Bài tập về căn thức hay

Bi 1: Cho biểu thức A= x 23 x x + : + x + ( x 8; x 8; x 0) + x + x x x + 23 x x Chứng minh A không phụ thuộc biến số Hớng dẫn Cho biểu thức A= x 23 x x + : + x + ( x 8; x 8; x 0) + x + x x x + 23 x x Chứng minh A không phụ thuộc biến số (2 x )(4 + 23 x + x ) + 23 x + x x 23 x + 23 : + 3 2+3 x + x x x 23 x + 23 x (2 x )(4 + 23 x + x ) 2+3 x A= + 2+3 x x + 23 x + x A= x (3 x 2)(3 x + 2) x (3 x + 2) (3 x 2)(3 x + 2) x (3 x + 2) A = x + x = x Bi : Cho biểu thức 3 1 1 x +y x+x y+ y A = + + + : y x + y x y x xy + x y 1) Rút gọn A 2) Tìm x ; y biết xy = ;A=5 36 Hng dn: 1) x+ y x+ y A= + : xy xy x+ y ( A= x+ y xy ) ( xy ( x + y ) ) = ( )( ) x + y x xy + y + xy ( x + y ) xy ( x + y ) x+ y x + y ( x + y) xy 2) A = x + y = xy x + y = theo GT xy = 6 theo Viet o x; y l nghim dng ca phng trỡnh bc 1 t t + = 6t 5t + = = t1 = ; t = 6 1 1 vy ( x; y ) = ; ; ; 3 : Cho biểu thức Bi : Rút gọn biểu thức A Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Hớng dẫn 1 ĐKXĐ : x -26;x -6;x -3;x 1;x 2; x + x x x x + x x + x + 26 x + 78 . : A = 2 x + x ( x + ) ( x + ) ( x x + x 12 ) x ( x 4)( x + 1) ( x + 3)( x + 26) . : A = ( x )( x + ) x + ( x + )( x ) x 3( x 2)( x + 6) x + 18 x + 3( x 2)( x + 6) A= = 2( x + 6) ( x + 3)( x + 26) x + ( x + 3)( x + 26) A= 3x + 18 x + 3( x 2)( x + 6) x + 26 3( x 2)( x + 6) 3( x 2) = = 2( x + 6) ( x + 3)( x + 26) 2( x + 6) ( x + 3)( x + 26) 2( x + 3) 3( x 2) 2( x + 3) Vì A Z nên 2A Z A = 3( x 2) 3( x + 3) 15 15 = = Z x+3 x+3 x+3 x+3 -15 -5 -3 -1 x -18 -8 -6 -4 -2 2A 18 -12 A -6 ( loại) Vậy x { 18;8; ;4;2;0;12 } A nguyên Bi : Cho biểu thức 2A = Xét x + U (15) -2 -1 2(loại) 0 x y x2 + y + y 4x4 + 4x2 y + y : A = + 2 y x y + xy x x + y + xy + x Vi x > 0; y > 0; x y; y x Rút gọn biểu thức A Cho y=1 hóy tỡm x A = Hng dn : xy x2 + y + y 4x + 4x y + y : A = + 2 y x y + xy x x + y + xy + x xy x2 + y2 + y ( x + y )( x + 1) A = + 2 y x ( x + y )(2 y x) (2 x + y 2)(2 x + y + 2) 2x + y ( x + y )( x + 1) x +1 A= = ( x + y )(2 y x) (2 x + y 2)(2 x + y + 2) (2 y x)(2 x + y + 2) vi y= ta cú A= x +1 = x x + 11x = ( x) 2x + ( ) ( x 1)(4 x x + 7) = x = 15 12 a + b2 a b a b + ữ 2 , a, b > Bài : Cho biểu thức : P = a b2 a + b ữ a +b a b a b A, Rút gọn P=? B, Biết a-b=1 tìm GTNN 2 P= a + b a) b 2 b) Vi a-b=1 => a=1+b => P= (b + 1) + b = 2b + 2b + = 2b+ +2 2 +2 b b b GTNN P = 2 +2 2b = b= b 2 a= +1 2 Bi : a+ b a b a + b + 2ab + ữ: + Cho biu thc D = ữ vi a > , b > , ab ữ ab ab + ab a) Rỳt gn D b) Tớnh giỏ tr ca D vi a = 2 a+ b + Rỳt gn D : Biu thc D = D= ( a b a + b + 2ab ữ: + ữ ab + ab ữ ab Vi K : a > , b > , ab Biu thc D cú ngha )( ) ( a + b + ab + )( a b ab ab a + 2b a + ab + a + b a ( + b ) ( + a ) ( + b ) = : = : ab ab ab ab a ( + b) ab a = = ab ( 1+ a) ( 1+ b) 1+ a b) a = ab ) : ab + a + b + 2ab 2 => D = ( = + = + + = ( + 1) ) +1 5+2 = +1 5+2 = ( ) = (2 +1 5+2 )( +2 52 13 + >0) Bài : Cho biểu thức a a . A = : + a a (a + 1)( a 1) a) Tìm điều kiện a để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) với giá trị a A có giá trị nguyên Giải : a a . Ta có: A = : + a a (a + 1)( a 1) ) =6 ( ) 2 3 = 13 13 (Vỡ 1+ a a a +1 a A = : + a (a + 1)( a 1) ( a 1) A = : + a (a + 1)( a 1) a a0 a (*) a) Biểu thức A có nghĩa khi: 1a++ a 0 a a a b) Với điều kiện (*), ta có: A = : A= ( a 1) + a (a + 1)( a 1) (1 + a) ( a 1) (a + 1)( a 1) = a a +1 c) Ta có: A==1- a +1 Biểu thức A có giá trị nguyên khi: (a + 1) hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3} Kết hợp với điều kiện (*) => a = Bài 7: Cho biểu thức: P= x x a) b) c) 2( x 3) x2 x x +1 Rút gọn biểu thức P Tính giá trị P với x = 14 - Tìm GTNN P + x+3 x Giải Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định : x0; x a) Rút gọn: x x 2( x 3) x+3 P= ( x + 1)( x 3) x +1 x = = = x x 2( x 3) ( x + 3)( x + 1) ( x 3)( x + 1) x x x + 12 x 18 x x x x x x + x 24 ( x 3)( x + 1) = x( x + 8) 3( x + 8) = x+8 ( x 3)( x + 1) ( x 3)( x + 1) x +1 b) x = 14 - = ( )2 - 2.3 + = ( - 3)2 x = Khi P = 14 + = 22 = 58 11 +1 Vậy với x = 14 - P = 58 11 c) P= x+8 x +1 = x 1+ x +1 = x 1+ x +1 x +1 = x +1 x +1+ x + 1; ( áp dụng BĐT CôSi cho số dơng Dấu"=" xảy = x +1 x +1 22 92=4 ) x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy minP = 4, đạt đợc x = Bài : Cho A= x + + x +3 x+ x x a) Rút gọn A b) Tìm x để A có giá trị nguyên a) đk x 0; x b) A= x = x A= x2 x x + x +1 x +2 ( )( ) x x +3 )( ( x ) x +3 )= x (2đ) x 2 nguyên M( x -2) x = 0; 1; 9; 16 (2đ) x Bài : Cho biểu thức sau: P= ( 2x + x + x 2( x 1) x 1 Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P Tìm x để biểu thức Q = x nhận giá trị số nguyên Điều kiện: < x P= x ( )( P ) (2 x x + x +1 x + x +1 P = x x +1 ) ( ) x +1 + x +1 1 3 P = x x + + = x + với x thoả mãn điều kiện xác định 4 4 1 P = x = x = 4 x x 2 Q= = = = P M x x +1 x+ x > M > < Q < Q nguyên Với < x x + x x Q =1 =1 x x +1 7+3 73 x x +1 = x = ;x = 2 Kết luận: với x = Q Z Bài 10 : Cho biểu thức x+ y x y x + y + xy A= + : + xy xy + xy a, Rút gọn A 2+ b, Tính giá trị A x = c, Tìm giá trị lớn A Giải :a, Điều kiện để A có nghĩa x 0; y 0; xy x+ y x y x + y + xy : + + Ta có : A = xy xy + xy x + y + xy + x y xy + x + y + xy = : xy xy ( )( ) ( )( ) x + x y + y + y x + x x y y + y x + x + y + xy : xy xy = x + 2y x xy x (1 + y ) x = = (1 + x ).