Vận dụng cao thầy trần công diêu CHƯƠNG 5 vận DỤNG CAO HÌNH học KHÔNG GIAN 1

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: Lời giải Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi I là trung điểm 2SC, suy ra nên Do đó IM là trục của , suy

CHƯƠNG 05.

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

……… Chủ đề 1 Thể tích khối đa diện

 Thể tích khối chóp

 Thể tích khối lăng trụ

 Thể tích khối hộp chữ nhật

 Thể tích khối lập phương

 Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện hoặc khối chóp tam giác

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 2 Mặt cầu – khối cầu

 Định nghĩa mặt cầu

 Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

 Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 5 Ứng dụng hình học không gian giải các bài toán thực tế

CHƯƠNG 05.

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỀ 1.

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Trước khi vào phần bài tập bạn đọc cần trang bị cho mình các kiến thức căn bản tối thiểu:

4 Thể tích khối lập phương

với là độ dài cạnh.

a

a a

5 Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện hoặc khối chóp tam giác

B A

S

C

A'

B' C'

Cho khối tứ diện và là các điểm tùy ý lần lượt thuộc ta có:

Chúng ta sẽ cùng đi ngay vào các ví dụ minh họa để thấy rằng có những bài liên quan đến thể tíchkhối đa diện rất khó, đòi hỏi khả năng vận dụng cao

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hình lập phương cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của và Mặt phẳng chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện Gọi là khối đadiện chứa đỉnh là khối đa diện còn lại Tính tỉ số

C'

C D

N

M

H

C B

S

+ Gọi ta có là đường trung bình của

I A B

J C

D M

N

S

H

Áp dụng định lý cosin cho tam giác ta có:

Suy ra, tam giác là tam giác có tù Từ giả thiết tam giác đều và tam giác là cân đỉnh Gọi là hình chiếu của trên ta có thuộc và nằm giữa tức là tam giác vuông có

Tổng quát: Cho hình chóp tam giác đều

có cạnh đáy bằng Gọi là mặt phẳng đi

qua và song song và vuông góc với

góc giữa với mặt phẳng đáy là

A

B

C E

x

J A

Bài 7: Cho khối hộp có cạnh bên bằng 1.; đáy là một hình chữ nhật có các cạnh các mặt bên và hợp với mặt đáy các góc theo thứ tự

B' A'

C'

B

C D

là hình chữ nhật

Chọn B.

Bài 8: Cho khối hộp có tất cả các cạnh bên bằng và các góc

đều bằng Tính thể tích của khối hộp

C D.Đáp số khác.

Lời giải

K H

O

B' A'

Gọi và theo thứ tự là tâm của hai mặt đáy

Hai mặt chéo và có giao tuyến là có diện tích theo thứ tự

C D

A

P

Dựng mặt phẳng vuông góc với tại cắt các cạnh bên theo thứ tự tại

( các cạnh bên)

- là một thiết diện thẳng của hình hộp và là một hình bình hành

b

B'

B A

1) Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R

cho trước là mặt cầu tâm O và bán kính R Kí hiệu

Như vậy, khối cầu là tập hợp các điểm M sao cho

2) Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Gọi là bán kính mặt cầu, ta có:

- Diện tích mặt cầu:

- Thể tích khối cầu:

3) Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Để tìm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp bất kì ta cần phải tìm được điểm I cách đều tất cả cácđỉnh

Bước 1: Dựng trục của đáy: là đường thẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với đáy.

Bước 2: Ta thường dựng trung trực của một cạnh bên nào đó cắt trục của đáy tại I, hoặc dựng

trục của một mặt bên nào đó cắt trục của đáy tại I Tâm mặt cầu chính là điểm I, ở bước 2 này phảitùy vào đề bài mà ta có cách xử lý cụ thể

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại B,

và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng Tính diện tích mặt cầungoại tiếp hình chóp theo a

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

Ta có

Tương tự ,

Và vuông cân tại B nên ABCH là hình vuông

Dựng một đường thẳng qua vuông góc với

dựng mặt phẳng trung trực của SA qua

trung điểm J cắt tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp

SB, hay

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Do

tam giác vuông tại Tam giác vuông tại

Chọn D.

Bài 2: Cho mặt cầu tâm O, bán kính R và mặt phẳng có khoảng cách đến O bằng R Mộtđiểm M tùy ý thuộc (S) Đường thẳng OM cắt tại N Hình chiếu của O trên là I Mệnh đềnào sau đây là đúng?

là tiếp điểm của và

Đường thẳng OM cắt tại N nên IN

Vuông góc với OI tại I

Suy ra IN tiếp xúc với

Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính R.

Theo giả thiết , ta có, và

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P) thì:

 H là tâm của đường tròn giao tuyến (P) và (S)



Bán kính của đường tròn giao tuyến :

Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến :

M O

C B

Ta có:

Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có:

Chọn B.

