Dinamica de estructuras

El Capitulo 2 desarrolla la ecuación que define el equilibrio dinámico de sistemas de un grado de libertad con masa concentrada y analiza la respuesta dinámica para distintos tipos de ex

PRESENTACION

El presente texto de apoyo a la docencia constituye un complemento a las clases teóricas y practicas del curso de Dinámica de Estructuras que semestre a semestre se dicta en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Concepción

Consta de 7 Capítulos, partiendo con un Capitulo inicial que sirve de introducción para definir los conceptos básicos y la nomenclatura involucrada en el análisis dinámico de estructuras El Capitulo 2 desarrolla la ecuación que define el equilibrio dinámico de sistemas de un grado de libertad con masa concentrada y analiza la respuesta dinámica para distintos tipos de excitaciones que tienen una representación analítica y para las cuales es posible obtener una solución cerrada

a la ecuación de movimiento En el Capitulo 3, se introduce el análisis para cargas del tipo arbitrario como ser las asociadas a los fenómenos del tipo sísmico, colocando énfasis en el cálculo de la respuesta mediante la utilización de la integral de Duhamel y la utilización métodos de integración temporal del tipo paso

a paso En el Capitulo 4, se presentan una serie de problemas en donde se aplican y mezclan los conceptos básicos de la dinámica de estructuras asociados

a sistemas de un grado de libertad En el Capitulo 5, se entregan los conceptos básicos asociados a sistema de n grados de libertad y como abordar el análisis

de este tipo de estructuras En el Capitulo 6, se presentan ejemplos resueltos de sistemas de n grados de libertad sometidos a diversos tipos de cargas dinámicas Finalmente en el Capitulo 7 se desarrolla el análisis de sistemas con masa distribuida utilizando el concepto de coordenada generalizada, dicho capitulo

se complementa con ejercicios sobre el tema

La publicación de este texto complementa el estudio de los libros clásicos

de Dinámica de estructuras (CHOPRA (1995)(3), CLOUGH y PENZIEN (1982)(4), PAZ (1992)(6)) y ayuda a la comprensión de los mismos

Patricio Cendoya Hernández

Ingeniero Civil (U de Concepción)

Dr Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos (U Politécnica de Catalunya)

