CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Lý thuyết + bài tập)

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ðang truy tìm kẻ phản bội CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (2 tiết ) TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số f xác ñịnh tập hợp D D ⊂ ℝ x ∈ D ( ) ( ) a ) x ñược gọi ñiểm cực ñại hàm số f tồn khoảng a;b chứa ñiểm x cho (a;b ) ⊂ D f (x ) < f (x ) với x ∈ (a;b ) \ {x } Khi f (x ) gọi giá trị cực ñại 0 hàm số f ( ) b ) x ñược gọi ñiểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng a;b chứa ñiểm x cho (a;b ) ⊂ D f (x ) > f (x ) với x ∈ (a;b ) \ {x } Khi f (x ) ñược gọi giá trị cực tiểu 0 hàm số f Giá trị cực ñại giá trị cực tiểu ñược gọi chung cực trị Nếu x ñiểm cực trị hàm số f người ta nói hàm số f ñạt cực trị ñiểm x ( Như : ñiểm cực trị phải ñiểm tập hợp D D ⊂ ℝ ) ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 1: Giả sử hàm số f ñạt cực trị ñiểm x Khi ñó , f có ñạo hàm ñiểm x f ' x = ( ) Chú ý : • ðạo hàm f ' điểm x hàm số f khơng đạt cực trị điểm x • Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm • Hàm số đạt cực trị điểm mà ñạo hàm hàm số , hàm số khơng có đạo hàm ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 2: Giả sử hàm số f liên tục khoảng a;b chứa điểm x có đạo hàm khoảng ( ) (a; x ) (x ;b ) Khi :  f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x ) a ) Nếu  hàm số đạt cực tiểu điểm x > ∈ f ' x 0, x x ; b ( ) ( )  0 0 0 ( ) Nói cách khác , f ' x ñổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x x ( ) f (x ) f' x x0 a b − + () () f a f b ( ) f x0 ( ) ( ) ( ( ) )  f ' x > 0, x ∈ a; x 0 b ) Nếu  hàm số đạt cực ñại ñiểm x Nói cách khác , f ' x ñổi  f ' x < 0, x ∈ x ;b dấu từ dương sang âm x qua điểm x hàm số ñạt cực ñại ñiểm x ( ) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt x ðang truy tìm kẻ phản bội x0 a ( ) f (x ) b + f' x − ( ) f x0 () () f a f b ( ) ( ) ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp khoảng a;b chứa ñiểm x , f ' x = f có đạo hàm cấp hai khác điểm x ( ) Nếu f '' ( x ) > hàm số f a ) Nếu f '' x < hàm số f đạt cực ñại ñiểm x b) ñạt cực tiểu ñiểm x Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Áp dụng định lý ( ) • Tìm f ' x ( ) Xét dấu f ' ( x ) Nếu f ' ( x ) ñổi dấu x qua điểm x • Tìm điểm x i i = 1, 2, đạo hàm hàm số liên tục khơng có đạo hàm • hàm số có cực trị điểm x Quy tắc 2: Áp dụng ñịnh lý • Tìm f ' x ( ) ( ) ( ) Với x tính f '' ( x ) Nếu f '' ( x ) < hàm số đạt cực đại điểm x Nếu f '' ( x ) > hàm số đạt cực tiểu điểm x • Tìm nghiệm x i i = 1, 2, phương trình f ' x = • − − i i i i i i Ví dụ : Tìm cực trị hàm số : a ) f x = x − x − 3x + 3 b) f x = x x + ( ) ( ) ( ( ) x (x − ) f (x ) = x c) f x = ) d) Giải : x − x − 3x + 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ ( ) a) f x = ( ) Ta có f ' x = x − 2x − ( ) f ' x = ⇔ x = −1, x = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Cách Bảng biến thiên x −∞ −1 f' x + − ðang truy tìm kẻ phản bội +∞ ( ) + 10 ( ) f x +∞ −∞ − 22 ( ) Vậy hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = −1, f −1 = ( ) 10 22 , hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x = 3, f = − 3 () Cách : f '' x = 2x − ( ) ( ) Vì f '' −1 = −4 < nên hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = −1, f −1 = () () Vì f '' = > hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x = 3, f = − ( ) 10 22 x x + x ≥ b) f x = x x + =  −x x + x < Hàm số ñã cho xác ñịnh liên tục ℝ 2x + > x > f ' x = ⇔ x = −1 Ta có f ' x =  −2x − x < Hàm số liên tục x = , khơng có đạo hàm x = Bảng biến thiên x −∞ −1 +∞ f' x + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (x ) +∞ −∞ Vậy hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = −1, f −1 = , hàm số ñạt cực tiểu ñiểm x = 0, f = ( ) ( ) c) f x = ( x x −3 () ) ( )  x x − x ≥  Hàm số ñã cho xác ñịnh liên tục ℝ f x =   −x x − x < 3 x −  x >  Ta có f ' x =  x f' x =0⇔x =1 x −  + −x > x <  −x  ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt x f' x ( ) f (x ) −∞ ðang truy tìm kẻ phản bội + +∞ − + +∞ −∞ −2 () () Hàm số ñạt ñiểm cực ñại ñiểm x = 0, f = , hàm số ñạt ñiểm cực tiểu ñiểm x = 1, f = −2 ( ) d) f x = x x x ≥ Hàm số ñã cho xác ñịnh liên tục ℝ f x =  −x x < 1 x > Ta có f ' x =  −1 x < Bảng biến thiên x −∞ +∞ f' x − + ( ) ( ) ( ) f (x ) +∞ +∞ Hàm số ñạt ñiểm cực ñại ñiểm x = 0, f = () Ví dụ : Tìm cực trị hàm số sau : ( ) f ( x ) = − cos x − cos 2x ( ) f ( x ) = x − sin 2x + a) f x = x − x c) f x = sin 2x − b) d) Giải : ( ) a) f x = x − x Hàm số ñã cho xác ñịnh ñoạn  −2;2  − 2x , x ∈ −2;2 Ta có a ) f ' x = − x2 ( ) ( ) ( ) f ' x = ⇔ x = − 2, x = ( ) f ' x ñổi dấu từ âm sang dương x qua ñiểm − hàm số đạt cực tiểu điểm x = − 2, ( ) f − = −2 ( ) f ' x ñổi dấu từ dương sang âm x qua ñiểm f ( 2) = Hoặc dùng bảng biến thiên hàm số ñể kết luận: hàm số đạt cực đại điểm x = 2, Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt x ( ) f (x ) −2 − − f' x ðang truy tìm kẻ phản bội + 0 − −2 ( ) b ) f x = − cos x − cos 2x Hàm số ñã cho xác ñịnh liên tục ℝ Ta có f ' x = sin x + s in2x = sin x + cos x ( ) ( ) sin x = x = k π  f' x =0⇔ ,k ∈ ℤ ⇔  cos x = − = cos 2π x = ± 2π + k 2π   3 ( ) ( ) f '' x = cos x + cos 2x  2π   2π  2π 2π f ''  ± + k 2π  = cos = −3 < Hàm số ñạt cực ñại x = ± + k 2π , f  ± + k 2π  = 3     ( ) c) f ( x ) = sin 2x − ( ) ( f '' k π = cos k π + > 0, ∀k ∈ ℤ Hàm số ñạt cực tiểu x = k