Dinámica de estructuras con matlab dr roberto aguiar falconi

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE PRĨLOGO Se inicia el libro la presentación de un manual rápido de uso del programa MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los diferentes capítulos del texto MATLAB es un programa muy poderoso, que permite pocas sentencias realizar cálculos numéricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servirá para comprender mejor el marco teórico expuesto Además de ello el lector contará programas que le faciliten su aplicación práctica a futuro En el primer capítulo se trata sobre la respuesta dinámica de sistemas de un grado de libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibración libre, luego se estudia las vibraciones forzadas ante excitación armónica y finalmente la respuesta en el tiempo ante pulsos rectangulares Hay dos aspectos de interés muy práctico que son: el cálculo del factor de amplificación por desplazamientos y el factor de amplificación de fuerzas, cuando la frecuencia de la excitación armónica es similar a la frecuencia de vibración de la estructura, es decir cuando se está cerca de la resonancia El segundo capítulo está dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elásticos, se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica por el Método de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes períodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta La importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en México y en Chile En el tercer capítulo se estudia los Espectros de Diseño, para ilustrar la forma de cálculo se halla el respectivo espectro de diseño, en base a 17 acelerogramas de sismos registrados en el Perú, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la gravedad La forma espectral obtenida fue comparada las formas espectrales del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo Luego se presenta el trabajo realizado por Seed, Ugas y Lysmer en 1976 que sido empleado en forma indirecta en la formulación de espectros de diso en varias normativas sísmicas de América Latina Por ser de actualidad el Análisis Sísmico por Desempo, en el capítulo tres, también se indica la propuesta realizada por el autor de este libro (2004), para encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 os, respectivamente Con el propósito de entender el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, el cual se pasa del espectro de diseño elástico al espectro de diseño inelástico, se deducen las reglas de igual desplazamiento y de igual energía Luego se muestra el trabajo desarrollado por Newmark y Hall en 1982 sobre el factor de reducción por ductilidad, considerando el tipo de suelo En este contexto también se presenta los resultados de las investigaciones realizadas en el Centro de Investigaciones Científicas por el autor de este libro (2005) Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE para determinar el factor de reducción por ductilidad en base a 63 registros de sismos ocurridos en Colombia, Perú, Chile y Argentina En la mayoría de normativas sísmicas vigentes se presentan valores para determinar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas en diferentes tipologías estructurales Estos factores tienen un carácter cualitativo, razón por la cual en este libro se indica una metodología de cálculo para hallar este factor en forma cuantitativa, para el efecto se debe hallar el producto del factor de reducción por ductilidad, del factor de resistencia y del factor de redundancia Se presentan propuestas para el cálculo de estos factores El capítulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teoría de Análisis Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los elementos Se ilustra el cálculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de colocación y del ensamblaje Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de computación Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez condensada, desde la más elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la más práctica que se tiene en la triangularización de la matriz de rigidez, empleando Gauss El capítulo cinco está dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de estructura, claro está que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulación es general y esto se tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el cual se involucra la interacción suelo estructura Para evaluar la matriz de masas se debe calcular primero la Energía Cinética, para facilitar