(1 + y ) (1 + x )(1 + y ) + x xy b, Ta có : x = thoả mãn điều kiện x 2+ = x= ( ( ) 2 = 42 = 2+ 3 )( ) Thay x vào A ta có: ( ) 2 3 A= = +1 = ( 25 +652 ( ) ) c, Với x ta có = = ( ( ( ) ( )( )( + 52 5+2 ( ) ( ) ) ) 3 +1 3 +1 = 25 12 13 ) x x x +1 x +1 x x 1+ x ( x+1>0) x A Vậy giá trị lớn P = Bi 11: Cho biểu thức: A= ( x + + x x 1+ x x = x = x ): + x + x +1 x Với x>0 x a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng: 0< A < a x x+2 x A = + x x + x +1 A = A= ( x+2 )( ) x x + x +1 x+2+ x ( ( + x : x x x + x +1 ) ( ) x x + x +1 )( ) x x + x +1 x = x ( ) ( x )( 2 ) x x + x +1 = x + x +1 b Vì x > nên x + x + > Mà A = x + x +1 A>0 Vì x > x + x + > (1) x + x +1 < tức A x = - Khi P = 14 + = 22 = 58 3) P = +1 x+8 x + x +1 = x +1 11 = x 1+ x +1 = x +1 + ( áp dụng BĐT Côsi cho hai số dơng x + ; Dấu " = " sảy x + = Vậy P = x = x +1 x +1 x +1 - 2 - = ) x = thoả mãn đk Bài 13: Cho biểu thức: x + x4 A= x + x +2 a) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định b) Rút gọn gọn biểu thức A c) Tính giá trị A x = 25 d) Tìm giá trị x để A = Gii: a) (1 điểm) Biểu thức A đợc xác định : x Xac dinh x x (0,5 diem) x x x 20 x x4 b) : Rút gọn biểu thức A A= = = x + x4 x x ( ( x 2) x + x+ x +2+ + x +2 + ) x +2 ( x 2)( x + 2) x c) : Khi x = 25 A = d) : A = x x 25 = x )( x+2 = ) x x 3 x = x +2 x =2 Vậy với x= ( ( x 2) ( x + 2) 25 = x x ( x + 2) = ( x 2)( x + 2) + x= 1 x= ( T/m điều kiện) 1 A = Bi 14: Cho biểu thức x x +1 x A = x : x + x x x a) Tìm ĐKXĐ A Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = Gii a) ĐKXĐ: x > x Ta có: x x +1 x x : x + A = x x x ( x + 1)( x x + 1) x = x ( x 1) : + x x ( x 1)( x + 1) x x x x +1 x x x + x : x x x = = x +2 x b) A = x : x = x +2 x => x = = x = x x x +1 x +1 x 1 - + x +1 x x +1 x - x +1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn , nhỏ P Gii a) Điều kiện x P= + x + ( x + 1)(x - x + 1) x - x + x - x + 1- + x + x x +1 x ( x + 1) x x +1 P = P= x x - x +1 > x x - x + = x - + b) Ta có x x x ,x x - x +1 P = x = Vậy P = nên Ta có P= ( ) x x x Bài 15: P = x => 3x + x - = => x = 2/3 x Cho biểu thức P = : x -1 , x x-2 x +1 x- x +1 x ,x0 x 1, x x - x +1 P x ; P = x = Vậy MaxP = x = Tóm lại : minP = x = ; MaxP = x = Bi 16 : Cho biểu thức A = ( x x x x +1 x + ): x2 x x x+ x a, Nêu điều kiện phải có x rút gọn biểu thức A b, Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Gii Câu a, Lập luận giải kết hợp để tìm điều kiện A ( x > 0, x 1, x 2) cho (0,5đ) biến đổi biểu thức ngoặc: x x x x x 2x A = x2 x = x+2 x+2 x 2( x + 2) 8 Câu b, A = = =2x+2 x+2 x+2 Để A nguyên nguyên 8M(x+2) hay x+2 Ư8 