Dinámica de estructuras con matlab dr roberto aguiar falconi

En el primer capítulo se trata sobre la respuesta dinámica de sistemas de un grado de libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibración libre, luego se estudia las vibracio

PRÓLOGO

Se inicia el libro con la presentación de un manual rápido de uso del programa

MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los

diferentes capítulos del texto MATLAB es un programa muy poderoso, que permite con pocas sentencias realizar cálculos numéricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servirá para comprender mejor el marco teórico expuesto Además de ello el lector contará con programas que le faciliten su aplicación práctica a futuro

En el primer capítulo se trata sobre la respuesta dinámica de sistemas de un grado de

libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibración libre, luego se estudia las vibraciones forzadas ante excitación armónica y finalmente la respuesta en el tiempo ante

pulsos rectangulares Hay dos aspectos de interés muy práctico que son: el cálculo del

factor de amplificación por desplazamientos y el factor de amplificación de fuerzas, cuando la frecuencia de la excitación armónica es similar a la frecuencia de vibración de

la estructura, es decir cuando se está cerca de la resonancia

El segundo capítulo está dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elásticos,

se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica por el Método de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes

períodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta La

importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra

al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en México y en Chile

En el tercer capítulo se estudia los Espectros de Diseño, para ilustrar la forma de

cálculo se halla el respectivo espectro de diseño, en base a 17 acelerogramas de sismos registrados en el Perú, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la gravedad La forma espectral obtenida fue comparada con las formas espectrales del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo Luego se presenta el trabajo realizado por Seed, Ugas y Lysmer en 1976 que ha sido empleado en forma indirecta en la formulación de espectros de diseño en varias normativas sísmicas de América Latina

Por ser de actualidad el Análisis Sísmico por Desempeño, en el capítulo tres, también

se indica la propuesta realizada por el autor de este libro (2004), para encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 años, respectivamente

Con el propósito de entender el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, con el cual

se pasa del espectro de diseño elástico al espectro de diseño inelástico, se deducen las reglas

de igual desplazamiento y de igual energía Luego se muestra el trabajo desarrollado por Newmark y Hall en 1982 sobre el factor de reducción por ductilidad, considerando el tipo de

suelo En este contexto también se presenta los resultados de las investigaciones

realizadas en el Centro de Investigaciones Científicas por el autor de este libro (2005)

para determinar el factor de reducción por ductilidad en base a 63 registros de sismos ocurridos en Colombia, Perú, Chile y Argentina

En la mayoría de normativas sísmicas vigentes se presentan valores para determinar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas en diferentes tipologías estructurales Estos

factores tienen un carácter cualitativo, razón por la cual en este libro se indica una

metodología de cálculo para hallar este factor en forma cuantitativa, para el efecto se debe hallar el producto del factor de reducción por ductilidad, del factor de resistencia y del factor de redundancia Se presentan propuestas para el cálculo de estos factores

El capítulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teoría de Análisis Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez

de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los

elementos Se ilustra el cálculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de colocación y del ensamblaje Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de computación Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez condensada, desde la más elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la más práctica que se tiene en la triangularización de la matriz de rigidez, empleando Gauss

El capítulo cinco está dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de

estructura, claro está que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulación es

general y esto se ha tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el

cual se involucra la interacción suelo estructura Para evaluar la matriz de masas se debe

calcular primero la Energía Cinética, para facilitar este cálculo se da una regla muy práctica

Si el lector sabe los conceptos fundamentales para determinar las matrices de: rigidez, masa y amortiguamiento, estará en capacidad de encontrar la respuesta dinámica de cualquier estructura Por esta razón, en el capítulo cuatro se estudia con detenimiento el cálculo de la matriz de rigidez, en el capítulo cinco, se hace lo propio, con la matriz de masas y en el capítulo siete se dedica a la matriz de amortiguamiento Todo esto orientado al análisis dinámico de estructuras

En el capítulo seis se determinan los modos de vibración de una estructura sin considerar amortiguamiento Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en

sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento A pesar de que

el cálculo se reduce a una sentencia con MATLAB sin embargo se presenta uno de los métodos clásicos de la obtención de los valores y vectores propios como es el Método de Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de M1/2para que el lector aprecie la bondad del

MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente Finaliza el capítulo con el

cálculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la

estructura

En el capítulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera

mediante el Método de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien Un aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema

que se aborda en este capítulo, como también se ilustra el cálculo del exponencial de una

matriz orientado a la solución del problema de vibraciones libres, en sistemas de múltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen modos de vibración en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios son números complejos

El Análisis Sísmico Lineal de estructuras sometidas a acciones sísmicas es tratado en

el capítulo ocho, encontrando la respuesta dinámica aplicando el Método de Newmark

para sistemas de múltiples grados de libertad Como aplicación práctica se halla la

respuesta en el tiempo, del cortante basal, de una estructura sometida a un acelerograma artificial que es compatible con el espectro elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción

CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reducción de las

fuerzas sísmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y columnas

En el capítulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados

de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy útil utilizarlo

cuando se analizan estructuras con sistemas de control Es importante que el lector conozca sobre esta temática para cuando estudie el cálculo sísmico de estructuras con disipadores de energía pueda seguir la parte numérica de la evaluación de la respuesta dinámica

Los tres últimos capítulos del libro, están dedicados al análisis de una viga de flexión,

de una viga de corte y de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, todo esto

modelado como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad

Aparentemente la solución de estos tres capítulos tiene más un enfoque teórico pero no es así

ya que a partir de estos modelos sencillos se han emitido recomendaciones que han sido acogidas por varias normativas sísmicas

