Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 111 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
111
Dung lượng
2,79 MB
Nội dung
“Hệ phương trình” Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Nội dung CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆPHƯƠNGTRÌNH KHÁI NIỆM HỆPHƯƠNGTRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆPHƯƠNGTRÌNH BẬC NHẤT ẨN A PHẦN LÝ THUYẾT Dạng 1: Giải hệphươngtrìnhphương pháp Dạng 2: Giải hệphươngtrìnhphương pháp cộng đại số Dạng 3: Giải hệphươngtrìnhphương pháp đặt ẩn phụ B PHẦN BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN C PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN PHẦN HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC I 12 B CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 12 C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 16 II: GIẢI HỆPHƯƠNGTRÌNH CHỨA THAM SỐ VÀ BÀI TOÁN PHỤ 20 A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 20 Dạng 1: Giải biện luận hệphươngtrình theo tham số m 20 Dạng 2: Tìm m để hệphươngtrình có nghiệm x; y thỏa điều kiện cho trước 20 Dạng 3: Tìm mối liên hệ x , y không phụ thuộc vào tham số m 20 B BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 23 C HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC II 26 III PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆPHƯƠNGTRÌNH BẬC CAO 34 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: 34 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 38 HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP 40 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 48 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 64 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC: 72 KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNGTRÌNH BẬC THEO ẨN x, HOẶC y 75 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 79 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆPHƯƠNGTRÌNH 85 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN 90 IV HỆPHƯƠNGTRÌNH BẬC NHẤT ẨN 110 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆPHƯƠNGTRÌNH KHÁI NIỆM HỆPHƯƠNGTRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cho hai phươngtrình bậc hai ẩn ax + by = c a/x + b/y = c/ Khi ta có hệ hai phươngtrình bậc hai ẩn ax by c (I) / / / a x b y c * Nếu hai phươngtrình có nghiệm chung (xo;y0) (xo;y0) gọi mợt nghiệm hệ (I) * Nếu hai phươngtrình cho khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vơ nghiệm Giải hệphươngtrình tìm tất nghiệm I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆPHƯƠNGTRÌNH BẬC NHẤT ẨN A PHẦN LÝ THUYẾT Dạng 1: Giải hệphươngtrìnhphương pháp a) Phương pháp giải: Để giải hệ hai phươngtrình bậc hai ẩn phương pháp ta làm bước sau đây: Biểu diễn một ẩn từ một phươngtrìnhhệ qua ẩn Thay ẩn bới biểu thức biểu diễn vào phươngtrình lại Giải phươngtrình