BÀI tập lớn môn GIẢI TÍCH 2

Giáo viên đặc biệt chú trọng đến việc đơn giản hoá các khái niệm, thuật ngữ trong quá trình giảng dạy để học sinh thấy sự gần gũi của bộ môn Toán cao cấp 1 trong những bộ môn “khó nhằn” của các bạn sinh viên.Phong cách giảng bài: gần gũi, chậm rãi, tỉ mỉ, chi tiết để thấy Toán cao cấp gần gũi như Toán phổ thông.Khóa học được xây dựng dựa trên giáo trình Toán cao cấp của Nguyễn Đình Chí và không cung cấp bài tập tự luyện dưới dạng PDF ngay dưới mỗi bài giảng, sinh viên có thể tìm mua sách giáo trình và sách bài tập để kết hợp học tốt khóa học này.

Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH GVHD: NGUYỄN NGỌC QUỲNH NHƯ Hỗ trợ ôn tập STT HỌ VÀ TÊN LÊ HẢI HẬU( NT) HOÀNG HẢI TRIỀU TRƢƠNG QUỐC TUẤN PHẠM HOÀNG TRUNG LÊ HỒNG QN ĐÀO ĐỨC THẮNG [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] MSSV 41201037 21304310 61104030 31003674 31303209 20902537 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] ĐỀ TÀI : Câu 1: Xuất kết vi phân cấp hàm biến f điểm M cho trước dạng ma trận vng Câu 2: Tìm cực trị hàm đa thức f(x,y) thỏa điều kiện x y2  =1 với a,b>0 nhập từ a b2 bàn phím Câu3: Tính  f (x, y , z ) dxdydz  miền giới hạn :  ( z   x  y2 ; z=0; y=x ; y  x ) Câu 1:  Cơ sở lý thuyết: Định nghĩa đạo hàm điểm: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a,b) x0 () ( ) ( ( ) ( ) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên túc điểm Ý nghĩa đạo hàm  Ý nghĩa hình học f’(x0)là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M (x0,f(x0)) Khi đó, phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M (x0,y0) là: y-y0 = f’(x0).(x-x0) ( )) Hỗ trợ ôn tập  [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC]  Ý nghĩa vật lý Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t) thời điểm t0 v(t0) = s’(t0) Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 I(t0) = Q’(t0) Quy tắc tính đạo hàm: C '  (u  v ) '  u ' v ' ( x )  nx (uv ) '  u ' v  uv '  u ' u ' v  uv ' ( v  0)     v  v ' ( ku ) '  ku ' n 1 x ' 1 n 1  v'  v  v    ' ( n  N , n 1) Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x u’x hàm số y = f(u) có đạo hàm u y’u hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x y’x = y’u.u’x Đạo hàm cấp cao: f " ( x)  [f ' ( x)]' ; f ''' ( x)  [f " ( x)]' ; f ( n ) ( x)  [f ( n1) ( x)]' ( n  N , n  4) Các cách tính đạo hàm  Theo định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa, ta thực bước B1: Giả sử B2: Tính lim x 0 số gia đối số x0 Tính y  f x0 x   f x0  y x  VÍ DỤ: 3 2 Xuất kết vi phân cấp hàm f  x  y  z  10 x y  yz  4xz điểm ( ) dạng ma trận vng Tính tích phân bậc hàm f, ta có: f x'  15 x  20 xy  4z ' 2 f y  y  10 x  2z ' f z  z  yz  4x f '' xx  30 x  20 y Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] '' f yy  12 y 10 f '' 4 xz '' f zz  18 z  y '' f yz  4z f '' 20x xy Tính tích phân bậc hàm f điểm M(0,1,1) ta có: '' fxx  30   20  20 fxy'' 20   '' f yy  12   10  f ''  18     22 zz f '' xz 4 fyz''    Từ kết trên, ta xuất kết vi phân cấp hàm cho điểm ( dạng ma trận vuông là: 20  A     CODE: 2    22  ) Hỗ trợ ôn tập  CHẠY THỬ: [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] CÂU 2:  CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Mơ hình tốn tìm cực trị có điều kiện: ( )( ) , x, y biến thỏa điều Xét tốn: tìm cực trị hàm kiện ( ) ( ) Nhận xét: mơ hình tốn có điều kiện xét với điều kiện (2) phương trình Như điều kiện (2) có dạng: g(x,y) < (hoặc g(x,y) > 0) (2′) hiểu tìm cực trị địa phương hàm z = f(x,y), ta xét điểm dừng nằm miền thỏa mãn điều kiện (2′) Định nghĩa: ( Ta nói hàm ( ) với điều kiện ( )của M0 cho: ) ) đạt ( ) cực tiểu tồn lân cận ( ) ( ) ( ) ( thỏa: g(x,y) = Thơng thường, phương trình f(x,y) = phương trình đường cong (C) Như vậy, ta so sánh ( ) với ( ) M nằm (C) Tương tự, ta có định nghĩa cực đại có điều kiện Cực tiểu có điều kiện cực đại có điều kiện gọi chung cực trị có điều kiện Các phƣơng pháp tìm cực trị có điều kiện:   Cách 1: Đƣa tốn tìm cực trị hàm biến Nếu từ điều kiện (2) ta giải tìm y = y(x) vào hàm số f(x,y) ta có z hàm theo biến số x: ( ( )) Như vậy, tốn trở tốn tìm cực trị hàm số biến —–> Quá quen thuộc!!!  Cách 2: Phương pháp Larrange Nếu từ pt (2) ta khơng giải tìm y theo x Khi đó, giả sử (2) xác định hàm ẩn theo biến x: Để tồn hàm số ẩn, ta giả thiết: (*) Như vậy: hàm số ( ) , với y hàm theo x hình ảnh hàm số hợp biến số x thông qua biến trung gian y Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Với giá trị x làm cho z có cực trị đạo hàm z theo x phải triệt tiêu Vậy lấy đạo hàm (1) theo biến x với quy tắc hàm hợp (nhớ y hàm theo x) ta có: f  f y  (3) x y x Từ điều kiện (2), ta lấy đạo hàm vế theo x Ta có: g  g y  (4) x y x Đẳng thức (4) thỏa mãn với x, y thỏa mãn phương trình (2) Như vậy, điểm cực trị thỏa mãn điều kiện (2) thỏa mãn (3) (4) Nhân số hạng (4) với hệ số chưa xác định cộng chúng với số hạng tương g  f g  f ứng (3), ta được:       (5) y  x x  y Do đó, phương trình (5) nghiệm điểm cực trị thỏa điều kiện (2) Từ (5), ta chọn số  cho điểm cực trị, hệ số dy dx triệt tiêu g  f    Nghĩa là: y y  (6) Vì vậy, từ phương trình (5) (6) ta có: điểm cực trị có điều kiện nghiệm  f g     x x   f g hệ phương trình:     (I) y  y  g (x , y)  Bây giờ, ta xét hàm số Larrange: F ( x, y ,  )  f ( x, y )   g ( x, y) Khi điểm cực trị địa phương hàm Larrange thỏa mãn hệ: Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] F '  f   x x  f F '    y y  ' F  g (x , y)    g  y g 0  y 0 (II)  Từ (I) (II) ta nhận thấy: điểm dừng hàm Larrange cực trị hàm z = f(x,y) với điều kiện (2) Như vậy, tốn cực trị có điều kiện trở tốn cực trị địa phương hàm Larrange Ở đóng vai trò phụ sau tìm giá trị khơng cần đến Điều kiện cực trị có điều kiện liên quan đến việc khảo sát dấu vi phân cấp hàm Larrange điểm ( ) : d F 2F x 2 ( x0 , y0 ) dx  xy 2F ( x0 , y0 ) dxdy  2 F ( x0 , y0 )dy y2 đó: dx, dy khơng phải giá trị mà phải thỏa điều kiện:  g  g 2 (x , y )dx  0  x  y (x0 , y0 ) dy  với dx  dy 0 Nếu d F > với giá trị có dx, dy hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu có điều d kiện Nếu F < với giá trị có dx, dy hàm z = f(x,y) đạt cực đại có điều kiện Tuy nhiên, nhiều trường hợp việc xét dấu vi phân cấp phức tạp Khi đó, ta áp dụng kết sau: Giả sử ( ) điểm dừng hàm Larrange, ứng với giá trị đặt " " " ' ' A  Fxx ( x0 , y0 ); B  Fxy ( x0 , y0 ); C  Fyy ( x0 , y0 ); D  g x ( x0 , y0 ); E  g y ( x0 , y0 ) Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] D E Khi xét:  D A B E B C Nếu  > hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu có điều kiện ( ) Nếu  < hàm z = f(x,y) đạt cực đại có điều kiện ( )  VÍ DỤ: 2 Cho hàm số f(x,y) = x + y – Tìm cực trị hàm f cho thỏa điều kiện x – y = 2 Ta có x – y = 2 x = y + (*) (x 1) Thay (*) vào f(x,y) ta được: f(y) = y + y (y R) Tập xác định: D = R Xét f’(y) = 2y + = ( ( ) ( ) Vậy M( , Xét )  CODE: ) cực tiểu f(x,y) y = x = Hỗ trợ ôn tập  CHẠY THỬ: [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] CÂU 3:  CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Địng nghĩa: Cho hàm số f(x,y,z) xác định miền đóng, giới nội V khơng gian Oxyz Chia miền V thành n miền nhỏ tích  V1, …,  Vn Lấy tùy ý điểm Mi(xi,yi,zi) miền nhỏ thứ i n Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Lập tổng: I n   f ( xi , yi , zi )Vi i1 Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] I n  lim I n  I Nếu giới hạn nlim  max di 0 hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền V, Mi f(x,y,z) gọi khả tích miền V, I gọi tích phân bội hàm f V, ký hiệu: I   f ( x, y , z ) dV V Tương tự tích phân kép, ta ký hiệu dxdydz thay cho dV tích phân bội thường viết: I   f ( x , y , z ) dxdydz (thể tích V) V Chú ý: Nếu f(x,y,z) = I   f ( x, y , z ) dV (thể tích V) V Tính chất:  I   Cf (x, y , z ) dV  C  f (x, y, z) dV V  V I   [f (x, y , z )  g(x, y, z)]dV   f (x, y, z) dV   g ( x, y , z ) dV V  V  f ( x, y , z ) dV   f ( x , y , z ) dV   f ( x , y , z ) dV V V V  Nếu f ( x, y, z )  g ( x, y , z ); ( x, y, z ) V thì:  f (x, y, z) dV   g ( x, y , z ) dV V  V Nếu V  V1  V2 ,V1  V2  thì:    V  Nếu f(x,y,z) liên tục miền đóng, bị chặn V tồn điểm ( x0 , y0 , z0 ) V cho: f ( x0 , y0 , z )  V  f ( x, y , z ) dV (Đinh lý giá trị trung bình) V Cách tính tích phân bội ba Hỗ trợ ơn tập  [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Tích phân bội ba hệ tọa độ Descartes Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Cho V giới hạn bởi: mặt z  2 ( x, y) , mặt z  1 ( x, y) Xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz đường chuẩn biên miền D thuộc mặt phẳng Oxy (D hình chiếu V xuống mặt phẳng Oxy) Khi đó:  f ( x, y , z ) dxdydz    D V  ( x , y ) 1   f ( x, y , z )dz  dxdy   (x,y) Nếu miền D  ( x, y ) : a  x  b, 1 ( x )  y  2 ( x)thì: b 2(x) 2(x,y) a 1(x) 1(x,y)  f ( x, y , z ) dxdydz   dx V  dyf(x,y,z)dz Tính tích phân bội ba hệ tọa độ trụ:  Tọa độ trụ điểm M(x,y,z) ba số ( r , , z) ( r, ) tọa độ cực hình chiếu với M xuống mặt phẳng Oxy (Hình vẽ) Ta ln có: r  0;    2;  z  x  Mối liên hệ tọa độ Descartes tọa độ trụ:  y  z    r cos r sin  z Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Ta có:  f (x, y , z ) dxdydz   f (r cos , r sin  ) rdrd dz V  V Tính tích phân bội ba hệ tọa độ cầu:   Tọa độ cầu điểm M(x,y,z) ba số ( r,  , ) với r  OM , góc trục Oz OM ,  góc trục Ox OM , với M’ hình chiếu M xuống mặt phẳng Oxy Ta có: Với điểm M khơng gian r  0; x      ;       r sin  cos   r sin  sin  Mối liên hệ tọa độ Descartes tọa độ cầu:  y     z  r cos Công thức tính tích phân hệ tọa độ cầu:  f (x, y , z ) dxdydz   f (r sin cos , r sin sin  , r cos ) r sin drd d  V V  VÍ DỤ:  ( ) ∭  Trong miền giới hạn là: ; z = 0; y = x;      ( ) ∫  ∫√ ∫ ∫ ∫ = D1 + D2 Tính D1 ∫∫ (  ; ∫ ( ) ) ∫ Hỗ trợ ôn tập   ( ) [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] ( ) √ ( ) √ ( √ ) Tính D2  ∫√ ∫  ∫√ ∫  ∫ ( ( ∫ ) ) (  ∫ ∫ ) ∫    Tính d1     ∫  Đặt x = sint , ( * { +) => { ∫   ∫  ∫ ) (   (     ( ) ) Tính d2 ∫ Đặt x = sint , ( * +) => { ( ) Hỗ trợ ôn tập  {  Khi đó: [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC]    ∫ ∫  ∫  ∫ ( )   (   ( ) ( ) ) Tính d3  ∫ ( )   ( )   ( ( ) ) ( ( ) ) Suy ra  ( ) ( ( ) (   = 0.0887 ( √ ) ( ) ) √ ( ) ) ( ( √ ( ) ) (  ( √ ) ) ) ( √ ) √ ( ) Hỗ trợ ôn tập   CODE:  CHẠY THỬ: [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] ... z  y '' f yz  4z f ''  20 x xy Tính tích phân bậc hàm f điểm M(0,1,1) ta có: '' fxx  30   20   20 fxy''  20   '' f yy  12   10  f ''  18     22 zz f '' xz 4 fyz''   ... trận vuông là:  20  A     CODE: 2    22   ) Hỗ trợ ôn tập  CHẠY THỬ: [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] CÂU 2:  CƠ SỞ LÝ THUYẾT:... hàm f, ta có: f x'  15 x  20 xy  4z ' 2 f y  y  10 x  2z ' f z  z  yz  4x f '' xx  30 x  20 y Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] '' f yy  12 y 10 f '' 4 xz '' f zz 