En el capítulo diez se presenta en primer lugar la ecuación diferencial que

gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexión y luego se resuelve el

problema de vibración libre, se hallan las formas de vibración de una viga en voladizo, de una viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la

interacción suelo estructura En este modelo se ilustra mediante gráficos como en suelos

de baja resistencia los períodos de vibración de las estructuras se amplifican; en base al

estudio se presentan parámetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o

no el cálculo con la interacción suelo estructura

La ortogonalidad de los vectores propios se desarrolla con mucho detenimiento tanto

en el capítulo diez como en el once, para ilustrar posteriormente el cálculo de la respuesta sísmica, de las vigas de flexión y de corte ante una determinada acción sísmica

Como se ha venido indicando el capítulo once está dedicado al cálculo de una viga

de corte, para el efecto se deduce la ecuación diferencial y se resuelve el problema de

vibración libre y de vibración forzada, ante una acción sísmica Se obtiene el primer modo de vibración de una viga de corte y se compara con el primer modo de vibración de una viga de flexión con lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexión tiene menores amplitudes y en los últimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el comportamiento es al revés

Una viga de flexión, es el modelo numérico de cálculo de un edificio conformado solo por muros de corte y una viga de corte, es el modelo numérico de un edificio conformado solo

por vigas y columnas sin muros de corte Al comparar el primer modo de vibración de estas

dos vigas se concluye que lo más adecuado es tener edificios con vigas, columnas y muros de corte ya que la viga de flexión en los primeros pisos sostiene a la viga de corte

y en los últimos pisos es la viga de corte la que sostiene a la viga de flexión El acoplamiento de la viga de corte con la viga de flexión se lo estudia con detenimiento en

el capítulo doce

Con el propósito de ilustrar la aplicación práctica y actual del estudio de una viga de corte acoplada a una viga de flexión se presenta en el capítulo doce, el trabajo desarrollado por Miranda (1999) con el que estima la deriva máxima de piso en sistemas de múltiples grados de libertad, en forma rápida Se ilustra el comportamiento de edificios en los cuales se tiene un predominio de la viga de flexión sobre la de corte y viceversa, ante cargas laterales

Miranda a partir del modelo de una viga de flexión acoplada a una viga de corte determina dos parámetros que son utilizados en la evaluación rápida de la deriva máxima de pisos Esos parámetros son el que relaciona el desplazamiento máximo en un sistema de múltiples grados de libertad con el desplazamiento máximo en un sistema de un grado de libertad El otro parámetro, que se presenta en el libro, es el que relaciona la deriva global de la estructura con la deriva máxima de piso

Por último, se presenta en forma resumida el resultado del proyecto de investigación realizado en el 2005, en el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército titulado: “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en edificios de Hormigón Armado”, con el propósito de que el lector compare los dos

parámetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexión acoplada a una viga de corte, con los que se hallan en el estudio y además para que lo apliquen en la evaluación de la vulnerabilidad sísmica de las estructuras

No puedo finalizar este prólogo, sin reconocer una vez más, que este libro ha sido posible gracias a la ayuda de Dios, sin su ayuda no soy capaz de pasar de la primera página pero gracias a su bondad he podido finalizar esta obra que tiene doce capítulos que se consideran básicos en el Análisis Dinámico de Estructuras

De igual manera deseo dedicarle este libro a mi querida madre Blanca Falconí Vda

de Aguiar, que Dios me ha dado la dicha de tenerla por muchos años y espero contar con sus

consejos y bendiciones por muchos años más

Por último, pero ellos saben que son lo más importante, quiero agradecer a mi esposa Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, María José, Nicolás que acaba de graduarse de bachiller, Gabriel y Felipe Por la felicidad que reina en nuestro hogar

Dr Ing Roberto Aguiar Falconí Centro de Investigaciones Científicas Escuela Superior Politécnica del Ejército