mợt ẩn nhận Tìm giá trị tương ứng ẩn lại b) Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải hệphươngtrình : { 2𝑥 + 𝑦 = 12 (1) 7𝑥 − 2𝑦 = 31 (2) Hướng dẫn giải Từ phươngtrình (1), biểu diễn y theo x ta có y 12 2x Thay y phươngtrình (2) y 12 x , ta x – 12 – x 31 x – 24 x 31 11x 55 x Thay x = vào phươngtrình y 12 x , ta được: y 12 – 2.5 Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (5; 2) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Dạng 2: Giải hệphươngtrìnhphương pháp cộng đại số a) Phương pháp giải: Để giải hệ hai phươngtrình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số ta làm bước sau đây: Nhân hai vế phươngtrìnhhệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ cho hệ mới, hệ số mợt ẩn (hoặc đối nhau) Trừ (hoặc cợng) vế phươngtrìnhhệ để khử bớt một ẩn Giải phươngtrình mợt ẩn thu Thay giá trị tìm ẩn vào mợt hai phươngtrìnhhệ để tìm ẩn b) Ví dụ minh hoạ : Giải hệphươngtrình sau 3 x y 11 Ví dụ 2: Giải hệphương trình: x y Hướng dẫn giải Các hệ số ẩn y hai phươngtrình đối nhau, ta cợng vế hai phươngtrình để khử ẩn y ta thu được: x 12 x Thay vào phươngtrình thứ hai hệ, ta có: y y y 1 Vậy hệphươngtrình có nghiệm (x;y) = (3;-1) 2 x y Ví dụ 3: Giải hệphương trình: 2 x y Hướng dẫn giải Các hệ số ẩn x hai phươngtrình nhau, ta trừ vế hai phươngtrình để khử ẩn x, ta được: y 8 y Thay y = vào mợt hai phươngtrình cho hệ ta được: 2.x – 3.1 x x 3 Vậy hệphươngtrình có nghiệm x, y ; 2 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 5 x 11 y Ví dụ 4: Giải hệphương trình: 10 x y 74 Hướng dẫn giải Nhân hai vế phươngtrình thứ với 2, giữ nguyên phươngtrình hai ta hệ mới: 10 x 22 y 16 10 x y 74 Trừ vế phươngtrình thứ (mới) cho phươngtrình thứ hai ta được: 29 y 58 y 2 Thay vào phươngtrình thứ hai, ta có 10 x – 2 74 10 x 60 x Vậy hệphươngtrình có nghiệm (x, y) = (6 ; -2) *Lưu ý: Khi hệ có chứa biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệhệ đơn giản Sau sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm hệphươngtrình Dạng 3: Giải hệphươngtrìnhphương pháp đặt ẩn phụ a) Phương pháp giải Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần) Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) Giải hệ theo ẩn phụ đặt Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm hệ số b) Ví dụ minh hoạ 1 x y 1 Ví dụ 5: Giải hệphươngtrình 3 x y Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≠0, y ≠ Đặt 1 a; b (*) x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Hệphươngtrình cho tương đương với a b 3a 4b b a b 3a 3b 7b b Ta có: 3a 4b 3a 4b a b a b a b Thay vào (*) ta có a 1 y y 1 x x 7 7 Vậy nghiệm hệphươngtrình x, y ; 9 2 B PHẦN BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 3 x y Bài I.01 Giải hệphươngtrình 2 x y 3 x y 11 Bài I.02 Giải hệphương trình: x y x y 3 Bài I.03 Giải hệphương trình: x y x 3y Bài I.04 Giải hệphương