KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN: TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 04 trang Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này Điểm của bài thi Các giám khảo ( Họ và tên, chữ ký) Số phách Bằng số: 1. Bằng chữ: 2. Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1) 2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 -10 có thêm phần tóm tắt lời giải. 3)Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm. Đề bài Kết quả Bài 1: (2 điểm) Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: sin 2 .cos - 2cos2 sin - 2 0xx x x+ = Bài 2: (2 điểm) Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết BC = 12m, góc B = 23 0 12'34'', góc C = 74 0 23'12'' Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 33 2 (3)3 23 17 y x xyx y x y ⎧ −=− ⎪ ⎨ ⎪ += ⎩ Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3); B(1;1) và đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x. Tính gần đúng tọa độ điểm C trên đường thẳng (d) để tam giác ABC cân tại B . Bài 5: (2 điểm) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 123 532 2 2 +− ++ = xx xx y Bài 6: (2 điểm) Cho dãy (u n ) xác định bởi: 12 11 1; 3 53 2 nnn uu uuun +− == ⎧ ⎨ = +− ⎩ a) Lập qui trình bấm phím tính n u và tổng n S (tổng n số hạng đầu tiên của dãy). b) Tính 8 u và 10 S . Lời giải tóm tắt bài 6 Kết quả Bài 7: (2 điểm) An làm bài kiểm tra trắc nghiệm môn Vật lí, đề kiểm tra gồm 40 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng. Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm. An đã làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu. Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên. Lời giải tóm tắt bài 7 Kết quả Bài 8: (2 điểm) Cho dãy số () n u xác định bởi công thức: 2 2006 n nu n += , với mọi n nguyên dương. Biết n là giá trị để n u là số hạng nhỏ nhất của dãy số trên. Tính hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển 5 2 2 7 n x ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ Lời giải tóm tắt bài 8 Kết quả Bài 9: (2 điểm) Người ta muốn làm một con đường đi từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai bên bờ một con sông, các số liệu được thể hiện trên hình vẽ, con đường được làm theo đường gấp khúc AMNB. Biết rằng chi phí xây dựng một km đường bên bờ có điểm B nhiều gấp 1,3 lần chi phí xây dựng một km đường bên bờ có đ iểm A, chi phí làm cầu MN tại địa điểm nào cũng như nhau. Hỏi phải xây cầu tại điểm M cách điểm H bao nhiêu km để chi phí làm đường là nhỏ nhất? Lời giải tóm tắt bài 9 Kết quả M A 4,1 km H 1,2 km B 1,5 km N Bài 10: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện EHIJ với a=5,14233cm. Lời giải tóm tắt bài 10 Kết quả -----------Hết---------- 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN: TOÁN ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Điểm của bài thi Các giám khảo ( Họ và tên, chữ ký) Số phách Bằng số: 1. Bằng chữ: 2. Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1) 2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 -10 có thêm phần tóm tắt lời giải. 3)Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm. Đề bài Kết quả Bài 1: (2 điểm) Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: sin 2 .cos - 2 cos 2 sin - 2 0xx x x+ = 00 1 54 14'45" 360xk≈+ 00 2 125 45'15" 360xk≈+ Bài 2: (2 điểm) Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết BC = 12m, góc B = 23 0 12'34'', góc C = 74 0 23'12'' 10874,115≈S m 2 Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 33 2 (3)3 23 17 y x xyx y x y ⎧ −=− ⎪ ⎨ ⎪ += ⎩ ⎩ ⎨ ⎧ = = 3 1 1 1 y x ⎩ ⎨ ⎧ ≈ ≈ 16993.3 05664,1 2 2 y x Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A (-1;3); B (1;1) và đường thẳng ( d ) có phương trình: y = 2 x . Tính gần đúng tọa độ điểm C trên đường thẳng ( d ) để tam giác ABC cân tại B . C 1 1 1 1,84900 3, 69800 x y ≈ ⎧ ⎨ ≈ ⎩ C 2 2 1 0,64900 1, 29800 x y ≈− ⎧ ⎨ ≈− ⎩ Bài 5: (2 điểm) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 123 532 2 2 +− ++ = xx xx y 07298,9≈d 2 Bài 6: (2 điểm) Cho dãy (u n ) xác định bởi: 12 11 1; 3 53 2 nnn uu uuun +− == ⎧ ⎨ = +− ⎩ a) Lập qui trình bấm phím tính n u và tổng n S (tổng n số