Quito, Agosto de 2006

ÍNDICE GENERAL

MANUAL RÁPIDO DE MATLAB 1

1 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

RESUMEN……… ………17

1.1 VIBRACIONES LIBRES……….………… 17

1.1.1 Solución de la ecuación diferencial……… 19

1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento……… 19

1.1.3 Vibración libre subamortiguada……….20

1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada……….23

1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada……… 24

1.1.6 Factor de amortiguamiento……….26

1.2 VIBRACIONES FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA……….………27

1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal……… 27

1.2.2 Factor de amplificación……… ……… …….31

1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación……… ……….34

1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS……….……… 36

1.3.1 Escalón unitario… ………36

1.3.2 Pulso rectangular………39

2 ESPECTROS DE RESPUESTA

RESUMEN……….41

2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL… …….41

2.2 PROGRAMA LINEAL……….……… 43

2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD……….… …… 46

2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA 47

2.5 PROGRAMA ESPECTRO……… ……50

2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA……….……… 52

2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES……….………….55

2.8 SEUDO ESPECTROS……… 57

3 ESPECTROS DE DISEÑO RESUMEN……….59

3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO…….………… ………… 60

3.2 RESEÑA HISTÓRICA……… … 63

3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000……… 64

3.4 ESPECTROS POR DESEMPEÑO……… ……….66

3.5 ESPECTROS INELÁSTICOS 69

3.6 REGLA DE IGUAL DESPELAZAMIENTO 71

3.7 REGLA DE IGUAL ENERGÍA……….… 73

3.8 NEWMARK Y HALL (1982)……….… ………74

3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)……… ……….78

3.10 APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000….……… 79

3.11 INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA………….…………79

3.12 INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA……….……….82

3.13 CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R……….……….83

4 MATRIZ DE RIGIDEZ RESUMEN………87

4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO……… 87

4.1.1 Análisis sin nudo rígido……… ………88

4.1.2 Análisis con nudo rígido……….………92

4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA……….……….96

4.2.1 Coordenadas Generalizadas……….96

4.2.2 Vector de Colocación……… …99

4.2.3 Ensamblaje directo………101

4.3 CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ……….………….105

4.3.1 Condensación a las coordenadas “a”………106

4.3.2 Condensación a las coordenadas “b”………106

4.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES…….……107

4.4.1 Caso en que Qb = 0……… 108

4.4.2 Caso en que Qa = 0……… 109

4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS………….… 109

4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL……….….112

4.6.1 Vigas axialmente rígidas……… …112

4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas……….114

5 MATRIZ DE MASAS RESUMEN……… 119

5.1 ENERGÍA CINÉTICA……….……….119

5.2 REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS…… ……… 121

5.3 REGLA DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA…….… ………122

5.4 MATRIZ DE PASO……….……….125

5.5 ANÁLISIS PLANO……….……… 128

5.5.1 Análisis con masas concentradas a nivel de piso……… 128

5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles………130

5.6 PÉNDULO INVERTIDO……….132

5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA……….……… 132

5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA……….………134

5.9 ANÁLISIS ESPACIAL……….……… 135

6 MODOS DE VIBRACIÓN RESUMEN……… 139

6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO………139

6.1.1 Valores propios……….140

6.1.2 Propiedades dinámicas……… ……….142

6.1.3 Modos de vibración……… 142

6.2 ALGORITMO DE 2 1 M ……….……….145

6.3 MÉTODO DE JACOBI……… 150

6.3.1 Desarrollo del Método……….151

6.3.2 Procedimiento de cálculo………152

6.3.3 Cálculo de los Vectores Propios………153

6.4 MODOS RITZ……… 153

7 MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO RESUMEN……… 157

7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH………157

7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN……… 159

7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS……… 163

7.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO……… 167

7.4.1 Exponencial de una matriz……….168

7.4.2 Resumen del procedimiento de cálculo………171

7.5 PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS……… 175

7.5.1 Modos de vibración en el campo de los complejos………175

7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos……… 177

7.5.3 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad…………177

8 ANÁLISIS LINEAL RESUMEN……… 181

8.1 MÉTODO DE NEWMARK……….181

8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK……… 186

8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO……… 187

8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO……… 191

8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MÍNIMO………199

9 PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO RESUMEN……… 201

9.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA……… 201

9.2 FORMULACIÓN DE LA RESPUESTA………203

9.3 PROGRAMA PSE……… 204

9.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN……… …….…… 206

9.5 INTRODUCCIÓN A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA……… 209

10 SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN RESUMEN……… ………213

10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……….…214

10.2 VIBRACIÓN LIBRE……… 216

10.2.1 Viga en Voladizo……… 218

10.2.2 Viga apoyada……….220

10.2.3 Interacción suelo estructura………224

10.2.4 Variación del período con la interacción……… 227

10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACION……….228

10.3.1 Valores propios y modos normalizados………231

10.4 VIBRACIÓN FORZADA……… 232

10.4.1 Masas modales……….234

10.4.2 Respuesta en el tiempo……… …236

11 SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE RESUMEN……… 241

11.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……….241

11.2 VIBRACIÓN LIBRE……… …244

11.2.1 Viga en Voladizo……… …246

11.2.2 Comparación de formas modales……… 248

11.2.3 Frecuencias de vibración……….…249

11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN……… 250

11.4 VIBRACIÓN FORZADA……… 252

11.5 CORTANTE BASAL……….…254

11.6 MASA MODAL……… 256

12 VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXIÓN RESUMEN……… 261

12.1IMPORTANCIA DEL ESTUDIO……… 262

12.2 MODELO DE MIRANDA……… 264

12.2.1 Respuesta en desplazamiento………266

12.2.2 Efecto de la distribución de cargas………269

12.3 APLICACIONES………272

12.3.1 Parámetro β1 273

12.3.2 Desplazamiento lateral……….276

12.4 DERIVA DE PISO……….280 12.4.1 Parámetro β2 282 12.5 EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO……….283

MANUAL RÁPIDO DE MATLAB

RESUMEN

Existe una gran cantidad de libros sobre como se debe utilizar el MATLAB, de igual manera en Internet se puede encontrar información muy útil sobre el manejo de este programa pero en los dos casos el lector de este libro va a perder tiempo, primero en encontrar la información y segundo en hallar las sentencias especificas que en este texto se utilizan en la elaboración de los programas que aquí se presentan

Por este motivo se presenta un manual rápido de uso del manual, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en cada capítulo MATLAB es un software muy fácil de aprender y muy poderoso ya que cuenta con una gran cantidad de rutinas que facilitan su uso y lo fundamental la graficación de los resultados en forma elemental

Los programas que se desarrollan en el texto van a ayudar a comprender la teoría que

se expone, razón por la cual, se recomienda su lectura e implementación de los mismos

1 FORMAS DE TRABAJO

MATLAB proviene de las palabras MAtrix LABoratory es un lenguaje de alta

tecnología que integra en un solo ambiente la programación y la visualización gráfica Existen dos modalidades de trabajo que son la modalidad consola y la modalidad rutina

• En la modalidad consola aparece el Prompt (>>) cada vez que se hace una operación

En esta modalidad los cálculos se realizan en forma inmediata por medio de los comandos adecuados Se pueden escribir matrices, vectores y variables en consola y después utilizarlos en los programas que se hacen en la otra modalidad