este cálculo se da una regla muy práctica Si el lector sabe los conceptos fundamentales para determinar las matrices de: rigidez, masa y amortiguamiento, estará en capacidad de encontrar la respuesta dinámica de cualquier estructura Por esta razón, en el capítulo cuatro se estudia detenimiento el cálculo de la matriz de rigidez, en el capítulo cinco, se hace lo propio, la matriz de masas y en el capítulo siete se dedica a la matriz de amortiguamiento Todo esto orientado al análisis dinámico de estructuras En el capítulo seis se determinan los modos de vibración de una estructura sin considerar amortiguamiento Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento A pesar de que el cálculo se reduce a una sentencia MATLAB sin embargo se presenta uno de los métodos clásicos de la obtención de los valores y vectores propios como es el Método de Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de M / para que el lector aprecie la bondad del MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente Finaliza el capítulo el cálculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la estructura En el capítulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera mediante el Método de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien Un aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema que se aborda en este capítulo, como también se ilustra el cálculo del exponencial de una matriz orientado a la solución del problema de vibraciones libres, en sistemas de múltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen modos de vibración en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios son números complejos El Análisis Sísmico Lineal de estructuras sometidas a acciones sísmicas es tratado en el capítulo ocho, encontrando la respuesta dinámica aplicando el Método de Newmark para sistemas de múltiples grados de libertad Como aplicación práctica se halla la respuesta en el tiempo, del cortante basal, de una estructura sometida a un acelerograma artificial que es compatible el espectro elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reducción de las fuerzas sísmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y columnas Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE En el capítulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy útil utilizarlo cuando se analizan estructuras sistemas de control Es importante que el lector conozca sobre esta temática para cuando estudie el cálculo sísmico de estructuras disipadores de energía pueda seguir la parte numérica de la evaluación de la respuesta dinámica Los tres últimos capítulos del libro, están dedicados al análisis de una viga de flexión, de una viga de corte y de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, todo esto modelado como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad Aparentemente la solución de estos tres capítulos tiene más un enfoque trico pero no es así ya que a partir de estos modelos sencillos se han emitido recomendaciones que han sido acogidas por varias normativas sísmicas En el capítulo diez se presenta en primer lugar la ecuación diferencial que gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexión y luego se resuelve el problema de vibración libre, se hallan las formas de vibración de una viga en voladizo, de una viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la interacción suelo estructura En este modelo se ilustra mediante gráficos como en suelos de baja resistencia los períodos de vibración de las estructuras se amplifican; en base al estudio se presentan parámetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o no el cálculo la interacción suelo estructura La ortogonalidad de los vectores propios se desarrolla mucho detenimiento tanto en el capítulo diez como en el once, para ilustrar posteriormente el cálculo de la respuesta sísmica, de las vigas de flexión y de corte ante una determinada acción sísmica Como se venido indicando el capítulo once está dedicado al cálculo de una viga de corte, para el efecto se deduce la ecuación diferencial y se resuelve el problema de vibración libre y de vibración forzada, ante una acción sísmica Se obtiene el primer modo de vibración de una viga de corte y se compara el primer modo de vibración de una viga de flexión lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexión tiene menores amplitudes y en los últimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el comportamiento es al revés Una viga de flexión, es el modelo numérico de cálculo de un edificio conformado solo