Índice

Capítulo 1: Conceptos básicos 1

1.1 Introducción 2

1.2 Grados de libertad 3

1.3 Modelo mecánico 4

1.3.1 Rigidez equivalente 5

1.3.2 Método de la rigidez basal 8

1.4 Comportamiento general de un sistema mecánico 11

Capítulo 2: Ecuación de movimiento en sistema de 1 GDL 14

2.1 Introducción 14

2.2 Oscilación libre no amortiguada 16

2.3 Oscilación forzada no amortiguada 20

2.4 Oscilación libre amortiguada 22

2.4.1 Amortiguamiento critico 24

2.4.2 Amortiguamiento supercrítico 25

2.4.2 Amortiguamiento subcritico 26

2.5 Conceptos de disipación de energía 29

2.6 Oscilación forzada no amortiguada con carga constante 32

2.7 Oscilación forzada amortiguada 36

2.8 Aislamiento de vibraciones: respuesta al movimiento de la base 40

Capítulo 3: Excitación arbitraria 43

3.1 Respuesta a movimientos sísmicos 43

3.2 Oscilación forzada bajo carga no armónica 45

3.3 Espectro de respuesta sísmico 47

3.4 Integración de ecuación de movimiento 50

3.4.1 Solución explicita 51

3.4.2 Solución implícita 53

Capítulo 4: Ejemplos sistemas de 1 GDL 59

4.1 Aplicaciones 59

4.1.1 Marco sometido a carga impulsiva rectangular .59

4.1.2 Marco sometido desplazamiento de su base 63

4.1.3 Marco sometido a carga impulsiva triangular .67

Capítulo 5: Sistemas de n GDL 71

5.1 Introducción 71

5.2 Propiedad de ortogonalidad de los modos .76

5.3 Ecuaciones desacopladas .78

5.4 Normalización de la matriz modal 81

5.5 Masa equivalente 82

5.6 Método de superposición modal Análisis de sensibilidad 84

5.7 Ventajas y desventajas del anales modal .85

5.8 Efecto del amortiguamiento 86

Capítulo 6: Aplicaciones a sistemas de n GDL 90

6.1 Ejemplos 90

6.1.1 Marco de tres niveles sometido a un espectro de velocidades .90

6.1.2 Marco de dos niveles sometido a espectro de aceleraciones 100

6.1.3 Marco de tres niveles análisis de piso blando 106

6.1.4 Marco de dos niveles con aceleración basal 111

Capítulo 7: Sistemas generalizados 115

7.1 Sistemas con masa y elasticidad distribuida 115

7.1.1 Chimenea con masa distribuida 119

Capítulo 8: Referencias 122

la realidad en el caso sísmico

Una carga estática es aquella cuyo valor no cambia con el tiempo Un ejemplo de

carga estática lo representan las cargas muertas (por ejemplo el peso propio de la estructura) ya que estas permanecen constantes con el paso del tiempo Una carga o excitación dinámica es aquella cuya intensidad es función del tiempo, un sismo por ejemplo se puede representar como una fuerza del tipo dinámico que

actúa sobre la estructura durante la duración del movimiento sísmico Cualquier estructura elástica sujeta a la acción de una carga dinámica se comporta como un sistema oscilante

Una de las diferencias entre un problema estático y uno dinámico es la variación

en el tiempo de la respuesta, lo que hace que el problema dinámico no tenga solamente una solución Al contrario, el análisis entrega una solución en cada instante de tiempo t 0 , t 1 ,K, t n

Las principales fuentes de fenómenos vibratorios que pueden afectar a las estructuras son entre otros:

• Las maquinarias y las instalaciones cuyo funcionamiento implica la presencia de masas en desequilibrio Las vibraciones causadas por las maquinarias en funcionamiento afectan principalmente a las estructuras soportantes, a sus fundaciones y a estructuras y equipos ubicados en las cercanías

Calcular la respuesta dinámica implica establecer dicha respuesta en cada uno de los puntos de la estructura, es decir, en una infinidad de puntos si se considera el hecho real que esta es un medio continuo Dicho de esta forma el problema se transforma en insoluble, para facilitar él cálculo numérico se define un número finito de puntos representativos de la estructura en donde se plantea y formula el

problema Esto se realiza mediante un procedimiento denominado discretización BARBAT (1983)(1)

Entre los métodos más utilizados para realizar esta operación, se tienen:

• El método de las masas concentradas

• El método de los desplazamientos generalizados

• El método de los elementos finitos

Cada uno de estos métodos se aplica en función del tipo de estructura que se utiliza

Uno de los métodos más empleados para estimar la respuesta dinámica es el de las masas concentradas, el cual supone que la masa se concentra en una serie

de puntos previamente seleccionados, de tal forma que el modelo mecánico resultante sea capaz de proporcionar una descripción aproximada del movimiento

de la estructura real

Cada una de las masas concentradas describe el moviendo generado por el efecto

de las fuerzas de inercia que aparecen en el modelo mecánico durante su vibración El número total de componentes de los desplazamientos en los cuales las masas concentradas vibran con respecto a sus posiciones originales, se

denomina número de grados de libertad dinámica del modelo

El número de grados de libertad dinámica de una estructura se puede también definir como él número mínimo de desplazamientos que se tienen que conocer para definir por completo la deformada de la estructura en cada instante durante

su vibración

Una vez obtenida la deformada de la estructura en cada instante del movimiento,

es decir, la descripción de los desplazamientos es posible conocer las deformaciones, tensiones y esfuerzos que se desarrollan en la estructura en el

tiempo

La identificación de los grados de libertad dinámica de una estructura necesita mucha rigurosidad, ya que tiene gran influencia sobre el resultado del cálculo dinámico El método de las masas concentradas, resulta eficaz en aquellas estructuras en las cuales una gran parte de su masa está realmente concentrada

en puntos discretos

1.3 MODELO MECANICO

El modelo mecánico más sencillo que permite idealizar el comportamiento de una estructura de un grado de libertad, está constituido por una masa soportada por un elemento de rigidez K Por ejemplo si en el marco plano de nudos rígidos de la

figura 1.1, se considera que es despreciable la deformación axial de las columnas

y que el elemento horizontal que las une es indeformable (es decir, dicho elemento

se comporta como un diafragma rígido), la posición del sistema en cualquier

instante del tiempo puede ser definida por una única coordenada que corresponde

al desplazamiento horizontal del diafragma rígido, que en el modelo mecánico

corresponde al centro de masas de la masa concentrada

Alternativamente la estructura de la figura 1.1, se puede idealizar como un carro con ruedas sin roce con el suelo, de masa m y con un resorte sin masa de rigidez horizontal K, tal como se indica en figura 1.2 En ambos casos, las características mecánicas asociadas a la disipación de energía del sistema se pueden caracterizar a través de la inclusión de un amortiguador del tipo viscoso con constante de amortiguamiento c

