Bài tập với căn thức

3a + 9a − a −2 − + −1 a+ a −2 a −1 a +2 Bµi 1:Cho biĨu thøc: P = a) Rót gän P b) T×m ađể P =/2/ c) Tìm giá trị tự nhiên a cho P số tự nhiên Giải a) P = = 3a + 9a − a−2 − + −1 ( a − 1)( a + 2) a −1 a +2 3a + a − − a + + a − − a − a + = ( a − 1)( a + 2) a+3 a +2 = ( a + 1)( a + 2) ( a − 1)( a + 2) ( a − 1)( a + 2) §iỊu kiƯn a ≥ 0vaa ≠ a +1 = a −1 b) P =/ 2/ / a + / = / a − / * a + = ( a − ) * a + = ( - a) * a =3 a=9 *3 a = c) P = + a +1 tõ ®ã a ∈ { 0;4;9} a= Để P số tự nhiên a { 1;2} với a= th× P=-1 ∉ N a= th× P = ∈ N Víi a = th× P= ∈ N VËy a = vµ a =9 Bµi 2: Cho biĨu thøc: P = x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1) x − ( x − 4) (1 − ) x a) Tìm điều kiện để biểu thức cónghĩa rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị biểu thức x = + Giải: a) * ĐKXĐ: x>1 ; x *P= x −1 1− x víi x> víi 1 a Giải: (4 điểm) ĐKXĐ : x>0; x ≠ (0,25 ®iĨm) 1   x + x −1 x x + x − x   + − :   1− x x   1+ x x 1− x   a Ta cã P =   (2 x − 1)( x + 1) x (2 x − 1)( x + 1)  x −1+ x :  +  (1 + x )(1 − x + x )  x (1 − x )  (1 − x )(1 + x ) = 2 x −1 x −1 + :  x (1 − x )  1− x = x (2 x − 1)   1− x + x  =    x x −1  + : (2 x − 1)  x (1 − x )   − x − x + x  = x −1 x −1 : x (1 − x ) (1 − x )(1 − x + x) = x −1 (1 − x )(1 − x + x) x (1 − x ) x −1 = 1− x + x x VËy : P = (0,75®) b Ta cã: x = − = (2 − ) ⇒ x = (2 − ) = − Thay x = − vµo biĨu thøc P, ta đợc: P= (2 ) + − − 3 3(2 − ) = = =3 2− 2− 2− VËy: P = x = − c ta cã: P = 1− x + x = + x −1 x x Do: x x > 0, x Nên: x> áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số + x ≥ x x x vµ ta cã: x =2 x VËy: P ≥ 2-1 ⇔ P ≥ DÊu “=’’ x¶y ⇔ = x x x =1 Mà x = (Không thoả mãn điều kiện xác định ) Nên: P > Vậy: Giá trị lớn a để P > a lµ: a = x+4 x−4 + x−4 x−4 Bµi 4: Cho biĨu thøc: A = 1− 16 + x x2 a, Rót gän A b, T×m giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Giải: A, Rút gọn A (2 điểm) A= ( x − + 2) + ( x − − 2) (1 − ) x * NÕu < x ≤ th× A = * NÕu < x th× A = 2x 4x (1 điểm) x4 x4 (1 điểm) b, Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên (2 ®iĨm) 16 víi x ∈ Z x−4 ⇔ x − lµ íc cđa 16 vµ < x ≤ ⇔ x ∈ { 5;6;8} (1 ®iĨm) 2x XÐt A = vµ x ∈ Z nÕu x − số vô tỉ A số vô x4 m m, n tỉ nên không thoả mãn Do đặt x = ( số nguyên dn ơng (m; n) = ) m2 2( + 4) m 8n =2 + ∈Z Khi ®ã A = n m n m n m n ⇔ + = k (∈ Z ) ⇔ 2m + 8n = k p.q n m Từ ta thấy 2m n mà (m; n) = nên n ớc Vậy n = n = Tơng tự nh m ớc nên m {1;2;4;8} Vì (m; n) = nên cần thö: + n = ; m = → x số nguyên + n = mà x > nên m { 4;8} thoả m·n ®ã x ∈ { 20;68} (1 ®iĨm) XÐt A = 4x =4 x−4 Bµi 5: Cho : A= x − x −1 + x + x −1 x − 4( x − 1) (1 ) x a Tìm tập xác định A rút gọn A b Tìm x để A =1 Giải Tìm đợc tập xác định: x > < x <  ( 0.5 ®iĨm) (1 − x − 1) + (1 + x − 1) x Viết đợc A=  x −  ( x − 2) = 1− x −1 +1+ x −1 x − x−2 x −1 NÕu < x < tính đợc A= ( Nếu x > đợc A = x x b) Tìm đợc x = Bài : ( điểm ) Cho biÓu thøc  x −1 − A =   x +1 x +1  x .  −  x −   x a) Rút gọn A A b) Tìm x để >2 x c) Giải a Rút gọn A : ĐK x > vµ x ≠ ( ) ( ) ( ) 2 x −1 − x +1 1− x    A= x −1 2 x  x − x + − x − x − (1 − x ) x −1 4x x (1 − x ) = 1− x 4x 1− x = = x b Muèn A x > th× V× x > nªn : – x > 2x > 3x 1− x ( x) >2⇔ 1− x >2 x >x Kết hợp với điều kiƯn ( ) ta cã víi Bµi 7: (5,0 ®iÓm) Cho biÓu thøc:  x− y  +  x− y  x3 − y y−x  :   ( x− y ) + xy x+ y a) Tìm ĐKXĐ Q rút gọn b) Chững minh Q c) So sánh Q với Q Q= 02 x Giải x ≥ y ≥ x ≠ y a) §KX§  Q=    ( x− y  (    = ( x + y ) −   = = x+ y x+ VËy, Q = ( y )( )+( ( )( y− x )( ) ( y x + xy + y  : y− x y+ x   x− )( ) x− y ) xy + y y x+ y = y x − xy + y xy x − xy + y ) x+ ) y x − xy + y xy x − xy + y víi ∀ x,y thoả mãn ĐKXĐ b) xy x ; y ≥ x + y ≥ xy ( áp dụng BĐT Côsi cho số không âm x, y) Mµ x ≠ y ⇒ x + y > xy ó x - xy + y > xy ≥ ó x - xy + y > VËy, Q = xy x − xy + y Theo câu b, ta có x, y x ≠ y x- Chia vÕ cña (1) cho x - xy + y > (1) xy xy + y > => xy x − xy + y VËy, ≤ Q < • NÕu Q = => Q = Q • < Q < => Q ( Q - 1) < => Q  Q < Q ∀ x, y ≥ vµ x ≠ y Bµi 8: Cho biĨu thøc: A= x ( - x2 ) ỉx3 - ưỉ x3 + ữ ữ ỗ ỗ + x x : ữ ữ ỗ ữỗ ữ x2 - ỗx- ỗx +1 ố ứố ứ Q 0; a ≠ VËy víi a = 16 A =-1 (0,5 điểm) Bài 14 : Cho biÓu thøc : P= x +1 − x x +1 a) Rót gän biĨu thøc P b) Chøng minh r»ng : ≤ P ≤ Gi¶i a) §iỊu kiƯn ®Ĩ P cã nghÜa : x ≥ Đặt x = a (a 0) ta có : P= − + a +1 a +1 a +1− a a − a + − + 2(a + 1) a + a a (a + 1) = = P= a +1 a +1 a +1 P= a x VËy P = a − a +1 x − x +1 2 b) Ta cã : x − x + = ( x - ) + >0 + x − x +1 Do ®ã : P = XÐt 1-P = 1- x ≥0 x − x +1 x = x − x +1 ( x − 1) x − x +1 ≥ ⇒ P ≤1 VËy ≤ P ≤ Bµi 15: Cho biĨu thøc  x x +1 x −1   x  : x +  víi x > vµ x ≠ − A =    x −1  x −   x −1 a) Rót gän A 2) Tìm giá trị x để A = Giải a)  x x +1 x   ( x + 1)( x − x + 1) x −   x ( x − 1)  : − +  ( x − 1)( x + 1)   x − x −1    = = = = => x − x +1− x +1 x −1 − x +2 x −1 : x x −1 : x x −1 = − x +2 x −1 ⋅ x −1 x 2− x x 2− x =3 x => 3x +  x x −1 x -2=0 ( a,Rút gọn P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên ĐK: x 0; x ( x − 1z a, Rót gän: P = x( x − 1) : x( x − 1) x −1 => x = 2/3 )  x x +1  x − x +1 x −1 : − Bµi 16: Cho biĨu thøc: P =    x − x x + x    Gi¶i: x   x −   x − x +1 x −1   x − x + x   :  −     x − x − x −     = b) A = x −1   : x +  − A =     x − x − x −     Ta cã: )   P= x −1 ( x − 1) x +1 = 1+ x −1 b P = x +1 = x −1 x −1 Để P nguyên x = x =2⇒ x=4 x − = −1 ⇒ x = ⇒ x = x −1 = ⇒ x = ⇒ x = x − = −2 ⇒ x = −1( Loai ) VËy víi x= { 0;4;9} P có giá trị nguyên Bài 17: x −9 Cho biÓu thøc M = x−5 x +6 + x +1 x −3 + x +3 x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x ®Ĩ M = c T×m x ∈ Z ®Ĩ M ∈ Z Gi¶i: M= x −9 + x−5 x +6 x +1 x −3 + x +3 2− x a.