x+2 x x Vì x > x+2 > Do x+ = 4; x+2 = Tính x = x = vi x nên x =6 Thì A có giá trị nguyên Bi 17: Cho biểu thức B = x x5 x +6 x + x +1 x x a Xác định x để B có nghĩa b Rút gọn B c Tìm x để B số nguyên Gii: a Ta có: x - x + = ( x - 3)( x - 2) Điều kiện: x x x x x x b B = x ( x 3)( x 2) x + x +1 + x x = x ( x + 3)( x 3) + (2 x + 1)( x 2) ( x 3)( x 2) = x x + + 2x x + x ( x 3)( x 2) = ( x 2)( x + 1) ( x 3)( x 2) x +1 = 1+ x = 1; 2; c/ Vì B = = x +1 x Nên B z ( B nguyên) x Tìm đợc giá trị thích hợp x là: 1;4;16;25;49 Bài 18 : Cho biểu thức: A= (1+ x x ):( ) x x x + x x x +1 a>Rút gọn biểu thức A b>Tìm x để A> x 0; x Gii :a> ĐKXĐ: 10 x - phải ớc x -3 x + ữ 2 x + ữ 2 x x Q 2 x= Du ô = ô xy x = TMK x Vy vi x=2 thỡ biu thc Q t GTLN l 2 Bi 85 : 2x + x 2x x + x x + Cho biu thc A = ữ Vi ữ: x x 1+ x x x x > 0; x ; x a) Rỳt gn biu thc A b) Tớnh giỏ tr ca A x = 17 12 c) So sỏnh A vi A 2x + x 2x x + x x A= + x > 0;x ;x ữ ữ ữ: x ữ x 1+ x x x x 2x + x x + x 2x + x x = : + x x x 1+ x 1+ x x + x x x +1 x x x + x = : + x x x + x 1+ x x + x x x = : x + ữ ữ x x x x + x ( = = ( ) ( ( ) ( )( )( )( ( ) ( ) x x x ( ( ( ) x 1 ) : x : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( (1 x ) (1 ) (1 x ) (1 x ( x + x + x x : ) x +x ) = x +x ) ) ) ) ) x + x x b) Tớnh giỏ tr ca A x = 17 12 ( Tớnh x = 17 12 = 2 A= ( ) 2 + 17 12 32 c) So sỏnh A vi ) = x= (32 2) = 32 5( 2 ) = =5 15 10 32 32 A 40 = 32 x + x = x+ x x 1 > vi mi x > 0;x ;x Chng minh c x + x A= x+ > A > A > A A > x Bin i A = ( ) A A >0A > A Bi 86 : x x x x x : ữ ữ x9 ữ x +3ữ x+ x x P= A, Rỳt gn P x Cho P = B, Tỡm x P > C, Vi x > 4, x Tỡm giỏ tr ln nht ca P ( x + 1) C, P(x+1) = 3x + 3x 12 + 9 x 12 ( x + 1) = = = + ữ x x x x x 3( x 4) = + ữ = x + + = x + + x x x = x + 12 + + 12 = x + x x ( ( ) ) p dng bt ng thc cụ si ta cú ( ) ( ) 9 x = cụng hai v vi 12 x x x + + 12 12 + x + 12 12 nhõn hai v vi -1 ta cú x + x giỏ tr ln nht ca P= -12- du = xy 2 x = x =9 x =3 x ( x + ) ( ( ) ( ) ) ( ) x 2= x = 3+2 Bi 86 : Rỳt gn biu thc: A,Rút gọn P =? B, Tính P với x=3-2 C, Tìm GTNN P P= x+2 x +1 x +1 + x x x + x +1 x 41 x P= x+2 x +1 x +1 + x x x + x +1 x = = = ( x+ x +1 + x x + x +1 x + x +1 x ( x+ + x x + x +1 ( x x x x + x +1 )( ) )( x x x + x +1 ) ( )( )( x + x +1 x x + x +1 ) ( )( ) ) x x + x +1 C, Tỡm GTNN ca P = P= x x x = + + x= + x +1 x x + x +1 x x p dng bỏt ng thc cụ si ta cú 1 + x x = cụng hai v vi ta cú x x + x + + = Vy GTNN ca P=3 x = x x =1 x Vy x=1 thỡ P cú GTNN l Bi 87: x x ữ ữ: x + ữ ữ x + x x + x + x + a) Rỳt gn M P = x +1 b) Tớnh M x = Cho M = Bi 88 : Chng minh rng vi mi x , giỏ tr biu thc sau khụng ph