KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010- 2011

Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 7 chữ số thập phân.. Ghi tóm tắt kết quả vào ô trống hoặc trình bày tóm tắt bài làm nếu có yêu cầu ; không thêm ký hiệu gì khác.. - Tính AC,

Trang 1

1/4

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010- 2011

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút

(Họ tên và chữ ký) Số phách

Bằng số ……… 1 ………

Bằng chữ ……… 2 ………

Chú ý: 1 Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 7 chữ số thập phân

2 Ghi tóm tắt kết quả vào ô trống hoặc trình bày tóm tắt bài làm (nếu có yêu cầu ); không thêm ký hiệu gì khác

Câu 1: (2 điểm) Cho a = 2010 5 2011 −

Hãy tính:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ + +

− +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

1

2 1

1 : 1

2

1

a a a a

a a

a

1

a

−

1

1 a

a

b

Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình:

x 1 - 9 - 4 2

4

Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC, C=90o, AB=a,

ˆA=α , CM, CN lần lượt là đường trung tuyến và

đường phân giác của tam giác

- Tính AC, BC và diện tích các tam giác ABC, CNM

- Áp dụng với a=6.56cm và α= 56o68’

Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương

trình:

6x2 + 5y2 = 74

Câu 5: (2 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương

(a, b, c) thoả mãn:

a b3 2 + ( a3− 2 ) ac b c c a + ( − ) 0 =

Trang 2

2/4

Câu 6: (2 điểm) Giải hệ phương trình:

3 1) -xy )( y x ( 10 ) 1 y )( 1 x ( 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ = + = + + Tóm tắt lời giải: ………

………

Câu 7: (2 điểm) Tính tổng : 1 12 12 1 12 12 1 1 2 1 2 2 3 3 4 2010 2011 S = + + + + + + + + + Tóm tắt lời giải: ………

………

Trang 3

3/4

………

Câu 8: (2 điểm) Các đường cao AH, BE và CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M, N và K Tính: A M B N C K + + A H B E C F Tóm tắt lời giải: ………

………

Câu 9: (2 điểm) Cho P= 33m2+ −6n 61+ Tìm tất cả các số tự nhiên m, n để P là số nguyên 4 tố Tóm tắt lời giải: ………

………

Trang 4

4/4

………

Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC,CA và AB lần lượt tại P,Q,R Tìm giá trị nhỏ nhất của OA + OB + OC OP OQ OR Tóm tắt lời giải: ………

………

Trang 5

5/4

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010- 2011

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

MÔN: TOÁN Chú ý: 1 Với những trường hợp không nêu công thức mà chỉ cho kết quả trừ 1/4 số điểm

2 Với những câu có 2 ý (a và b) thì mỗi ý 1 điểm

3 Với những trường hợp thừa nghiệm (do không xét điều kiện) trừ 1/4 số điểm

4 Với những câu yêu cầu trình bày, thí sinh không cần viết cách giải các phương trình

và hệ mà máy tính hỗ trợ sẵn như: phương trình bậc 2 một ẩn, hệ bậc nhất hai ẩn,…

5 Nếu học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm

Câu 1: (2 điểm) Cho a = 2010 5 2011 − Hãy tính:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ + +

− +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

1

2 1

1 : 1

2

1

a a a a

a a

a

1

a

−

1

1 a

a

a A = 1 + a ≈43.258 479 9

b B=

a

a 1 − ≈42.282 143 8

Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình:

x 1 - 9 - 4 2

4

x = 4 - 4 2 ≈-1.656 854 2

Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC,

C=90o, AB=a, ˆ A=α , CM, CN lần lượt

là đường trung tuyến và đường phân

giác của tam giác Tính AC, BC và

diện tích các tam giác ABC, CNM Áp

dụng với a=6.56cm và α= 56o68’

AC=a.cosα≈3.560 019 1 BC=a.sinα≈5.509 978 4

SABC= 1 2

sin cos

2 a α α ≈9.807 815 0

SCNM= a cosα.sinα(sinα-cosα)2

4(cosα+sinα) ≈1.054 291 1

Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương

trình: 6x2 + 5y2 = 74

(3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2)

Câu 5: (2 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương

(a, b, c) thoả mãn: 3 2 3

( 2 ) ( ) 0

a b + a − ac b c c a + − = (a,b,c)={(1,n, n), (1, m, m-1)} với mọi n,m∈N và n≥1, m>1

(Nếu thiếu (1,1,1) trừ 0.5)

Câu 6: (2 điểm) Giải hệ phương trình:

3 1) -xy )(

y x (

10 ) 1 y )(

1 x ( 2 2

⎩

⎨

⎧

= +

= + +

Hướng dẫn: Hệ tương đương:

3 1) -xy

)(

y

x

(

10 y x

y

x2 2 2 2

⎩

⎨

⎧

= +

= + +

+

⇔

3 1) -xy )(

y x (

10 1) -(xy y)

⎩

⎨

⎧

= +

+

Đặt: u = x + y; v = xy - 1Hệ trở thành:

3 u.v

10 v

u2 2

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

3 u.v

16 v) u ( 2

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

3

u.v

4

v

u

⎩

⎨

⎧

=

±

=

+

(1 điểm)

Trang 6

6/4

- Nếu

3 u.v

4 v

u

⎩

⎨

⎧

=

= +

thì ta có:

1 v

3

⎩

⎨

⎧

=

= hoặc

3 v

1

⎩

⎨

⎧

=

+ Với

1

v

3

⎩

⎨

⎧

=

= thì

1 -xy

3 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

2 xy

3 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔ (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2)

+ Với

3

v

1

⎩

⎨

⎧

=

= thì

3 -xy

1 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

4 xy

1 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

vô nghiệm

(0,5 điểm)

- Nếu

3 u.v

4 v

u

⎩

⎨

⎧

=

−

= +

thì ta có:

1 v

3

⎩

⎨

⎧

=

= hoặc

3 v

1

⎩

⎨

⎧

=

+ Với

1

v

3

⎩

⎨

⎧

=

= thì

1 -xy

3 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

0 xy

3 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔ (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3)

+ Với

3

v

1

⎩

⎨

⎧

=

= thì

3 -xy

1 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

2 xy

1 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔ (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) (0,5 điểm)

Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm: (x;y)={ (2;1);(1;2);(- 3;0);(0;-3);(-2;1);(1;-2)}

Câu 7: (2 điểm) Tính tổng :

Hướng dẫn: Ta có:

6

7 ) 3 2 (

4 9 36 3

1 2

1

1 + 2 + 2 = + +2 =

12

13 )

4 3 (

4 16 144 4

1 3

1

1 + 2 + 2 = + 2+ =

…………

2 2 2

1 1 (2010.2011) 2010 2011 2010.2011 1 1

Vậy: 7 13 2010.2011 1

6 12 2010.2011

= 1 1 1 1 1 1

= 2009 1 1 1 1 1 1

= 2009 1 1 2009 2009 8078189

(Nếu thiếu chữ số cuối cùng ở đáp số trừ 0,25 điểm)

Câu 8: (2 điểm) Các đường cao AH, BE và CF của

tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam

giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M, N và K

Tính: A M B N C K

Trang 7

7/4

Hướng dẫn: Gọi I là trực tâm của tam giác ABC Do

AFHC và ABMC là các tứ giác nội tiếp nên các góc:

∠BCM =∠BAM=∠ICH Suy ra ΔICM cân Ta có IH

=HM Tương tự: EI = EN , IF = KF (1 điểm)

Do đó: AM BN CK + + =3+ HM NE KF + +

IH IE IF

AH BE CF

ΔABC ΔABC ΔABC

(1 điểm)

Câu 9: (2 điểm) Cho P= 33m2+ −6n 61+ Tìm tất cả các 4

số tự nhiên m, n để P là số nguyên tố

Hướng dẫn: Vì P ∈ N* nên 3m2 + 6n - 61 ≥ 0 Ta thấy: 3m2 + 6n – 61 chia cho 3 dư 2 Đặt 3m2 + 6n – 61= 3k + 2 (k ∈ N) Khi đó P = 33k+2 + = 4 9.27k + Vì 27= 1( mod 13) 4

=> 27k.9 = 9(mod 13) => P M 13 Vì P là số nguyên tố =>P=13 ⇔ 33k+ 2= 9

2

3m + 6n - 61=2

⇔ ⇒ m2+ 2 n − 21 0 = ⇒ m2< 21 và m lẻ => m2=1 hoặc m2=9

- Nếu : m2 =1 => m = 1 và n=10

- Nếu m2 =9 => m=3 và n=6

Vậy (m,n)={(1, 10), (3, 6)} (2 điểm)

Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC O là một điểm

bất kỳ nằm trong tam giác Các tia AO, BO, CO cắt

BC,CA và AB lần lượt tại P,Q,R Tìm giá trị nhỏ nhất

của OA + OB + OC

R

P

Q A

C B

O

Hướng dẫn: Gọi S1, S2, S3, S lần lượt là diện tích các tam giác BOC, COA, AOB, ABC Đặt S1=x2, S2=y2, S3=z2 suy ra: S = x2+y2+z2 Từ đó ta có:

2

2 2 2

1

1 1

x

z y OP

AO x

z y x

S

OP

x

z y OP

AO x

z y OP

2

=

⇔

+

=

⇔

Tương tự:

y

x z OQ

BO = 2+ 2 và

z

y x OR

CO 2+ 2

= (1 điểm)

Do đó: + + =

OR

OC OQ

OB OP

OA

x

z

y2+ 2

+

y

x

z2 + 2 +

z

y

x2 + 2

+

≥

x

z y

y

x z

y x

2 +

2 3 2

6 ) (

2

≥

z

y z

x y

z y

x x

z

x

OR

OC OQ

OB OP

OA

≈4.242 640 7

(1 điểm)

Trang 8

8/4

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: (2 điểm) Cho a = 2010 5 2011 − Hãy tính:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ + +

− +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

1

2 1

1 : 1

2

1

a a a a

a a

a

1

a

−

1

1 a

a

a A = 1 + a =43.25847994

b B=

a

a 1 −

=42.28214383

Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình:

x 1 - 9 - 4 2

4

Hướng dẫn: Phương trình tương đương: 1 - x 2 2 -

2

x + =

- Nếu 1

2

x

+ ≥ 0 ⇔ x ≥ -2, PT là: x + 2 - 2x = 4 2 - 2 ⇔ x = 4 - 4 2 (thoả mãn)

- Nếu 1

2

x

+ < 0 ⇔ x <-2 , PT là: x =- 4 2 /3, không thỏa mãn điều kiện: x <-2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 4 - 4 2 =-1.656854249

Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC, C=90o, AB=a,

ˆA=α , CM, CN lần lượt là đường trung tuyến và

đường phân giác của tam giác Tính AC, BC và diện

tích các tam giác ABC, CNM Áp dụng với a=6.56cm

C

Hướng dẫn: Vẽ đường cao CH, Tính:

AC=AB.cosA=a.cosα =3.560 019 149

BC=AB.sinA=a.sinα =5.509 978 379

SABC= 1 1 2

2 AC BC = 2 a α α =9.807 815 013

Suy ra: SCNM= 1 CH.NM= a cosα.sinα(sinα-cosα)2

2 4(cosα+sinα) =1.054 291 147

Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương

trình: 6x2 + 5y2 = 74

Hướng dẫn: x, y nguyên nên 5y2M 2 và UCLN(5,2)=1 nên y2M 2=> y M 2 (2 là số nguyên tố) Mặt khác: 5y2 ≤ 74 ⇒ y2 ≤ 14 ⇒ y2 = 0 , 1 , 4 , } Vậy y2 = 0 hoặc y2 = 4

- Với y2 =0 ta có: 6x2 =74 do x2 nguyên nên ta loại

- Với y2 =4 ta có: 6x2 =54 hay x = ± 3 , y = ± 2

Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên: (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2)

Câu 5: (2 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương

(a, b, c) thoả mãn: a b3 2 + ( a3− 2 ) ac b c c a + ( − ) 0 =

Hướng dẫn: Ta có: điều kiện đã cho tương đương:

Trang 9

9/4

( ab c − ) + a ab c ( − = ) a b (1 − a b )( + 1) ( )2 2 (1 )( 1) 2

⇔ − + = − + + (1)

Để (a, b, c) nguyên dương thoả mãn (1) thì

2

2 (1 )( 1) 4

a

a b a b

≥ − + , điều này xảy ra khi a=1, từ đó suy ra: 1 2 1

2 4

b=c-1

⎡

⇔ ⎢

⎣

Vậy các bộ (a, b,c)={(1,n, n), (1, m, m-1)} với mọi n,m ∈N và n≥1, m>1

Câu 6: (2 điểm) Giải hệ phương trình:

3 1) -xy )(

y x (

10 ) 1 y )(

1 x ( 2 2

⎩

⎨

⎧

= +

= + +

Hướng dẫn: Hệ tương đương:

3 1) -xy

)(

y

x

(

10 y x

y

x2 2 2 2

⎩

⎨

⎧

= +

= + +

+

⇔

3 1) -xy )(

y x (

10 1) -(xy y)

⎩

⎨

⎧

= +

+

Đặt u = x + y ; v = xy - 1

Hệ trở thành:

