Vận dụng cao thầy trần công diêu CHƯƠNG 5 vận DỤNG CAO HÌNH học KHÔNG GIAN 1

CHƯƠNG 05 BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN …………………………………………………………………… Chủ đề Thể tích khối đa diện       Thể tích khối chóp Thể tích khối lăng trụ Thể tích khối hộp chữ nhật Thể tích khối lập phương Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt cầu – khối cầu     Định nghĩa mặt cầu Cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt nón khối nón  Định nghĩa mặt nón  Hình nón khối nón  Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt trụ - khối trụ     Định nghĩa mặt trụ Hình trụ khối trụ Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Ứng dụng hình học khơng gian giải toán thực tế  Bài tập áp dụng  Lời giải chi tiết Đề ôn tập chương Lời giải chi tiết CHƯƠNG 05 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Trước vào phần tập bạn đọc cần trang bị cho kiến thức tối thiểu: Thể tích khối chóp Cơng thức tính: với Thể tích khối lăng trụ với diện tích đáy, diện tích đáy, chiều cao khối chóp chiều cao lăng trụ Thể tích khối hộp chữ nhật với ba kích thước Thể tích khối lập phương với độ dài cạnh Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác Cho khối tứ diện điểm tùy ý thuộc ta có: Chúng ta vào ví dụ minh họa để thấy có liên quan đến thể tích khối đa diện khó, địi hỏi khả vận dụng cao BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình lập phương cạnh Gọi trung điểm Mặt phẳng chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi khối đa diện chứa đỉnh khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A B C D Lời giải Ta có: Ta có: Suy thiết diện Chọn B Bài 2: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi trung điểm cạnh Thể tích khối chóp thể tích khối tứ diện Giá trị thỏa mãn bất đẳng thức đây: A C Lời giải + Gọi trung điểm Do Xét + Ta có: đều: B D + Gọi ta có đường trung bình Thay vào đáp án Chọn C Bài 3: Cho hình chóp tam giác có đáy với mặt phẳng Xác định góc tam giác vng cân đỉnh A B C D để thể tích khối chóp vng góc lớn Lời giải Xét hàm số: khoảng Ta có: Từ ta thấy khoảng hàm số đạt hay: hàm số liên tục có điểm cực trị điểm cực đại, nên hay Chọn A Bài 4: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh a, mặt bên Tính thể tích khối chóp A B Lời giải Gọi trung điểm AB;J trung điểm C từ giả thiết ta có: tam giác đều, D Áp dụng định lý cosin cho tam giác ta có: Suy ra, tam giác tam giác có tù Từ giả thiết tam giác đỉnh Gọi hình chiếu ta có thuộc giác vng có Góc tam giác nằm cân tức tam nhọn Xét tam giác SHI ta có Vậy Chọn C Bài 5: Cho hình chóp tam giác song song là: vng góc với A có cạnh đáy a Gọi góc B Lời giải Tổng quát: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy Gọi mặt phẳng qua song song góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp Áp dụng này: + vng góc với + Gọi G trọng tâm là: mặt phẳng qua với mặt phẳng đáy C Thể tích khối chóp D + Gọi + Gọi Ta có: với trung điểm Mà Ta có: Xét (cùng phụ với vng ) có: Vậy: Chọn A Bài 6: Cho hình chóp hai mặt phẳng đáy hình thang vng Gọi trung điểm vng góc với mặt phẳng A Tính thể tích khối chóp B C D Lời giải Gọi trung điểm Ta có hình chiếu lên và Mặt khác Do Chọn A nên Góc biết hai mặt phẳng trung điểm Bài 7: Cho khối hộp có cạnh bên 1.; đáy hình chữ nhật có cạnh mặt bên hợp với mặt đáy góc theo thứ tự Thể tích khối hộp là: A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Lời giải Dựng Ta có Đặt Tam giác vng có nên nửa tam giác có cạnh , đường cao nửa cạnh với Tam giác vng cân hình chữ nhật Thể tích khối hộp Chọn B Bài 8: Cho khối hộp (đvdt) có tất cạnh bên Tính thể tích khối hộp góc A B C D.Đáp số khác Lời giải Dựng cân Ta có Đặt vng hình thoi phân giác góc vng K Do ta có: Chọn C Bài 9: Cho khối hộp có độ dài cạnh bên a; đáy hình thoi, diện tích hai mặt chéo ; góc hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo Tính thể tích V khối hộp cho A B Lời giải Gọi theo thứ tự tâm hai mặt đáy Hai mặt chéo có giao tuyến D có diện tích theo thứ tự Dựng mặt phẳng ( vng góc với cắt cạnh bên theo thứ tự cạnh bên) Ta có: góc hai mặt phẳng chéo thiết diện thẳng hình hộp hình bình hành Do , ta tích V hình hộp là: Ta lại có: Chọn D Bài 10: Cho khối hộp đứng có đáy góc Tính thể tích khối hộp đứng cho là: A B C D Lời giải Ta có: đường chéo hợp với Hình trịn lớn hình cầu S hình trịn tạo mặt phẳng cắt hình cầu qua tâm hình cầu Gọi R bán kính hình cầu hình trịn lớn có bán kính R Theo giả thiết , ta có, Suy Chọn D Bài 4: Cho mặt cầu góc OA (P) A điểm mặt cầu mặt phẳng qua A cho Diện tích đường tròn giao tuyến bằng: B C D Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) thì: • H tâm đường trịn giao tuyến (P) (S) • Bán kính đường trịn giao tuyến : Suy diện tích đường trịn giao tuyến : Chọn C Bài 5: Cho hình chóp tứ giác tiếp hình chóp có bán kính bằng: A Lời giải B có cạnh bên cạnh đáy a Khi mặt cầu nội C D Gọi H tâm hình vng ABCD Ta có SH trục đường trịn ngoại tiếp đáy Gọi M trung điểm CD I chân đường phân giác góc Suy I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính Ta có: Dựa vào tính chất đường phân giác ta có: Chọn B Bài 6: Cho hình chóp có đáy ABC tam giác vuông B và vng góc mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A B C Cạnh bên là: D Lời giải Gọi M trung điểm AC, suy M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi I trung điểm 2SC, suy nên Do IM trục , suy Hơn , tam giác vng A có I trung điểm SC nên Từ ta có hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Vậy bán kính Chọn C Bài 7: Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên vng góc với đáy Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta được: A B C D Lời giải Gọi suy O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi I trung điểm SC, suy Do trục hình vng ABCD, suy ra: Tam giác Từ vuông A có I trung điểm cạnh huyền SC nên , ta có: Vậy diện tích mặt cầu (đvdt) Chọn B Bài 8: Cho hình chóp có đáy ABC tam giác vng cân B Cạnh bên , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: A B C D Lời giải Gọi M trung điểm AC, suy Tam giác có SM đường cao trung tuyến nên tam giác SAC cân S Ta có suy tam giác Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy Tam giác ABC vng B, có M trung điểm cạnh huyền AC nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lại có nên SM trục tam giác ABC Mà G thuộc SM nên suy Từ , suy hay G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Bán kính mặt cầu Chọn B Bài 9: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số A B C Gọi bằng: D Lời giải Gọi O tâm Trong suy ta có Trong mặt phẳng • nên • nên Do kẻ trung trực đoạn SA cắt SO I, suy ra: nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Gọi M trung điểm SA, ta có đồng dạng nên Vậy Chọn C Bài 10: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là: A B C D Lời giải Gọi Ta có: Trong Ta có SO trục hình vng ABCD Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực ta có đoạn SB Gọi Xét Do đó, có đường trung tuyến Suy trọng tâm Bán kính mặt cầu Suy Chọn D Bài 11: Cho hình chóp Cạnh bên chóp Tỉ số A có đáy ABCD hình thang cân , đáy lớn vng góc với đáy Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối nhận giá trị sau đây? B Lời giải Ta có hay Gọi trung điểm Ta có Nên ABCE hình thoi Suy Do tam giác Ta có: vuông C C D hay Tương tự, ta có Ta có hay nên khối chóp nhận trung điểm I SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính Suy Chọn D Bài 12: Cho hình chóp có đáy ABCD hình chữ nhật với Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy Gọi N trung điểm SA, h chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Biểu thức liên hệ R là: A B C D Lời giải Ta có Trong ta có Ta có Lại có Do đó, hai điểm nhìn đoạn NC góc vng nên hình chóp nội tiếp mặt cầu tâm J trung điểm NC, bán kính: Chọn A Bài 13: Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh Đường thẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB, SD E, F Bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, E, M, F nhận giá trị sau đây? A B Lời giải Mặt phẳng C D song song với BD cắt SB, SD E, F nên cân A, trung tuyến AM nên Ta có Từ Do suy Lại có: Từ suy Tương tự ta có Do nên điểm thuộc mặt cầu tâm I trung điểm SA, bán kính Chọn C Bài 14: Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh Đường thẳng SA vng góc đáy Gọi H hình chiếu A đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có giá trị sau đây? A Lời giải Gọi Vì Ta có Lại có B C D hình vng nên Suy có O trung điểm cạnh huyền AC nên suy nên tam giác vuông H Từ Chọn C Bài 15: Cho hình chóp có đáy tam giác vuông cân B Cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A B C D Lời giải Theo giả thiết, ta có Do Từ suy r aba điểm nhìn xuống AC góc nên hình chóp nội tiếp mặt cầu tâm I trung điểm AC, bán kính Vậy thể tích khối cầu (đvdt) Chọn A Bài 16: Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng tâm O, Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy góc Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nhận giá trị sau đây? A B C D Lời giải Ta có Trong tam giác vng SDH, có Trong tam giác vng SHB, có Xét tam giác SBD, ta có Suy tam giác SBD vng S Vậy đỉnh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nhìn xuống BD góc vng nên O bán kính Chọn C Bài 