por muros de corte y una viga de corte, es el modelo numérico de un edificio conformado solo por vigas y columnas sin muros de corte Al comparar el primer modo de vibración de estas dos vigas se concluye que lo más adecuado es tener edificios vigas, columnas y muros de corte ya que la viga de flexión en los primeros pisos sostiene a la viga de corte y en los últimos pisos es la viga de corte la que sostiene a la viga de flexión El acoplamiento de la viga de corte la viga de flexión se lo estudia detenimiento en el capítulo doce Con el propósito de ilustrar la aplicación práctica y actual del estudio de una viga de corte acoplada a una viga de flexión se presenta en el capítulo doce, el trabajo desarrollado por Miranda (1999) el que estima la deriva máxima de piso en sistemas de múltiples grados de libertad, en forma rápida Se ilustra el comportamiento de edificios en los cuales se tiene un predominio de la viga de flexión sobre la de corte y viceversa, ante cargas laterales Miranda a partir del modelo de una viga de flexión acoplada a una viga de corte determina dos parámetros que son utilizados en la evaluación rápida de la deriva máxima de pisos Esos parámetros son el que relaciona el desplazamiento máximo en un sistema de múltiples grados de libertad el desplazamiento máximo en un sistema de un grado de libertad El otro parámetro, que se presenta en el libro, es el que relaciona la deriva global de la estructura la deriva máxima de piso Por último, se investigación realizado Politécnica del Ejército edificios de Hormigón presenta en forma resumida el resultado del proyecto de en el 2005, en el Centro de Investigaciones Científicas de la titulado: “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en Armado”, el propósito de que el lector compare los dos Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE parámetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexión acoplada a una viga de corte, los que se hallan en el estudio y además para que lo apliquen en la evaluación de la vulnerabilidad sísmica de las estructuras No puedo finalizar este prólogo, sin reconocer una vez más, que este libro sido posible gracias a la ayuda de Dios, sin su ayuda no soy capaz de pasar de la primera página pero gracias a su bondad he podido finalizar esta obra que tiene doce capítulos que se consideran básicos en el Análisis Dinámico de Estructuras De igual manera deseo dedicarle este libro a mi querida madre Blanca Falconí Vda de Aguiar, que Dios me dado la dicha de tenerla por muchos años y espero contar sus consejos y bendiciones por muchos años más Por último, pero ellos saben que son lo más importante, quiero agradecer a mi esposa Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, María José, Nicolás que acaba de graduarse de bachiller, Gabriel y Felipe Por la felicidad que reina en nuestro hogar Dr Ing Roberto Aguiar Falconí Centro de Investigaciones Científicas Escuela Superior Politécnica del Ejército Quito, Agosto de 2006 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ÍNDICE GENERAL MANUAL RÁPIDO DE MATLAB 1 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD RESUMEN…………………………………… ………………………………………17 1.1 VIBRACIONES LIBRES…………………………………………….………… 17 1.1.1 Solución de la ecuación diferencial…………………………………… 19 1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento…………………………………… 19 1.1.3 Vibración libre subamortiguada………………………………………….20 1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada……………………………………….23 1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada………………………… 24 1.1.6 Factor de amortiguamiento……………………………………………….26 1.2 VIBRACIONES FORZADA EXCITACIĨN ARMĨNICA……….……………27 1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal……………… 27 1.2.2 Factor de amplificación……… ………………………………… …….31 1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación………………… ………………….34 1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS………………….………………………… 36 1.3.1 Escalón unitario… ………………………………………………………36 1.3.2 Pulso rectangular…………………………………………………………39 ESPECTROS DE RESPUESTA RESUMEN…………………………………………………………………………….41 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL… …….41 2.2 PROGRAMA LINEAL………………………………………………….……… 43 2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD……………………….… …… 46 2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA 47 2.5 PROGRAMA ESPECTRO……………………………………………… ……50 2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA………………………………….……… 52 2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES…………….