Phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán lớp 6

MỤC LỤC MỤC LỤC : 1.MỞ ĐẦU: 1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 1.3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: .3 1.4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: NỘI DUNG: 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: .4 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: 2.2.1 Thuận lợi: 2.2.2 Khó khăn : 2.2.3 Khảo sat học sinh .6 2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI : 2.3.1 Giải pháp thực đề tài 2.3.1.a Giải pháp chung : 2.3.1.b Giải pháp cụ thể : 2.3.2 Tổ chức thực đề tài: 2.3.2.a Bài toán mở đầu số dãy số đơn giản: 2.3.2.b Tính tổng số dãy số dạng phân số : .13 2.3.2.c Tìm tích dãy số : .18 2.4 HIỆU QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: 20 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT : 21 - KẾT LUẬN: .21 - KIẾN NGHỊ: 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 24 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN……………………… 25 MỞ ĐẦU 1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục đổi không ngừng Các nhà trường trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh đầu tư thích đáng cho giáo dục Với vai trò mơn học cơng cụ, mơn Tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Dạy toán hoạt động tốn học cho học sinh, giải tốn công việc chủ yếu Để rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh, ngồi việc trang bị tốt hệ thống kiến thức rèn luyện kỹ giải tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết toán đơn giản xây dựng toán gốc để giải loạt toán liên quan Điều giúp học sinh tự tìm tòi suy nghĩ tốn có cách giải sáng tạo Dạy để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy cô đặt cho Để đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập học sinh, giảng dạy phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tư Toán học Với mong muốn nâng cao hiệu cơng tác giảng dạy nói chung cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp nói riêng Tơi nhận thấy chương trình tốn có nhiều nội dung hay hấp dẫn, cách tính tổng theo quy luật tìm tích nội dung thú vị, phong phú, đa dạng Để giải tốn dạng thơng thường ta biến đổi để làm xuất số hạng đối sau thu gọn ta số số hạng mà ta dễ dàng tính làm xuất dãy số mà ta dễ dàng tính ta phải phân tích phân số thành tích để rút gọn Nhưng biến đổi để xuất hạng tử đối dãy số dễ dàng tính lại vấn đề khơng đơn giản mà học sinh hay mắc phải Tôi xin đưa đề tài: “Phát triển tư cho học sinh thông qua số toán số học lớp 6” Ở đề tài tơi xin đưa vài tốn mang nội dung tính tổng theo quy luật số tốn tìm tích để giới thiệu cách khai thác kết quả, mở rộng toán xây dưng toán gốc (bài toán tổng quát) để giải loạt tốn tương tự nhằm mục đích phát huy trí tuệ sáng tạo học sinh, rèn luyện lực tư cho học sinh 1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Qua nhiều năm giảng dạy ,đứng lớp chuyên khối toán 6,thực tâm huyết rút nhiều kinh nghiệm qua giảng, lần giảng,bản thân thấy mơn tốn thú vị Đối với em bước vào đầu khối bỡ ngỡ kiến thức phương pháp học,như biết: Mọi vật thể cấu tạo từ chất chất cấu tạo từ phân tử nhỏ Trong Toán học toán bắt nguồn từ chi tiết nhỏ nhặt toán đơn giản Đối với học sinh lớp vậy, bước đấu làm quen với môn Tốn học, việc tiếp thu mơn Tốn học bước đầu nhiều khó khăn.Vì để học sinh giỏi mơn