trình: 3 x y 1 2 x y Bài I.05 Giải hệphươngtrình sau: x y 2 x y 3 Bài I.0.6 Giải hệphươngtrình sau: 3 x y x y Bài I.07 Giải hệphươngtrình sau: 3 x y x y 26 Bài I.08 Giải hệphươngtrình sau: 5 x y 16 3 x y 11 Bài I.09 Giải hệphươngtrình sau: x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 2 x y Bài I.10 Giải hệphươngtrình sau: 4 x y x y Bài I.11 Giải hệphương trình: x y 1 2 x y Bài I.12 Giải hệphương trình: x y 3 x y Bài I.13 Giải hệphương trình: 5 x y 23 3( x 1) 2( x y ) Bài I.14 Giải hệphươngtrình 4( x 1) ( x y ) 2 y 3 x Bài I.15 Giải hệphương trình: 1 2y x 1 x y Bài I.16 Giải hệphương trình: 2 x y 3x x 1 Bài I.17 Giải hệphươngtrình 2x x 4 y2 5 y2 x y Bài I.18 Giải hệphương trình: x y 5 y 1 1 y 1 4 x y Bài I.19 Không dùng máy tính cầm tay, giải hệphương trình: x y x2 x 1 y Bài I.20 Giải hệphươngtrình 3 x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 C PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải hệphươngtrình sau: x y 10 x y 16 3x y 2 x y 12 2 x y 2 x y 2 x y x y 10 2 x y 5 x y x y 2 x y 3x y 18 x y 5 x y 7 3x y 8 3 x y 9 x y 4 x y 6 10 2 x y 16 x y 3 11 3 x y 10 2 x y 12 4 x y x y 13 x y x y 14 2 x y 18 2 x y 15 x y x y 5 16 3x y 5 x y 3 17 x y x y 2( x 1) 18 7 x y x y 3 x y 12 19 4 x y x y 20 x y 5 2 x y ( x y ) 21 6 x y y 10 2 x y 10 22 5 x y 2 x y 23 x y 3 x y 2 24 x y 2 x y 25 2 x y 1 5 x y 10 26 5 x y x y 27 x y 3x y 28 4 x y 12 x y 29 3x y x y 10 30 x y 1 2 x y 3 x 20 31 4 x y x y 12 3 x y 32 6 x y 2 x y 2 33 3x y 3 5 x y 34 10 x y 3 x y x 35 5( x y ) 3 x y 2 x y 36 4 x y 12 2 x y 37 3 x y 3 x y 38 2 x y 2 x y 39 x y 5 2 x y 40 4 x 10 y x y 2 41 2 x y 2 x y 42 3 x y 15 x y 5 43 3x y 2 x y 44 x y 3 x y 45 5 x y 12 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x y x y 3x y 12 46 4 x y 1 x y 4( x 1) 47 5 x y ( x y ) 48 x 3y 3 x y 1 2 x y 50 4 x y x y 3 51 x y 3 x y 52 x y 17 x y 13 53 3 x y x y 54 x y 1 2 x y 55 x y x y 10 56 x y 3 x y 57 5 x y 23 x y 58 x y 2 x y 59 3 x y 2 x y 60 3 x y 3 x y 61 6 x y x y 62 x y 21 4 x y 63 3 x y 9 3( x 1) 2( x y ) 64 4( x 1) ( x y ) 2 x y 65 3 x y 3 x y 66 7 x y 23 x 3y 67 2 x y 2 x y 68 3 x y x y 69 3 x y 4 x y 70 2 x y x y 71 3 x y x y 72 2 x y x y 73 2 x y x y 74 3 x y 2 x y 75 x y x y 76 2 x y 2 x y 77 x y 3 x y 78 x y x y xy 79 x y xy 2 x y 80 3 x y 12 x y 11 81 4 x y 2 y 3 x 82 1 2y x x2 x 1 y 83 3 x y x y 2014 84 x y x | y | 85 4 x y 2 x y 86 3 x y 3 x y 87 x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x y 88 x y 2 x y 2014 89 x y 2015 x y 90 x y ( x 3)( y 2) xy 91 ( x 1)( y 1) xy 2 x y 92 x y 1 x y 1 93 3 x y 3 x y 94 4 x y 2 x y 95 x y 2 x y 96 3 x y 2 x y 4 97 x 3y 2 x y 98 x y 2 x y 3 99 3 x y x y 100 3 x y 3 x y 101 2 x y 3 x y 102 x y 3 x y 21 103 2 x y 3 x y 104 x 3y x y xy 105 x y xy 3 x y 106 4 x y 3 x y 21 107 2 x y 3 x y 108 x 3y 1 x y 1 109 2 x y x y x y 110 1 x y x y 1 x y 111 3 1 x y x 1 112 x 1 y 1 y x y x y 1,1 113 0,1 x y x y x x y x y 114 2x x y x y x y 1 115 1 x y y 2x x 1 y 1 116 x y 1 x y 117 x y 1 118 1 x y 1 x y 119 1 x y 15 x x y y 12 120 x x 2 y 12 y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 3 x y x y 2 10 x y x y Trang 10 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Từ suy x 25 Kiểm tra lại, ta thấy x 25, y 25 nghiệm hệphươngtrình 30) Điều kiện: x, y, z 13 Cợng ba phươngtrình vế theo vế, ta được: x 13 x y 13 y z 13 z Xét: T t 13 t với t 3;13 1 1 t 13 t Vì T t 13 t Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dấu “=” xảy t Vậy hệphươngtrình có một nghiệm x y z x x y x y 2 x y 31) Biến đổi hệphươngtrình thành: 2 (2) 4 3x y x y Thực phép (2) vào (1) ta có: (1) x x y x y x y 3x y x y x2 x y 2x2 2xy 15 x y x2 x y 2x x y 15 x y x y x 2x 15 TH1: x y Thay vào phươngtrình (2) có ngay: x2 Phươngtrình vơ nghiệm y 1 x y 8y TH2: x x 15 y 7 x 5 y y 119 0(VN ) Vậy hệ cho có nghiệm sau: 3; 1 , 3; 7 2 u x y x y u y u v 32) Đặt 2 x u 2v v x y 3 x y v 2x y u v2 3u v Khi hệ ban đầu trở thành: 2 2v u v 2(*) Thế v 3u vào phươngtrình (*) giải tìm u , từ v = x = 3; y = 33) PT thứ hai hệ x y x y x2 2x x y x 1 x y x 2 x y x Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 97 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x x 2y x thay vào phươngtrình thứ ta 2 y x x 13x2 11x 30 x TH2: x y x thay vào phươngtrình thứ ta bậc hai 2 y x x theo x 34) Điều kiện: x 4; y 0; x y; x y; y 3x Phươngtrình (1) TH1: 2x x2 y 4x y x2 y y 2x y 4x y + Nếu y khơng thỏa mãn điều kiện y 3x 12 + Nếu y x thay vào phươngtrình (2) ta thu được: x2 16 x x2 16 x 1 x 25 x 5 x5 x 5 0 2 x 1 x 1 x 16 x 16 x5 x 5 0 x 1 x 16 Với x y 16 Xét x5 x 16 x 5 x x x 16 x 1 Dễ thấy x x 16 x 4x x 16 với x nên phươngtrình vơ nghiệm Tóm lại hệ có nghiệm nhất: x; y 5;16 35) ĐK: x y, x x y a y Đặt , phươngtrình (1) hệ cho tương đương với: b x y a a 1 b b2 1 a b a ab b2 1 Do a2 ab b2 a, b a b y x y 3y Hệ x y2 y x x y x y 2 y y y y y y t t Đặt t y y, pt t t t 5t Do y y x Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 98 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 8 4 Kết luận: Hệ có nghiệm nhất: x; y ; 3 9 36) Từ phươngtrình (1) ta rút được: x x x2 y x2 y x x2 y x2 x x2 y x2 y x 9x (*) y2 Từ phươngtrình ta có kết quả: 9x 6x 1 y Thay vào (*) ta có: x 2x2 2x x2 y y 6x 2 x x x y xy 2 y2 y x x y y Nếu x vô nghiệm Nếu x x2 y y x2 y y x 3 y x 3 y x y y x 2 x y y xy x y x Thay vào ta tìm được: ( x; y) (5;3) KL: Hệ có nghiệm: ( x; y) (5;3) 37) Biến đổi phươngtrình (1) ( x 3) ( y 4)2 ( y 4) ( x 3)2 (*) + x 3 y 4 ta thấy không thỏa mãn + x 3 y 4 bình phương hai vế phươngtrình (*) ( x 3)( y 4) y 2( x 3) y 2 x 10 2 ( y 4) 4( x 3) Thay vào phươngtrình (2) rút gọn ta được: x 28 x 51 3 x 15 x2 8x 16 3 x 15 x 13 27 x 15 x 13 x 4 x 15 x 13 x 15 x 13 16 x