• En la modalidad rutina no aparece el prompt >> pero en su lugar cada una de las líneas están numeradas Es en esta modalidad donde se realizan los programas y al estar numeradas cada una de las líneas se facilita la corrección de los errores Una vez que

se realiza el programa se graba con un nombre MATLAB automáticamente a este archivo le asigna la extensión m

Cuando se ejecuta MATLAB se ingresa a la modalidad prompt, a futuro se indicará

únicamente >> de aquí se pasa a la modalidad rutina escribiendo la palabra edit o en su

defecto utilizando el icono correspondiente para abrir archivos

Tanto en la modalidad consola como en la modalidad rutina, si al final de una sentencia

se coloca ; no se imprimen los resultados Si se omite el punto y coma si aparecerán los

19 2

80 1

23

4 30 1

23 5

10

B A

>> A=[10.5 23.1 30.4; 23.1 80.2 19.7]

>> B=[15 ; 20]

ƒ Después de cada número se deja uno o varios espacios

ƒ Una vez que se han dado los datos de una fila se coloca punto y coma (;) con lo cual el programa sabe que a continuación se tiene una nueva fila

ƒ Los elementos de una matriz o vector se indican entre [ ]

Una vez que se han definido las matrices y vectores, se pueden realizaras operaciones

de la siguiente forma:

ƒ Para calcular la transpuesta, se escribe el nombre de la matriz o vector y a

continuación el apóstrofo que está entre paréntesis (‘)

ƒ Para sumar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo +

ƒ Pare restar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo -

ƒ Para multiplicar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el

signo *

ƒ Para invertir una matriz, por ejemplo la matriz A El comando es inv (A)

ƒ Para multiplicar un escalar por una matriz se procede en forma similar a la

multiplicación de una matriz

2 3 1

2

1 1

3 1

4 2

C B

A

Encontrar:

i D = At La transpuesta de la matriz A

ii E = A B El producto de la matriz A por la matriz B

iii F = C−1 La matriz inversa de C

iv G = A + B La suma de la matriz A con la matriz B

v H = A − C La diferencia de las matrices A con la C

ƒ El colocar el punto y coma después del corchete hace que no se imprima a

continuación la matriz En este caso no se imprimirá las matrices A y B pero si se imprimirá la matriz C

ƒ Después de cada sentencia aparece inmediatamente los resultados esperados, así luego de colocar D=A’, aparece

1 2

2 10

14286 0 42857

0

3 3

2 1

3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma A X = B se procede de la

5 1

3

1 10

2

3 2

8

3 2 1

X X X

• SOLUCIÓN

>> A=[8 2 3; 2 10 1; 3 1 5]; B=[ 42; 50; 40]; X= A\B

ƒ En este caso no se imprime la matriz A ni el vector B por el (;)

ƒ Se pudo haber colocado la matriz A en una línea, el vector B en otra y el cálculo de las

00 4

00 2

X

4 CÁLCULO AVANZADO CON MATRICES

En este libro se tiene que calcular con cierta frecuencia los valores y vectores propios

de una matriz A y también el exponencial de una matriz e A Esto se lo hace con los siguientes

comandos:

ƒ [V,D] = eig ( A ) En V vienen los vectores propios y en D los valores propios de A

ƒ expm(A) El comando expm(A) halla el exponencial de la matriz

1 3

2

0 2 5

0 8433

0

5392 0 6831

0 4927

0

8360 0 5049

0 2149

0

V

Otra forma de calcular los valores y vectores propios, que ofrece MATLAB es:

ƒ [V,D] = eig (K,M) K es la matriz de rigidez, M es la matriz de masas Las dos son

de orden (n x n) siendo n el número de grados de libertad En

0 0

0

0 0 2943

2 0

0

0 0 0

0 4158

0

D

V vienen los modos de vibración y en D los valores propios con

los cuales se obtienen las frecuencias naturales

2 4

En este caso no se le asignó el nombre de una matriz al resultado de e A En este caso

MATLAB asigna la respuesta a ans

El cálculo del exponencial de una matriz se lo aplica en el Procedimiento de Espacio de Estado, para encontrar la respuesta sísmica de un sistema de n grados de libertad

5 CÁLCULO DE INTEGRALES

MATLAB ofrece varias formas de calcular una integral, en este libro se utiliza la regla del trapecio y su formato de uso es:

• trapz (X,Y) Donde X es un vector que contiene los puntos discretos X Por otra

parte Y es el nombre del vector que contiene los valores de la

función Y en los puntos discretos X

• trapz (Y) Esta modalidad se utiliza cuando los puntos discretos se encuentran

espaciados cada unidad

6 MATRIZ IDENTIDAD Y NULA

MATLAB puede crear matrices de orden (n x n) con 1 solo en la diagonal, con 1 en toda la matriz o con 0 en toda la matriz, de la siguiente manera:

ƒ A = eye (m) m es el orden de la matriz A identidad

ƒ A = ones (m) m es el orden de la matriz A pero en este caso todos los elementos

de la matriz son unos

ƒ A = zeros (m) m es el orden de la matriz A que está compuesta por ceros

7 FUNCIONES MATEMÁTICA ELEMENTALES

En la tabla 1 se indican las funciones elementales que más se utilizan en este libro

Tabla 1 Funciones matemáticas elementales

8 GRÁFICAS EN MATLAB

Nuevamente MATLAB ofrece gran versatilidad para la elaboración de figuras, aquí únicamente se presentan los comandos con los cuales se obtuvieron las curvas que están en este texto

