3 điểm Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn O.. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh BA lấy điểm N, trên cạnh CA lấy điểm P sao cho BM = BN và CM = CP.. Chứng minh rằng: a O là tâm đường
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2008– 2009 Ngày thi: 17/06/2008 - Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (1 điểm)
Hãy rút gọn biểu thức:
(với a > 0, a 1)
Câu 2 (2 điểm)
Cho hàm số bậc nhất y = 1 3x – 1
a) Hàm số đã cho là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
b) Tính giá trị của y khi x = 1 3
Câu 3 (3 điểm)
Cho phương trình bậc hai:
x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Giải phương trình khi m = 0
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh
BA lấy điểm N, trên cạnh CA lấy điểm P sao cho BM = BN và CM = CP Chứng minh rằng:
a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP
b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn
Câu 5 (1 điểm)
Cho một tam giác có số đo ba cạnh là x, y, z nguyên thỏa mãn:
2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0
Chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều
Trang 2GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUNG TRỪỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009 – Ngày: 17/06/2008
Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1.(1 điểm)
Rút gọn:
(a > 0, a 1)
=
(a > 0, a 1)
Câu 2.(2 điểm)
a) Hàm số y = 1 3x – 1 đồng biến trên R vì có hệ số a = 1 3 < 0
b) Khi x = 1 3thì y = 1 3 1 3 1= 1 – 3 – 1 = - 3
Câu 3.(3 điểm)
a) Phương trình x 2 – 4x + m + 1 = 0
Ta có biệt số ’ = 4 – (m + 1) = 3 – m
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
’ > 0 3 – m > 0 m < 3
b) Khi m= 0 thì phương trình đã cho trở thành: x 2 – 4x + 1 = 0
’ = 4 – 1 = 3 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = 2 - 3, x2 = 2 + 3
Câu 4.(3 điểm)
a) Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP
A
N
P O
1 2
2 1
2
2
Trang 3Ta có: O là giao điểm ba đường phân giác của ABC nên từ điều kiện giả thiết suy ra:
OBM = OMN (c.g.c) OM = ON (1)
OCM = OCP (c.g.c) OM = OP (2)
Từ (1), (2) suy ra OM = ON = OP
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP
b) Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp
Ta có OBM = OMN
M N , OCM = OCP
Mặt khác 0
P P 180 M M (kề bù)
P N
Vì
N N = 1800 nên
P N = 1800 Vây tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh tam giác đều
Ta có: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0 (1)
Vì x, y, z N* nên từ (1) suy ra y là số chẵn
Đặt y = 2k (k N*), thay vào (1):
2x2 + 12k2 + 2z2 – 8xk + 2xz – 20 = 0 x2 + 6k2 + z2 – 4xk + xz – 10 = 0
x2 – x(4k – z) + (6k2 + z2 – 10) = 0 (2)
Xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x
Ta có: = (4k – z)2 – 4(6k2 + z2 – 10) = 16k2 – 8kz + z2 – 24k2 – 4z2 + 40 =
= - 8k2 – 8kz – 3z2 + 40
Nếu k 2, thì do z 1 suy ra < 0: phương trình (2) vô nghiệm
Do đó k = 1, suy ra y = 2
Thay k = 1 vào biệt thức :
= - 8 – 8z – 3z2 + 40 = - 3z2 – 8z + 32
Nếu z 3 thì < 0: phương trình (2) vô nghiệm
Do đó z = 1, hoặc 2
Nêu z = 1 thì = - 3 – 8 + 32 = 21: không chính phương, suy ra phương trình (2) không có nghiệm nguyên
Do đó z = 2
Thay z = 2, k = 1 vào phương trình (2):
x2 – 2x + (6 + 4 – 10) = 0 x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 2 (x > 0)
Suy ra x = y = z = 2
Vậy tam giác đã cho là tam giác đều