x x 4 x 15 0 x 13 x 15 x 13 0 4x 7 0 x 4 x 152 x 13 x 15 x 132 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 99 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 4x 7 0 1 2 3 x 15 x 13 x 15 x 13 x 4 - Với x 4 y 2 4x 7 - Với x 15 x 13 x 15 x 13 0 (3) Ta chứng minh phươngtrình vơ nghiệm sau: Dễ thấy với x x2 28x 51 Do phương trình(**)có nghiệm 3 x 15 x 15 Từ suy vế trái (3) ln dương, dẫn đến phươngtrình vơ nghiệm KL: x; y 4; 2 38) Từ phươngtrình (2) ta thu được: y x y xy Thay vào phươngtrình (1) ta có: xy x2 y x3 x x y x y x x xy x2 y 2 ( x 2)( x x 4) x( x x 4) y( x x 4) x3 x x x y xy y (x3 8) (x 2x 4x) (x y 2xy 4y) (2x y)(x 2x 4) y 2x Thay y 2x vào phươngtrình (2)và rút gọn ta x y 2 x(6 x 7) x y 7 1 Vậy hệphươngtrình có nghiệm ( x; y) (0; 2), ; 3 39) Với điều kiện x hệphươngtrình cho tương đương với hệ: x y 8xy xy 12 y y 2 13 y y xy Lấy (1) + (2) ta có phân tích sau: x y xy y xy y [ y( x 1)]2 y( x 1) Ta y x 1 19 y2 17 y 1 - Với y 17 213 49 213 ;x 38 17 213 49 213 ;x 38 Vậy hệphươngtrình cho có bợ nghiệm là: - Với y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 100 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 49 213 17 213 49 213 17 213 ( x; y) ; ; , 38 38 40) Điều kiện: y x2 2 y xy xy Với y ta biến đổi hệphươngtrình thành 2 x xy y y Đặt a x2 ; b xy hệphươngtrình trở thành y 2a b 2ab b (3) b 2 2a 2ab b 2a (4) 2a 2b b a Cộng (3) (4) theo vế thu gọn ta a 1 a2 a a TH1: a 1 b 2b ( VN) x2 x TH : a b ta có hệphươngtrình y y xy Vậy hệphươngtrình cho có nghiệm ( x; y ) 4; 1 x 1 x 41) Điều kiện: 2 y y 0 y Cách 1: Đặt t x 1,0 t Lúc hệ pt thành: t 3t y y t 3t y y 2 2 2 x x y y x x y y 2 Từ phươngtrình (1) ta suy ra: t y t ty y 3(t y) Vì t ty y2 3(t y) t y 3 t y y có y 3 y y y 3 y y 3 y 3 y 1 nên phươngtrình vơ nghiệm Vậy t y x y Thay x y vào phươngtrình (2) có: x x 2 x x x2 1 x2 x2 x y 1 x 3 Vậy hệ pt có nghiệm x; y 0;1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 101 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Cách 2: Phươngtrình (2) x x y y f x g y Xét f x miền 1;1 ta có f x 13 y2 y y 1 Vậy f x g y Dấu xảy x 1, x Thay vào phươngtrình (1) có nghiệm x; y 0;1 (thỏa mãn) Ta lại có: g y y y Vậy hệ có nghiệm x; y 0;1 42) Vì x khơng phải nghiệm hệ chia phươngtrình (1) cho x3 ta thu được: x x 3x x y y 3 1 1 1 1 y y x x Đặt a , b y suy a3 a b3 b a b a ab b2 1 a b y Thay vào pt thứ ta được: x7 x7 x 15 x 0 x 3 15 x 2 15 x 111 98 43) Dễ thấy xy không thỏa mãn hệ x7 y 1 x y x y Với xy viết lại hệ dạng: 2 x y xy x y 14 Điều kiện để phươngtrình x y xy x y 14 (ẩn x) có nghiệm 7 1 y y 24 y 56 y 1; 3 2 Điều kiện để phươngtrình x y xy x y 14 (ẩn y) có nghiệm là: 10 x x 28 x 56 x 2; 3 Xét hàm số f t 2t đồng biến 0; nên f x f y f f 1 t x Kết hợp với phươngtrình thứ ta được: nghiệm hệ y 1 “Để chứng minh hàm số f x đồng biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 