Tốn học khơng phải u cầu học sinh nắm vững biết vận dụng toán mà phải biết cách phát triển thành tốn có tầm suy luận cao hơn, nhằm phát triển lực tư cho học sinh Cách dạy học hướng đổi giáo dục Có tích cực hóa hoạt động học sinh, khơi dậy khả tự lập, chủ động, sáng tạo học sinh Nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tâm lí, tình cảm, đem lại niềm say mê hứng thú học tập cho học sinh 1.3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu đề tài Phát triển tư cho học sinh thơng qua số tốn số học lớp 1.4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tìm phương pháp tổ chức học tập cách có hiệu quả,giúp người học phát huy tính tích cực,tự giác, chủ động ,tư sáng tạo,bồi dưỡng lực tự học tự rèn luyện,đó phương pháp: -Phương pháp nghiên cứu lý thuyết -Phương pháp thực hành -Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động -Phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm -Phương pháp thống kê NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Trước việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặt kiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức cách bị động, người giáo viên thường trọng đến số lượng tập Nhiều học sinh hiểu thầy dạy mà không tự giải tập Việc phát triển tốn học sinh quan tâm mức Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ môn số học, giải tập số học Thực tiễn dạy học cho thấy: HS - giỏi thường tự đúc kết tri thức, phương pháp cần thiết cho đường kinh nghiệm, học sinh trung bình yếu, gặp nhiều khó khăn khơng thể nắm Để có kĩ giải tập số học cần phải qua trình luyện tập Tuy rằng, khơng phải giải tập nhiều có kĩ năng, việc luyện tập có hiệu quả, học sinh nắm lí thuyết biết khéo léo khai thác từ tập sang loại tập tương tự, nhằm vận dụng tính chất đó, rèn luyện phương pháp học tập cho Nếu người thầy giáo biết hướng cho học sinh cách học chủ động học sinh khơng khơng có ngại với mơn số hoc mà hừng thú với việc học số học Học sinh khơng cảm thấy học số học nói riêng tồn học nói chung gánh nặng, mà ham mê học tốn, có thành cơng việc dạy học mơn tốn 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2.2.1 Thuận lợi - Qua nhiều năm giảng dạy Toán bồi dưỡng, nâng cao chất lượng cho học sinh giỏi lớp giúp nhận thấy số điểm yếu cách tư duy, khai thác toán em học sinh - Thư viện nhà trường ln có số sách bồi dưỡng tốn nâng cao tài liệu có liên quan - Nhà trường tạo điều kiện thuận lợi để viết đề tài - Các em học sinh học giỏi tốn khơng nhiều em chăm ngoan, chịu khó học tập, biết tiếp thu nghe lời thầy giáo - Gia đình học sinh tạo điều kiện để em học tốt mơn tốn mơn học khác 2.2.2 Khó khăn Qua cơng tác giảng dạy mơn tốn nhiều năm liên tục chuyên khối nói chung số học lớp nói riêng năm qua tơi thấy đa số học sinh: - Khơng nắm phần lí thuyết học nắm nội dung học cách thụ động,hoặc thuộc lý thuyết vận dụng vào tập, nên trình làm tập gặp nhiều khó khăn, lúng túng - Khơng chịu đề cập tốn theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụng hết kiện tốn mà đề đưa - Khơng biết vận dụng vận dụng chưa thành thạo phương pháp suy luận giải tốn, khơng biết sử dụng toán giải mẫu áp dụng phương pháp giải cách thụ động - Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho tốn hay mở rộng lời giải tìm cho tốn khác, hạn chế việc rèn luyện lực giải tốn hình học - Đặc biệt cách lập luận tốn học sinh khơng chặt chẽ logíc nghĩ viết đó,dài dòng khơng bám sát vận dụng kiến thức vừa học 2.2.3 Khảo sát học sinh Trước triển khai chuyên đề tiến hành kiểm tra hiểu biết em học sinh khối lớp nhà trường việc khai thác cách giải giải số toán sau ĐỀ BÀI (Thời gian làm 60 phút) * Thực tính tổng sau: 1) A = 1×2 +  2 ×3 +3 ×4 +L    +  99 ×100 2) B = 1×3 +  3 ×5 +  5 ×7 +L +  97 ×99 3) C = 1×2 ×3 +  2 ×3 ×4 +L +  3 ×4 ×5 +L +  98 ×99 ×100 4) S = 1 1 + + +L + ×2 ×3 ×4 99 ×100 * Tìm số tự nhiên x biết : 5) 1 1998 + + + + = 10 x( x + 1) 2000 ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM 1) A = 333300 điểm 2) B = 161651 3) C = 24497550 điểm 4) S = 5) x = 1999 1,5 điểm 99 100 điểm 2,5 điểm THỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Tổng số học Yếu SL % Trung bình SL % Khá Giỏi SL % SL % sinh khối 65 15 20% 31 48% 12 20% 12% Sau kiểm tra em học sinh khối lớp nhà trường thấy cách tư em tồn số điểm sau: - Học sinh có nhiều em chưa biết cách giải số toán đơn giản dãy số dạng kiểm tra, lời giải trình bày dài dòng, rắc rối - Học sinh chưa phát huy tư sáng tạo, khả học hỏi, tìm tòi kiến thức 2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: 2.3.1 Giải pháp thực đề tài: Để khắc phục số hạn chế để nâng cao hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 6, tơi đưa số giải pháp sau: 2.3.1.a Giải pháp chung: Giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: - Củng cố lại phép tính cộng, trừ, nhân, chia, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc môn số học lớp - Rèn học sinh thói quen quan sát, nhận dạng tốn, phân tích nhằm phát quy luật toán - Rèn học sinh tính tự học, tự tìm tòi sáng tạo, biết cách tổ chức học tổ, học nhóm cách khoa học sáng tạo để tìm cách giải hay 2.3.1.b Giải pháp cụ thể: - Giáo viên đưa tập để hướng dẫn cho học sinh cách làm - Sau học sinh nắm cách làm rồi, giáo viên khai thác toán vận dụng tương tự - Tổ chức cho học sinh thảo luận làm số toán tương tự giáo viên đưa - Cuối giáo viên khảo sát, đánh giá kết để rút kinh nghiệm 2.3.2 Tổ chức thực đề tài: 2.3.2.a Bài toán mở đầu số dãy số đơn giản:      99 ×100 Bài tốn 1: Tính A = 1×2 +  2 ×3 +3 ×4 +…+ Để tính A ta biến đổi A để xuất hạng tử đối Muốn ta cần tách thừa số hạng tử thành hiệu: a = b − c Lời giải: 3A = 1×2 ×3 +  2 ×3 ×3 +  3 ×4 ×3 +L   +  99 ×100 ×3 = 1×2 ×3 +  2 ×3 ×( 4 −1)  +  3 ×4 ×( 5 −  2 )  +L   +  99 ×100 ×( 101 −  98 ) = 1×2 ×3 + ×3 ×4 −1×2 ×3 + ×4 ×5 − ×3 ×4 +L   + 99 ×100 ×101 − 98 ×99 ×100 = 99 ×100 ×101 ⇒ A = 33 ×100 ×101 = 333300 Ta tổng qt thành tốn sau: Tính tổng: A = 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1) Với n số nguyên dương Với cách làm tương tự ta có: 3A = 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +…… + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = n(n+1)(n+2) ⇒ A = n(n + 1)(n + 2) Từ toán tổng quát ta đề xuất thêm tốn tính tổng sau: a 12 + 22 + 32 + …………+ n2 b 1.4 + 2.5 + 3.6 +…………+ n(n+3) Lời giải: Câu a: Nhận xét: n2 = n(n+1) – n ⇒ 12+ 22 + 32 + …………+n2 = =1.2 – + 2.3 – + 3.4 – +………+ n(n+1) – n = 1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1) – ( +2 +3 +………+n) = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) − = Câu b: Nhận xét: n(n+3) = n(n+1) + 2n ⇒ 1.4 +2.5 +3.6 +…………+ n(n+3) = =1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+……… n(n+1) +2n =(1.2 +2.3 + 3.4 + ………+ n(n+1)) + 