ƒ Para realizar un simple gráfico en dos dimensiones el comando es:

plot (x,y)

xlabel (‘Titulo para eje de las x’); ylabel (‘Titulo para eje de las y’);

title (‘Titulo de la figura’)

Previamente se habrán obtenido los vectores x, y

ƒ Para realizar varias curvas en un solo gráfico, se procede de la siguiente manera:

hold off

plot (x,y,’+’)

hold on

plot (x,z,’o‘)

El comando hold on mantiene la gráfica para realizar otra curva Es conveniente

apagarla con hold off para que no quede activado este comando Cuando se construyen varias curvas en una gráfica es conveniente dibujar cada una de ellas con

un símbolo diferente los mismos que se indican entre ‘ ‘ En el ejemplo la primera curva

se dibujara con el signo más y la segunda curva con círculo, en este caso se escribió la

o no el cero En la tabla 2 se indican varios símbolos disponibles

Tabla 2 Símbolos disponibles

En lugar de utilizar símbolos diferentes para construir las curvas se puede utilizar colores, colocando en lugar del símbolo la letra de un color, las mismas que se indican

en la tabla 3

ƒ Para presentar varias figuras, se tiene el comando subplot en que se pueden presentar m por n gráficas La sintaxis es:

• subplot (m,n,k) k es el número de la gráfica que se dibuja, m y n se refiere a m por

n gráficas que se quieren dibujar

Tabla 3 Colores disponibles

Por lo tanto se debe graficar las dos curvas que son: cos p, por una parte, y

>> plot (p,y,’r’); hold on; plot (p,z,’b’)

En la figura 1 se presentan las curvas que se obtienen:

Figura 1 Gráfica de dos funciones

Se puede colocar mayor información en el gráfico de la figura 1, con el propósito de explicar mejor cuales son las raíces, esto se lo puede hacer con MATLAB pero es más fácil

realizarlo usando el programa PAINT; en la figura 2 se presenta el resultado final del cálculo gráfico de las raíces que ha sido realizado con MATLAB y PAINT

Figura 2 Raíces encontradas

9 PROGRAMAS

Si bien en el apartado anterior se realizó un pequeño programa, para dibujar las dos curvas, lo usual es que esto se realice en la modalidad rutina La primera instrucción de un programa es:

function [resultados] = nombre (datos)

En resultados vendrá el nombre de las variables que contienen los resultados del programa, puede ser una o varias variables o arreglos El nombre corresponde a la forma de

identificar el programa, no hay limitación en el número de letras que se utilicen para el efecto

Por último en datos vienen de consola, la información que requiere el programa para su

ejecución Normalmente se deben colocar datos pero también el programa puede pedir los datos por pantalla o a su vez tomarlos de un archivo o se pueden asignar valores de tal forma que no es obligatorio que existan siempre datos

Es conveniente documentar los programas, para el efecto se colocarán comentarios, esto se lo hace con % y a continuación se indican todos los comentarios que se requieran Cuando el programa ve % simplemente ignora esa sentencia ya sabe que son comentarios

En una fila de datos se puede tener una o más sentencias en el ejemplo anterior se escribió tres sentencias en una fila que son: p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); esto hace que los programas sean más cortos

Para programar básicamente se necesita conocer como se escribe un bucle y la forma

de escribir las decisiones condicionales En otras palabras saber el manejo del for y del if

™ Bucles Empiezan con la palabra for y terminan con la palabra end Luego

de un índice el mismo que va a variar en la forma que el usuario desee La sintaxis del for es la siguiente:

for i = ni:nf …………

end

Donde ni es el número inicial en que empieza el lazo o bucle y nf es

el número en que termina el bucle En la forma indicada el índice i

variará de uno en uno Si se desea otro tipo de variación la sintaxis

en la siguiente:

for i = ni,dx,nf …………

end

En este caso se especifica el incremento dx con el cual va a ir variando el índice i Los …………., significan que en ese lugar se

colocarán las sentencias del programa

™ Condicionales La forma más sencilla de un condicional es la siguiente:

if condición

else …………

end

Si se cumple la condición que está al lado del if se ejecutan las

líneas que están a continuación, caso contrario no se ejecutan estas

líneas y se ejecutan las líneas posteriores a else

En este libro se trabaja con los siguientes operadores para los condicionales:

Tabla 3 Lista de condicionales Nombre Operador Nombre Operador

else …………

end

En este caso se tiene opción de hacer varias preguntas adicionales,

en este caso solo se ha efectuado una pregunta adicional con elseif

pero se pueden hacer tantas como sea necesario

i i

X f

X f X

X +1 = − '

Donde f ( ) Xi es el valor de la función en el punto Xi; f'( ) Xi es el valor de la derivada en Xi Por facilidad se desarrolla un programa específico para un polinomio de tercer grado de la forma: f ( ) x = ax3 + bx2 + cx + d

Los datos a , b , c , d se indicarán en la modalidad consola La ecuación a programar es:

c bX aX

d cX bX X a X X

i i

i i i i

i

+ +

+ + +

−

=+

2

2 3 1

El cálculo es iteractivo, ya que se debe imponer un valor inicial de Xi y el programa determina Xi+1 con este valor se ve si f ( Xi+ 1) es menor o igual a una tolerancia, si es menor

se halló la raíz, caso contrario se continua con el cálculo para lo cual Xi = Xi+1 El programa

que se ha elaborado se denomina newtonraphson y se indica a continuación

Se destaca que en MATLAB no se puede colocar las tíldes en los programas de

tal manera que aparecerán ciertas palabras con error gramatical

function [raiz]=newtonraphson(a,b,c,d,xi)