thuục vo x : A= = = 2x ( ) ( ( 2x x +1 x + 10 + + x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6 )( x + + x +1 )( x +1 ) ( x +2 + x +2 ( )( x + 10 x +3 ) )( ) x +1 ) x x + 12 x + 22 x + 12 x x + x + 11 x + = =2 x x + x + 11 x + x x + x + 11 x + 42 Bi 89 : Cho biểu thức P = x 2x + x 2x x + x x : + x x 1+ x x a, Rút gọn P b, So sánh P với P Bi 90 : Cho biểu thức: A= ( a) Rút gọn A x + xy + x x + xy + x + 1) : ( + 1) xy + xy xy + xy b) Tính giá trị A x = 14 + , y = 5 +1 a) Rút gọn đến A = xy Tìm điều kiện xác định : x -1; xy (TM ĐKXĐ) b) Thay vào A đợc A = x+ y C,) áp dụng BĐT ( ) xy với x,y Tính x = + y= Thay x + y = biến đổi dẫn đến A = xy Chỉ A = xy = 2 x = y = Và KL : GTNN A Amin = Bài 91: Cho biểu thức: 3x x 3x x + 12x B= : 3x + x + 2(x + 1) a/ Rút gọn B b/ Tìm GTNN CTLN B Gii: a/ Rút gọn B 2 B = 3x x : 3x x + 12x = 3x x x + 22x + 3x + x + 2(x + 1) 3x + 3x x + 12x x(3 x 1) 3x + = 3x + x (3x 1) + 4(3x 1) = x(3 x 1).(3 x + 2) (3x + 2).(3 x 1)( x + 4) x (với x ; x ) 3 x +4 x b/ B = x +4 * Có (x - 2)2 => x2 - 4x + => x2 + 4x = Chia vế cho x2 + 4, ta đợc: x2 + 4x 2 x +4 x +4 4x x +4 (x2 0, x + >0) 43 x => B x+4 Chia vế cho 4, ta đợc: (x-2)2 = hay x = * Có (x + 2)2 => x2 + 4x + => x2 + -4x Vậy, GTLN B Chia vế cho x2 + 4, ta đợc: x2 + 4x 4x 2 x +4 x +4 x +4 x Chia vế cho (-4), ta đợc: B 4 x +4 Vậy GTNN B (x + 2)2 = 0, hay x = -2 Bi 93 : Giải pt sau: a) y + 10 y y + 21 = y +1 y y + y2 + y +1 y3 y + y 1 b) y + = 78 y + ữ y y x x + x +1 x5 x +6 x x Bi 94 : Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng A số nguyên Giải : a, với x 0, x 4, x Rút gọn ta đợc A= = x + x B, với x x + > nên để A a > ( x + 2) x + x 0, x 16 Bi 97 : Cho biu thc M= 12 x 13 + , + x x 12 x +3 x A, Rỳt gn M =? B, Tỡm cỏc giỏ tr ca x M>2 C, Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x M nhn giỏ tr nguyờn ? Gii : x +8 x +3 B, Do x nờn x + > 0, x + > nờn M>2 A, M= x +8 > ( ) x + x < x < kt hp ta cú x < thỡ M>2 , M l s nguyờn x + l c dng ca vỡ C, M = + x +3 x +3> Gii hai trng hp ta c x=4 1+ x x x 1 + 2ữ ữ Bi 98: Rỳt gn biu thc P = x ữ x + x ữ 1+ x x x Trong ú < x < Rỳt gn phõn thc th hai ngoc th nht ta c x 1+ x x 1 1+ x x P = ữ1 + ữ Thay vo ta c 1+ x x ữ 1+ x x x x = 1.1 = Bi 99 : Cho biu thc x x +3 x +2 x +2 M = : + + ữ ữ ữ x +1 ữ x x x x + A, Rỳt gn M B, Tỡm giỏ tr ca x M>0 Gii: a, rỳt gc ta c M = x x +1 45 B, Vỡ x x + > vy M>0 thỡ x > x > x > 4, va, x Thỡ M>0 Bi 100: Cho biu thc 2x + x 2x x + x x P= + ữ ữ: ữ 1+ x x x x A, Rỳt gn P=? B, Tớnh giỏ tr ca P vi x = C, Tỡm GTLN ca a P>a Gii : Rỳt gn ta c P= x + x x B, Vi x = thay vo ta tỡm c P =3 x + x 1 = + x x = = x x x = x x =1 Vy P du = xy x C, P = Nhng x=1 khụng tha KX nờn P>1 Suy GTLN ca a P>a l a=1 Bi 101: Cho biu thc P= ( ) x x x x +3 + x2 x x +1 x A, Rỳt gn P=? B, Tớnh giỏ tr ca P vi x = 14 C, Tỡm GTNN ca P =? Gii : a, Rỳt gn ta c P = x+8 x +1 B, Vi x= 14 khai trin a v hng ng thc ta c P = 58 11 x +8 x 1+ 9 = = x 1+ = x +1+ 2 2= x +1 x +1 x +1 x +1 x = Vy P=4 v ch x=4 Du = xy x + = x +1 C, P = Bi 102 : Cho biu thc P= ( ) x x + x 12 x x +3 + x x x +2 x A, rỳt gn P=? B, So sỏnh P v C, Tớnh giỏ tr ca P x = 3+ 2+ x + 12 Gii : a, Rỳt gn ta c P = x +2 B, So sỏnh P v xột hiu P-4 ta cú 46 x + 12 x + 12 x x x + 4 = = x +2 x +2 x +2 ( Vỡ x x + > m x x2 = ( ( ) 3) 2+ ) x +2 nờn P P Bỡnh phng hai v 2+ = x 3+ C, Tớnh giỏ tr ca P x = 3+ ) ( +3+ 2 +2+ ( 5) ( 3+ 5) ( 3) ( + 3) 62 95 64 = = = x2 = x = 42 43 2 + 12 13 = Thay vo P = 1+2 = Bi 103: 6x + + 3 x3 3x x ữ ữ Cho biu thc: A = ữ ữ 3 x x + x + + x Rỳt gn biu thc A Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc A nhn giỏ tr nguyờn 6x + + 3 x3 3x A = x ữ ữ ữ ữ 3 x x + x + + x Ta cú: 3x + 3x + = ( 3x + 1) + > 0;1 + x > 0, x , nờn iu kin A cú ngha l ( 3x A = ) ( ( = )( ) x x + x + 0, x x x ( ) + x 6x + 3x ữ 3x ữ ữ ữ ữ 3x 23 x + x + ữ + x ) ( ( )( ( )( ) x + 3x 3x A= 3x x + x + 3x + + 3x A= 3x x + 3x + ( A= 3x ) ( A= 3x ) ( ( ) ) (0 x ) 3x ) =( 3x ) ữ 3x x + x ữ ữ x 3x + ữ ) 3x + ( ) 3x + 3x = 3x + 47 3x Vi x l s nguyờn khụng õm, A l s nguyờn thỡ 3x = 3 x = 3x = x = (vỡ x Z v x ) 3x = x = Khi ú: A = Bi 104: Rỳt gn cỏc biu thc sau: a A= + 3+ 2 3+ 2 ( 2008 = b B 3+2 )( ) 2014 20082 + 4016 2009 2005.2007.2010.2011 A = + 2 ( 6) ( + 2) = + 2 (3 + 2) A = (3 + 2)(3 2) = (2 2) = ( 2008 B= B= ( )( ) 2014 20082 + 4016 2009 2005.2007.2010.2011 x x x + 2x ( x + 1) )( ) t x = 2008, ú = ( x ) ( x 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x 3) ( x + 3) ( x 1) ( x + 1) = x + = 2009 ( x ) ( x 1) ( x + ) ( x + ) Tớnh : A = + + 48 10 + Ta cú : A = + + 48 10 ( + ) ( A = + + 48 10 + ) A = + + 28 10 A= + +5 ( A= 4+ + 5 ) ( 3) = + + 25 = 4+5 = Chng minh rng : A = n3 ( n2 7)2 36 n Chia ht cho vi mi n Ta cú : A = n3 ( n2 7)2 36 n = n3( n4 14n2 + 49 ) 36n = n7 - 14n5 + 49n3 - 36n = (n7 -n5) - (13n5 - 13n3) + (36n3 - 36n) = n5(n2-1) - 13n3 (n2 - 1) + 36n (n2-1) =( n2-1) (n5-13n3 + 36n) = (n2 - 1) {(n5-4n3) - (9n3-36n)} =(n2 - 1) {n3 (n2 - 4) -9n (n2 - 4) } = (n2 - 1) (n2 - 4) (n3 - 9n) = (n2 - 1) (n -2) (n +2) n (n2 - 9) 48 = (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3) Vy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Vỡ n l s t nhiờn nờn s A l tớch ca s t nhiờn liờn tip Rụi chng minh cho tớch ca s t nhiờn liờn tip chia ht cho Kt lun: A chia ht cho Bi 105 : a) Cho hm s f (x) = (x + 12x 31) 2010 Tớnh f (a) ti a = 16 + 16 + a = 16 + 16 + a = 32 + 3 (16 5)(16 + 5).