De thi hoc sinh gioi Toan 7

PHỊNG GD&ĐT o0o -ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 20-20 Mơn: Tốn (Thời gian: 120phút, khơng kể thời gian giao đề) Câu 1( điểm) : Cho số nguyên dương a ABM cân, có góc 60 Vậy ABM tam giác http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục PHỊNG GD&ĐT o0o -ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 20-20 Mơn: Tốn (Thời gian: 150phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài : Cho dãy số : 1, -7, 13, -19, 25, -31, 37 … a) Tính tổng 2009 số hạng đầu dãy b) Viết số hạng tổng quát thứ n dãy cho? Bài : (a  b) 2007 a 2007  b 2007 a c   a) Cho Chứng minh : (c  d ) 2007 c 2007  d 2007 b d b) Tìm số nguyên a b thoả mãn : (2a + 5b + 1)(2|a| +a2 + a + b) = 105 Bài 3: a Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c thoả mãn: a  2b b  2c c  2a   Tìm tỉ lệ đường cao tương ứng tam giác b.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm: A(-1;2) ; B(4;1); C(-3;-1) Tính diện tích tam giác ABC Bài : Cho tam giác ABC có AB > AC góc A có số đo đường thẳng qua A vng góc với phân giác góc A cắt đường thẳng BC M cho BM = BA + AC Tính số đo góc B C tam giác ABC ? Bài 5: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c đường cao tương ứng h a; hb; 2 h  hb  hc hc Tìm giá trị lớn biểu thức: a (a  b  c) 2 Khi tam giác ABC tam giác gì? -Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM Câu số 1-a(0,5đ) 1-b(1 đ) 2-a(0,5 đ) Nội dung Xét tổng gồm 2009 số hạng sau: -7+13 -19+25-31+37 … =1+(-7+13)+(-19+25)+(-31+37)=1+(-7+13)-…(1004 cặp) =1+6*1004 =6025 Số hạng thứ nhất: a1=1 Số hạng thứ hai: a2=-7=-(6+1)=(-1)1 (6+1) Số hạng thứ ba: a3=13= 2.6+1=(-1)2.( 2.6+1) Số hạng thứ tư: a4=-19=-(3.6+1)= (-1)3.( 3.6+1) Số hạng thứ năm: a5=25=4.6+1= (-1)4.( 4.6+1) ……… Số hạng tổng quát là: an=(-1)n-1[(n-1).6+1] 2007 2007 2007 Điểm (0,25đ) (0,25đ) 0,25đ 0,25đ 0,5đ 2007 a c a b a b a b     2007  2007  2007 (1) b d c d c d c  d 2007 0,25đ Mặt khác: a b a b a 2007 b 2007 (a  b) 2007    2007  2007  (2) c d c d c d (c  d ) 2007 0,25đ Từ (1) (2) suy điều cần chứng minh 2-b(1,5 đ) Và 105 số lẻ nên (2a + 5b + 1) (2|a| +a2 + a + b) số lẻ Do (2a + 5b + 1) lẻ suy b chẵn Mà a2+a=a(a+1) chẵn nên 2|a| lẻ Suy a=0 Với a=0 Ta có: (5b+1)(b+1)=105=21.5=(-21).(-5) Do (5b+1; 5)= nên  5b  21  5b   21 hc  b 4    b  5  b    a 0 Thử lại  thoả mãn yêu cầu toán  b 4 3-a(1,5 đ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: a  2b b  2c c  2a a  b  c    a c ra: 3b a a 3b c Gọi ba đường cao tam giác ha; hb; hc Có: a.ha=b.hb=c.hc(=2.SABC)  3bha bhb 3bhc  3ha hb 3hc h hay:  b hc 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3-b(1 đ) Vẽ hình xác: Dựng hình chữ nhật PQRC Tính được:SPQRC, SPAC, Tính được:SQAB, SRBC Từ tính được: SABC= SPQRC-(SPAC+ SQAB+SRBC)= (đvdt) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 4(2đ) vẽ hình tương đối Trên tia BA lấy D cho AD=AC Khi BD=BM Suy Tam giác BDM cân, AM vng góc với phân giác nên AM phân giác hay MA phân giác góc M Vẽ thêm hình phụ phù hợp với bài: Từ đó: ^ B ^ BAM ^ AMB 180  180  ^ B  90  180 2    ^ B 60  ^B ^ C 180  (^ B ^ A) 180  (60  ^ C 120   0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 ) 0,25đ 0,25đ Câu 5(2 đ) 0,25đ Vẽ hình; ghi GT-KL Gọi ABC tam giác với BC=a, CA=b, AB=c Qua C kẻ Cx song song với AB Dựng điểm D cho Cx 0,25đ đường trung trực AD Theo định lý Pitago ta có: AB  AD  BD ( BC  CD ) 2  c  4hc (a  b) 0,25đ  4hc (a  b)  c Tương tự ta có: 4ha (b  c )  a 2 4hb (c  a )  b 0,25đ Suy ra: 4( + hb + hc )≤(a+b+c) 2 0,25đ h  hb  hc  