Figura 1.1 Marco plano con nudos rígidos y modelo mecánico asociado

Ambos modelos suponen que la masa de la estructura se concentra a nivel del diafragma horizontal el cual ha efectos del análisis dinámico se considera rígido (indeformable) y que se desplaza paralelamente con respecto a la dirección horizontal, imponiendo igualdad de desplazamiento en todos los elementos verticales que se conectan a ella

Figura 1.2 Modelo mecánico de un sistema de un grado de libertad

1.3.1 RIGIDEZ EQUIVALENTE

En una columna de sección constante que sufre un desplazamiento horizontal ∆i

sin giro de nudos y que se deforma solo por flexión con base empotrada la rigidez vale:

3 i

En el caso que la no existiera empotramiento, si no que la base de la columna estuviera con un apoyo fijo la rigidez lateral ki de la columna i se reduce a:

Por ejemplo, el marco plano de la figura 1.3 consta de “n” columnas empotradas

en su base y conectadas rígidamente a nivel del diafragma superior Bajo la hipótesis de diafragma horizontal rígido el desplazamiento horizontal de cada una

de las columnas es el mismo, es decir:

F 1 2 L (1.4)

i i

F = ⋅ ∆ (1.5)

De la ecuación Constitutiva (1.5) y de la ecuación de compatibilidad de desplazamiento laterales (1.3), reemplazando en la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales (1.4), se tiene:

Figura 1.3 Marco plano Sistema equivalente de resortes elásticos en paralelo

Siendo K la rigidez lateral equivalente del sistema, es decir, la estructura se puede modelar como si se tratase de un sistema eléctrico en paralelo

Cuando los resortes se disponen en serie, la constante del resorte equivalente vale:

2 3

1

3

EI 3 4

EI 12 3

EI

3

K = ⋅ + ⋅ + ⋅ (1.9)

Figura 1.4 Estructura de un grado de libertad

Veamos la siguiente situación, considérense tres marcos planos rígidos todos de igual masa y con columnas de igual rigidez flexional ( EI=cte ) pero con distintas condiciones de vinculación de las columnas en la base

La rigidez equivalente para cada marco vale:

• Marco con ambas columnas empotradas: 1 3

H

EI 24

• Marco con una columna empotrada y la otra con apoyo fijo: 2 3

H

EI 15

• Marco con ambas columnas con apoyos fijos: 3 3

H

EI 6

Graficando las relaciones F vs u (fuerza vs desplazamiento lateral) tal como

se indica en figura 1.5 Se concluye que para una carga horizontal aplicada a nivel del diafragma horizontal rígido, el marco con columnas empotradas se desplaza una cantidad u1, mientras que el marco con una columna empotrada se desplaza una cantidad u2 y el marco con ambas columnas con apoyos fijos se desplaza una cantidad u3

Es decir:

3 2

u < < Puesto que K1 > K2 > K3 (1.10)

Luego el marco más rígido se desplaza menos para la misma carga horizontal Se verifica que el desplazamiento horizontal es inversamente proporcional a la rigidez lateral del marco

Figura 1.5 Influencia de la rigidez lateral en el nivel de desplazamientos laterales

1.3.2 METODO DE LA RIGIDEZ BASAL

Afectos del diseño estructural no solo es necesario conocer el desplazamiento que experimenta el diafragma horizontal, si no que interesa saber cuanta fuerza de corte toma cada una de las columnas del marco

Para poder definir el valor de las fuerzas de corte que toma cada una de las columnas analicemos las ecuaciones de equilibrio (1.12), constitutivas (1.13 y 1.14) y de compatibilidad de desplazamientos (1.15):

F = ⋅ (1.13)

2 2

F = ⋅ (1.14)

u1 = u2 = ∆ (1.15) Reemplazando (1.13), (1.14) y (1.15) en (1.12) se tiene:

[ 1 2]2

1 2 2 1 1 2 1

k k

F k

k u k u k F

=

⋅ +

⋅

= +

1 1

1 1

1 (1.17)

k k

2 2

2 2

2 (1.18)

Luego cada columna toma una fuerza de cortante proporcional a su rigidez, es decir, la columna con mayor rigidez toma más carga

F k

b

Q F

F

F = 1+ 2 = (1.20)