§K x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ M= x −9− ( )( ) ( ( )( ) Biến đổi ta có kết quả: M = M= ( ( )( x − 3)( x +1 )⇔M = x − 2) x −2 x −1 b M = ⇔ ( x −3 x +1 x −3 =5 ⇒ x +1= x − ) ⇔ x + = x − 15 ⇔ 16 = x 16 ⇒ x= = ⇒ x = 16 c M = x +1 x −3 = )( x + x − + x +1 x −2 x −3 x −3+ x −3 = 1+ x −3 ( x −2 ) x− x −2 x −2 )( x −3 ) x − lµ íc cđa ⇒ Do M z nên x nhận giá trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; ⇒ x ∈ {1;4;16;25;49} x ≠ ⇒ x ∈ {1;16;25;49} x2 +1 x Bài 18: a)Xác định x R ®Ĩ biĨu thøc :A = x2 +1 − x Là số tự nhiên b Cho biểu thức: x P= xy + x + + y yz + y + BiÕt x.y.z = , tÝnh + z zx + z + P Gi¶i: x2 +1 + x a.A = x + − x − ( x + − x).( x + + x) 2 = x + − x − ( x + + x ) = −2 x A lµ sè tù nhiên -2x số tự nhiên x = k (trong k Z k ) b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = ta đợc x, y, z > xyz = (0.25đ) Nhân tử mẫu hạng tử thứ với x ; thay ë mÉu cđa h¹ng tư thø bëi xyz ta đợc: P= x xy + x + + xy xy + x + + z z ( x + + xy = x + xy + xy + x + =1 P = v× P >  x +1 x +1 x+2   − + Bµi 19: Cho biÓu thøc N =   x − x + x + 1 − x x   a Tìm ĐK để N có nghĩa b CMR N > - c Tìm giá trị x để N nhận giá trị nguyên Giải: a §K : x ≥ ; x ≠ N=- x x + x +1 Víi x ≥ ; x ≠ ta cã N = - x x + x +1 Víi x = ⇒ N = Víi x ≠ ⇒ N≠0; 1   = − x + + 1 N x  x; áp dụng CoSi cho số dơng x+ x ≥ x =2 x VËy 1   = − x + + 1 ≤ -3 N x   ⇒ ⇔ x=1 kh«ng thoả mãn ĐK x x= Dấu xảy ta cã x 1 N   x x b Víi x≥ ; x≠ ta cã : N ==  1 x + x +1   x +  + 2    ≤0 3  4 ) P ⇔ ≤ Vậy giá trị lớn P = ⇔ x = Bµi 21: Cho biĨu thøc:  3(a + 2) 2a − a − 10   3  + + − P=  :   2(a + a + a + 2(a + a + a + 1  a + 2(a + 1) 2(a − 1)  a − a)Rót gän P b)Tính giá trị P biết a = Gi¶i a)  2a + 2a −  10(a − 1) + 3( a + 1)(a − 1) − 3(a + 1)(a + 1)  P=  :  2(a + 1)(a − 1)  2(a + a + a + 1)    a −1 2(a + 2)(a − 1) 2(a2 + 1)(a − 1) P= 2(a + 1)(a + 1) 4(a + 2)(a − 2) a- P= P= b) 2(a + 2)(a − 1) 2(a + 1)(a + 1)(a − 1) 2(a + 1)(a + 1) 4(a+ 2)(a- 2)(a- 1) a −1 a−2 (§ K a ≠ 0)  P =  a= TÝnh  P =  c) P = a −1 = 1+ a−2 a- Để P nguyên nguyê n a2  (a – 2) ⇒ a – = ± ⇒ a = 3, a = a) VËy với a = 3, a = P nguyên Bµi 22: Víi /a/ > rót gän P= ( ) ( ) a − 3a + a − a − a − 3a − a − a − + 2 Bµi 23: Cho x = a+ a + 8a − a + 8a − + a− 3 3 Chøng minh r»ng víi mäi a ≥ th× x số tự nhiên Bài 24: Rút gọn biểu thøc sau: a + b + c + ac + bc + a + b + c − ac + bc 6+ 2 3− 4+ − 4− − + 12 + 18 − 128 x − − x − − x +1− x − A = + − + 48 6+ víi ≤ x ≤ 1+ 3 1+ 1+ + 1− 1− 1− 13 + 30 + + ( ) ( 6+2 + + − 6−2 − + C= ) D = 9−6 − 10 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 11 + 10 + + − 10 + ( )( 12 a + b2 − a 13 + − 13 + a + b2 − b ) ( a,b > )