π , f k π = − cos k π ) Hàm số ñã cho xác ñịnh liên tục ℝ ( ) Ta có f ' x = cos 2x ( ) f ' x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = , π +k π ,k ∈ ℤ π π  −8 k = 2n π f ''  + k  = −8 sin  + k π  =  k = 2n + 2 4 2  8 π  π Vậy hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = + nπ ; f  + nπ  = −1 ñạt cực ñại 4  π π π π x = + 2n + ; f  + 2n +  = −5 4 2 ( ) f '' x = −8 sin 2x ( , ) ( ) ( ) d ) f x = x − sin 2x + Tương tự hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = − π + k π , k ∈ ℤ ñạt cực tiểu ñiểm π + kπ , k ∈ ℤ Ví dụ : x = ( ) x = 0, f ( ) = ñạt cực ñại ñiểm x = 1, f (1) = 1 Tìm hệ số a, b, c, d cho hàm số f x = ax + bx + cx + d ñạt cực tiểu ñiểm Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ðang truy tìm kẻ phản bội ( ) Tìm hệ số a, b, c cho hàm số f x = x + ax + bx + c ñạt cực trị ñiểm x = −2 ( ) ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm A 1; Giải : Tìm hệ số a, b, c, d cho hàm số f x = ax + bx + cx + d ñạt cực tiểu ñiểm ( ) x = 0, f ( ) = ñạt cực ñại ñiểm x = 1, f (1) = Hàm số ñã cho xác định ℝ Ta có f ' x = 3ax + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b ( ) ( ) () () () ()  f ' = c = c = Hàm số f x ñạt cực tiểu x =  ⇔ ⇔ b>0 f '' > 2b >    f ' = 3a + 2b + c = Hàm số f x ñạt cực ñại x =  ⇔ 6a + 2b < f '' <   ( ) ( ) () () () () Từ (1) , ( ) , ( ) suy a = −2, b = 3, c = 0, d = Ta kiểm tra lại f ( x ) = −2x + 3x Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + f '' ( ) = > Hàm số ñạt cực tiểu x = f '' (1) = −6 < Hàm số ñạt cực ñại x = () f = ⇒ d = , f = ⇒ a + b + c + d = hay a + b + c = d = 3 2 Vậy : a = −2, b = 3, c = 0, d = ( ) Tìm hệ số a, b, c cho hàm số f x = x + ax + bx + c ñạt cực trị ñiểm x = −2 ( ) ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm A 1; Hàm số ñã cho xác ñịnh ℝ Ta có f ' x = 3x + 2ax + b ( ) ( ) ( )  f ' −2 = 4a − b = 12 Hàm số ñạt cực trị ñiểm x = −2  ⇔ 4a − 2b + c =  f −2 = ( ) () () () ðồ thị hàm số ñi qua ñiểm A 1; f = ⇔ a + b + c + = ()( ) Từ , suy a = 3, b = 0, c = −4 ( ) Ví dụ 4: Chứng minh với giá trị m , hàm số y = f x , m = ln có cực đại cực tiểu Giải : { } Hàm số ñã cho xác ñịnh D = ℝ \ m ( ) x − m m + x + m3 + x −m Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ðang truy tìm kẻ phản bội x − 2mx + m − Ta có y ' = ( x −m ) ( ) g x = ( x −m ) ( ) , x ≠ m , g x = x − 2mx + m − ( ( ) ) ( ) Dấu g x dấu y ' ∆ 'g = m − m − = > , ∀m Do ∀m g x = ln có nghiệm phân biệt x = m − 1, x = m + thuộc tập xác ñịnh x f' x ( ) f (x ) −∞ + m −1 − m − +∞ m +1 + +∞ +∞ −∞ −∞ y ' ñổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x = m − hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = m − y ' ñổi dấu từ âm sang dương x