x2 D Chứng minh: f x1 f x2 0” x1 x2 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 102 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Ngược lại để chứng minh hàm số f x nghịch biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 x2 D Chứng minh: 44) Điều kiện xác định x f x1 f x2 0” x1 x2 1 ;y 2 2 x 13 x y 3 y Ta viết lại hệ thành: 4 x y Đặt a 2x 1, b y suy 2a3 a 2b3 b a b Từ phươngtrình thứ hệ ta có: 2x y Thay vào phươngtrình thứ hai ta được: 4 y y 6(*) Đặt t y y t thay vào ta có: 2t 16 t t 1 y Vậy hệ có nghiệm x; y ;6 2 4y x 13x y 13 45) Điều kiện: 2 x y x y Đặt a 13x y , b 2x y Khi ta hệphương trình: 5 x b (1) a 4b x a 2b x a 2b a 2b (2) a 2b b x y b x y b x y (3) 8y (4) Thế (4) vào phươngtrình Thế (1) vào (3) ta được: x 3 19 y y y 2x y x y ta được: 3 4 y 69 y 19 2 69 545 từ tính x 24 545 69 545 Thử lại ta thấy x; y 24 545; nghiệm cần tìm 46) Ta tìm cách loại bỏ 18y Vì y khơng nghiệm phươngtrình (2) nên tương Giải y đương 72 x y 108 xy 18 y Thế 18y từ phươngtrình (1) vào ta thu được: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 103 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 xy 21 3 2 x y 72 x y 108 xy 27 xy 21 xy Thay vào phươngtrình (1) ta tìm x, y y 0( L) xy 27 3 y 3 x 3 18 xy 27 y x 3 18 Vậy hệ cho có nghiệm 3 x; y ; , ; 2 4 4 47) Điều kiện: x 2, y Phươngtrình (1) tương đương: 2 x x x y 1 y y f 2x 1 f y Đặt a x , b y 1 a3 a b3 b a b x y 1 x y thay vào ta a 2b có: y y a 2b a 1; b y 3 65 23 65 233 23 65 a ;b y 32 65 23 65 233 23 65 ;b y a 32 Vậy hệ có nghiệm 23 65 185 233 23 65 23 65 185 233 23 65 ; ; x; y 1; , , 16 32 16 32 48) Điều kiện: x2 Ta có (1) tương đương x x2 y y y2 1 y y2 1 y x x y y Từ ta rút x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 104 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Thay vào (2) ta được: y y y2 1 35 12 Bình phương hai vế (điều kiện y ) Khi ta có: y2 1 y2 Đặt y2 y4 y2 y2 y2 35 35 2 y 12 y 1 y 12 2 y2 y2 y2 1 t Phươngtrình tương đương: 49 y t ( L) y 25 35 12 t 2t 12 y 12 y t 25 12 Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương 5 5 Vậy hệ có nghiệm x; y ; , ; 4 3 49) Triển khai phươngtrình (1) (1) x y xy x xy y x y x y 8 xy x2 1 y 1 8xy Nhận thấy x 0, y không nghiệm hệ x2 y 8 Phươngtrình (1) là: x y Đặt x y a; b Hệ cho tương đương: x 1 y 1 x x a x 1 y 1 b a b y y 4 1 x x a 8 x ab y 1 y b y 2 Vậy hệ có nghiệm x; y 1; , 1; , 3; 1 , 3; 1 50) Ta có: ( x y) 1 1 x y 2 x y2 x2 y x y ( x y) 2 Mặt khác ta có: 2 x 2y x xy y x y ( x y ) 12 x 2y x xy y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 105 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x2 y x xy y x 2y x 2y Từ suy Dấu xảy x y Thay vào phươngtrình lại ta thu được: x x x x x 1 x 3x 1 x y 1 Hệ có mợt cặp nghiệm: x; y 1; 2 3 51) Cộng theo vế pt hệ ta được: x y z (*) Từ suy số hạng tổng