Suy ra: a (a  b  c) 0,25đ Dấu “=” sảy a=b=c hay tam giác ABC Kết luận:  hb  hc (a  b  c) 2 đạt GTLN 0,25đ tam giác ABC http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục PHÒNG GD&ĐT o0o ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 20-20 Mơn: Tốn (Thời gian: 120phút, khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: Tính a) A = 3 �3 � � � �3 � � �: � � � �� �5 � � � �4 � 2010 b) B = 2009 �4 �1 � �1 82 � � 2�  � : � � � � � � 11 25 22 � � �2 � � � Bài : Tìm x biết 1 a )  : x  4 b) 2x 1  x  5 Bài 3: a) Tìm a , b , c Biết: 3a = 2b ; 4b = 5c - a - b + c = - 52 x2  5x  x b) Tính giá trị biểu thức C = 2x 1 Bài 4: Bốn Ngựa ăn hết xe cỏ ngày , Dê ăn hết xe cỏ sáu ngày , hai Cừu 24 ngày ăn hết hai xe cỏ Hỏi ba (Ngựa , Dê Cừu) ăn hết hai xe cỏ ngày ? Bài 5: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A M cắt cạnh AB , AC E F Chứng minh : a) EH = HF � � � a) 2BME ACB  B b) c) FE  AH  AE BE = CF ĐÁP ÁN (Hướng dẫn chấm gồm hai trang) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục Câu ý Nội dung (1,5đ) a (0,75) �9 � �3 � �9 � A  32  � �: � �  32  � � �   27  �4 � �4 � �4 � 35  0, 0,25 2009 2010 b �4 � �1 �   � =� �  11  � � (0,75) 11 11 � �2 26 � � 26 a : x  4  � :x � x 5 26 (0,5) � x    x (1) * Với 2x – �0 từ (1) ta có 2x – = x + (1,5 đ) � x = thoả mãn điều kiện 2x – �0 b (1,0) * Với 2x – < từ (1) ta có – 2x = x + � x = - thoả mãn điều kiện 2x – < Đáp số : x1 = ; x2 = -1 a b a b Giải : Từ 3a = 2b �  �  a (0,75) 10 15 b c b c Từ 4b = 5c �  �  15 12 a b c cab 52 �     4 10 15 12 12  10  15 13 � a = 40 ; b = 60 ; c = 48 Biểu thức (1,5đ) Điểm x  5x  2x 1 3 � x1   Vì x  2 C = ; 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x2  3 0,25 Thay x1= -3/2 vào biểu thức C ta b (0,75) � 3� � 3� 2�  � � � � � 15 � 2� � 2� � � �  C= � 3� 2� � � � 2� 0,25 Thay x2 = 3/2 vào biểu thức C ta �3 � �3 � 2� � � � � � �2 � �2 �  � � � 0 C= �3 � 2� � � �2 � Vậy x1 = -3/2 C = -15/4 x2 = 3/2 C = 0,25 Vì bốn ngựa ăn hết xe cỏ ngày , ngựa ăn hết xe cỏ ngày Một dê ăn hết xe cỏ ngày Hai cừu ăn hết hai xe cỏ 24 ngày nên cừu ăn hết xe cỏ 12 ngày (2đ) (xe cỏ ) dê ăn hết (xe cỏ ) Một cừu ăn hết (xe cỏ ) 12 1 1 Cả ba ăn hết :    (xe cỏ 12 0,5 Trong ngày : ngựa ăn hết (0,5) a (0,75) 0,5 0,5 Cả ba ăn hết xe cỏ ngày nên ăn hết xe cỏ 0,5 ngày Vẽ hình 0,5 A C/m AEH  AFH (g-c-g) Suy EH = HF (đpcm) 0,75 �F � Từ AEH  AFH Suy E � � � Xét CMF có � ACB góc ngồi suy E CMF  ACB  F b � góc ngồi suy BME � � � BME có E M  E1  B B (0,75) C �  BME �  (� �)  ( E �B �) ACB  F CMF H � � � (đpcm) hay 2BME ACB  B D ( 3,5đ) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông FAFH : c FE  AH  AE (đpcm) (0,5) ta có HF2 + HA2 = AF2 hay 0,75 0,5 d (1,0) �F � C/m AHE  AHF ( g  c  g ) Suy AE = AF E Từ C vẽ CD // AB ( D � EF ) C/m BME  CMD( g  c  g ) � BE  CD (1) �  CDF � có E (cặp góc đồng vị) � F � CDF � CDF cân � CF = CD ( 2) Từ (1) (2) suy BE = CF 0,25 0,25 0,25 0,25 ... 20 07 20 07 20 07 Điểm (0,25đ) (0,25đ) 0,25đ 0,25đ 0,5đ 20 07 a c a b a b a b     20 07  20 07  20 07 (1) b d c d c d c  d 20 07 0,25đ Mặt khác: a b a b a 20 07 b 20 07 (a  b) 20 07    20 07. .. 1, -7, 13, -19, 25, -31, 37 … a) Tính tổng 2009 số hạng đầu dãy b) Viết số hạng tổng quát thứ n dãy cho? Bài : (a  b) 20 07 a 20 07  b 20 07 a c   a) Cho Chứng minh : (c  d ) 20 07 c 20 07 ... -Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM Câu số 1-a(0,5đ) 1-b(1 đ) 2-a(0,5 đ) Nội dung Xét tổng gồm 2009 số hạng sau: -7+ 13 -19+25-31+ 37 … =1+( -7+ 13)+(-19+25)+(-31+ 37) =1+( -7+ 13)-…(1004