hạng đầu tiên của dãy). b) Tính 8 u và 10 S . Lời giải tóm tắt bài 6 điểm a) Qui trình bấm phím trên máy 570MS: 2 SHIFT STO X 1 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B 4 SHIFT STO C ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = 5 ALPHA B + 3 ALPHA A – 2(ALPHA X – 1) ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA A ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = 5 ALPHA A + 3 ALPHA B – 2(ALPHA X – 1) ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B Sau đó ấn « = » liên tiếp với X là chỉ số của u u 8 = 67623 S 10 =2533657 0,5 1,0 0,5 Bài 7: (2 điểm) An làm bài kiểm tra trắc nghiệm môn Vật lí, đề kiểm tra gồm 40 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng. Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm. An đã làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu. Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên. Lời giải tóm tắt bài 7 điểm Cách1: (Theo đ/n cổ điển) An đã làm đúng 24 câu, tương ứng 6 điểm nên để dạt được số điểm là 8 trở lên An cần phải đạt ít nhất 2 điểm nữa.Tức An cần phải làm đúng ít nhất 8 câu trong 10 câu còn lại. Số cách để trả lời 10 câu còn lại là 4 10 . Gọi A là biến cố: An trả lời đúng ít nhất 8 câu trong 10 câu còn lại. Gọi A i là biến cố: An trả lời đúng i câu trong 10 câu còn lại (i {8;9;10} ∈ ). Số cách chọn đúng i câu là 10 i C .Số cách trả lời đúng là 1, sai là 3.Lại do các A i đôi một xung khắc, theo qui tắc nhân thì số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 82 91 100 10 10 10 .3 .3 .3 436 CCC ++ = . Vậy xác suất cần tính là: P= 10 436 0,00042 4 ≈ Cách 2: ( Theo qui tắc xác suất) Lập luận như trên, đi đến: 82 91 10 8910 9910 10 1 3 1 3 1 436 . . . . . 0,00042 44 44 4 4 PC C C ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ =++=≈ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ 0,5 1,0 0,5 3 Bi 8: (2 im) Cho dóy s () n u xỏc nh bi cụng thc: 2 2006 n nu n += , vi mi n nguyờn dng. Bit n l giỏ tr n u l s hng nh nht ca dóy s trờn. Tớnh h s ca s hng cha 8 x trong khai trin 5 2 2 7 n x Li gii túm tt bi 8 Điểm -Xột hm s 1; 2006 )( 2 += x x xxf 3 3 ' 40120 4012 1)( === x x xf -Lp bng bin thiờn ca f(x), ta c GTNN ca f(x) t ti 3 4012=x . Ta cú 15 < 3 4012 <16. - Li cú f(16) < f(15). Vy n = 16 . Ta cú: 16 16 16 55 16 0 22 2(2) 77 k kkk k x Cx = S hng cha x 8 ng vi k =8, nờn h s ca x 8 l 8 88 5 816 2 (2) 7 aC = 4159,81815 . 0,5 0,5 0,5 0,5 Bi 9: (2 im) Ngi ta mun lm mt con ng i t a im A n a im B hai bờn b mt con sụng, cỏc s liu c th hin trờn hỡnh v, con ng c lm theo ng gp khỳc AMNB . Bit rng chi phớ xõy dng mt km ng bờn b cú im B nhiu gp 1,3 ln chi phớ xõy dng mt km ng bờn b cú im A , chi phớ lm cu MN ti a im no cng nh nhau. Hi phi xõy cu ti im M cỏch im H bao nhiờu km chi phớ lm ng l nh nht? Li gii túm tt bi 9 Điểm Đặt 25,2)1,4(,44,1)1,40( 22 +=+== xBNxAMxHMx Gọi a là số tiền để làm 1km đờng bên bờ có điểm A. khi đó chi phí để làm hai đoạn AM và BN là 25,2)1,4(3,144,1)( 22 +++= xaxaxf 25,2)1,4( 1,4 3,1 44,1 )(' 22 + + = x x a x x axf Dùng lệnh SOLVE giải đợc = 0)(' xf 0 630356805,2 xx = +) Tính axf 621108864,5)( 0 ; af 87550878,6)0( ; af 22200187,6)1,4( . Do đó )()(min 0 ]1,4;0[ xfxf = Vậy 2,63036 HM km 0,5 0,5 0,5 0,5 M A 4,1 km H 1,2 km B 1,5 km N 4 Bài 10: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện EHIJ với a = 5,14233cm. Lời giải tóm tắt bài 10 Kết quả Đặt MCE α = Ta có EC= 22 5BEBCa+= Theo định lý ba đường vuông góc ta có EH vuông góc HC suy ra EH = EC sin α = 5sina α EI = 15 22 EC a= Diện tích tam giác HEI: S HEI = 1 sin 2 HE EI HEI 2 1 5sin2 8 a α = IJ = 1 2 SE a= Suy ra V JHEI = 1 IJ 3 . S HEI = 3 5 sin 2 24 a α = V JHEI đạt giá trị lớn nhất khi sin 2 1 α = hay Max V JHEI = 3 5 28, 32948 24 a ≈ cm 3 . 0,5 0,5 0,5 0,5 -----------Hết---------- J I E B A C S M H . dng mt km ng bờn b cú im B nhiu gp 1,3 ln chi phớ xõy dng mt km ng bờn b cú im A , chi phớ lm cu MN ti a im no cng nh nhau. Hi phi xõy cu ti im M cỏch im. đi m) An l m bài ki m tra trắc nghi m môn Vật lí, đề ki m tra g m 40 câu. M i câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ m t phương án đúng. Trả lời đúng m i