2( +2 +3 +………+n) = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(n + 5) +2 = 3 Lưu ý) Một số dãy số dễ dàng tính được: + + +L   + n ( n ∈ N* ) a + ( a + k ) + ( a + 2k ) + L + ( a + nk ) ( a,k,n ∈ N* ) Sau học sinh thực tập 1, Giáo viên phát triển thành toán chẳng hạn : - Thay đổi giá trị thừa số số hạng theo quy luật tập - Chứng minh A số Tự nhiên chứng minh A chia hết 100 cho Khai thác toán Trong toán thừa số hạng tử đơn vị hay cách đơn vị Thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử ta có tốn Bài tốn 2: Tính A = 1×3 + ×5 + ×7 + L + 97 ×99 Lời giải: 6A = 1×3 ×6 + ×5 ×6 +5 ×7 ×6 + L + 97 ×99 ×6 = 1×3 ×( 5 + 1 ) + ×5 ×( − 1)  +5 ×7 ( − ) + L + 97 ×99 ( 101 −95 ) = 1×3 ×5 + 1×3 + ×5 ×7 − 1×3 ×5 + ×7 ×9 − ×5 ×7 + L + 97 ×99 ×101 − 95 ×97 ×99 = 1×3 ×5 + + ×5 ×7 − 1×3 ×5 + ×7 ×9 − ×5 ×7 + L + 97 ×99 ×101 − 95 ×97 ×99 = + 97 ×99 ×101 + 97 ×33 ×101 ⇒A= = 161651 Trong toán ta nhân A với Trong toán ta nhân A với Ta nhận thấy để làm xuất hạng tử đối ta nhân A với lần khoảng cách thừa số hạng tử: 3kn ( n + k ) = n ( n + k ) ( r + 2k ) − ( n − k ) n ( n + k ) Thay đổi số thừa số tích ta có tốn Bài tốn 3: Tính A = 1×2 ×3 + ×3 ×4 + L + 98 ×99 ×100 Lời giải: 4A = 1×2 ×3 ×4 + ×3 ×4 ×4 + ×4 ×5 ×4 +L + 98 ×99 ×100 ×4 = 1×2 ×3 ×4 + ×3 ×4 ( −1) + ×4 ×5 ( − ) +L + 98 ×99 ×100 ×( 101 − 97 ) = 1×2 ×3 ×4 + ×3 ×4 ×5 −1×2 ×3 ×4 + ×4 ×5 ×6 − ×3 ×4 ×5 + L + 98 ×99 ×100 ×101 − 97 ×98 ×99 ×100 = 98 ×99 ×100 ×101 ⇒ A = 98 ×99 ×25 ×10 = 24497550 Thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử ta có tốn 4: Bài tốn 4: Tính A = 1×3 ×5 + ×5 ×7 + L + ×7 ×9 + L + 95 ×97 ×99 Lời giải: 8A = 1×3×5×8+ 3×5×7×8+ 5×7×9×8+ L + 95×97×99×8 = 1×3×5×( 7+ 1) + 3×5×7×( 9− 1) + 5×7×9×( 11− 3) + L + 95×97×99×( 101− 93) = 1×3×5×7+ 15+ 3×5×7×9− 1×3×5×7+ 5×7×9×11− 3×5×7×9+ L + 95×97×99×101− 3×95×97×99 = 15+ 95×97×99×101 15+ 95×97×99×101 ⇒A= = 11517600 Trong ta nhân A với (bốn lần khoảng cách) Trong ta nhân A với n n(n+ k)(n+ 2k) ta nhân với 4k (4 lần ∑ Như để giải tốn dạng n=1 khoảng cách) sau tách: 4kn ( n + k ) ( n + 2k ) = n ( n + k ) ( n + 2k ) ( n + 3k ) − ( n − k ) ( n + k ) n ( n + 2k ) Thay đổi lặp lại thừa số toán ta có tốn 5: Bài tốn 5: Tính A = 1×2 + ×4 + ×6 + L + 99 ×100 Lời giải: A = + ( + 1) ×4 + ( + 1) ×6 + L + ( 98 + 1) ×100 = + ×4 + + ×6 + + L + 98 ×100 + 100 = ( ×4 + ×6 + L + 98 ×100 ) + ( + + + + L + 100 ) = 98 ×100 ×102: + 102 ×50: = 166600 + 2550 = 169150 Cách khác: 10 A = 1×( −1) + ×( −1) + ×( −1) + L + 99 ×( 101 −1) = 1×3 −1 + ×5 − + ×7 − + L + 99 ×101 − 99 = ( 1×3 + ×5 + ×7 + L + 99 ×101) − ( + + + + L + 99 ) = 171650 – 2500 = 169150 Trong tốn ta khơng nhân A với số hạng mà tách thừa số tích làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Làm tương tự với tốn 6: Bài tốn 6: Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + L + 1002 Lời giải: A = + ×( + 1) + ×( + 1) + ×( + 1) + L + 100 ×( 99 + 1) = + 1×2 + + ×3 + + ×4 + + L + 99 ×100 + 100 = ( 1×2 + ×3 + ×4 + L + 99 ×100 ) + ( + + + L + 100 ) = 333300 + 5050 = 338350 Thay đổi khoảng cách số ta có tốn 7: Bài tốn 7: Tính A = 12 + 32 + 52 + L + 992 Lời giải: A = + ×( + 1) + ×( + 3) + ×( + ) + L + 99 ×( + 97 ) = + ×3 + 1×3 + ×5 + ×5 + ×7 + ×7 + L + ×99 + 97 ×99 = + ×( + + + L + 99 ) + ( 1×3 + ×5 + ×7 + L + 97 ×99 ) = + 4998 + 161651 = 166650 Bài tốn 8: Tính A = 1×2 ×3 + ×4 ×5 + ×6 ×7 + L + 99 ×99 ×100 Lời giải: A = 1×3 ×( – 3) + ×5 ×( – ) + ×7 ×( − ) +…+ 99 ×101×( 103 – )  = ( 1×3 ×5 + ×5 ×7 + L + ×7 ×9 + L + 99 ×101×103) – ( 1×3 ×3 + ×5 ×3 + L + 99 ×101×3 ) = ( 15 + 99 ×101×103 ×105 ) :8 – ×( 1×3 + ×5 + ×7 + L + 99 ×101)   = 13517400 – ×171650 =1 3002450 Thay đổi khoảng cách số tốn ta có tốn 11 Lưu ý ) Trong toán sử dụng dãy tổng quát: ( n − a ) ( n + a ) = n2 − a2 ⇒ n2 = ( n − a ) ( n + a ) + a a lµ khoảng cách gi ữa cơsố Thay i s m tốn ta có tốn 9: Bài tốn 9: Tính A = 13 + 23 + 33 + L + 1003 Lời giải: Sử dụng dãy tổng quát: ( n −1) n ( n + 1) = n3 − n ⇒ n3 = n + ( n −1) n ( n + 1) sử dụng kết tốn Ta có: A = + + 1×2 ×3 + + ×3 ×4 + L + 100 + 99 ×100 ×101 = ( + + + L + 100 ) + ( 1×2 ×3 + ×3 ×4 + L + 99 ×100 ×101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Bài tốn 10: Tính A = 13 + 33 + 53 + L + 993 Lời giải: Sử dụng dãy tổng quát: ( n − ) n ( n + ) = n3 − 4n ⇒ n3 = ( n − ) n ( n + ) + 4n Ta có: A = + 1×3 ×5 + ×3 + ×5 ×7 + ×5 + L + 97 ×99 ×101 + ×99 = + ( 1×3 ×5 + ×5 ×7 + L + 97 ×99 ×101) + ×( + + + L + 99 ) = + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách a ta tách: ( n − a ) n ( n + a ) = n − a 2n Ở tốn 8, ta làm toán 6, Thay đổi số mũ thừa số toán ta có tốn 11: Bài tốn 11: Tính A = 1×22 + ×32 + ×42 + L + 99 ×1002 Lời giải: A = 1×2 ×( −1) + ×3 ×( −1) + ×4 ×( − 1) +…+ 99 ×100 ×( 101 −1) = 1×2 ×3 −1×2 + ×3 ×4 − ×3 + ×4 ×5 − ×4 +…+ 99 ×100 ×101 − 99 ×100 = ( 1×2 ×3 + ×3 ×4 +…+ 99 ×100 ×101) − ( 1×2 + ×3 + ×4 +…+ 99 ×100 ) = 25497450 − 333300 = 25164150 12 2.3.2.b Tính tổng số dãy số dạng phân số: a) Ví dụ 1: Tính tổng sau: S= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 100.101 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Bài tốn có tổng phân số có tử mẫu phân số 1.2; 2.3; 3.4; 100.101 Như mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Cách giải toán biến đổi phân số cho thành hiệu phân số, biến dãy tính cơng thành dãy tính cộng trừ Trước tiên, cho học sinh tiếp cận chứng minh công thức tổng quát từ tốn đơn giản Có thể u cầu học sinh thực toán sau : Chứng tỏ rằng: 1 1 = ; − = ; 1.2 2.3 1 − = n n + n.(n + 1) 1− Biến đổi vế trái = vế phải Quá trình dạy học sau : Giải : Quy đồng mẫu số phân số vế trái −1 = = 1.2 1.2 1 3−2 − = = 2.3 2.3 1 n +1− n − = = n n + n.(n + 1) n.( n + 1) 1− * Qua ta có cách giải Ví dụ sau : S= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 100.101  1 100 1   1   1   − = = − =  −  +  −  +  −  + +  1 2 2 3 3 4  100 101  101 101 +) Bài toán tổng quát: 13 1 1 Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1)  1 n 1   1   1  1 = = − =  −  +  −  +  −  + +  − 1 2 2 3 3 4 n n + 1 n +1 n +1 b) Ví dụ 2: Tính tổng: P = 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy P tổng phân số có tử 2, mẫu phân số tích chữ số lẻ liên tiếp đơn vị, ta viết phân số hiệu phân số, phân số bị trừ có tử mẫu thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử mẫu thừa số thứ VD: 1 1 1 1 = − ; = − ; = − ; …; = − 1.3 3.5 5.7 99.101 99 101 Nên ta dễ dàng tính tổng cho * Cách giải: P= 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 1 3 5 1 − 99 101 = − + − + − + + = 1− 100 = 101 101 +) Bài toán tổng quát: 2 2 Tính tổng: P = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101 + + n.