3 1

3

H

EI 96 2

H

EI 12

k

2 1

2 1

2

9

8 Q k k

Un buen diseño sismorresistente debe considerar este distribución de esfuerzos y considerar esta condición en el diseño estructural para evitar modos de falla indeseables

Figura 1.6 Marco plano con columnas de diferente rigidez al corte

1.4 COMPORTAMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA MECANICO

Figura 1.7 (a) Modelo conservativo; (b) Modelo amortiguado; (c) Modelo sísmico

Inicialmente se estudia el modelo dinámico de péndulo invertido de la figura 1.7

Si dicho modelo se desplaza de su posición inicial y se lleva a una nueva posición

de equilibrio alejada en una unidad u ( t = 0 ) = 1 con respecto a la posición inicial

y luego se suelta con una velocidad inicial u & ( t = 0 ) ≠ 0, el péndulo oscilaría con respecto a su posición de equilibrio inicial en un movimiento que se le conoce

como vibración libre no amortiguada, (ver figura 1.8) Evidentemente este es un

caso teórico que sirve solamente para definir las características dinámicas del sistema Este tipo de respuesta, no es realista ya que, intuitivamente se espera que la amplitud de las oscilaciones disminuya poco a poco hasta detenerse por completo

Con el objeto de introducir este fenómeno (disminución paulatina de la amplitud del movimiento) al péndulo invertido se le agrega un elemento que disipe energía Normalmente se utiliza un amortiguador del tipo viscoso, es decir, se asume que la disipación de energía se produce mediante fuerzas de amortiguamiento proporcionales con la velocidad, en conformidad con la hipótesis de Voight BARBAT (1983)(1)

El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por

varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente

Finalmente el modelo de la figura 1.7 (c) corresponde al caso de análisis sísmico,

en donde la excitación se caracteriza por su registro de aceleraciones a( ), o por el registro de velocidades v( ) o por el registro de desplazamientos d( )del suelo

Figura 1.8 Vibración libre no amortiguada

En la figura 1.8, se define:

A: amplitud del movimiento, que depende de las características mecánicas del

péndulo y de las condiciones iniciales

T: periodo (s), que depende de las características de masa y rigidez del péndulo

“El equilibrio dinámico del sistema queda garantizado, si en cada instante todas las fuerzas que actúan sobre el sistema, incluso las fuerzas de inercia (ficticia), están en equilibrio estático”

Cuando al sistema de un grado de libertad se le aplica una carga externa dinámica F (t ), la masa sufre un desplazamiento lateral u (t ) el cual representa la deformación que sufre la estructura

Puesto que la fuerza externa varía con el tiempo, el desplazamiento también cambiará en el tiempo

Las fuerzas involucradas en el equilibrio del sistema son: la fuerza dinámica externa F (t ), la fuerza elástica resistente FE(t ) que es la fuerza que las

columnas ejercen sobre la masa cuando ésta se mueve, la fuerza de amortiguamiento FA(t ) que es la fuerza que ejerce el amortiguador sobre la

masa y la fuerza de inercia FI(t )

Las fuerzas de inercia, de amortiguamiento y elásticas son función del movimiento

de la masa, o sea son función de la aceleración, de la velocidad y del desplazamiento de la masa, respectivamente

De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza de inercia que se desarrolla en

la masa m es directamente proporcional a la aceleración total de la misma, es decir:

Donde k es la rigidez lateral del sistema y u (t ) es el desplazamiento relativo

entre la masa y el suelo

Substituyendo las fuerzas F I , F A , F E en la ecuación de equilibrio dinámico, se

obtiene:

) ( ) ( )

( )

En el caso de una excitación sísmica, no existe una fuerza externa que esta aplicada a la masa del sistema en forma directa, sino que la única solicitación al sistema es la debida a la aceleración del suelo sobre el cual se encuentra la estructura Como resultado de esta excitación la base de la estructura tiene una aceleración ag(t ) y a su vez la estructura se deforma en una cantidad u (t ) El

equilibrio dinámico impone que:

( ) ( )

( )

u

Siendo esta la ecuación del movimiento que gobierna la respuesta de un sistema

de un grado de libertad amortiguado sometido a un movimiento sísmico

2.2 OSCILACION LIBRE NO AMORTIGUADA

Las características dinámicas de un sistema estructural de un solo grado de libertad se definen analizando la vibración libre no amortiguada La ecuación de movimiento correspondiente a este caso (sistema conservativo) se obtiene directamente despreciando los términos asociados a la excitación externa F (t ) y

la fuerza de amortiguamiento viscoso en (2.4), resultando:

0 ) ( )

⋅ u t k u t

m & & (2.7) Dividiendo por la masa de la estructura, resulta:

)

( t = C ⋅ sen ω ⋅ t + ϕ

u

(2.11)

Figura 2.1 Oscilador libre no amortiguado

Donde C corresponde a la amplitud del movimiento, ϕ es el ángulo de desfase y

)

(2.13)

⋅ ω

=

ϕ (2.14) Matemáticamente el periodo natural de vibración de un sistema no amortiguado se define por:

k

m

f π ω

π

21

Figura 2.2 Calculo del periodo

Por equilibrio de fuerzas horizontales:

M T

g M

ω π

(2.17)

Esto permite concluir que las estructuras más deformables (>∆⇒<k) tendrán un periodo de vibración mas largo que las estructuras menos deformables (rígidas)

Volviendo al problema de vibraciones libres no amortiguadas, sigamos un ciclo de vibración de la estructura, ver figura 2.3 En la posición 1 el desplazamiento de la masa es nulo luego se mueve hacia la derecha hasta que llega al máximo desplazamiento en la posición 2

A partir de este punto el desplazamiento disminuye y regresa a su posición de equilibrio en la posición 3, continúa moviéndose hacia la izquierda hasta alcanzar

el máximo desplazamiento de ese lado en la posición 4 Después de este punto la masa comienza de nuevo a desplazarse hacia la derecha hasta alcanzar nuevamente la posición de equilibrio en la posición 5 Así pues un ciclo completo

de movimiento (periodo) está dado por las posiciones 1-2-3-4-5 En la posición 5 el estado del sistema (desplazamiento y velocidad) son los mismos a la posición 1,

en la cual la estructura está lista para iniciar un nuevo ciclo

Figura 2.3 Periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad

2.3 OSCILACION FORZADA NO AMORTIGUADA

Consideremos que no existe amortiguamiento estructural en el sistema y que aplicamos una fuerza del tipo armónica de duraron indefinida sobre el mismo La ecuación que describe el movimiento del sistema, se puede expresar por:

) t ( sen F ) t ( F ) t ( u k )

t

(

u

m ⋅ & & + ⋅ = = 0 ⋅ ϖ ⋅ (2.18)

Siendo ϖ la frecuencia de excitación asociada a la fuerza aplicada La solución

al problema tiene dos términos una solución homogénea ug( t ) y otra particular

up = ⋅ ϖ ⋅ (2.20)

Figura 2.4 Oscilador no amortiguado con fuerza externa armónica

Sustituyendo en la ecuación de movimiento, se tiene:

t sen F t sen A k t sen A

m − ϖ ⋅ ϖ ⋅ + ⋅ ⋅ ϖ ⋅ = ⋅ ϖ ⋅ (2.21)

) 1 ( 1

2 0

2 2 0 2

0

α ω

⋅

−

=

k F k

F k

1

(

)()1()()1()

(

2

2 0

2 0

t sen

u

t sen k

F t

sen k

F t

ϖ α

u E = 0 , representa al desplazamiento horizontal estático del péndulo

Finalmente la respuesta total del sistema puede evaluarse como la suma de la respuesta homogénea más la solución particular:

)()1

)()

()1

(

)

(

0 0

2

t u

t sen

u

t sen t

ω

ω α

ϖ α

t

u()= ⋅ (2.28)

)1

En donde se define el factor de amplificación dinámica (FAD):

Cuando α →1⇒ϖ ≅ω ⇒FAD→±∞ “ocurre resonancia”

Cuando α →0⇒ϖ →0⇒FAD→0 “se obtiene la respuesta estática” Cuando α →∞⇒ϖ →∞⇒FAD→1 “el oscilador no responde”

Lo anterior permite reafirma el echo que la estructura se comporta como un filtro

de frecuencias, dependiendo su respuesta de la razón de frecuencias α OLLER (1995) (5), BARBAT (1983)(1)

En la figura 2.5 se presenta la grafica del factor de amplificación dinámica FAD,

en donde se han dibujado por separado las curvas asociadas a la frecuencia de excitación ϖ, a la frecuencia natural ω y la suma de ambas ecuación (2.29)

Para obtener el valor máximo del factor de amplificación dinámica, se debe

derivar la expresión (2.29) e igualarla a cero para despejar el tiempo al cual este valor se hace máximo, sin embargo, esto resulta en una operación engorrosa, siendo mas fácil graficar la respuesta y leer en forma directa desde el grafico el valor máximo