%

% Calculo de una raiz de un polinomio de tercer grado aplicando el

% Metodo de Newton Raphson

%

% a,b,c,d son datos del polinomio de tercer grado

% xi es dato el valor inicial que el usuario propone

% raiz es una de las raices que se obtienen

% tol es el nombre de la tolerancia con la cual se desea calcular

% f es el valor de la funcion en el punto xi

2 ) ( x = x3− x2 + x + =

• break Sirve para salir del bucle En el programa realizado en principio se debía

realizar 100 iteracciones ya que el lazo va de 1 a 100 pero con la

pregunta que se realiza si f <= tol , no se llega a las 100 iteracciones, es

probable que un número mucho menor ya se halle la raíz Entonces la

forma de salir del lazo es con break

• continue Tiene el efecto contrario al break Se realiza una pregunta dentro de un

lazo y si cumple cierta condición y no se quiere hacer ninguna operación,

únicamente que continúe con el bucle, en este caso se coloca continue

¾ Cálculo de raíces de un polinomio

Se escribió el programa newtonraphson para ilustrar el uso de un bucle y de un condicionante Para hallar las raíces de un polinomio MATLAB tiene el comando roots

con el cual se hallan todas las raíces del polinomio La sintaxis es:

Si se conocen las raíces de un polinomio y se desea hallar los coeficientes de dicho

polinomio el comando que se utiliza es poly ( r ) Donde r es el nombre del vector que

contiene las raíces Para el ejemplo se tendría:

Conforme pasa el tiempo, es probable que se olvide la forma de entrada de datos de

un determinado programa o no recuerda que hace el programa En este caso, en la modalidad

consola se escribirá help y el nombre del programa Luego va a aparecer todas las primeras

instrucciones que son comentarios

10 ARCHIVO DE DATOS Y RESULTADOS

En el libro se encuentra la respuesta sísmica de varias estructuras ante un acelerograma, de un sismo registrado en el Perú el 9 de noviembre de 1974, lo primero que se debe realizar antes de llevar el archivo a MATLAB es eliminar las líneas de comentarios que

normalmente traen los archivos y después darle un nombre con extensión dat

En el libro el archivo de este acelerograma se denomina Peru04.dat Este archivo debe

grabarse en la carpeta de MATLAB denominada WORK Se destaca que debe ser un archivo

ASCII

Para cargar un archivo, la sintaxis es: load datos.dat;

Por otra parte, para guardar un archivo de resultados, la sintaxis es: save result.res;

En la sintaxis se ha denominado datos y result a los archivos de datos y resultados pero pueden tener cualquier nombre

11 FACILIDADES DE MATLAB CON MATRICES

MATLAB facilita, la forma de trabajar con matrices y vectores A continuación se indican algunas de estas formas:

¾ Creación de una matriz diagonal

Si en consola o rutina se escribe, por ejemplo:

0 4 0

0 0 5

A

¾ Obtención de una submatriz

Se desea obtener de la matriz A del ejemplo anterior una submatriz que se va a denominar B compuesta por las dos primeras filas y columnas

0 5

B

La sintaxis es primero identificar la matriz de la cual se va a obtener la submatriz

Luego entre paréntesis se indica la fila inicial : la fila final coma la columna inicial : la

columna final

Si se desea extraer un elemento de una matriz, se escribe en la notación clásica Por

ejemplo de la matriz A se desea obtener el número 4

A (2,2)

ans=

4

¾ Símbolo :

Sirve para denotar todos los elementos de una fila o columna de una matriz Por

ejemplo si se quiere obtener los elementos de la tercera columna de la matriz A

A(:,3)

ans=

0

0

3

¾ Máximo y Mínimo de un vector

Para encontrar el valor máximo o mínimo de un vector la sintaxis es: max (A) o min(A) Siendo A El nombre del vector

¾ Dimensión de un vector o matriz

Para saber el orden de una matriz o vector la sentencia es length (A) donde A es el

nombre de la matriz o vector

12 FUNCIONES

Una gran ventaja de MATLAB es que las funciones se pueden trabajar directamente como vectores o matrices Por ejemplo si se tiene una serie de tiempo que va desde 0 a 1 con incrementos de 0.1, esto se lo obtiene de la siguiente manera:

>> t = linspace (0,1,11)

Con lo que se obtiene:

t = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

ƒ La primera cantidad de linspace corresponde al número inicial, la segunda al número

final y la tercera al número de valores que se desea, entre los números inicial y final

ƒ Se ha creado t como un vector fila Esto es muy importante tener en cuenta ya que para graficar funciones se necesita tener un vector columna En este caso se escribe

Se ha presentado un manual rápido de MATLAB que tiene como objetivo que el lector comprenda los programas que en libro se presentan Con tantas ventajas que ofrece MATLAB, los programas, de aspectos muy complejos como es por ejemplo, el hallar la respuesta en el tiempo de un sistema de múltiples grados de libertad, son muy cortos

Los programas que se desarrollan tienen un gran beneficio ya que ayudan al lector a entender perfectamente el tema que se está exponiendo

Para quienes deseen profundizar más en MATLAB se les recomienda el libro de

Shoichiro Nakamura (1997), Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, 476 p.,

Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., México

CAPÍTULO 1

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

RESUMEN

Se deduce la ecuación diferencial del movimiento para sistemas de un grado de

libertad y se resuelve en forma analítica para el caso de vibración: libre, forzada ante carga

armónica y arbitraria ante pulsos rectangulares Para el primer caso se obtiene la respuesta para vibraciones sin amortiguamiento, subamortiguada, sobre amortiguada y críticamente amortiguada Para el segundo caso se obtiene el factor de amplificación dinámica y se ilustra el problema de la resonancia, luego se obtienen las fuerzas que se transmiten a la fundación por efecto de vibración armónica Finalmente para el tercer caso, se presenta la solución ante un escalón unitario y de fuerza arbitraria y ante un pulso rectangular

