) = − y x2 N (x, y) = y − x (4.312) ∂M (x, y) = −1 ∂y ∂N (x, y) = −1 ∂x (4.313) 299 Giáo trình Giải tích Suy ∂N ∂M (x, y) = (x, y) ∂y ∂x (4.314) Vậy phương trình (4.311) phương trình vi phân tồn phần Chọn (x0 , y0 ) = (1, 0), ta có tích phân tổng qt phương trình cho y x N (x0 , y)dy = C M (x, y)dx + (4.315) y0 x0 với C số Phương trình (4.315) tương đương với x 1 − y dx + x2 y (y − 1)dy = C (4.316) hay − − yx x x + y2 −y y = C (4.317) Phương trình (4.317) tương đương với y2 − − yx + + y + −y =C x (4.318) y2 = C − − − yx + x (4.319) hay Vậy tích phân tổng qt phương trình cho y2 − − yx + =C x (4.320) với C số (C = C − 1) Bài 4.9 Đây phương trình Clairaut Đặt y = p, phương trình (??) trở thành y = xp + p2 (4.321) Lấy đạo hàm hai vế theo x phương trình (4.323) ta y = p + xp + 2pp (4.322) 300 Giáo trình Giải tích hay p = p + xp + 2pp (4.323) Rút gọn phương trình (4.323) ta (x + 2p)p = (4.324) Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: p = Trong trường hợp ta có p = C với C số Thay vào (4.323) ta thu nghiệm y = Cx + C (4.325) với C số Trường hợp 2: x + 2p = Trong trường hợp ta có x = −2p Thay vào (4.323) ta thu nghiệm dạng tham số x = −2p y = −p2 (4.326) với p tham số Ta viết lại (4.326) dạng 1 y = −p2 = − (−2p)2 = − x2 4 (4.327) Bài 4.10 Đây phương trình khơng chứa y Đặt y = z ta nhận z = xz + (z )2 (4.328) Phương trình (4.328) phương trình Clairaut Đặt z = p, phương trình (4.328) trở thành z = xp + p2 (4.329) Lấy đạo hàm hai vế phương trình (4.329) theo x ta z = p + xp + 2pp (4.330) 301 Giáo trình Giải tích Thay z = p ta p = p + xp + 2pp (4.331) (x + 2p)p = (4.332) hay Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: p = Trong trường hợp ta có p = C1 với C1 số Thay vào (4.329) ta z = C1 x + C12 (4.333) y = C1 x + C12 (4.334) Thay z = y ta Lấy tích phân hai vế phương trình (4.334) ta y= C1 x + C12 x + C2 (4.335) với C1 C2 số Trường hợp 2: x + 2p = hay x = −2p Thay vào phương trình (4.329) ta 1 z = −p2 = − (−2p)2 = − x2 4 (4.336) y = − x2 (4.337) Thay z = y ta Lấy tích phân hai vế phương trình (4.337) ta y=− x +C 12 (4.338) với C số Bài 4.11 Phương trình cho phương trình khơng chứa x Đặt y = z(y), ta có y = dz dy dz dz dz = = y = z dx dy dx dy dy (4.339) 302 Giáo trình Giải tích Thay vào phương trình cho ta có (1 + y )yz dz = (3y − 1)z dy (4.340) Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: z = Trường hợp thỏa mãn phương trình (4.340) Với z = ta có y = ta có nghiệm y = C với C số Trường hợp 2: z = Trong trường hợp này, ta viết lại phương trình (4.340) thành (1 + y )y dz = (3y − 1)z dy (4.341) hay dz 3y − = dy z y(1 + y ) (4.342) 3y − 4y − (y + 1) 4y = = − , 2 y(1 + y ) y(1 + y ) 1+y y (4.343) Với ý ta viết lại phương trình (4.342) thành dz = z 4y − 1+y y dy (4.344) Phương trình (4.344) phương trình phân ly biến số Lấy tích phân phương trình (4.344) ta thu yz = C1 (1 + y )2 (4.345) với C1 số Thay z = y vào phương trình (4.345) ta yy = C1 (1 + y )2 (4.346) với C1 số Phương trình (4.346) tương đương với − 2yy = −2C1 (1 + y )2 (4.347) 303 Giáo trình Giải tích Tích phân phương trình (4.347) ta tích phân tổng quát phương trình cho = −2C1 x + C2 + y2 (4.348) với C1 C2 số Bài 4.12 Ta viết lại phương trình cho dạng d ln |y | − ln(1 + y ) = dx (4.349) Lấy tích phân hai vế phương trình (4.349) rút gọn ta y = C1 + y2 (4.350) với C1 số Lấy tích phân hai vế phương trình (4.350) ta tích phân tổng quát phương trình cho arctan y = C1 x + C2 (4.351) với C1 C2 số Bài 4.13 Viết lại phương trình dạng y − 2x y + y = với x = ±1 1−x − x2 Theo (4.119) nghiệm riêng độc lập tuyến tính với y1 2xdx e − x dx = x x dx dx =x + + x2 2(1 − x) 1 1+x = x − + ln x 1−x y2 = x dx − x2 ) dx 2(1 + x) x2 (1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình y = C1 x + C2 với C1 C2 số x 1+x ln −1 1−x 304 Giáo trình Giải tích Bài 4.14 Phương trình đặc trưng k + k − = có nghiệm k1 = 1, k2 = −2 Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e−2x Để tìm nghiệm riêng phương trình ban đầu ta xét trường hợp sau: a) Nếu m = m = −2 nghiệm riêng có dạng y = aemx Ta có y = amemx , y = am2 emx Thay vào phương trình y + y − 2y = emx ta nhận a(m2 + m − 2)emx = emx Suy a = , hay nghiệm riêng phương trình ban đầu m2 + m − ∗ y = emx m2 + m − Vậy nghiệm tổng quát ∗ x y = y + y = C1 e + C2 e −2x + emx , (C1 , C2 ∈ R) m2 + m − b) Nếu m = nghiệm riêng có dạng y = axex Tính đạo hàm thay vào phương trình y + y − 2y = ex ta nhận a = 31 Vậy nghiệm tổng quát ∗ −2x x y = y + y = C1 e + C2 e + ex , (C1 , C2 ∈ R) c) Nếu m = −2 nghiệm riêng có dạng y = axe−2x Tính đạo hàm thay vào −1 phương trình y + y − 2y = e−2x ta nhận a = Vậy nghiệm tổng quát ∗ x −2x y = y + y = C1 e + C2 e − x.e−2x , (C1 , C2 ∈ R) Bài 4.15 Lấy đạo hàm hai vế phương trình hệ cho theo x ta y = 2y + z (4.352) 305 Giáo trình Giải tích Nhờ phương trình thứ hai hệ cho, ta thay z = y + 2z vào phương trình (4.352) để y = 2y + y + 2z (4.353) Tiếp theo dựa vào phương trình thứ hệ cho, ta thay z = y − 2y vào (4.353) để y = 2y + y + 2(y − 2y) (4.354) y − 4y + 3y = (4.355) hay Phương trình đặc trưng phương trình (4.355) k − 4k + = (4.356) Phương trình đặc trưng (4.356) có hai nghiệm k = k = Do ta có y = C1 ex + C2 e3x (4.357) với C1 C2 số tùy ý Từ (4.357) ta có y = C1 ex + 3C2 e3x Từ phương trình thứ hệ cho, (4.357) (4.358) ta có z = y − 2y = (C1 ex + 3C2 e3x ) − 2(C1 ex + C2 e3x ) = −C1 ex + C2 e3x Vậy nghiệm tổng quát hệ cho y = C1 ex + C2 e3x z = −C ex + C e3x với C1 C2 số tùy ý (4.358) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân, Tạ Quang Hải Đinh Huy Hoàng (1998), Tốn cao cấp, Tập (Giải tích hàm nhiều biến), Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng Trần Thanh Sơn (2004), Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng sinh viên Trường Đại học Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất ĐHQG-Hà nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 2, Nhà xuất ĐH Sư phạm [4] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXBGD [5] Đinh Huy Hồng, Kiều Phương Chi, (2013), Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên ngành Xây dựng), Đại học Vinh [6] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, (2000), Tốn cao cấp, Tập 3, Nhà xuất Giáo dục [8] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích tốn học, ví dụ tốn, NXB Đại học Trung học chun nghiệp [9] M Xpivak (1985), Giải tích tốn học đa tạp (bản dịch Hoàng Hữu Đường), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp 306 ... α ∈ A 1.3.1 .2 Các ví dụ 1) Khảo sát hội tụ tích phân +∞ α − x2 dx (α ∈ R) (x2 + 2 )2 23 Giáo trình Giải tích Giải Ta có +∞ α − x2 dx = (x2 + 2 )2 lim t→+∞ x2 x + 2 t = B2 B B + 2 B ∀α ∈ R... 1 .2. 1.1, hàm số b(x) x f (t, x)dt = √ 2 I(x) := a liên tục [c, d] Lưu ý tích phân a √1 2 dt a a(x) Φ(x) = /2 e−t √1 2 /2 e−t −∞ = I(x) + dt hôi tụ −∞ x √1 2 dt + a √1 2 /2 e−t /2 e−t /2. .. phân cấp 22 2 4.4.1 Các khái niệm 22 2 4.4 .2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 22 8 Hướng dẫn giải tập 24 2 Tài liệu tham khảo 306 LỜI