(n + 2) (n lẻ) 1 3 5 n = − + − + − + + − 1 n +1 = = 1− n+2 n+2 n+2 c) Ví dụ 3: Tính tổng 100 số hạng dãy sau: 1 1 ; ; ; ; 66 176 336 * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy số hạng dãy số có tử mẫu là: 14 6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết mẫu thành tích số phải tìm số hạng thứ 100 dãy Ta nhận thấy: = 1.6 ; 66 = 11.6 ; 176 = 11.16 ; 336 = 16.21 Ta thấy mẫu phân số có quy luật là: Tích hai số có số tận số tận Trong thừa số mẫu số có thừa số thừa số lại đơn vị Vậy mẫu số số thứ n dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1) => Mẫu số thứ 100 dãy số: (5.100-4)(5.100+1)=496.501 Ta cần tính tổng A = 1 1 + + + + 1.6 6.11 11 16 496.501 Tương tự ta tách phân số thành hiệu phân số, ta 1 nhận thấy : − = 1 1 => ( − ) = 1.6 1.6 Tương tự 1 1 1 − = => ( − ) = 11 6.11 11 6.11 1 1 1 − = − )= => ( 496 501 496.501 496 501 496.501 Từ ta tính tổng A cách dễ dàng * Cách giải: A= = 1 1 + + + + + 66 176 336 2484966 1 1 + + + + 1.6 6.11 11 16 496.501 = 1 1 1 1 1 1 ( − ) + ( − ) + ( − ) +…+ ( − ) 6 11 11 16 496 501 = =  500 100 1 1 − = =  501  501 501 1   1 1 1 − + − + + + + −  6 11 11 16 496 501 *) Bài toán tổng quát: 1 1 A = 1.6 + 6.11 + 11 16 + + (5n − 4)(5n + 1) 15 = 1 1 1 1 − ) ( − ) + ( − ) +…+ ( (5n − (5n + 1) 6 11 =  5n 1 n 1 − = =  5n +  5n + 5n + d) Ví dụ 4: Tính tổng : B = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 * Hướng dẫn: Ta thấy phân số tổng B có tử mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Ta viết số hạng tổng thành hiệu hai số cho số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử mẫu số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử mẫu gồm có số tự nhiên liên tiếp sau ( có số trùng nhau) Ta thấy: 1 − = 1.2 2.3 1.2.3 1 − = 23 3.4 2.3.4 1 1  =>  − =  1.2 2.3  1.2.3 1 1  =>  − = …  2.3 3.4  2.3.4 1 − = 37.38 38.39 37.38.39 1 1  =>  − =  37.38 38.39  37.38.39 1 Tổng quát ta áp dụng: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2) * Cách giải: B= 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 = 1 1  1 1  1 1  − − −  +   +…+    1.2 2.3   2.3 3.4   37.38 38.39  = 1 1 1 1  − + − + + −    2 3 37.38 38.39  1 1  11  − =  −   1.2 38.39   38.39  =  741 − 1 740 370 185 = = = 38.39 38.39 741 741 = * Bài toán tổng quát: 16 B=  1 1 1  − + + + + = n(n + 1)(n + 2)  (n + 1).(n + 2)  1.2.3 2.3.4 3.4.5  (n + 1).(n + 2) −  (n + 1).(n + 2) − = 4(n + 1).(n + 2)  2(n + 1).(n + 2)  =  e) Ví dụ : Tìm x biết : 1 1 101 + + +…+ x( x + 3) = 5.8 8.11 11 14 1540 Hướng dẫn tìm lời giải : Ta thấy vế trái đẳng thức phân số có tử số mẫu số tích số đơn vị : Ta xét : 1 − = => 5.8 1 1  − =   5.8 1 1  − = =>  −  = 11 8.11  11  8.11 1 11 1 − = =>  −  = 11 14 11 14  11 14  11 14 1  1 1 −  = = x( x + 3) =>  − x.( x + 3) x x +1  x x + 3 Từ ta có cách giải bái tốn Ví dụ sau : Cách giải : 1 1 101 + + +…+ x( x + 3) = 5.8 8.11 11 14 1540 Ta viết đẳng thức cho sau: 1 1  − + 5 8 1   1   −  +  −  +…+  11   11 14   101 1  − =  x x +  1540 1  101 1 1 1  − + − + − + + − = x x +  1540  8 11 11 14  101 1  − =  x +  1540 1 101 − = x + 1540 1 303 − = x + 1540 17 1 303 = − = x + 1540 1540 1 = x + 308 Ta có hai phân số với tử mẫu phải nhau, tức : x+3 = 308 => x = 308 - 3=305 2.3.2.c Tìm tích dãy số : a) Ví dụ 1: Tính tích sau : A = 15 9999 16 10000 *) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Các phân số cho tích đề có tử nhỏ mẫu số đơn vị, mẫu bình phương số tự nhiên n (n ≥ ) Nếu học sinh vận dụng quy tắc nhân phân số phức tạp tính tốn Với