………….55 2.8 SEUDO ESPECTROS………………………………………………………… 57 ESPECTROS DE DISO RESUMEN…………………………………………………………………………….59 3.1 OBTENCIĨN DE UN ESPECTRO DE DISO…….………… ………… 60 3.2 RESA HISTĨRICA………………………………… … 63 3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000……… .64 3.4 ESPECTROS POR DESEMPEÑO………………………………… ……….66 3.5 ESPECTROS INELÁSTICOS 69 3.6 REGLA DE IGUAL DESPELAZAMIENTO 71 3.7 REGLA DE IGUAL ENERGÍA………………………….… 73 3.8 NEWMARK Y HALL (1982)…………………………….… …………………74 3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)………………………… ………………….78 3.10 APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000….……… 79 3.11 INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA………….…………79 3.12 INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA……………………….……….82 3.13 CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R…………………….……….83 MATRIZ DE RIGIDEZ RESUMEN……………………………………………………………………………87 4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO………………………………… 87 4.1.1 Análisis sin nudo rígido……………………… …………………………88 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 4.1.2 Análisis nudo rígido…………………….……………………………92 4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA……………………….……….96 4.2.1 Coordenadas Generalizadas…………………………………………….96 4.2.2 Vector de Colocación………………………………………………… …99 4.2.3 Ensamblaje directo………………………………………………………101 4.3 CONDENSACIĨN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ……………….………….105 4.3.1 Condensación a las coordenadas “a”…………………………………106 4.3.2 Condensación a las coordenadas “b”…………………………………106 4.4 CONDENSACIĨN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES…….……107 4.4.1 Caso en que Qb = 0…………………………………………………… 108 4.4.2 Caso en que Qa = 0…………………………………………………… 109 4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS………….… 109 4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL………………………………………….….112 4.6.1 Vigas axialmente rígidas…………………………………………… …112 4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas………………………………….114 MATRIZ DE MASAS RESUMEN………………………………………………………………………… 119 5.1 ENERGÍA CINÉTICA………………………….……………………………….119 5.2 REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS…… ……………… 121 5.3 REGLA DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA…….… ……………122 5.4 MATRIZ DE PASO…………………………………………….……………….125 5.5 ANÁLISIS PLANO…………………………………………….……………… 128 5.5.1 Análisis masas concentradas a nivel de piso………………… 128 5.5.2 Análisis entrepisos flexibles………………………………………130 5.6 PÉNDULO INVERTIDO……………………………………………………….132 5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA………………….……………… 132 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………………….…………………134 5.9 ANÁLISIS ESPACIAL……………………………………….……………… 135 MODOS DE VIBRACIÓN RESUMEN………………………………………………………………………… 139 6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO……………………………139 6.1.1 Valores propios………………………………………………………….140 6.1.2 Propiedades dinámicas……………………………… ……………….142 6.1.3 Modos de vibración…………………………………………………… 142 6.2 ALGORITMO DE M ………………………………………….…………….145 6.3 MÉTODO DE JACOBI……………………………………………………… 150 6.3.1 Desarrollo del Método………………………………………………….151 6.3.2 Procedimiento de cálculo………………………………………………152 6.3.3 Cálculo de los Vectores Propios………………………………………153 6.4 MODOS RITZ………………………………………………………………… 153 MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO RESUMEN………………………………………………………………………… 157 7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH……………………………………157 7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN…………………………………… 159 7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS…………………… 163 7.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO………………………… 167 7.4.1 Exponencial de una matriz…………………………………………….168 7.4.2 Resumen del procedimiento de cálculo………………………………171 7.5 PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS……………………………… 175 7.5.1 Modos de vibración en el campo de los complejos…………………175 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos…………………… 177 7.5.3 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad…………177 ANÁLISIS LINEAL RESUMEN………………………………………………………………………… 181 8.1 MÉTODO DE NEWMARK…………………………………………………….181 8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK…………………………… 186 8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO………………………………………… 187 8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO………………………… 191 8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MÍNIMO……………………199 PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO RESUMEN………………………………………………………………………… 201 9.