Bài 6: Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại B và Cạnh bên

và vuông góc mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Lời giải

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác Gọi I là trung điểm 2SC,

suy ra nên

Do đó IM là trục của ,

suy ra

Hơn nữa , tam giác vuông tại A

có I là trung điểm SC nên

B

C S

Lời giải

I

O

C B

S

Gọi suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Gọi I là trung điểm SC, suy ra

Do đó là trục của hình vuông ABCD, suy ra:

Tam giác vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên

Từ và , ta có:

Vậy diện tích mặt cầu (đvdt)

Chọn B.

Bài 8: Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và Cạnh bên

, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC Bánkính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Lời giải

Gọi M trung điểm AC, suy ra

Tam giác có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S

Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy ra

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếptam giác ABC

G

M

A

B C S

Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra

Từ , suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

B C

Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

Gọi M là trung điểm SA, ta có đồng dạng nên

Vậy

Chọn C.

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Gọi

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD

Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực của đoạn SB

Bài 11: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình thang cân , đáy lớn

Cạnh bên và vuông góc với đáy Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khốichóp Tỉ số nhận giá trị nào sau đây?

B

A C S

I

và là:

Lời giải

J N

O

C

D A

Lại có Do đó, hai điểm cùng nhìn đoạn NC dưới một góc vuông nên hình chóp

nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính:

Chọn A.

Bài 13: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng Đường thẳng

vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng đi qua hai điểm A và M đồngthời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, Fnhận giá trị nào sau đây?

mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính

Chọn C.

Bài 14: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng Đường thẳng SA vuônggóc đáy Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứdiện có giá trị nào sau đây?

và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra

C B

Lời giải

Theo giả thiết, ta có

Do

Từ suy r aba điểm cùng nhìn xuống AC dưới một góc nên hình chóp

nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC, bán kính

H K

I A

B

C S

Vậy thể tích khối cầu (đvdt)

Chọn A.

Bài 16: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông tâm O, Hình chiếu vuông góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy 1 gócbằng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nhận giá trị nào sau đây?

Trong tam giác vuông SHB, có

Tam giác đều cạnh nên

Trong tam giác vuông SHA, ta có

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với nên bán kính mặt cầu

I

E M

H C

Gọi M trung điểm AB, do tam giác

SAB vuông tại S nên

Gọi H là hình chiếu của S trên AB

Từ giả thiết suy ra:

G A

B

C S

Bài 20: Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc và

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

Lời giải

Gọi M là trung điểm BC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp

Kẻ (như hình vẽ)

d x

I

M A

B

C S

Suy ra là trục của Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn thẳng cắt tại I Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bán kính mặt cầu:

Chọn D.

Bài 21: Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại A, Cạnh bên

vuông với đáy Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với đáy một góc Gọi S, V lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp Tỉ số bằng?

Bài 22: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình thoi cạnh góc Cạnh bên

và vuông góc với đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp nhận giá trị:

B

C S

d M

O C

A

B

D S

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD Kẻ suy ra là trục của Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn SA cắt Gx tại I Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Ta có

Suy ra bán kính:

Chọn A.

Bài 23: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại C và Mặt phẳng

vuông góc với đáy, Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Gọi M trung điểm AB, suy ra và

Do đó, là trục của tam giác ABC

Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực của đoạn SB cắt SM tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính

Trong tam giác vuông ta có

Chọn C.

Bài 24: Cho hình cầu tâm O, bán kính R Hình cầu ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay cóđường cao bằng đường kính đáy và hình cầu lại nội tiếp trong một nón tròn xoay có góc ở đỉnh bằng Tính tỉ số thể tích của hình trụ và hình nón

A B C D Chọn khác

Lời giải

Bài quy về hình nón tâm O ngoại tiếp

hình vuông ABCD và nội tiếp tam giác

là tâm của hình vuông ABCD đồng thời cũng là trọng tâm của tam giác đều SEF

Như vậy, đường cao của tam giác SEF là

Trong tam giác EOH (vuông tại H, )

Ta có:

Thể tích của hình nón:

Vậy

Chọn A.

Bài 25: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại góc

bằng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứdiện bằng:

Gọi N là trung điểm AC,

suy ra N là tâm đường tròn

S

F D

I

N A

B

A'

B'

C C'

suy ra

Do đó là trục của ,

suy ra

Hơn nữa, tam giác vuông tại A có I là trung điểm nên

Từ , ta có hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với bán kính

Chọn B.

Bài 26: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh Mặt phẳng

tạo với mặt đáy góc và điểm G là trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối

Gọi G’là trọng tam tam giác đều

suy ra cũng là tâm đường tròn ngoại

tiếp vì lăng trụ đứng

Do đó là trục của tam giác

Trong mặt phẳng kẻ trung

trực của đoạn thẳng cắt tại I

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối