Những bài toán lấy 10 điểm thong kỳ thi vao 10

Thầy Nam ĐT:0982645960 Dạy Tốn từ lớp -12,ơn thi vào lớp 10 THPT CS 1: Ngõ 120 Hoàng Quốc Việt CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy NHỮNG BÀI TOÁN LẤY ĐIỂM 10 TRONG CÁC KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT (PHẦN 1) 16 0 Bài Cho số x,y,z thỏa mãn: xyz - x  y  z Tìm GTNN P = (x+y)(x+z) Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu a b c P   2  b  c 1 a2 thức : Bài Cho số thực m, n, p thỏa mãn : n  np  p 1  3m 2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : B = m + n + p b2  Bài Cho số a,b khác thỏa mãn 2a2 + a = Tìm GTNN biểu thức: S = ab + 2009 Bài 3 x   y  y   x Cho số x, y thỏa mãn: 2 Tìm GTNN biểu thức: B x  2xy  2y  2y  10  4x Bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: K = x  Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R,r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 1   2 ABD,ABC, a độ dài cạnh hình thoi.Chứng minh rằng:: R r a Bài Tìm số x,y nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: x2+ xy +y2 - x2y2 = Bài Cho x, y >0 x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 10 A (1) 1  x y xy Cho số dương a,b thỏa mãn (a + b)(a + b – 1) = a2 + b2 Tìm giá trị lớn biểu thức Q 1  2 a  b  2ab b  a  2ba Bài 11 Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a  b)  4ab 12 1   2015ab 2016 Chứng minh bất đẳng thức  a  b Thầy Nam ĐT:0982645960 CS 1: Ngõ 120 Hồng Quốc Việt Dạy Tốn từ lớp -12,ơn thi vào lớp 10 THPT CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 16 0 Bài Cho số dơng x, y, z thỏa mãn xyz - x y z Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = (x+y)(x+z) Lời giải: 16 Cách 1: Vì xyz - x y  z => xyz(x+y+z) = 16 P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng x(x+y+z) vµ yz ta cã P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz ¿2 √ xyz( x+ y+z)=2 √16=8 ; dÊu đẳng thức xẩy x(x+y+z) = yz Vậy giá trị nhỏ P Cách 2: Vì xyz− 16 16 =0 ⇒ x+ y + z= x+ y+ z xyz 16 16 x⋅ + yz= + yz xyz yz P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz = 16 ¸p dơng BĐT Côsy cho hai số thực dơng yz 16 + yz P = yz ¿2 √ vµ yz ta cã 16 16 = yz ⋅yz=2 √16=8 yz ; dấu đẳng thức xẩy yz Vậy giá trị nhá nhÊt cđa P lµ Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a b c P   2  b  c  a2 Lời giải :Ta có: Thầy Nam ĐT:0982645960 CS 1: Ngõ 120 Hồng Quốc Việt Dạy Tốn từ lớp -12,ôn thi vào lớp 10 THPT CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy a a(1  b )  ab ab   a   b2  b2  b2 (1) Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có  b 2b Thay vào (1) ta được: a ab ab ab  a   a  a  2 1 b 1 b 2b (2) Tương tự, ta có: b bc b  1 c (3) c ca c  1 a (4) Cộng vế ba BĐT (2), (3), (4) ta được: a b c  ab  bc  ca    a  b  c    2 1 b 1 c 1 a   (5) Mặt khác  a  b  c   ab  bc  ca    (a  b)  (b  c )  (c  a )  0  ab  bc  ca  (a  b  c)2 3 (6) Thay điều kiện a + b + c = BĐT (6) vào (5) ta có a b c P    2 1 b 1 c 1 a Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P , đạt a = b = c = Bài Cho số thực m, n, p thỏa mãn : n  np  p 1  3m 2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : B = m + n + p Thầy Nam ĐT:0982645960 CS 1: Ngõ 120 Hồng Quốc Việt Lời giải: Ta có: n  np  p 1  Dạy Tốn từ lớp -12,ơn thi vào lớp 10 THPT CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy 3m 2 (1)  …  ( m + n + p )2 + (m – p)2 + (m – n)2 =  (m – p)2 + (m – n)2 = - ( m + n + p )2  (m – p)2 + (m – n)2 = – B2 vế trái không âm  – B2   B2     B  dấu  m = n = p thay vào (1) ta có m = n = p =  Max B = m = n = p = Min B =  m = n = p =  3  b2  Bài Cho hai số a,b khác thoả mãn 2a2 + a = Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc S = ab + 2009 Lời giải: b2 Từ: 2a2 + + a =  (ab)2 = - 8a4 + 16a2 – = – 8(a4 – 2a2 +1) ≤  -2 ≤ ab ≤  2007 ≤ S ≤ 2011  MinS = 2007  ab = -2 a2 =  a = ± , b =  Bài Cho x, y tháa m·n: x   y3  y   x3 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: B x  2xy  2y  2y  10 Lời giải: 3 3 x   y  y   x x   x  y   y C1: → Thầy Nam ĐT:0982645960 Dạy Toán từ lớp -12,ôn thi vào lớp 10 THPT CS 1: Ngõ 120 Hoàng Quốc Việt CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy  x   y     VT  VP 3 x  y Nếu x > y Nếu x < y  VF  VT  x y tháa m·n  B x  2x  10 (x  1)2  9 x  C2:  x   x3  y   y3 x2  §K: x,y  y   y  x3  ( x  y )( x  xy  y ) ( x  xy  y )  x y   ( x  y )(  1) 0 x 2  y 2 x2  y2 ( x  xy  y ) 1  ( x  y ) 0 (v× x   y  >0) x=y  B x  2x  10 (x  1)2  9 x  MinB = Khi x = y = -1  4x Bài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: K = x  Lời Giải : k  8x  kx  x  k  0 (1) x 1 +) k=0 Phương trình (1) có dạng 8x-6=0  x= ' +) k 0 (1) phải có nghiệm   = 16 - k (k - 6)    k 8 1 Max k =  x = Min k = -2  x = Thầy Nam ĐT:0982645960 Dạy Tốn từ lớp -12,ơn thi vào lớp 10 THPT CS 1: Ngõ 120 Hoàng Quốc Việt CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R, r lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác 1   2 ABD, ABC, a lµ độ dài cạnh hình thoi Chứng minh rằng: R r a Li gii:Gọi M trung điểm AB, O giao điểm AC BD, trung trực AB cắt AC BD lần lợt I J Ta có I, J lần lợt tâm đờng tròn ngoại tiếp ABD, ABC R = IA, r = JB B M A I O C J Cã AMI  AOB   R IA  IA AM  AB AO D AB.AM a AC2 BD     AO AC R a T¬ng tù: r a Suy ra: 1 AC  BD 4AB2     R r2 a4 a a Bi Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy +y2 - x2y2 = Lời giải: Ta cã: x2+ xy +y2 - x2y2 = 4x2+ 4xy +4y2 - 4x2y2 = 4x2+ 8xy +4y2 - (4x2y2 + 4xy +1) - = (2x + 2y)2 - (2xy + 1)2 = (2x + 2y - 2xy - 1)(2x + 2y + 2xy + 1) = => [ {2x + 2y - 2xy - = 1¿¿¿¿¿ ¿ (1) Thầy Nam