3 u.v

10 v

u2 2

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

3 u.v

16 v) u ( 2

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

3 u.v

4 v u

⎩

⎨

⎧

=

±

= +

- Nếu

3 u.v

4 v

u

⎩

⎨

⎧

=

= +

thì ta có:

1 v

3

⎩

⎨

⎧

=

= hoặc

3 v

1 u

⎩

⎨

⎧

=

+ Với

1

v

3

⎩

⎨

⎧

=

= thì

1 -xy

3 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

2 xy

3 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔ (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2)

+ Với

3

v

1

⎩

⎨

⎧

=

= thì

3 -xy

1 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

4 xy

1 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

vô nghiệm

- Nếu

3 u.v

4 v

u

⎩

⎨

⎧

=

−

= +

thì ta có:

1 v

3 u

⎩

⎨

⎧

=

= hoặc

3 v

1

⎩

⎨

⎧

=

+ Với

1

v

3

⎩

⎨

⎧

=

= thì

1 -xy

3 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

0 xy

3 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔ (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3)

+ Với

3

v

1

⎩

⎨

⎧

=

= thì

3 -xy

1 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔

2 xy

1 x

⎩

⎨

⎧

=

= +

⇔ (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2)

Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm: (x;y)={(2;1);(1;2);(- 3;0);(0;-3);(-2;1);(1;-2)}

Câu 7: (2 điểm) Tính tổng :

Hướng dẫn: Ta có:

6

7 ) 3 2 (

4 9 36 3

1 2

1

1 + 2 + 2 = + +2 =

12

13 )

4 3 (

4 16 144 4

1 3

1

1 + 2 + 2 = + 2+ =

…………

Trang 10

2 2 2

1 1 (2010.2011) 2010 2011 2010.2011 1 1

Vậy: 7 13 2010.2011 1

6 12 2010.2011

= 2009 1 1 1 1 1 1

= 2009 1 1 2009 2009 8078189

Câu 8: (2 điểm) Các đường cao AH, BE và CF của

tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam

giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M, N và K

Tính: A M B N C K

Hướng dẫn: Gọi I là trực tâm của tam giác ABC Do

AFHC và ABMC là các tứ giác nội tiếp nên các góc:

∠BCM =∠BAM=∠ICH Suy ra ΔICM cân Ta có IH

=HM Tương tự: EI = EN , IF = KF Do đó:

IH IE IF

AH BE CF

ΔABC ΔABC ΔABC

Câu 9: (2 điểm) Cho P= 33m2+ −6n 61+ Tìm tất cả các 4

số tự nhiên m, n để P là số nguyên tố

Hướng dẫn: Vì P ∈ N* nên 3m2 + 6n - 61 ≥ 0 Ta thấy: 3m2 + 6n – 61 chia cho 3 dư 2 Đặt 3m2 + 6n – 61= 3k + 2 (k ∈ N) Khi đó P = 33k+2+ = 4 9.27k + Vì 27= 1( mod 13) 4

=> 27k.9 = 9(mod 13) => P M 13 Vì P là số nguyên tố =>P=13 ⇔ 33k+ 2 = 9

2

3m + 6n - 61=2

⇔ ⇒ m2+ 2 n − 21 0 = ⇒ m2 < 21 và m lẻ => m2=1 hoặc m2=9

- Nếu : m2 =1 => m = 1 và n=10

- Nếu m2 =9 => m=3 và n=6

Vậy (m,n)={(1, 10), (3, 6)}

Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC O là một điểm

bất kỳ nằm trong tam giác Các tia AO, BO, CO cắt

BC,CA và AB lần lượt tại P,Q,R Tìm giá trị nhỏ nhất

của OA + OB + OC

R

P

Q A

C B

O

Hướng dẫn: Gọi S1, S2, S3, S lần lượt là diện tích các tam giác BOC, COA, AOB, ABC Đặt S1=x2, S2=y2, S3=z2 suy ra: S = x2+y2+z2 Từ đó ta có:

2

2 2 2

1

1 1

x

z y OP

AO x

z y x

S

OP

x

z y OP

AO x

z y OP

2

=

⇔

+

=

⇔

Tương tự:

y

x z OQ

BO = 2+ 2 và

z

y x OR

CO 2+ 2

= Do đó:

Trang 11

= +

+

OR

OC OQ

OB

OP

OA

x

z

y2 + 2

+

y

x

z2+ 2 +

z

y

x2 + 2

+ +

≥

x

z y

y

x z

y x

2 +

2 3 2

6 ) (

2

≥

z

y z

x y

z y

x x

z

x

OR

OC OQ

OB OP

OA

=4.242640687

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	335,72 KB