( 16 + 16 + ) a = 32 + 3.(4).a a = 32 12a a + 12a 32 = a + 12a 31 = f ( a) = 12010 = x x+2 + + Bi 106 : Cho biu thc: P = x x x + x ( x 1)( x + x ) d Rút gọn P e Tính P x = + 2 c, Tìm giá tr nguyờn ca x P nhn giá tr nguyờn , Đk x > 0; x x x+2 P= + + x ( x 1) x ( x + 2) x ( x 1)( x + 2) = x( x + 2) + 2( x 1) + x + x x + x + x + x + = x ( x 1)( x + 2) x ( x 1)( x + 2) = x x + 2x + x + x = x ( x 1)( x + 2) x ( x + 1)( x + 2) ( x + 1) = x ( x 1)( x + 2) ( x 1) b, Với x = + 2 x = + 2 + = ( + 1) = + P= ( x + 1) +1+1 2+2 = = = 1+ ( x 1) + 1 ( x + 1) x 1+ c, Đ/ K: x > 0; x : P = = = 1+ ( x 1) Để P nguyên x x x nguyên tìm x = x = Bài 107 : Rỳt gn biu thc: A = x2 5x + + x x + 3x 12 + ( x 3) x x + KX: x Ê hoc x > A= ( x ) ( x 3) + 3 ( x ) + ( x 3) ( x 2)( x 4) ( x 2)( x 4) 49 Trng hp 1: x Ê 2, ta cú: ( x) ( x) + A= ( x ) + (3 x) (2 x)(4 x) (2 x)(4 x) x ( x ) x + x = x x + (3 x) x ( = x ( ) ) x ( x) + 2 x x + (3 x) x x x (vỡ x Ê nờn x + (3 x) x > ) x = Trng hp 2: x > 4, ta cú: x + ( x 3) x > nờn: (1) A= ( x2 ( ) x4 ) ( x 3) + x2 x4 + ( x 3) x x x ( x 3) x + x = x x + ( x 3) x = x2 x4 Bi 108 a a : , vi a Cho biu thc: A = a + 1 + a a a + a + a +1 Rỳt gon biu thc A Thớnh giỏ tr ca biu thc A a = 2010 -2 2009 Vi iu kin a Ta cú: a a : , A = a + 1+ a a a + a + a +1 a a +1 a : a +1 + a (a + 1)(1 + a ) ( ( ) ) a a +1 a : a +1 (a + 1)(1 + a ) a (a + 1)(1 + a ) (a + 1)( a 1) = 1+ a Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2 Thỡ A = + ( 2009 1) = 2009 Bi 109: Cho biểu thức A= x + + a Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 0; x A= x + + x x = x +1 x + x +1 x x ( x 1)( x + x + 1) = x x 1 x = x +1 x + x +1 x x + + x x x ( x 1)( x + x + 1) x ( x 1) ( x 1)( x + x + 1) = x x + x +1 b Tính giá trị biểu thức A x=33-8 50 Ta có x=33-8 = ( 1) x = A= 33 + + c Chứng minh A< = 33 ( x 1) x x x x ( x x + 1) = Xét A- = = = x + x +1 3( x + x + 1) 3( x + x + 1) 3( x + x + 1) Do x 0; x ( x 1) < 3( x + x + 1) > ( x 1) 3( x + x + 1) c/ Tìm giá trị nhỏ P Rút gọn P : Điều kiện x > x x x 2 x P = + : = ữ ữ x x x+xữ x x P= ( x+2 x )( x b/ Tìm x để P > P > ) x +1 x ( x+2 x x > x )= x +1 x ( ( ) x +1 + x : x x +1 )( ) ( ) x +1 ( x) x ( x x x x2 x +2 > > x x ( ) x +1 x Kết hợp điều kiện, với x > P > c/ Để có P P > ) x +1 > x > x > x > (Do điều kiện x > 0) x Do P > => P P x 1 1 1 1 1 = = + ữ+ = ữ + => P x x x x 4 x x 4 Suy : P = (Dấu xảy x = 4) => P = 2, x = b ab a b a +b : + Bi 111 : Cho