Dinamica de estructuras

DINAMICA DE ESTRUCTURAS Patricio Cendoya Hernández pcendoya@udec.cl Departamento de Ingenieria Civil Universidad de Concepción PRESENTACION El presente texto de apoyo a la docencia constituye un complemento a las clases teóricas y practicas del curso de Dinámica de Estructuras que semestre a semestre se dicta en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Concepción Consta de Capítulos, partiendo un Capitulo inicial que sirve de introducción para definir los conceptos básicos y la nomenclatura involucrada en el análisis dinámico de estructuras El Capitulo desarrolla la ecuación que define el equilibrio dinámico de sistemas de un grado de libertad masa concentrada y analiza la respuesta dinámica para distintos tipos de excitaciones que tienen una representación analítica y para las cuales es posible obtener una solución cerrada a la ecuación de movimiento En el Capitulo 3, se introduce el análisis para cargas del tipo arbitrario como ser las asociadas a los fenómenos del tipo sísmico, colocando énfasis en el cálculo de la respuesta mediante la utilización de la integral de Duhamel y la utilización métodos de integración temporal del tipo paso a paso En el Capitulo 4, se presentan una serie de problemas en donde se aplican y mezclan los conceptos básicos de la dinámica de estructuras asociados a sistemas de un grado de libertad En el Capitulo 5, se entregan los conceptos básicos asociados a sistema de n grados de libertad y como abordar el análisis de este tipo de estructuras En el Capitulo 6, se presentan ejemplos resueltos de sistemas de n grados de libertad sometidos a diversos tipos de cargas dinámicas Finalmente en el Capitulo se desarrolla el análisis de sistemas masa distribuida utilizando el concepto de coordenada generalizada, dicho capitulo se complementa ejercicios sobre el tema La publicación de este texto complementa el estudio de los libros clásicos de Dinámica de estructuras (CHOPRA (1995) (3 ) , CLOUGH y PENZIEN (1982) (4 ) , (6 ) PAZ (1992) ) y ayuda a la comprensión de los mismos Patricio Cendoya Hernández Ingeniero Civil (U de Concepción) Dr Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos (U Politécnica de Catalunya) Índice Capítulo 1: Conceptos básicos .1 1.1 Introducción 1.2 Grados de libertad 1.3 Modelo mecánico 1.3.1 Rigidez equivalente 1.3.2 Método de la rigidez basal .8 1.4 Comportamiento general de un sistema mecánico 11 Capítulo 2: Ecuación de movimiento en sistema de GDL 14 2.1 Introducción 14 2.2 Oscilación libre no amortiguada 16 2.3 Oscilación forzada no amortiguada .20 2.4 Oscilación libre amortiguada 22 2.4.1 Amortiguamiento critico 24 2.4.2 Amortiguamiento supercrítico 25 2.4.2 Amortiguamiento subcritico 26 2.5 Conceptos de disipación de energía .29 2.6 Oscilación forzada no amortiguada carga constante 32 2.7 Oscilación forzada amortiguada .36 2.8 Aislamiento de vibraciones: respuesta al movimiento de la base 40 Capítulo 3: Excitación arbitraria 43 3.1 Respuesta a movimientos sísmicos 43 3.2 Oscilación forzada bajo carga no armónica 45 3.3 Espectro de respuesta sísmico .47 3.4 Integración de ecuación de movimiento 50 3.4.1 Solución explicita .51 3.4.2 Solución implícita .53 Capítulo 4: Ejemplos sistemas de GDL 59 4.1 Aplicaciones 59 4.1.1 Marco sometido a carga impulsiva rectangular 59 4.1.2 Marco sometido desplazamiento de su base 63 4.1.3 Marco sometido a carga impulsiva triangular 67 Capítulo 5: Sistemas de n GDL 71 5.1 Introducción 71 5.2 Propiedad de ortogonalidad de los modos .76 5.3 Ecuaciones desacopladas .78 5.4 Normalización de la matriz modal 81 5.5 Masa equivalente 82 5.6 Método de superposición modal Análisis