phải có số hạng khơng âm, khơng tính tổng qt ta giả sử: z z Thế phươngtrình thứ hệ tương đương: x3 16 12 z 12.22 x Thế phươngtrình thứ hai hệ tương đương: y3 16 12 x 12.22 y Do từ x y z * x y z thử lại thỏa mãn 3 Vậy x; y; z 4;4;4 nghiệm hệ 52) Phươngtrình (1) hệ có dạng: Do x2 y x2 y nên suy x2 y x2 y y x2 thay vào phươngtrình (2) ta có: ( x 2) ( x 2) ( x 2)2 x x x x x 1 y Vậy hệ có nghiệm x; y 1; x 2 53) Theo bất đẳng thức si ta có: x x x y 1 x x y x y x 3y x y x 3y x 3y y y 1 y x 3y x 3y x 3y Tương tự ta có: x y 1 x 3 x 3y x y x y 1 x 3 y 3x x y 1 x y Dấu xảy x y thay vào x 3y 3x y phươngtrình thứ ta được: x y Từ suy 2 y ( x 4) y y x x 1 x x y 4( x 1) y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 106 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 1 x 54) Điều kiện: x y Phươngtrình thứ hệ viết lại thành: x ( y 4) x y y y ( y 4)2 4(2 y y y) y y x 2y Từ ta tính được: x y 2y Vì x y y ( y 1) nên không thỏa mãn Thay x y vào phươngtrình thứ hai ta được: 1 x 2x 4x2 4x 2 5 Ta có: x x (2 x 1) ; 2 1 x 1 2x x x 1 x x 2 4 Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy 1 Suy x ; y 55) Từ phươngtrình (2) ta suy x Phươngtrình (1) viết lại sau: x y y 1 x y y y y 1 y y y y 1 2 x y2 Từ tính được: x y 1 Thay y x 1 vào phươngtrình ta thu được: x( x 4) x x Chia phươngtrình cho x ta có: x 2x 1 x 4 x 4 t x ta có 2t 3t Đặt t t x2 2 Với t x x vô nghiệm Với t x y Vậy hệ có nghiệm x; y 2;1 56) Điều kiện: x Ta viết lại phươngtrình (1) thành: x ( y 2) x y y y Tính Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 107 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 2 x 2y y y 16 y 16 y y y x y 2y x Thay y vào phươngtrình ta thu được: x x x x 9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có: 3 3 x x 1.( x 1) 1 x 1 x 2 x 10 3 x 4.4.( x 2) x 2 x 10 2x Từ suy x x x 2 Mặt khác ta có: x2 x (2 x 5) x Từ suy phươngtrình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy x Suy hệphươngtrình có nghiệm x; y 2;1 Mặt khác ta thấy x 2; y một nghiệm hệ Vậy x; y 2;3 nghiệm hệ 57) Đặt a x y ,b x y x y 3( x y ) 13 5 ( x y ) 2 ( x y) Hệ nên ta có: ( x y ) x y x y 5(a 2) 3b2 13 5a 3b2 23 a b a b a a Giải hệ ta tìm b b 1 11 ; Từ ta tìm nghiệm hệ: x; y , ; , ; 2 4 2 58) Từ phươngtrình (2) ta suy xy x, y dấu Từ phươngtrình (1) ta suy x, y Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x y y x x2 y y x2 Dấu 2 xảy x y x y Bài tốn trở thành: Giải hệphương trình: ( x y ) 12( x 1)( y 1) xy Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 108 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Ta có: ( x y)3 12( x 1)( y 1) xy ( x y)3 12( x y) 21 12xy xy Đặt t x y t x2 y ta thu x y 2xy x y t Ta có: ( x y)3 12( x y) 21 12xy xy ( x y) 12( x y) 21 12 x y x2 y x y t 6t 12t Ta có 2 t 6t 12t t Khi t x y nghiệm hệ 3 59) Từ phươngtrìnhhệ ta suy x, y Xét phương trình: x3 y3 x