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA………………………………………… 201 9.2 FORMULACIÓN DE LA RESPUESTA………………………………………203 9.3 PROGRAMA PSE…………………………………………………………… 204 9.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN………………………………… …….…… 206 9.5 INTRODUCCIÓN A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA……… 209 10 SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN RESUMEN………………………………………………………………… ………213 10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……………………….…214 10.2 VIBRACIÓN LIBRE………………………………………………………… 216 10.2.1 Viga en Voladizo…………………………………………………… 218 10.2.2 Viga apoyada………………………………………………………….220 10.2.3 Interacción suelo estructura…………………………………………224 10.2.4 Variación del período la interacción………………………… 227 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE a=aa(k); num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de desplazamientos aux7=EI*(1-exp(-a));aux=Wmax*H^4/aux7;dz=0.01;hold off for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=aux*(coef1+coef2);y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)/u(101); hold on end if k==1 plot(u,y) else k==2 plot(u,y,':') end xlabel ('Relacion u(z) / u(H) '); ylabel (' z / H ' ); title ('Comparacion de cargas'); end % -fin - 12.3 APLICACIONES Una de las principales aplicaciones de la temática que se venido estudiando es poder evaluar en forma sencilla y rápida el desplazamiento lateral de un edificio, que en este capítulo se denominado u ( z ) , ante un sismo definido por su espectro de respuesta elástica Sea S d el desplazamiento espectral elástico asociado al período de vibración T , el desplazamiento lateral en cualquier punto del edificio se obtiene en forma aproximada la siguiente relación: u j = β1 ψ j S d ( 12.17 ) Donde β es un parámetro que permite pasar los desplazamientos de un sistema de un grado de libertad, que se tiene al utilizar el espectro, a un sistema de múltiples grados de libertad, que se tiene en el edificio Tema que será desarrollado en el próximo sub apartado ψ j es la forma del desplazamiento lateral evaluado en el piso j; u j es el desplazamiento lateral en el piso j 12.3.1 Parámetro β Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Se define el parámetro β como el factor de participación modal desplazamiento modal en el tope del edificio N β1 = ∑m j φj j φ j =1 N ∑m j =1 γ1 φN ( 12.18 ) j Donde N es el número de pisos; m j es la masa del piso j; vibración en el piso j; φN multiplicado por el φj es el modo de es el valor modal en el último piso Para el caso de que la masa sea igual en todos los pisos y encontrando los modos de vibración normalizados a la unidad en el último piso, la ecuación ( 12.18 ) se convierte en: N β1 = ∑φ j =1 j N ∑φ j =1 j Con la nomenclatura, utilizada por Miranda (1999) se tiene: N β1 = ∑ψ j =1 j ( 12.19 ) N ∑ψ j =1 j Siendo: ψ j = ψ (z j ) = u( z j ) ( 12.20 ) u(H ) Donde z j la altura desde la base del suelo hasta el piso j Al reemplazar ( 12.10 ) en (12.20) y evaluando el desplazamiento lateral en u ( H ) se tiene: zj ⎛ zj ⎞ ⎛ zj ⎞ ⎛ zj ⎞ − az / H C1 senh⎜⎜ α ⎟⎟ + C cosh⎜⎜ α ⎟⎟ + C e j + C ⎜⎜ ⎟⎟ + C + C6 H H H H ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ψ (z j ) = C1 senh(α ) + C cosh (α ) + C e − a + C + C + C ( 12.21 ) • EJEMPLO Presentar curvas del parámetro β para edificios de a 20 pisos y para los siguientes valores de α : 2, 4, y 30 Considerar que la altura de cada piso es igual y vale 3.0 m • SOLUCIĨN Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Antes de presentar el programa BETAUNO el cual se hallan las curvas pedidas, veamos como se procedería para el caso de un edificio de pisos En este caso la altura total es H = m Por lo tanto se debe evaluar ψ ( z1 = 3.0 m.) y ψ ( z = 6.0 m.) la ecuación (12.21) Luego de lo cual se realiza la sumatoria de la ecuación ( 12.19 ) para hallar forma de uso del programa BETAUNO es la siguiente: β1 La [beta]=betauno(alfa) • alfa Es un vector que contiene los valores de las curvas de β1 α para los cuales se desean hallar >> alfa = [ 2; 4; 8; 30 ] >> [beta]=betauno(alfa) function [beta]=betauno(alf) % % Calculo del parametro beta1 utilizando el modelo de Miranda (1999) % Obtiene la curva para a 10 pisos para varios valores de alfa % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % % [beta]=betauno(alf) % %a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida % alf : Vector de datos de alfa que da el usuario % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion %N :Numero de pisos KT=length(alf); a=0.01;hold off for K=1:KT; alfa=alf(K); %Constantes de Integracion