de sensibilidad 84 5.7 Ventajas y desventajas del anales modal 85 5.8 Efecto del amortiguamiento 86 Capítulo 6: Aplicaciones a sistemas de n GDL 90 6.1 Ejemplos 90 6.1.1 Marco de tres niveles sometido a un espectro de velocidades 90 6.1.2 Marco de dos niveles sometido a espectro de aceleraciones 100 6.1.3 Marco de tres niveles análisis de piso blando 106 6.1.4 Marco de dos niveles aceleración basal 111 Capítulo 7: Sistemas generalizados 115 7.1 Sistemas masa y elasticidad distribuida 115 7.1.1 Chimenea masa distribuida .119 Capítulo 8: Referencias 122 CAPITULO CONCEPTOS BASICOS 1 INTRODUCCION La dinámica de estructuras es aquella parte de la mecánica aplicada que desarrolla métodos para el estudio del comportamiento de estructuras sujetas a la acción de vibraciones, BARBAT (1983) (1) El estudio de la dinámica de los cuerpos deformables, puede realizarse desde dos enfoques: uno denominado determinista en el cual a través de las ecuaciones de la mecánica clásica aplicada sobre un modelo estructural continuo o discreto obtiene la solución analítica o numérica a las ecuaciones que gobiernan el problema Otro enfoque es el denominado no-determinista (estocástico-aleatorio) que toma en cuenta la aleatoriedad de las cargas y del comportamiento mecánico de los materiales, dicho enfoque no se aborda en estos apuntes, siendo este ultimo el más próximo a la realidad en el caso sísmico Una carga estática es aquella cuyo valor no cambia el tiempo Un ejemplo de carga estática lo representan las cargas muertas (por ejemplo el peso propio de la estructura) ya que estas permanecen constantes el paso del tiempo Una carga o excitación dinámica es aquella cuya intensidad es función del tiempo, un sismo por ejemplo se puede representar como una fuerza del tipo dinámico que actúa sobre la estructura durante la duración del movimiento sísmico Cualquier estructura elástica sujeta a la acción de una carga dinámica se comporta como un sistema oscilante Una de las diferencias entre un problema estático y uno dinámico es la variación en el tiempo de la respuesta, lo que hace que el problema dinámico no tenga solamente una solución Al contrario, el análisis entrega una solución en cada instante de tiempo t , t ,K , t n Las principales fuentes de fenómenos vibratorios que pueden afectar a las estructuras son entre otros: • Las maquinarias y las instalaciones cuyo funcionamiento implica la presencia de masas en desequilibrio Las vibraciones causadas por las maquinarias en funcionamiento afectan principalmente a las estructuras soportantes, a sus fundaciones y a estructuras y equipos ubicados en las cercanías • Vehículos en movimiento • Sismos, explosiones • La acción del viento 1.2 GRADOS DE LIBERTAD Para poder estimar la respuesta dinámica de una estructura real es necesario aplicar simplificaciones conceptuales para reducirla a una estructura ideal (modelo mecánico) a partir del cual se construye un modelo matemático que describe cuantitativamente la respuesta de la estructura idealizada Calcular la respuesta dinámica implica establecer dicha respuesta en cada uno de los puntos de la estructura, es decir, en una infinidad de puntos si se considera el hecho real que esta es un medio continuo Dicho de esta forma el problema se transforma en insoluble, para facilitar él cálculo numérico se define un número finito de puntos representativos de la estructura en donde se plantea y formula el problema Esto se realiza mediante un procedimiento denominado discretización BARBAT (1983) (1) Entre los métodos más utilizados para realizar esta operación, se tienen: • El método de las masas concentradas • El método de los desplazamientos