2.4 OSCILACION LIBRE AMORTIGUADA

En este caso la ecuación de movimiento que representa al sistema, se puede escribir como:

0

=

⋅ +

k u

En donde el valor critico del coeficiente de amortiguamiento ccr, se define por:

m k m

c c

c

m

c

cr cr

t

u ( ) = ⋅ λ⋅

1 )

( = ⋅ λ⋅t ⋅ λ ⋅

e C

t

u& (2.34)

1 )

( = ⋅ λ ⋅t ⋅ λ2⋅

e C

Luego, la solución general, viene dada por la superposición de las dos soluciones,

en donde las constantes de integración C1 y C2 son dependientes de las condiciones iniciales:

e C e C

t

2 1

)

( λ λ (2.37)

Según sea ξ, se tiene:

• [ ξ2 − 1 ] < 0 ⇒ ξ < 1 El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente y es denominado amortiguamiento subcrítico

• [ ξ2 − 1 ] = 0 ⇒ ξ = 1 El sistema retorna a su posición inicial de

equilibrio sin oscilar y se denomina amortiguamiento crítico

• [ ξ2 − 1 ] > 0 ⇒ ξ > 1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente y es denominado amortiguamiento supercrítico

2.4.1 AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO: (ξ = 1)

En este caso las dos raíces de la ecuación característica son iguales:

ω ω ξ λ

λ1 = 2 = − ⋅ = − (2.39)

Para que la solución sea independiente debe tener la siguiente forma:

t t

e t C C e

t C e C

t

u ( ) = 1⋅ λ1⋅ + 2⋅ ⋅ λ2⋅ = 1 + 2⋅ ⋅ −ω⋅ (2.40) Imponiendo condiciones iniciales, se tiene:

[ ] t t

e t u t e

En figura 2.5, se presenta el movimiento no oscilatorio (ξ = 1) asociado a las

siguientes condiciones iniciales, u0 = 1cm y u&0 = 3

2.4.2 AMORTIGUAMIENTO SUPERCRITICO: (ξ > 1)

En este caso, las dos raíces de la ecuación característica son diferentes, obteniéndose:

t t

e C e C

t

u = ⋅ 1⋅ + ⋅ 2⋅

2 1

)

( λ λ (2.42)

Aplicando las condiciones iniciales, se llega a:

1 2

0 2 0

1

) (

λ λ

0 1 0

2

) (

λ λ

ω

λ1 , 2 = ⋅− ±i⋅ 1− 2= ±i⋅ (2.45)

La solución general al problema es:

t i t

i

e C e

C e

C e C

t

2 ) ( 1 2

cos( x i sen x

ei⋅x = + ⋅

) ( )

e C

⋅ β

⋅

−

⋅ β

⋅

⋅

+

⋅ β

⋅ +

⋅ β

γ

(2.49)

2 1

B = + (2.50)

1 2

2 1 2

1

2 1

ξ ω

π ξ

1 cos )

ξ ω

ξω ξ

Figura 2.6 Sistema con amortiguamiento subcritico, con fracciones de

amortiguamiento del 10% y del 20%

Los valores de la fracción de amortiguamiento determinados para distintos tipos de estructuras son muy variados y exhiben una gran dispersión, ver tabla 2.1

Tabla 2.1: Fracciones del amortiguamiento critico para diferentes tipos de construcciones

Tipo de Estructura ξ% de amortiguamiento

Figura 2.9 Influencia del amortiguamiento estructural en la respuesta

2.5 CONCEPTOS BASICOS DE DISIPACION DE ENERGIA

Consideremos inicialmente un sistema conservativo, en dicho sistema la energía total en todo instante se mantiene constante, es decir, no existe disipación de energía:

) ( ) ( )

E = K + P = (2.55)

2

1 2

1

)

Cuando:

2 max

2

1 ) ( ) (

u

2 max

2

1 ) ( ) (

m u

k Cte

t

2

1 2

1 )

Veamos a continuación el problema de un sistema general (ya no necesariamente elástico) que disipa energía (por amortiguamiento viscoso y por histéresis) Consideremos que actúa una acción sísmica en la base del péndulo La ecuación energética puede obtenerse integrando la ecuación de movimiento de un sistema inelástico de un grado de libertad, el hecho que el sistema sea inelástico hace que las fuerzas internas fs( u u , & ) sean una función de los desplazamientos y las velocidades:

) ( )

, ( ) ( )

u

du t u m du

u u f du t u c du t