num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6 % Calculo de denominador denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6; % Calculo del numerador for N=1:20 H=3*N;dz=H/N; for z=1:N zh=z*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh/H)+c2*cosh(alfa*zh/H)+c3*exp(-a*zh/H); coef2=c4*(zh/H)^2+c5*(zh/H)+c6; si(z)=(coef1+coef2)/denominador; Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE end % Calculo de sumatorias sumn=0; sumd=0; for z=1:N sumn=sumn+si(z); sumd=sumd+si(z)*si(z); end beta(N)=sumn/sumd; end if K==1 plot(beta,' '); hold on; elseif K==2 plot(beta,'-.') elseif K==3 plot(beta,':') else plot(beta) end xlabel ('Numero de pisos '); end % -fin - En la figura 12.7 se presentan las curvas obtenidas el programa BETAUNO Como se indicó anteriormente valores bajos de α corresponden al comportamiento de edificios que trabajan como una viga de corte, en esos edificios se tienen valores altos de β Por el otro lado, valores altos de α corresponden a edificios que trabajan como una viga de flexión, para este caso los valores del parámetro β son bajos • EJEMPLO Comparar las curvas del parámetro β1 que se obtienen para α = y α = las que se hallan la ecuación propuesta por Algan ( 1982 ) en función del número de pisos N siguiente: β1 = 3N N +1 ( 12.22 ) Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 12.7 Variación de • β1 en función del número de pisos SOLUCIĨN La ecuación propuesta por Algan (1982) fue deducida para una viga de corte de sección constante Por lo tanto, es aplicable a estructuras en base a vigas y columnas, sin muros de corte El parámetro β1 varía muy poco a partir de los 10 pisos, razón por la que se comparan las curvas para edificios de a 10 pisos, en la figura 12.8 Para un valor de curva la de Algan α =2 coinciden la En base al programa BETAUNO se elaboró el programa denominado ALGAN añadiendo las siguientes sentencias: % Propuesta de Algan for N=1:10 beta(N)=3*N/(2*N+1); end plot(beta) 12.3.2 Desplazamiento lateral La ecuación ( 12.17 ) sirve para encontrar la respuesta elástica, en desplazamientos, de un edificio ante un espectro elástico En este sub apartado interesa encontrar la relación u ( z ) / S d = β ψ j para ver como varían los desplazamientos en diferentes estructuras caracterizadas por el valor α Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 12.8 Comparación de • β1 ecuación propuesta por Algan EJEMPLO Encontrar la relación u ( z ) / S d para cuatro estructuras definidas por los siguientes valores de α : 0.5; 3; y 30 Considerando que son edificios de 20 pisos Calcular la función ψ j normalizada a unidad en el tope • SOLUCIĨN En la figura 12.9 se presenta la respuesta del problema, la misma que se encontró el programa DESPLAZAMIENTOLATERAL que se utiliza de la siguiente forma: [u] = desplazamientolateral (N,alfa) • • N Alfa es el número de pisos es el vector que contiene los valores de Para el ejemplo se tiene: >> alfa=[0.5; 3; 8; 30] >> desplazamientolateral (20,alfa) α Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 12.9 Variación del desplazamiento en altura para diferentes estructuras Es interesante notar en la figura 12.9 que existe un punto en z / H = 0.85 que define el comportamiento para valores menores y para valores mayores Es como un punto de inflexión donde cambia el comportamiento de las estructuras, las que se deforman menos antes de este valor a partir de este punto se deforman más function [u]=desplazamientolateral(N,alf) % % Determina la variacion del desplazamiento lateral en altura, como un % sistema continuo para diferentes valores de alfa Utilizando el modelo % propuesto por Miranda (1999) % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % % [u]=desplazamientolateral(N,alf) % %a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida % alf : Vector de datos de alfa que da el usuario % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion %N :Numero de pisos % Este programa calcula: u(z)/Sd = beta1 * La forma modal KT=length(alf); a=0.01;hold off for K=1:KT; alfa=alf(K); %Constantes de Integracion num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de denominador denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6; % Calculo del numerador H=3*N;dz=H/N; for z=1:N zh=z*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh/H)+c2*cosh(alfa*zh/H)+c3*exp(-a*zh/H); coef2=c4*(zh/H)^2+c5*(zh/H)+c6; si(z)=(coef1+coef2)/denominador; end % Calculo de sumatorias sumn=0; sumd=0; for z=1:N sumn=sumn+si(z); sumd=sumd+si(z)*si(z); end beta=sumn/sumd; dz=0.01; if K==1 