generalizados • El método de los elementos finitos Cada uno de estos métodos se aplica en función del tipo de estructura que se utiliza Uno de los métodos más empleados para estimar la respuesta dinámica es el de las masas concentradas, el cual supone que la masa se concentra en una serie de puntos previamente seleccionados, de tal forma que el modelo mecánico resultante sea capaz de proporcionar una descripción aproximada del movimiento de la estructura real Cada una de las masas concentradas describe el moviendo generado por el efecto de las fuerzas de inercia que aparecen en el modelo mecánico durante su vibración El número total de componentes de los desplazamientos en los cuales las masas concentradas vibran respecto a sus posiciones originales, se denomina número de grados de libertad dinámica del modelo El número de grados de libertad dinámica de una estructura se puede también definir como él número mínimo de desplazamientos que se tienen que conocer para definir por completo la deformada de la estructura en cada instante durante su vibración Una vez obtenida la deformada de la estructura en cada instante del movimiento, es decir, la descripción de los desplazamientos es posible conocer las deformaciones, tensiones y esfuerzos que se desarrollan en la estructura en el tiempo La identificación de los grados de libertad dinámica de una estructura necesita mucha rigurosidad, ya que tiene gran influencia sobre el resultado del cálculo dinámico El método de las masas concentradas, resulta eficaz en aquellas estructuras en las cuales una gran parte de su masa está realmente concentrada en puntos discretos 1.3 MODELO MECANICO El modelo mecánico más sencillo que permite idealizar el comportamiento de una estructura de un grado de libertad, está constituido por una masa soportada por un elemento de rigidez K Por ejemplo si en el marco plano de nudos rígidos de la figura 1.1, se considera que es despreciable la deformación axial de las columnas y que el elemento horizontal que las une es indeformable (es decir, dicho elemento se comporta como un diafragma rígido), la posición del sistema en cualquier instante del tiempo puede ser definida por una única coordenada que corresponde al desplazamiento horizontal del diafragma rígido, que en el modelo mecánico corresponde al centro de masas de la masa concentrada Alternativamente la estructura de la figura 1.1, se puede idealizar como un carro ruedas sin roce el suelo, de masa m y un resorte sin masa de rigidez horizontal K , tal como se indica en figura 1.2 En ambos casos, las características mecánicas asociadas a la disipación de energía del sistema se pueden caracterizar a través de la inclusión de un amortiguador del tipo viscoso constante de amortiguamiento c Figura 1.1 Marco plano nudos rígidos y modelo mecánico asociado Ambos modelos suponen que la masa de la estructura se concentra a nivel del diafragma horizontal el cual efectos del análisis dinámico se considera rígido (indeformable) y que se desplaza paralelamente respecto a la dirección horizontal, imponiendo igualdad de desplazamiento en todos los elementos verticales que se conectan a ella Figura 1.2 Modelo mecánico de un sistema de un grado de libertad 1.3.1 RIGIDEZ EQUIVALENTE En una columna de sección constante que sufre un desplazamiento horizontal ∆ i sin giro de nudos y que se deforma solo por flexión base empotrada la rigidez vale: ki = 12 ⋅ EI h3 (1.1) Físicamente k i representa la fuerza horizontal necesaria que hay que aplicar a nivel de diafragma horizontal en la dirección horizontal para producir un desplazamiento unitario sin giro en el nudo que conecta la columna el