Se complementa el marco teórico con la presentación de programas en MatLab para

resolver el problema de vibraciones libres y para calcular el factor de amplificación dinámica de desplazamiento

1.1 VIBRACIONES LIBRES

En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibración libre y vibración forzada En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra debido a condiciones iniciales Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de vibración libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se indica el modelo numérico de cálculo a partir de un resorte que tiene una rigidez k como se aprecia en la posición ( 1 ) de la figura 1.1, se ha notado por P.I a la posición inicial del sistema

Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la deformación del mismo, con ésta hipótesis, se pasa a la posición ( 2 ) de la figura 1.1 en que coloca la masa del sistema m sobre el resorte se lo hace de tal manera que el sistema no vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad δ y ahora la

Posición Inicial P.I., pasa a la posición de equilibrio estático que se ha llamado P.E.E En la posición ( 2 ) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene:

δ

k g

m =

En la posición ( 3 ) se ha colocado el amortiguador c pero no entra en funcionamiento

ya que el sistema está en reposo La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la velocidad En consecuencia se tendrá fuerza en el amortiguador cuando el sistema se encuentra en movimiento En ( 4 ) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo

Figura 1.1 Descripción del modelo numérico para vibración libre

Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera q (t ) se mide a partir de P.E.E Finalmente en ( 5 ) se presenta una posición genérica del movimiento en la que

se ha colocado que la fuerza en el resorte vale k ( q + δ ) hacia arriba, el peso del sistema vale

0 )

= + + c q k q q

m

Se conoce que la frecuencia natural Wn y el período de vibración T, valen:

n n

W

T m

= +

Al multiplicar y dividir el término c/m por 2 mk y al utilizar la ecuación ( 1.4 ) se tiene:

n

W m

mk mk

c m

= +

1.1.1 Solución de la ecuación diferencial

Se plantea la solución de la ecuación diferencial ( 1.5 ) de la siguiente forma:

t

e a t

q ( ) = λ

Donde a es una constante de integración y λ es una variable a determinar Al derivar

la ecuación ( 1.6 ) con respecto al tiempo y reemplazar en ( 1.5 ) se tiene:

0 2

2 2

2 2

2

.

= + +

= +

+

=

=

n n

t

t n t n

t t t

W W

e a

e a W e a W e

a

e a q

e a q

λ ξ λ

λ ξ

λ λ λ

λ

λ λ

λ λ λ

Para que la última ecuación sea igual a cero es necesario que la cantidad del paréntesis sea cero

1 2

4 4

2

0 2

2

2 2

2

2 2

ξ ξ

λ

ξ ξ

λ

λ ξ λ

n n

n n

n

n n

W W

W W

W

W W

Las raíces de λ dependen del valor de ξ ya que el radical puede ser positivo, cero o negativo

1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento

En este caso ξ = 0, es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando indefinidamente Al ser ξ = 0 las raíces que se obtienen de ( 1.7 ) son:

( ) ( ) ( )

2 2

cos )

(

B A C

t W sen C t W sen B t W A t

Siendo γ el ángulo de fase

Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo período

de vibración es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s

( ) W t B W ( ) W t sen

W A t q

t W Bsen t

W A t q

s T

W

n n

n n

n n

n

cos )

(

cos )

(

1 416 31 2 0

2 2

10 10

W B W

B A

Luego:

( t )

sen t

t

q ( ) = 2 cos( 31 416 ) + 0 3183 31 416

En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los siguientes comentarios:

9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial

9 Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva razón por la cual la curva va hacia arriba

9 El tiempo que se demora en una oscilación completa es igual a 0.2 s., que corresponde

al período de vibración

9 Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilación no decrece

1.1.3 Vibración libre subamortiguada

Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de 0 < ξ ≤ 1 En este caso las raíces son también números complejos

Las raíces son:

21

1

ξ

ξ λ

a n

W W

W W

( 1.8 )

( 1.9 )

Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento

Luego la solución es:

q

t W B t W sen A e

t q

a a

n

a a

t

W n

cos )

exp(

) (

cos )

la ecuación ( 1.10 ) en función del ángulo de fase queda:

2 2

) (

) exp(

) (

B A C

t W sen t W C

2 ) 0 ( 0

.

s cm q

cm q

) ( )

cos(

) exp(

) cos(

) ( )

exp(

) (

) cos(

) ( )

exp(

) (

a a

n

a a

n n

a a

n

W

t W sen W B t W W

A t W

t W B t W sen A t W W

t q

t W B t W sen A t W t

q

ξ

ξ ξ

ξ

( 1.10 )

( 1.11 )

Para t=0 se tiene:

41883 0 3767

31 2

416 31 05 0 10

2

=

∗ +

Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con ξ = 0 05

Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes:

9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial

9 La pendiente en t=0 es positiva

9 El período de la oscilación en este caso vale:

a a

W

T = 2 π

9 Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero

1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada

Corresponde al caso en que ξ es mayor que la unidad En este aso las dos raíces son reales Luego la respuesta en el tiempo vale:

A t

q ( ) = exp − ξ n + n ξ2 − 1 + exp − ξ n − n ξ2 − 1

( 1.12 )

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si ξ = 1 2 El período del sistema es 0.2 s