đặc điểm A viết sau 15 9999 2 100 A= Vấn đề đặt ta phải phân tích phân số thành tích để rút gọn Ở ta cần tách số tử thành tích hai thừa số đơn vị 1.3 2.4 15 3.5 9999 99.101 = ; = ; = ; = 2 3 4 100 100 VD: Sau ta lập tử mẫu hai dãy thừa số để rút gọn Hướng dẫn cho học sinh thừa số thứ tử thuộc dãy thừa số thứ nhất, thừa số thứ thuộc dãy số thứ Từ ta có kết tốn *) Cách giải: A= = 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101 1.2.3 99 3.4.5 101 = … 2 = 100 2.3.4 100 2.3.4 100 100 101 101 = 100 200 *) Bài toán tổng quát: A= 1.3 2.4 3.5 (n − 1).(n + 1) … n2 (n ≥ ) 18 = n +1 n +1 = n 2n b) Ví dụ 2:   Tính tích : B = 1 −      .1 − 1 −  1 −  21   28  36   1326  *) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Thực phép tính ngoặc tích sau: 20 27 35 1325 21 28 36 1326 Các phân số có tử nhỏ mẫu đơn vị, mẫu số chưa viết theo quy luật Mẫu phân số viết là: 3.7; 4.7; 4.9 Các thừa số có lặp lại chưa theo quy luật Nhận thấy thừa số lặp lại thừa số tích khơng có mối liên hệ với Vậy có có tích 6.7; 7.8; 8.9 thừa số mẫu phân số viết theo quy luật định, dãy hai thừa số số tự nhiên liên tiếp số Để có ta phải nhân tử mẫu phân số với ta được: 40 54 70 5.8 6.9 7.10 hay ta viết là: 42 56 72 6.7 7.8 8.9 Đến ta thấy tử phân số có thừa số đơn vị Nhân tử mẫu phân số cuối với 2, dựa vào nhận xét tử mẫu phân số đầu, ta có : 2650 50.53 = 2652 51.52 Như tích cho viết thành : 5.8 6.9 7.10 50.53 … , đến 6.7 7.8 8.9 51.52 thừa số viết trước tử mẫu dãy tích tử mẫu phân số thứ nhất, thừa số viết sau tử mẫu dãy tích tử mẫu phân số thứ Từ ta có kết toán *) Cách giải   B = 1 − =      .1 − 1 −  1 −  21   28  36   1326  = 20 27 35 1325 21 28 36 1326 5.8 6.9 7.10 50.53 5.6.7 50 8.9.10 53 53 265 … = = = 6.7 7.8 8.9 51.52 6.7.8 51 7.8.9 52 51 357 19 2.4 KẾT QUẢ CỦA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: Sau đưa cách khai thác tốn tính tổng, tích Tơi tiến hành kiểm tra để đánh giá kết tiếp thu cách thông minh linh hoạt học sinh qua so sánh với khảo sát trước đây, rút kinh nghiệm đưa giải pháp phù hợp ĐỀ BÀI (Thời gian làm 60 phút)    +  96 ×98 ×100 1) Tính tổng : A = ×4 ×6 +  6 ×8 ×10 +10 ×12 ×14 +L 2) Tính tổng : B = 1×3 ×5 +  5 ×7 ×9 +  9 ×11×13 +L +  97 ×99 ×101 2 3) Cho P = + + L + 100 Chøng minh r»ng: B < 26 1×3 ×5 199 ×201 4) 5) T ×mx biÕt: 2 4020 + +L + = 1+ 1+ + + + + + x 2010 Chứng minh :  100 - 1 + + + +   99  = + + + + 100  100 KẾT QUẢ KIỂM NGHIỆM SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Tổng số học sinh khối 65 * Nhận xét: Yếu SL % 2.4% Trung bình SL % SL % SL % 33 17 24% 13 20% 53.6% Khá Giỏi - Học sinh nắm vững kiến thức cách tìm quy luật để tính tổng dãy số tìm tích dãy số - Đa số học sinh biết tính tổng dãy số theo quy luật, biết tìm quy luật để tính, trình bày gọn gàng logíc, dễ hiểu - Nhìn chung đa số em biết vận dụng cách tính tổng việc chứng minh đẳng thức tìm số 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - KẾT LUẬN: Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, xin rút số kinh nghiệm sau: Như vậy, từ điều học phương pháp suy nghĩ đặc biệt hoá, tổng qt hố, tương tự ta tìm nhiều điều giúp ta nhìn thấy liên hệ vấn đề với Nhờ phương pháp mở rộng, đào sâu thêm kiến thức cách nêu lên giải vấn đề tổng quát hơn, vấn đề tương tự sâu vào trường hợp đặc biệt có ý nghĩa Điều vừa làm cho người thầy có nhìn sâu hơn, rộng vấn đề, toán, đồng