qua ñiểm x = m + hàm số đạt cực tiểu điểm x = m + Ví dụ 5: x + mx + 1 Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số f x = ñạt cực ñại x = x +m Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số f x = x + m + x + − m ñạt cực ñại x = −1 ( ) ( ) ( ) Giải : { } ( ) Hàm số ñã cho xác ñịnh D = ℝ \ −m có đạo hàm f ' x = x + 2mx + m − ( x +m ) m = −3 Nếu hàm số ñạt cực ñại x = f ' = ⇔ m + 4m + = ⇔  m = −1 x = x − 6x + m = −3 , ta có f ' x = x f x , ≠ ' = ⇔  x = x −3 () ( ) ( Bảng biến thiên : x −∞ f' x + ( ) f (x ) ( ) ) − − +∞ + +∞ −∞ +∞ −∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ñạt cực ñại x = , ñó m = −3 thoả mãn Tương tự với m = −1 Hàm số cho xác ñịnh ℝ x = Ta có f ' x = 3x + m + x = x 3x + 2m + ⇒ f ' x = ⇔  x = − 2m +  ( ) ( ) ( ) ( ) , x ≠ −m Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt −∞ x ( ) f (x ) f' x − + 2m + − ðang truy tìm kẻ phản bội +∞ + 2m + = −1 ⇔ m = − 3 Ví dụ 6: Cho hàm số f x = x + m − x − m + x − , có đồ thị C m , m tham số Hàm số ñạt cực ñại x = −1 ⇔ − ( ) ( ) ( ) ( ) Chứng minh hàm số ln có cực đại , cực tiểu ( ) Khi m = , ñồ thị hàm số C () a ) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với đường thẳng y = ( ) ( ) x tiếp xúc với ñồ thị C b ) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị C Giải : Hàm số cho xác ñịnh ℝ Ta có f ' x = 3x + m − x − m + ( ) ( ) ( ) ( ) Vì ∆ ' = m + m + > 0, ∀m ∈ ℝ nên phương trình f ' x = ln có hai nghiệm phân biệt Do đồ thị hàm số ln có cực ñại , cực tiểu với giá trị tham số m m = ⇒ C : f x = x − 3x − a ) ( ) ( ) Gọi M ( x ; y ) toạ ñộ tiếp ñiểm ñường thẳng (d ) ñồ thị (C ) 0 () ⇒ y = x 03 − 3x − 1, y ' = 3x 02 − ðường thẳng d vng góc với đường thẳng y = 1 y '   = −1 ⇔ 3x 02 − = −3 ⇔ x 02 = ⇔ x = 0, y = −1 3 () ( ) ( x ) Vậy ñường thẳng d : y = −3x − tiếp xúc với ñồ thị C ñiểm 0; −1 ( ) ( ) ( ) b ) ðồ thị C có điểm cực đại A −1;1 , ñiểm cực tiểu B 1; −3 Do ñó ñường thẳng qua AB : y = −2x − BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm cực trị hàm số sau : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ( ) ( ) ( ) 13 x + 2x + 3x − 1 f ( x ) = x − x + 2x − 10 f (x ) = x + x a) f x = b) c) ðang truy tìm kẻ phản bội f ) f x = − x2 x g) f x = x +1 x3 h) f x = x +1 i) f x = − x 2 ( ) ( ) j ) f (x ) = x + k ) f (x ) = x x − x +2 x − 3x + e) f x = x −1 ( ) d) f x = ( ) Tìm cực trị hàm số sau : a ) f x = 2x − 9x + 12x + ( ) b) f ( x ) = 3x − 4x − 24x + 48 − c) f ( x ) = −5x + 3x − 4x + d ) f (x ) = x − + x −2 3 x2 − − x − 3x + x + 8x − 24 x2 − x f) f x = x +4 g) f x = x − x ( ) ( ) ( ) f (x ) = x e) f x = 2 h) − | x | +2 ( ) Hướng dẫn : h ) f x = x − | x | +2 x + 2x + f x = x − 2x +  ( ) 2x + ⇒f' x = 2x − x ≥  x < ( ) x < x > ( ) f ' x = ⇔ x = −1, x = ( ) ( ) ( ) Hàm số ñạt cực ñại ñiểm A 0;2 ñạt cực tiểu ñiểm B −1;1 ,C 1;1 ( ) ( ) Tìm hệ số a, b, c cho hàm số f x = x + ax + bx + c ñạt cực tiểu A 1; −3 ñồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung ñộ q * Cho hàm số f x = x + p + x +1 a ) Tìm số thực p, q cho hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = −2 f −2 = −2 ( ) () ( ) a1 ) Trường hợp p = q = , gọi M , N ñiểm cực ñại , cực tiểu hàm số Tính độ dài MN () () a2 ) Trường hợp p = q = ,một đường thẳng t ln tiếp xúc với đồ thị hàm số * K thuộc ñồ thị () hàm số * ñồng thời cắt hai trục tọa ñộ hai điểm phân biệt E , F Tìm tọa ñộ ñiểm K ñể K trung ñiểm EF b ) Giả sử x 1; x hồnh độ cực đại , cực tiểu hàm số Tìm số thực p, q cho ( ) f x2 ( ) b ) Khoảng cách từ A ( x ; f ( x ) ) ñến ñường thẳng y = x + p x + = b1 ) x = 2x f x Hướng dẫn : = 1 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ðang truy tìm kẻ phản bội ( ) a ) Tìm số thực p, q cho hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = −2 f −2 = −2 ( ) f ' x =1− q ( x +1 ) , x ≠ −1 ( ) ( ) • q ≤ f ' x > 0, ∀x ≠ −1 Do hàm số f x = x + p + ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) Hàm số khơng có cực đại , cực tiểu ( x + ) − q , x ≠ −1 ⇒ f ' x = ⇔ x • q > f ' ( x ) = ( ) x + ( ) q ñồng biến khoảng x +1 2 = −1 − p , x = −1 + p Hàm số ñạt cực x = −2 q = ⇔ ñại ñiểm x = −2 f −2 = −2  p =  f −2 = −2 Cho hàm số f x = x + m − x + 2m − x − 3 a ) Chứng minh m ≠ đồ thị hàm số ln có cực đại cực tiểu Viết phương trình qua hai điểm cực đại cực tiểu b ) Giả sử hồnh độ cực ñại, cực tiểu x 1, x Tìm m ñể : ( ) ( ) b1 ) x + 3x = ( ) ( ) ( ) b2 ) 4x − 5x = b3 ) x 12 + x 22 = b4 ) x + x 22 ≤ c2 ) x < x < c ) −2 < x < x < c4 ) x < < < x < c) Tìm m để : c1 ) x < < x < Lưu ý : ðể làm ñược câu c) học sinh xem lại so sánh nghiệm phương trình bậc hai đề cập kỹ sách đại số có nhắc lại ñại số 10 Tuy nhiên , học sinh lập luận tốt khơng cần dùng kiến thức so sánh nghiệm phương trình bậc hai ( ) Cho hàm số f x = x + px + q a ) Với ñiều kiện ñể hàm số f có cực đại cực tiểu ? b ) Chứng minh giá trị cực ñại giá trị cực tiểu trái dấu phương trình x + px + q = có nghiệm phân biệt? c) Chứng minh ñiều kiện cần đủ để phương trình x + px + q = có ba nghiệm phân biệt p + 27q < Hướng dẫn : a) p <  p c ) f  − −  f     p  −  ⇔ b >  5a  ( ) ( ) ( ) () 5 81 ñiểm cực ñại x = − = − ⇔a = , giá trị cực tiểu số dương nên 9 5a 25 1 400 f xCT = f   > ⇔ b > 243 a    81 a = − a = 25 Vậy  ;  36 400 b > b >  243  Nếu a > , x = − ( ) ( ) ( ) Cho hàm số f x = x − 3mx + 2m − x + 1, m tham số a ) Xác ñịnh m ñể hàm số ñồng biến tập xác ñịnh ( ) b ) Xác ñịnh m ñể f '' x > 6x Xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu cực trị ( có ) hàm số : a ) f x = sin 2x c) f x = sin2 x − cos x , x ∈ 0; π  d ) f x = sin x + cos 2x , x ∈ 0; π  b ) f x = sin x + cos x ( ) ( ) ( ) ( ) Hướng dẫn : ( ) a ) f x = sin 2x Hàm số ñã cho xác ñịnh liên tục ℝ ( ) ( ) Ta có f ' x = cos 2x , f ' x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = π +l π ,l ∈ ℤ π π π π  −4 l = 2k ,k ∈ℤ f '' x = −4 sin 2x , f ''  + l  = −4 sin  + l  =  2  4 l = 2k + 4 4 ( ) Vậy x = π + kπ (k ∈ ℤ ) ñiểm cực ñại hàm số 3π + k π k ∈ ℤ ñiểm cực tiểu hàm số Một toán tương tự : f x = sin 2x − x , ñể ý xét f ' x = 0, x ∈ −π , π ⇒ x = ? ( x = ) ( ) ( ) b ) f x = sin x + cos x Hàm số ñã cho xác ñịnh liên tục ℝ ( ) ( ) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ðang truy tìm kẻ phản bội   π π π f x = sin x + cos x = sin  x +  ⇒ f ' x = cos  x +  , f ' x = ⇔ x = + k π 4 4    π  π  − k = 2n π f '' x = − sin  x +  ⇒ f ''  + k π  = − sin  + k π  =  4  4  2   k = 2n + ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy x = x = π π + n 2π ( (n ∈ ℤ ) ñiểm cực ñại hàm số ) (n ∈ ℤ ) ñiểm cực tiểu + 2n + π ( ) f ( x ) = sin c) f x = sin2 x − cos x , x ∈ 0; π  ( ) hàm số ) ( ( ) x − cos x ⇒ f ' x = sin x cos x + , x ∈ 0; π ( ) ( ) ( ) Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > nên khoảng 0; π : f ' x = ⇔ cos x = − 5π ⇔x =  5π   5π  • f ' x > 0, x ∈  0;  ⇒ hàm số ñồng biến ñoạn 0;       5π   5π  • f ' x < 0, x ∈  ; π  ⇒ hàm số ñồng biến ñoạn  ; π      ( ) ( )   5π   f ' x > 0, x ∈  0;     5π  5π  • Vì  nên hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = ,f  = =1    π  f ' x < 0, x ∈  ; π       ( ) ( )  5π  Hoặc kiểm tra f ''   = = − <   d ) f x = sin x + cos 2x , x ∈ 0; π  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x = sin x + cos 2x ⇒ f ' x = cos x − sin x , x ∈ 0; π  π x = cos x =  π  ⇔ x = Trong khoảng 0; π : f ' x = ⇔ sin x =    5π x =  Tương tự câu a ) học sinh tự xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu hàm số ; hàm số ñạt cực tiểu ( ) x = ( ) π  π π  5π  5π  , f   = , hàm số ñạt cực ñại ñiểm x = , f   = x = ,f  = 2 6   π (k ∈ ℤ ) ... −2 = −2 Cho h m số f x = x + m − x + 2m − x − 3 a ) Chứng minh m ≠ đồ thị h m số ln c c c đại c c tiểu Viết phương tr nh qua hai điểm c c đại c c tiểu b ) Giả sử h nh độ c c đại, c c tiểu x... nhiên , h c sinh lập luận tốt khơng c n dùng kiến th c so sánh nghiệm phương tr nh b c hai ( ) Cho h m số f x = x + px + q a ) Với ñiều kiện ñể h m số f c c c đại c c tiểu ? b ) Chứng minh... tr c c ñại giá tr c c tiểu tr i dấu phương tr nh x + px + q = c nghiệm phân biệt? c) Chứng minh ñiều kiện c n ñủ ñể phương tr nh x + px + q = c ba nghiệm phân biệt p + 27q < H ớng dẫn : a)