ĐT:0982645960 Dạy Toán từ lớp -12,ôn thi vào lớp 10 THPT CS 1: Ngõ 120 Hoàng Quốc Việt CS 2: Ngõ – Hoàng o Thỳy Giải hệ PT ta đợc (x; y) = (0; 0) hc x = - y Thay x = - y vào (1) ta tìm đợc (x; y) = (1; -1); (x; y) = (-1; 1) Vậy cặp số x; y nguyên thoả mãn (1) là:(0; 0); (1; -1); (-1; 1) Bài Cho x, y >0 x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 1  x y xy V i a  0, b  ; Ta có : Lời giải: 2 a  b 2 a b 2ab (Bdt Cô si)  a  b  2ab 4ab  (a  b) 4ab (a  b)(a  b) a b a a 1  4         (*) ab ab a b ab ab a  b a b a b 2 Áp dụng BÐT (*) v i a = x  y ; b = 2xy ; ta có: 1 4    2 x  y 2xy x  y  2xy (x  y) 2 (x  y) 4xy  Mặt khác : (1) 1    4xy (x  y) xy (x  y) 1  1      2 x y xy  x  y 2xy  2xy 4  1    1  2  (x  y) (x  y) (x  y)    A (2)  1  1     x  y 2xy  xy  6 (x  y) 2 [Vì x, y >0 x  y 1   (x  y) 1 ];  minA = x=y= 2d Bài 10 Cho số dương a,b thỏa mãn (a + b)(a + b – 1) = a2 + b2 Tìm giá trị lớn biểu thức Q 1  2 a  b  2ab b  a  2ba Lời giải:Từ điều kiện đề suy  a  b   a  b  a  b  2ab  (a  b) 0  a  b 2ab Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:  a  b a  b 2ab  a  b 2 a b 2a 2b; b  a 2b a 1  Q    2 2a b  2ab 2b a  2ba 2ab(a  b) ab(a  b) 2   a  b  2  a  b   a  b 2 Thầy Nam ĐT:0982645960 CS 1: Ngõ 120 Hoàng Quốc Việt Vì a  b 2; ab  Dạy Tốn từ lớp -12,ơn thi vào lớp 10 THPT CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy a b 1 1    Q ab(a  b) 2 Dấu xảy ⇔ a = b = 1 Vậy GTLN Q Bài 11 Ta có  12 (a  b)3  4ab  ab   4ab Đặt t  ab , t  12 8t  4t  2t  t  0  (t  1)(2t  3t  3) 0 Do 2t  3t   0, t nên t  0  t 1 Vậy  ab 1 1   , a, b  Chứng minh  a  b  ab thỏa mãn ab 1 1 1    0  a  b  ab  ab Thật vậy, BĐT ab  a ab  b  0  (1  a)(1  ab ) (1  b)(1  ab )   b  a  a b         ab    a  b  ( b  a )2 ( ab  1) 0 (1  ab )(1  a)(1  b) Do  ab 1 nên BĐT Tiếp theo ta CM  ab  2015ab 2016, a , b  thỏa mãn ab 1  2015t 2016 t  ab ,  t  t Đặt ta  t 2015t  2015t  2016t  2014 0  (t  1)(2015t  4030t  2014) 0 BĐT t :  t 1 1   2015ab 2016 Vậy  a  b Đẳng thức xảy a = b = Bài 12 Thầy Nam ĐT:0982645960 CS 1: Ngõ 120 Hồng Quốc Việt Dạy Tốn từ lớp -12,ôn thi vào lớp 10 THPT CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy ... Quốc Việt Vì a  b 2; ab  Dạy Toán từ lớp -12,ôn thi vào lớp 10 THPT CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy a b 1 1    Q ab(a  b) 2 Dấu xảy ⇔ a = b = 1 Vậy GTLN Q Bài 11 Ta có  12 (a  b)3  4ab... ĐT:0982645960 CS 1: Ngõ 120 Hồng Quốc Việt Lời giải: Ta có: n  np  p 1  Dạy Toán từ lớp -12,ôn thi vào lớp 10 THPT CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy 3m 2 (1)  …  ( m + n + p )2 + (m – p)2 + (m... lớp -12,ơn thi vào lớp 10 THPT CS 1: Ngõ 120 Hoàng Quốc Việt CS 2: Ngõ – Hoàng Đạo Thúy  x   y     VT  VP 3 x  y Nếu x > y Nếu x < y  VF  VT  x y tháa m·n  B x  2x  10 (x 