17: Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng mặt phẳng Gọi G trọng tâm tam giác bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với Đẳng thức sau sai? A B C Lời giải Ta có Tam giác cạnh nên Trong tam giác vng SHA, ta có Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với nên bán kính mặt cầu D Ta có Suy Gọi M, E trung điểm Gọi K hình chiếu vng góc H lên SE, suy Ta có Từ Trong tam giác vng SHE, ta có Vậy Chọn D Bài 18: Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh Mặt bên tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là? A B Lời giải Gọi Suy Gọi M trung điểm AB, tam giác SAB vng S nên Gọi H hình chiếu S AB Từ giả thiết suy ra: Ta có: Nên OM trục tam giác suy C D Từ ta có Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bán kính (đvdt) Chọn A Bài 19: Cho hình chóp có đáy ABC tam giác cạnh vng góc với đáy (ABC) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A B Cạnh bên là: C D Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy G tâm đường tròn ngoại tiếp tamm giác Từ G dựng tia (như hình vẽ) Suy trục tam giác ABC TRong mặt phẳng kẻ trung trực đoạn thẳng SA Gọi Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Ta có Trong tam giác vng ta có Chọn C Bài 20: Cho tứ diện có cạnh Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A B đơi vng góc là: C Lời giải Gọi M trung điểm BC, suy M tâm đường trịn ngoại tiếp Kẻ (như hình vẽ) D Suy trục Trong mặt phẳng I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện kẻ trung trực đoạn thẳng cắt Bán kính mặt cầu: Chọn D Bài 21: Cho hình chóp có đáy ABC tam giác vng A, vuông với đáy Gọi I trung điểm BC, SI tạo với đáy lượt diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A B Cạnh bên góc Gọi S, V lần Tỉ số C bằng? D Lời giải Ta có: Tam giác ABC vuông cân A, suy Trong ta có: Kẻ (như hình vẽ) Suy trục Trong mặt phẳng kẻ trung trực cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: đoạn thẳng SA cắt Ix J Khi đó, J tâm mặt nên Chọn B Bài 22: Cho hình chóp có đáy ABCD hình thoi cạnh góc vng góc với đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp trị: A Lời giải B C Cạnh bên nhận giá D Gọi G trọng tâm tam giác ACD Kẻ phẳng kẻ trung trực suy trục Trong mặt đoạn SA cắt Gx I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp Ta có Suy bán kính: Chọn A Bài 23: Cho hình chóp có đáy tam giác vng C vng góc với đáy, Mặt phẳng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A B C là: D Lời giải Gọi M trung điểm AB, suy Do đó, trục tam giác ABC Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực đoạn SB cắt SM I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính Ta có: Trong tam giác vng Ta có Suy ta có Chọn C Bài 24: Cho hình cầu tâm O, bán kính R Hình cầu đường cao đường kính đáy hình cầu đỉnh lại nội tiếp nón trịn xoay Tính tỉ số thể tích hình trụ A ngoại tiếp hình trụ trịn xoay B có có góc hình nón C D Chọn khác Lời giải Bài quy hình nón tâm O ngoại tiếp hình vng ABCD nội tiếp tam giác SEF mà Vì OAB tam giác vng cân nên: Suy Ta thấy, tâm O hình trịn tâm hình vng ABCD đồng thời trọng tâm tam giác SEF Như vậy, đường cao tam giác SEF Trong tam giác EOH (vng H, ) Ta có: Thể tích hình nón: Vậy Chọn A Bài 25: Cho lăng trụ đứng Góc đường thẳng diện bằng: A có đáy tam giác vng góc mặt phẳng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ B C Lời giải Ta có Trong tam giác ABC, ta có Trong ta có Gọi N trung điểm AC, suy N tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi I trung điểm D suy Do suy trục Hơn nữa, tam giác Từ , vng A có I trung điểm , ta có nên hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với bán kính Chọn B Bài 26: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác cạnh Mặt phẳng tạo với mặt đáy góc điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bằng: A B Lời giải \ Gọi M trung điểm ta có: Trong có Gọi G’là trọng tam tam giác suy tâm đường trịn ngoại tiếp lăng trụ đứng nên Do trục tam giác Trong mặt phẳng kẻ trung trực đoạn thẳng cắt I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp , bán kính Ta có Chọn D C D ... mặt cầu đến mặt phẳng B C cắt hình cầu theo hình bằng: D Hình trịn lớn hình cầu S hình trịn tạo mặt phẳng cắt hình cầu qua tâm hình cầu Gọi R bán kính hình cầu hình trịn lớn có bán kính R Theo...CHƯƠNG 05 BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Trước vào phần tập bạn đọc cần trang bị... dụ minh họa để thấy có liên quan đến thể tích khối đa diện khó, địi hỏi khả vận dụng cao BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình lập phương cạnh Gọi trung điểm Mặt phẳng chia khối lập phương cho thành