biểu thức: A = a + ữ ữ ữ a + b ab + b ab a ab Ta có : = P a) Rút gọn A b) Tính giá trị A biết: a = b = x +3 x +2 x +2 x + ữ: ữ Bi 112 : Cho biu thc A = x x x +6 ữ x +1 ữ x Vi x 0; x 4; x 51 a) Rỳt gn biu thc A b) Tỡm giỏ tr ca A x = c) Vi giỏ tr no ca x thỡ t giỏ tr nh nht ? Tỡm giỏ tr nh nht ú A Bài 113 : Cho biểu thức: x + x x x x A= a, Tìm điều kiện x để A có nghĩa b, Rút gọn A c, Tìm x để A < 10 x : x 2+ x + x + Điều kiện x 0; x 10 x : x 2+ x + x + x x + 10 x + = : x x x + x x + x +2 x x +2 + x = : x x +2 x +2 x + x x x x A= ( ( = ( ( )( )( ) ) ) x +2 = x x +2 x )( Ta có A < ) ( ) < x 0; x x x 2< + Trờng hợp 1: x < x > 4x>4 x > x < + Trờng hợp 2: x > x < 4x< x < Kết hợp với điều kiện ta có x > x < A < 2x + x 2x x + x x + Bi 114: Cho biu thc A = ữ ữ: x x 1+ x x x a) Rỳt gn biu thc A b) Tớnh giỏ tr ca A x = 17 12 c) So sỏnh A vi A Bi 115: Cho biu thc : 52 a +1 a P = +4 aữ ữ 2a a , (Vi a > , a 1) a +1 a Chng minh rng : P = a Tỡm giỏ tr ca a P = a Tỡm giỏ tr ca a P = a P = a = a => a a = => a Ta cú + + (-2) = 0, nờn phng trỡnh cú nghim a1 = -1 < (khụng tho iu kin) - Loi c = =2 a2 = a (Tho iu kin) Vy a = thỡ P = a Bi 116 : a) Rỳt gn biu thc A = a a + a +1 a2 + a + vi a 0, a a4 a +2 b) Tớnh giỏ tr ca biu thc B = + + ( a 3 a +1 a2 + a + a A= + = a4 a a +2 = )( ) ( ) ( a 2) ( a ( a 2) ( a + 2) a + + a +1 5a + 10 a a + 3a a + a a a ( a )( ( a 4) = = ( a 4) = a a4 a +2 ) = ( a + 8a 16 a )( a +2 = ) ( + a +8 ) ( a 8a + 16 ) a )( a +2 ) d) B = + + = ( ) +1 + ( 3) = +1 + = +1+ = Bi 117: Cho biu thc: P = x x + 26 x 19 x x + x+2 x x x +3 a) Rỳt gn P b) Tỡm x P t giỏ tr nh nht a) K: x Ta cú: 53 P= b) P= x x + 26 x 19 x x + ( x 1)( x + 3) x x +3 = x x + 26 x 19 x ( x + 3) + ( x 3)( x 1) ( x 1)( x + 3) = x x + 26 x 19 x x + x x + ( x 1)( x + 3) = x x x + 16 x 16 ( x 1)( x + 16) x + 16 = = ( x 1)( x + 3) ( x 1)( x + 3) x +3 x + 16 25 25 = x 3+ = x + 3+ x +3 x +3 x +3 ( x + 3) 25 = 10 = x +3 Vy GTNN ca P = x + = 25 x=4 x +3 54 ... đk Bài 13: Cho biểu thức: x + x4 A= x + x +2 a) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định b) Rút gọn gọn biểu thức A c) Tính giá trị A x = 25 d) Tìm giá trị x để A = Gii: a) (1 điểm) Biểu thức. .. x > A > A x > Bài 45: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2001-2002) x x Cho biểu thức A = x x x a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A c) Với giá trị x A > A Bài giải: a) ĐKXĐ... trị nguyên khi: (a + 1) hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3} Kết hợp với điều kiện (*) => a = Bài 7: Cho biểu thức: P= x x a) b) c) 2( x 3) x2 x x +1 Rút gọn biểu thức P Tính giá trị P với