for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y,' '); hold on; elseif K==2 for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y,'-.') elseif K==3 for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2);y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y,':') else for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE plot(u,y) end xlabel ('u(z) / Sd '); ylabel (' z / H ' ) end % -fin - 12.4 DERIVA DE PISO En el diseño de las estructuras, interesa conocer cuales son las derivas en cada uno de los pisos, para saber si se encuentran dentro de lo tolerable por las normativas sísmicas y sobre todo para tomar ciertas precauciones en los lugares en que se tengan mayores derivas de piso Se define la deriva de piso γj como la relación entre el desplazamiento relativo de piso dividido para la altura de piso h j γj = u j +1 − u j ( 12.23 ) hj La deriva de piso es aproximadamente igual a la derivada de u respecto a z A continuación se halla la deriva a lo largo de la viga multiplicada por H / u ( H ) du ( z / H ) H = dz u(H ) z z z + C 2α senhα − C a e − az / H + 2C + C5 H H H C1 senhα + C cosh α + C e − a + C + C + C C1α cosh α ( 12.24 ) • EJEMPLO Presentar la variación de la deriva de piso normalizada por el producto H / u ( H ) para valores de α : 2; 5; 10 y 30 El valor del desplazamiento en el último piso dividido para la altura total es la deriva global, luego lo que se pide en el ejercicio es la relación entre la deriva de piso dividida para la deriva global • SOLUCIĨN En la figura 12.10 se presenta la variación de la deriva de piso solicitada Nótese que los mayores valores se hallan para valores de z ≤ 0.5 es decir en los pisos inferiores H El programa el cual se obtiene la figura 12.10 se denomina: VARIACIONDERIVA y la forma de uso es la siguiente: [u] = variacionderiva (alfa) • alfa es el vector que contiene los valores de α La entrada de datos para el ejemplo es la siguiente: Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE >> alfa = [ 2; 5; 10; 30] >> [u] = variacionderiva (alfa) Figura 12.10 Variación de la deriva a lo largo de la altura function [u]=variacionderiva(alf) % % Determina la variacion de la deriva de piso la altura, multiplicada % por H/u(H) Trabajo de Miranda (1999) Calcula la variacion de la deriva % para varios valores de alfa % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % % [u]=variacionderiva(alf) % %a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida % alf : Vector de datos de alfa que da el usuario % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion %N :Numero de pisos % Este programa calcula: u(z)/Sd = beta1 * La forma modal KT=length(alf); a=0.01;hold off for K=1:KT; alfa=alf(K); %Constantes de Integracion num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de denominador denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6; % Calculo del numerador dz=0.01; for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*alfa*cosh(alfa*zh)+c2*alfa*sinh(alfa*zh)-c3*a*exp(-a*zh); coef2=2*c4*zh+c5; u(z)=(coef1+coef2)/denominador;y(z)=zh; end if K==1 plot(u,y,' '); hold on; elseif K==2 plot(u,y,'-.') elseif K==3 plot(u,y,':') else plot(u,y) end ylabel (' z / H ' ) end % -fin - 12.4.1 Parámetro β Se define el parámetro deriva global γg β2 como la relación entre la deriva de piso respecto a la del edificio La deriva global relaciona el desplazamiento lateral máxima en el tope respecto a la altura total del edificio H β2 = Max(γ j ) γg = Max(γ j ) ⎡ du ( z ) H ⎤ = Max ⎢ ⎥ u( H ) ⎣ dz u ( H ) ⎦ H Para encontrar los valores máximos de ( 12.25 ) du se debe hallar la segunda derivada e dz igualar a cero d 2u ⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ = C1 α senh⎜ α ⎟ + C α cosh⎜ α ⎟ + C a e − a z / H + C = dz ⎝ H⎠ ⎝ H⎠ ( 12.26 ) Una vez que se halla el valor de z / H la ecuación ( 12.26 ) se reemplaza en la ecuación ( 12.24 ) y se encuentra el valor de β Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Los parámetros β , β tienen varias aplicaciones, una de ellas es para encontrar la deriva máxima de piso en forma rápida En el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército en el 2005 se desarrolló el proyecto denominado “Evaluación rápida de la deriva máxima de piso en edificios de hormigón armado” que por considerarlo de importancia se presenta a continuación un resumen del mismo 12.5 EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO Se incluyó el parámetro deriva máxima de piso siguiente manera: γ β5 en la forma propuesta por Miranda (2000) para evaluar la , en