Đề thi thử ĐH ĐHSP 1 08 lần 2

BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá Đề số: Họ tên: Lớp: Trường: Ngày: Câu I: Cho (C m ): y = x 3 + 2(m – 1)x 2 + (m 2 – 4m + 1)x – 2(m 2 + 1). 1. Khảo sát khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số có cực trị tại x 1 , x 2 đồng thời ( ) 1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2 + = + . Câu II: Giải các phương trình: 1. 2cos13x + 3cos3x + 3cos5x – 8cosx cos 3 4x = 0. 2. 2 9 x 4 2x 3 4x 2x 3 − + − = + . Câu III: 1. Tính: 3 dx I 2 3sin x cos x π π = + − ∫ . 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: ( ) 3 2 f x x 6x 9x 3= − + − trên đoạn [– 1; 4]. Câu IV: 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có ( ) C 1; 3− − , trọng tâm ( ) G 4; 2− và đường trung trực của BC có phương trình 3x + 2y – 4 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu V: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(1; 1; 0) và D(0; 0; m), m > 0. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của O lên AD và BD. a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OE và OF. b) Tìm m để · EOF 45= o . 2. Giải hệ phương trình 2 2 xy 2 6 x 2 3y 2xy  − = −   + =   ----------------------------- Hết ---------------------------- Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 1 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá LỜI GIẢI Câu I: Cho (C m ): y = x 3 + 2(m – 1)x 2 + (m 2 – 4m + 1)x – 2(m 2 + 1). 1. Khảo sát khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số có cực trị tại x 1 , x 2 đồng thời ( ) 1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2 + = + . Giải: 1. Khi = 0, ta có y = x 3 – 2x 2 + x – 2. • TXĐ: D = ¡ . • SBT: y’ = 3x 2 – 4x + 1; y’ = 0 ⇔ 1 x 3 = hoặc x = 1. Hàm số đồng biến trong khoảng 1 ; 3   −∞  ÷   và ( ) 1;+∞ ; nghịch biến trong khoảng 1 ;1 3    ÷   Điểm cực đại của đồ thị 1 50 A ; 3 27   −  ÷   ; điểm cực tiểu B(1; –2). Giới hạn vô cực x x lim y ; lim y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ . Bảng biến thiên • Đồ thị: (h.1). 2. Hàm số có cực trị tại x 1 , x 2 ⇔ phương trình y’(x) = 3x 2 + 4(m – 1)x + m 2 – 4m +1 = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 ' 0 ⇔ ∆ > ⇔ 4(m – 1) 2 – 3(m 2 – 4m + 1) > 0 ⇔ m 2 + 4m + 1) > 0 m 2 3⇔ < − − hoặc m 2 3> − + (*). Khi đó áp dụng Viet đối với (1) suy ra thoả mãn yêu cầu: ( ) 1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2 + = + 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 m 1 m 1 0 x x 0 x x x x m 1 x x 2 x x 2 m 4m 5 0 m 5 =  − = + =   + +  ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = −    = − − =    =  Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 2 - –2 50 27 − −∞ +∞ y’ – 0 + 0 – x 1 y y x O 1 3 –2 1 (h.1) (C) 50 27 − BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá Kết hợp (*) suy ra thoả mãn yêu cầu bài toán khi chỉ khi: m = 1 hoặc m = 5. Câu II: Giải các phương trình: 1. 2cos13x + 3cos3x + 3cos5x – 8cosx cos 3 4x = 0. 2. 2 9 x 4 2x 3 4x 2x 3 − + − = + . Giải: 1. Ta có: 8cos 3 4x = ( ) 4cos4x 1 cos8x 4cos4x 2cos12x 2cos4x 6cos4x 2cos12x+ = + + = + . 2cos13x + 3cos3x + 3cos5x – 8cosx cos 3 4x = 0 ⇔ 2cos(12x + x) + 6cos4xcosx – cosx(6cos4x + 2cos12x) = 0 ⇔ – sin12xsinx = 0 ⇔ sin12x = 0 ⇔ x = k 12 π . 2. Cách 1: t 2x 3, t 0= + > (*). Phương trình trở thành: 4t 2 – 4xt + x 2 – 9 = 0 ⇔ x 3 t 2 ± = . Kết hợp (*) ta được: ( ) ( ) 2 2 x 3 0 x 3 2 2x 3 x 3 x 7 2 13 x 14x 3 0 4 2x 3 x 3 − >  >   + = − ⇔ ⇔ ⇔ = +   − − = + = −    . Hoặc: ( ) ( ) 2 2 x 3 0 x 3 2 2x 3 x 3 x 1 x 2x 3 0 4 2x 3 x 3 + >  > −   + = + ⇔ ⇔ ⇔ = −   − − = + = +    hoặc x 3= . Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x 7 2 13= + ; x 1= − hoặc x 3= . 2 9 x 4 2x 3 4x 2x 3 − + − = + Cách 2: 2 9 x 4 2x 3 4x 2x 3 − + − = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2x 3 0 2x 3 0 4 2x 3 4x 2x 3 x 9 0 2 2x 3 x 9 0 + > + >     ⇔ ⇔   + − + + − = + − − =     ( ) ( ) 2x 3 0 2 2x 3 x 3 2 2x 3 x 3 0 + >   ⇔  + − − + − + =   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 x x 2 2 x 1 4 2x 3 x 3 x 2x 3 0 x 3 x 3 x 3 x 7 2 13 x 14x 3 0 4 2x 3 x 3     > − > −       = −        + = + − − =  ⇔ ⇔ ⇔ =       > >     = +       − − = + = −       . Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 3 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá Câu III: 1. Tính: 3 dx I 2 3 sin x cos x π π = + − ∫ . 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: ( ) 3 2 f x x 6x 9x 3= − + − trên đoạn [– 1; 4]. Giải: 1. 2 3 3 3 3 dx 1 dx 1 dx 1 dx I x 2 2 4 2 3 sin x cos x 3 1 1 cos x sin 1 sin x cosx 3 2 6 2 2 π π π π π π π π = = = = π π     + − − + + + −  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 3 x 2d 1 1 x 1 1 2 6 cotg x 4 2 2 6 2 3 3 3 sin 2 6 π π π π π   +  ÷ π π π       = = − + = + =  ÷  ÷ π       +  ÷   ∫ . Cách 2: 3 3 3 dx 1 dx 1 dx I 2 2 2 3 sin x cos x 3 1 1 sin x 1 sin x cosx 6 2 2 π π π π π π = = = π   + − + − + −  ÷   ∫ ∫ ∫ 2 2 3 3 1 dx 1 dx x 2 4 x x sin sin cos 2 6 2 12 2 12 π π π π = = π    π π      +  ÷ − + −  ÷  ÷           ∫ ∫ =…. 2. Gọi ( ) ( ) 3 2 2 g x x 6x 9x 3;g' x 3x 12x 9= − + − = − + , g’x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3. Ta lại có g(– 1) < 0, g(1) > 0, g(3) < 0 và g(4) > 0; suy ra g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 thoả mãn – 1 < x 1 < 1 < x 2 < 3 < x 3 < 4. Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x): Suy ra: [ ] ( ) ( ) 1;4 max f x f 1 19; − = − = [ ] ( ) ( ) i 1;4 min f x f x 0 − = = . Trong đó: x i (i = 1,2, 3) là nghiệm của g(x) = 0. Câu IV: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có ( ) A 1; 3− − , trọng tâm ( ) G 4; 2− và đường trung trực của AB có phương trình 3x + 2y – 4 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: Phương trình AB: 2(x + 1) – 3(y + 3) = 0. Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 4 - g’(x) 0 0 x – 1 x 1 1 x 2 3 x 3 4 1 0 0 0 1 3 19 f(x) BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá Toạ độ trung điểm D của AB thoả mãn hệ: Gọi C(x; y) ta có CD 3GD= uuur uuur Phương trình trung trực của AC Toạ độ tâm I(x; y) đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC thoả mãn hệ: Bán kính của (C) là IA = Phương trình (C): Câu V: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(1; 1; 0) và D(0; 0; m), m > 0. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên AD và BD. a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa CE và CF. b) Tìm m để · ECF 45= o . 2. Giải hệ phương trình 2 2 xy 2 6 x 2 3y 2xy  − = −   + =   Giải: 1. Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 5 - G C d A B D . (1) suy ra thoả mãn yêu cầu: ( ) 1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2 + = + 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 m 1 m 1 0 x x 0 x x x x m 1 x x 2 x x 2 m 4m 5 0 m 5 =  − = + =  . + 2( m – 1) x 2 + (m 2 – 4m + 1) x – 2( m 2 + 1) . 1. Khảo sát khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số có cực trị tại x 1 , x 2 đồng thời ( ) 1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2