y xy 8xy x2 y Ta có: x3 y3 x y xy x y x2 y 6xy x y x y 4xy Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: x y xy 2 x y x3 y3 x y xy xy x y x y x2 y xy x 2 xy Suy x y xy x y Ta có y xy Suy x3 y3 x y xy 8xy x2 y Dấu xảy x y Thay vào phươngtrình (2) ta thu được: x x x x x x 3 hoặc: x x x 3 2x x x 3 Suy x 3 Do x nên pt vơ nghiệm 2 Tóm lại: Hệ có nghiệm: x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 109 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 IV HỆPHƯƠNGTRÌNH BẬC NHẤT ẨN 1/ Lý thuyết Hệphươngtrình bậc ẩn có dạng a1 x b1 y c1 z d1 a2 x b2 y c2 z d a x b y c z d 3 Bằng phương pháp cợng phương pháp ta giải hệ cách đưa hệ tương đương có phươngtrình có ẩn để giải Cuối ta tìm mợt hệ có mợt phươngtrình mợt ẩn, từ ta tìm giá trị mợt ẩn thay vào phươngtrình lại để tìm giá trị nghiệm hệ Ví dụ minh hoạ: Giải hệphươngtrình sau 3x y 3z 110 (1) (2) 5 x y z 2 x y z (3) Hướng dẫn: Nhân hai vế phươngtrình (2) với 2 cợng với phươngtrình (1) ta 3x y 3z 110 10 x y z 7 x 11z 110 Nhân hai vế phươngtrình (2) với cợng với phươngtrình (3) ta 15 x y 12 z 2x y z 17 x 11z Hệ cho tương đương với hệ sau: 2 x y z 10 7 x 11z 110 17 x 11z (3) (4) đến dễ dàng giải hệphươngtrình gồm phươngtrình (3) (5) (4) 2 x y z 10 2 x y z 10 y 13 7 x 11z 110 7 x 11z 110 z 17 Kết luận nghiệm HPT 17 x 11z 10 x 110 x 11 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 110 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Bài tập: Giải HPT sau x y z a) 2x 3y 5z 19 4x 9y 25z 97 x y z b) x 2y 2z x 3y 3z x 2y 3z c) x y 5z x 8y z Giải x y z 5y 7z 31 14z 42 z a) 2x 3y 5z 19 5y 21z 73 5y 7z 31 y 4x 9y 25z 97 x y z x y z x Vậy hệphươngtrình cho có nghiệm là: x;y;z 1;2;3 x y z y z x b) x 2y 2z 2y 2z y R x 3y 3z x z y Vậy hệphươngtrình cho có vơ số nghiệm thỏa mãn: x;y;z 1;y;1 y với y R 0y 14 VL x 2y 3z 3y 2z 4 6y 4z 8 c) x y 5z 6y 4z 6y 4z 6y 4z x 8y z x 8y z x 8y z x 8y z Vậy hệphươngtrình cho vơ nghiệm CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN x y z a) 3x y z 4 7 x y z 16 3 Đ/S: ;1; 2 xy x y xz 3 b) x z zy z y 24 24 b) ; ; 24 xy yz 39 c) yz zx 16 zx xy 25 c) (5;3; 8) (5; 3;8) TÀI LIỆU ĐƯỢC TỔNG HỢP TỪ NHIỀU NGUỒN TRÊN INTERNET CHÚC CÁC EM HỌC SINH HỌC TẬP TỐT VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG CÁC KỲ THI Sưu tầm – tổng hợp Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 111 ... PHỤ 20 A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 20 Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m 20 Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa điều kiện cho... 64 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC: 72 KHI TRONG HỆ CĨ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC THEO ẨN x, HOẶC y 75 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 79 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG... phương trình : { 2