edificios de hormigón armado, quedando la ecuación de la γ = Donde β1 β1 β β β β H Sd ( 12.27 ) es el valor de paso del sistema de un grado de libertad al sistema de múltiples grados de libertad; β2 es un factor de amplificación que permite determinar la distorsión máxima de entrepiso a partir de la deriva global de la estructura; β3 es un factor que permite calcular los desplazamientos laterales máximos comportamiento inelástico a partir de los máximos desplazamientos laterales comportamiento elástico; β es un factor que sirve para determinar el cociente entre la distorsión máxima de entrepiso y la distorsión global pero calculado en una estructura comportamiento inelástico relación a la misma relación pero calculada comportamiento elástico; β es un factor que toma en cuenta el modelo de histéresis utilizado para hallar la respuesta no lineal; H es la altura total del edificio y S d es el desplazamiento espectral elástico asociado al período efectivo Te de la estructura De la investigación realizada, se recomienda utilizar la ecuación de Algan (1982) para el cálculo de β Para el parámetro β en base al análisis de 3840 resultados de120 edificios de a 10 pisos, se obtuvo: β = −0.0231 N + 0.3018 N + 0.6759 Donde N es el número de pisos Para el parámetro β3 ( 12.28 ) en base a 63 acelerogramas de sismos registrados en Colombia, Perú, Argentina y Chile, aceleraciones mayores al 10 % de la aceleración de la gravedad, se encontró la siguiente expresión: β3 = µ [c (µ − 1) + 1]1 / c c(T , α ) = c(T , α ) = Te 2.07 + Te Te 2.07 + 0.381 Te para α = 0.0 + 0.248 Te para α = 0.05 1.247 + Te 1.247 ( 12.29 ) ( 12.30 ) ( 12.31 ) Donde µ es la ductilidad del sistema, α es la relación entre la rigidez post fluencia respecto a la rigidez elástica Las ecuaciones ( 12.29 ) a ( 12.31 ) fueron obtenidas sin Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE considerar el tipo de suelo Para tener en cuenta el tipo de suelo se trabajó 24 acelerogramas artificiales que reportan los espectros del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC_2000, se encontró las siguientes ecuaciones: d ⎡⎛ a ⎞⎛ T ⎞ ⎤ β = + ⎢⎜⎜ b + c ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ µ ⎠ ⎝ TS ⎠ ⎥⎦ −1 ( 12.32 ) Tabla 12.1 Valores de a, b, c, d encontrados en el estudio Perfil de Suelo a b c d TS S1 S2 S3 S4 30.00 71.80 81.04 86.00 1.34 2.00 2.00 2.10 -1.49 -1.50 -2.55 -2.60 0.60 0.50 0.50 0.48 0.50 0.52 0.82 2.00 En la tabla 12.1 se indican los valores de a, b, c, d hallados en el estudio para los perfiles de suelo S1 (roca o muy duro), S2 (de dureza intermedia), S3 (blando) y S4 (muy blando) Para el parámetro β del análisis de 1944 casos, correspondientes a 72 edificios de a pisos, se obtuvo la siguiente relación: ( 12.33 ) β = 0.029 N + 0.9796 Finalmente, para el parámetro β5 se recomienda utilizar los resultados presentados en la tabla 12.2; los mismos que se infirieron a partir del estudio de Lee et al (1999) Tabla 12.2 Valores de Ductilidad β5 1.00 1.14 β5 en función de la demanda de ductilidad 1.17 1.19 1.22 1.23 Para ver la bondad de la propuesta realizada se encontró la deriva máxima de piso aplicando la metodología propuesta y se comparó la obtenida el programa IDARC mediante análisis no lineal dinámico, en 72 estructuras sometidas a 25 registros sísmicos y se encontró una muy buena aproximación como se ilustra en la figura 12.11 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 12.11 Relación γ IDARC / γ encontrada en el estudio Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE REFERENCIAS Aguiar R., (1987) Diferencias Finitas en el Análisis Estático de Estructuras, Colegio de Ingenieros Civiles del Guayas, 129 p, Guayaquil Aguiar R., (1989) Parrillas de cimentación de sección constante, Un Capítulo de las Memorias del I Curso de Cimentaciones Escuela Politécnica del Ejército, 31 p, Quito Aguiar R., (1991) Análisis Sísmico de Estructuras en forma de péndulo invertido, Escuela Politécnica del 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numérica de la evaluación de la respuesta dinámica Los tres últimos capítulos del libro, están dedicados al análisis de una viga de flexión, de una viga de corte y de una viga de flexión acoplada... rigidez de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los elementos Se ilustra el cálculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de colocación... colocación y del ensamblaje Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de computación Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez condensada, desde la más