thời tạo cho học sinh biết cách học, cách suy nghĩ giải vấn đề tự đặt giải vấn đề từ vấn đề học Từ nâng cao chất lượng dạy học Việc giảng dạy, đặc biệt giảng dạy bồi dưỡng học sinh mũi nhọn, rút kinh nghiệm phát triển tư cho học sinh qua việc khai thác toán phải việc làm thường xuyên tiết giảng, đòi hỏi người giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu với sáng tạo để tổng hợp, xếp nhóm tập hợp lý Phải ln đưa học sinh vào tình có vấn đề cần giải vừa sức với em, sở rèn kỹ phát huy động, sáng tạo vốn có em học sinh - KIẾN NGHỊ : - Đưa đề tài thảo luận trước tổ chuyên môn, sau thảo luận hội đồng khoa học nhà trường để điều chỉnh bổ sung phần kiến thức nội dung thiếu đề tài - Sau điều chỉnh xong thống triển khai áp dụng việc bồi dưỡng học sinh mũi nhọn, lấy làm tài liệu tham khảo giáo viên dạy tốn 21 - Để cơng việc đầu tư mũi nhọn có hiệu nhà trường cần tiến hành thi học sinh giỏi cấp trường nhà trường tổ chức, phát động phong trào thi đua học tốt mơn tốn Trên vài kinh nghiệm q trình bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp Đề tài khơng thể tránh khỏi sai sót, vấn đề nâng cao chất lượng mũi nhọn nhiều khó khăn nói chung, đặc biệt vùng ngoại thành nơng thơn Vì thân tự học, tự bồi dưỡng, đúc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp nhằm đóng góp số kinh nghiệm vào cơng tác giảng dạy để góp phần giải phần khó khăn chất lượng học sinh mũi nhọn Tôi mong nhận góp ý xây dựng chân thành Hội đồng khoa học cấp đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện sử dụng rộng rãi đạt hiệu cao Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Định Hưng, ngày 15 tháng năm 2018 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng copy nội dung người khác Người viết SKKN Bùi Thị Nga 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO -Luật giáo dục 2005 -Điều lệ trường phổ thơng -Phương pháp dạy học mơn tốn trường THCS ( HOÀNG CHÚNG ) -Hội nghị tập huấn phương pháp dạy học tốn học phổ thơng(BỘ GD-ĐT) -Phương pháp dạy học đề cương mơn tốn ( NGUYEENX BÁ KIM-BÙI HUY NGỌC) -Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ III(2004-2007)mơn tốn 1(BỘ GD-ĐT; VỤ GD TRUNG HỌC) -Tài liệu bồi dưỡng thường xun chu kỳ III(2004-2007)mơn tốn 2(BỘ GD-ĐT) -Xem đĩa tiết dạy mơn tốn 23 -Tham khảo trang mạng internet tin cậy GIÁO DỤC chun mơn tốn 6.Và số tài liệu toán nâng cao nhiều tác giả nhiều năm khác theo chủ đề Mẫu (2) DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Bùi Thị Nga Chức vụ đơn vị công tác:Trường THCS Định Hưng-Yên Định -Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Những kinh nghiệm lưu ý chứng minh bất đẳng thức Huyện C 2016-2017 chương trình đại số lớp 24 25 ... thú học tập cho học sinh 1.3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Đối tư ng nghiên cứu đề tài Phát triển tư cho học sinh thông qua số toán số học lớp 1.4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tìm phương pháp tổ chức học. .. = 1 .6 ; 66 = 11 .6 ; 1 76 = 11. 16 ; 3 36 = 16. 21 Ta thấy mẫu phân số có quy luật là: Tích hai số có số tận số tận Trong thừa số mẫu số có thừa số thừa số lại đơn vị Vậy mẫu số số thứ n dãy số có... để xuất hạng tử đối dãy số dễ dàng tính lại vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải Tôi xin đưa đề tài: Phát triển tư cho học sinh thông qua số toán số học lớp 6 Ở đề tài tơi xin đưa