/ 10 ) 0 (

2 ) 0 ( 0

.

s cm q

cm q

Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para ξ = 1 2

Los comentarios que se realizan a la figura 1.4, son:

9 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial

9 La pendiente en t=0 es positiva

9 El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila

1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada

En caso ξ = 1 El radical de la ecuación ( 1.7 ) es cero y las dos raíces son iguales Por lo tanto, la respuesta en el tiempo es:

/ 10 ) 0 (

2 ) 0 ( 0

.

s cm q

cm q

% zi: factor de amortiguamiento

% w : frecuencia natural del sistema de 1 gdl

xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento')

title ('Vibracion libre en sistema de 1 gdl')

% -fin -

Se ha presentado un programa denominado VLIBRE que encuentra la respuesta en el

tiempo, para un problema de vibración libre Los datos que se suministran al programa, son:

• ξ Factor de amortiguamiento

• Wn Frecuencia natural del sistema

En la figura 1.5 se indica lo que reporta el programa VLIBRE

Figura 1.5 Respuesta en el tiempo de ejemplo 2 que se obtiene con programa VLIBRE en MATLAB

=

∆

a

nT t q

t q

) ( ln 2

( 1.14 )

Figura 1.6 Cálculo del decremento logarítmico

Newmark y Hall (1982) recomiendan los valores de ξ que se indican en la tabla 1.1 Los comentarios que se pueden hacer al respecto son los siguientes:

™ El valor de ξ depende del tipo de material y del sistema estructural

™ El valor de ξ depende del nivel de esfuerzos, mientras más bajo sea el nivel de esfuerzos menor será ξ

™ Para estructuras de Hormigón Armado el valor de ξ es superior a 10 si el nivel de daño en la estructura es grande

™ Normalmente los espectros de diseño se presentan para ξ = 0 05 lo que implica que existe un agrietamiento visible en la estructura

1.2 VIBRACIONES FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA

Se tienen varios casos de vibración forzada de ellos, para quienes vivimos en una zona

de alta peligrosidad sísmica como es el Ecuador, el sismo es el más importante pero para otros puede ser muy importante la acción del viento o las vibraciones que producen los motores de máquinas

Tabla 1.1 Valores recomendados de ξ en porcentaje

Material y/o sistema estructural Nivel de esfuerzos o deformaciones ξ ( ) %

Esfuerzos admisibles; < 0 5 σy 1 a 2 Sistemas de tuberías que pueden

vibrar libremente

( 1.15 )

Esfuerzos admisibles; < 0 5 σy 2 a 3 Sistemas estructurales de acero

soldado

Cercanos a σy, sin excederlo 5 a 6 Esfuerzos admisibles; < 0 5 σy 2 a 3 Cercanos a estados últimos,

Sin pérdida de pretensión

5 a 7 Concreto pretensazo

Esfuerzos admisibles sin agrietamiento visible

2 a 3 Agrietamiento visible generalizado 3 a 5

Sistemas estructurales de Hormigón

Armado

Esfuerzos admisibles; < 0 5 σy 5 a 6 Estructuras de acero apernadas

Cercano a estados últimos, con juntas apernadas

10 a 15

Sistemas estructurales de madera, con

elementos clavados o apernados

Estado de agotamiento con juntas clavadas

15 a 20

La excitación de una máquina puede se modela mediante un pulso el mismo que puede ser rectangular, triangular, trapezoidal, etc., pero para su solución se puede aproximar estas funciones periódicas por funciones armónicas tipo seno o coseno Por este motivo es necesario estudiar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una excitación armónica

1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal

Se desea encontrar la respuesta en el tiempo para el sistema de 1 gdl indicado en la figura 1.7 La excitación vale Fo sen ω t; siendo ω la frecuencia de vibración de la excitación,

o

F el valor de la amplitud máxima y t la variable tiempo

Figura 1.7 Sistema de 1 gdl sometido a una fuerza armónica

La ecuación diferencial del movimiento es:

t sen F q k q c q

m && + & + = o ω

La solución del problema q (t ) será igual a la solución homogénea más la solución particular

( 1.16 )

) ( ) ( )

m &&p + &p + p = o ω

La solución homogénea es importante en los primeros instantes de tiempo, luego desaparece por lo que el sistema queda vibrando en base a la solución particular, se resolverá

a continuación únicamente la solución particular ya que la solución homogénea fue resuelta en

el apartado anterior y además desaparece en los primeros instantes de tiempo Sea

t B t sen A

qp = ω + cos ω

Donde A, B son constantes de integración que se determinan en base a la ecuación diferencial Las derivadas de qp con respecto al tiempo, son:

t B

t sen A

q

t sen B t A

q

ω ω

ω ω

ω ω ω

Al reemplazar en ecuación diferencial y agrupando términos se tiene:

( − m ω2 A − B c ω + k A ) sen ω t + ( − B m ω2 + A c ω + k B ) cos ω t = Fo sen ω t

Al igualar coeficientes se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

=

−

−

B m k A c

F B c A m

ω ω

ω ω

En forma matricial se tiene:

2

o

F B

A m

k c

c m

k

ω ω

ω ω

El determinante de los coeficientes vale:

k

c F

o

( 1.17 )

F m

Figura 1.8 Suma de dos armónicos

En el triángulo rectángulo de la figura 1.8 se tiene:

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

F F c m

k F B

1

ω

ω γ

m k

c tg

A

B tg

En resumen si la respuesta del sistema viene dada por la respuesta permanente se tiene que:

( − ω ) + ( ) ω ( ω + γ )

c m

k

F

2 2

c cm

kg k

cm

s Kg

51