LTDH_Chuyen De Luong Giac

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản 2 2 2 2 sin cos 1 sin tan cos 2 1 tan 1 2 cos x k x k α α α π α π α π α π α + =   = ≠ +  ÷     = + ≠ +  ÷   ( ) ( ) 2 2 tan .cot 1 cos cot sin 1 cot 1 sin x k x k α α α α π α α π α = = ≠ = + ≠ 2. Công thức LG thường gặp Công thức cộng: ( ) ( ) ( ) sin sinacosb sinbcosa cos cosa cos b sinasinb tan tan tan b 1 tan tan a b a b a b a a b ± = ± ± = ± ± = m m Công thức nhân: 2 2 2 2 3 3 3 2 sin 2 2sin .cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin 3tan tan tan3 = 1 3tan a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = − = − = − = − = − − − Tích thành tổng: cosa.cosb = 1 2 [cos(a−b)+cos(a+b)] sina.sinb = 1 2 [cos(a−b)−cos(a+b)] sina.cosb = 1 2 [sin(a−b)+sin(a+b)] Tổng thành tích: sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b + − − = cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b ± ± = Công thức hạ bậc: cos 2 a = 1 2 (1+cos2a) sin 2 a = 1 2 (1−cos2a) Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t = Chuyên đề: LG Trần Duy Thái 1 2 2 2 2 2 1- 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t = = = + + − 3. Phương trìng LG cơ bản * sinu=sinv 2 2 u v k u v k π π π = +  ⇔  = − +  * cosu=cosv⇔u=±v+k2 π * tanu=tanv ⇔ u=v+k π * cotu=cotv ⇔ u=v+k π ( ) Zk ∈ . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Đk để phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c+ ≥ . C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tan b a α = , ta được: sinx+tan α cosx= cos c a α ⇔ sinx cos α + sin α cosx= cos c a α ⇔ sin(x+ α )= cos c a α sin ϕ = ñaët . C ách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b+ , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b β β = = + + . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 cos sin sin cos c x x a b β β + = + hay ( ) 2 2 sin sin c x a b β ϕ + = = + ñaët . Cách 3: Đặt tan 2 x t = . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2 x k π π = + . + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx+c=0. Nếu phương trình có dạng asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=d thì biến đổi d=d(sin 2 x+cos 2 x) rồi đưa về phương trình (*). Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | 2≤ . sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x π π π π     + = + = −  ÷  ÷         − = − = − +  ÷  ÷     Löu y ùcaùc coâng thöùc : Chuyên đề: LG Trần Duy Thái 2 Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x (1). Giải Phương trình (1) tương đương với: 1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos8 2 2 2 2 x x x x− − + + + = + ⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 ⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0 5 10 5 2 cos5 0 cos2 0 2 , ( , , ) 2 4 2 cos 0 2 2 π kπ π x x kπ x π π lπ x x kπ x k l n x π π x kπ x nπ   = + = +   =       ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈     =      = + = +     ¢ Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 6 x+sin 6 x = 2 ( cos 8 x+sin 8 x) (2). Giải Ta có (2) ⇔ cos 6 x(2cos 2 x−1) = sin 6 x(1−2sin 2 x) ⇔ cos2x(sin 6 x–cos 6 x) = 0 ⇔ cos2x(sin 2 x–cos 2 x)(1+sin 2 x.cos 2 x) = 0 ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2 ,( ) 2 4 2 π π kπ x kπ x k= + ⇔ = + ∈ ¢ Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 3 4 8 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x+ − − = (3). Giải Ta có: 3 3 3 2 2 2 (3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0 2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2 (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2 2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 2 cos 2 (1 cos 4 ) 2 2 cos 2 .cos 2 4 2 cos 2 2 8 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π x x ⇔ − + − = ⇔ + = ⇔ + + + − − = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± , ( )kπ k+ ∈ ¢ Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: 8 8 17 sin cos 32 x x+ = (4). Giải Ta có (4) 4 4 4 2 1 cos 2 1 cos 2 17 1 17 (cos 2 6cos 2 1) 2 2 32 8 32 x x x x − +     ⇔ + = ⇔ + + =  ÷  ÷     Đặt cos 2 2x = t, với t∈[0; 1], ta có 2 2 1 17 13 2 6 1 6 0 13 4 4 2 t t t t t t  =  + + = ⇔ + − = ⇔   = −   Chuyên đề: LG Trần Duy Thái 3 Vì t∈[0;1], nên 2 1 1 cos 4 1 1 cos 2 2 2 2 2 x t x + = ⇔ = ⇔ = ⇔cos4x = 0 ⇔ 4 ,( ) 2 8 4 π π π x kπ x k k= + ⇔ = + ∈ ¢ Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5) ⇔ 2(1− cos 2 x)sinx + 2 – 2 cos 2 x + cosx – 1 = 0 ⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0 ⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos 1 2 ,( ) 2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) x x kπ k x x x x = ⇔ = ∈  ⇔  + + + =  ¢ Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t ≤ , khi đó phương trình (*) trở thành: 2t + t 2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t = 0 0 sin -cos ,( ) 2 ( 4 t π x x x nπ n t lo =  ⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈  = −  ¢ ¹i) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 4 π x nπ= − + ; 2 , ( , ) x kπ n k= ∈ ¢ Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Ví dụ 6. Giải phương trình: |sin | cos x π x= (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do | sin | 0,x ≥ nên |sin | 0 1 x π π≥ = , mà |cosx| ≤ 1. Do đó 2 2 2 0 | sin | 0 ,( ) (6) 0 | cos | 1 ,( ) k n x kπ k π n x x kπ k x x nπ x nπ x x nπ n +   = =   = =  = = ∈   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      = = = = = ∈        ¢ ¢ (Vì k, n ∈ ¢ ). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 2 1 cos 2 x x− = . Giải Đặt 2 ( )= cos 2 x f x x + . Dễ thấy f(x) = f(−x), x ∀ ∈ ¡ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0; 2 π    ÷   thoả mãn phương trình: 2 2 sin cos 2 n n n x x − + = . Giải Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x. = nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x) Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (0; ) 2 π , ta có minf(x) = f( 4 π ) = 2 2 2 n− Vậy x = 4 π là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. BÀI TẬP Giải các phương trình sau: Chuyên đề: LG Trần Duy Thái 4 1) cos 3 x+cos 2 x+2sinx–2 = 0 ( Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2 2 x k x n π π π = = + 2) tanx.sin 2 x−2sin 2 x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) ĐS: ; 2 4 3 x k x n π π π π = − + = ± + 3) 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m π π π π π π = ± + = − + = + 4) |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 ( ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: 2 x k π = . 5) 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) ( ĐH Luật Hà Nội) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ; 2 x k x n x l π π α π π α π = + = + = − + với 1 sin 4 α = − . 6) sinx−4sin 3 x+cosx =0 ( ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4 x k π π = + . 7) sin 3 sin 2 .sin 4 4 x x x π π     − = +  ÷  ÷     ; (Học Viện BCVT) ĐS: 4 2 x k π π = + 8) sin 3 x.cos3x+cos 3 x.sin3x=sin 3 4x ĐS: 12 x k π = . 9) 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π π   + = −  ÷     −  ÷   ĐS: 4 8 5 8 x k x k x k π π π π π π −  = +   −  = +    = +   10) 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = − ĐS: x = 3 k π π − + 11) 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx ĐS: 2 2 ( ) 4 3 x k x k k π π π π = + ∨ = ± + ∈ ¢ −−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−− Chuyên đề: LG Trần Duy Thái 5