diafragma En el caso que la no existiera empotramiento, si no que la base de la columna estuviera un apoyo fijo la rigidez lateral k i de la columna i se reduce a: ki = ⋅ EI h3 (1.2) Se debe señalar que los diafragmas horizontales aparte de resistir solicitaciones verticales de peso propio y sobrecargas transmiten fuerzas horizontales de inercia, imponiendo igualdad de deformaciones a nivel del diafragma horizontal y produciendo fuerzas de corte proporcionales a la rigidez horizontal de cada una de las subestructuras verticales conectadas a ella Por ejemplo, el marco plano de la figura 1.3 consta de “n” columnas empotradas en su base y conectadas rígidamente a nivel del diafragma superior Bajo la hipótesis de diafragma horizontal rígido el desplazamiento horizontal de cada una de las columnas es el mismo, es decir: 10 Para un movimiento armónico, las velocidades máximas son proporcionales al desplazamiento máximo por la frecuencia ( ω y i ) Por lo tanto el valor de la energía cinética máxima seria: max E cin = W1 W2 Wn ( ωy ) + ( ωy )2 + + ( ωy n )2 g g g (7.27) Puesto que la energía se conserva existe igualdad la energía potencial máxima y cinética, aunque ocurran en instantes diferentes (energía potencial máxima cuando el desplazamiento es máximo ( y& = ) y energía cinética máxima cuando la velocidad es máxima ( y = )) max max E cin = E pot (7.28) n ω= g( W1 y + W2 y + + W n y n ) W1 y12 + W y 22 + + W n y g ∑ Wi y i = i =1 n ∑W i y i2 i =1 (7.29) Que corresponde a la ecuación de Rayleigh, para determinar la frecuencia fundamental en un sistema masas distribuidas 7.1.1 EJEMPLO DE APLICACIÓN Una chimenea de hormigón ( E = 20.000MPa ) de 31 m de altura y sección circular tubular, se encuentra inicialmente en reposo Se desea analizar el comportamiento de dicha estructura cuando se somete a un espectro de aceleraciones definido por (g=9.8 m s2 y ξ = 5% ), ver figura 6.9: S a ( T , ξ = 5%) = ( ⋅ T + 0.2 ) ⋅ g , si ≤ T ≤ 0.1 S a ( T , ξ = 5%) = 0.4 ⋅ g , si 0.1 ≤ T ≤ 0.3 179 S a ( T ,ξ = 5%) = ( 0.475 − 0.25 ⋅ T ) ⋅ g , si T ≥ 0.3 La estructura puede considerarse paredes de espesor uniforme de 10 cm y un radio exterior de 80 cm La masa por unidad de longitud es constante y vale 2500 kg m Figura 7.2 Chimenea Se pide responder a las siguientes preguntas cuando se considera una función de forma igual a Ψ ( x) = x2 para describir el movimiento: L2 Definir la ecuación de movimiento del sistema Estimar el periodo fundamental utilizando el coeficiente de Rayleigh Estimar el desplazamiento del extremo libre u ( x = 31, t ) m para la excitación definida por el espectro de aceleraciones 180 Dibuje la distribución de fuerzas estáticas equivales que actúan sobre la estructura, cuando se somete a la excitación definida por el espectro de aceleraciones Solución: Propiedades del sistema: A = π ⋅ (0.82 - 0.72) = 0.471 [m2] I0 = π π ( D − d ) = (1.6 − 1.4 ) = 2.13 4 [m ] m(x) = m = 2500 Kg/m L = 31 m 10 E= ⋅ 10 ψ ( x) = [N / m ] x2 2x ⇒ ψ' ( x) = ⇒ ψ' ' ( x) = 2 L L L Propiedades generalizadas:  x2  mx m = ∫ m( x) [ψ ( x)] dx =m ∫   dx = L  5L o o  L L L L L = mL = 15500 [Kg ] (7.30) L EIx EI 2 k = ∫ EI ( x) [ψ ' ' ( x)] dx = EI ∫   dx = = = 5.719 ⋅ 10 [N / m ] L L o o L  (7.31) L L x2 mx L = ∫ m( x) ψ ( x )dx = m ∫ dx = L 3L o o L = mL = 25833.3 [Kg ] 181 (7.32) La ecuación de movimiento en función de las propiedades generalizadas es: m ⋅ &z&(t ) + k ⋅ z (t ) = − L ⋅ u&&g (7.33) d 2u g d2 z (t ) + 368.97 z (t ) = −1.67 ⋅ dt dt (7.34) Estimación de la frecuencia del sistema utilizando el coeficiente de Rayleigh: ωn = k = m 20 EI = 19.21 [rad / s ] , mL4 donde k y m , fueron calculados anteriormente T= 2π 2π = = 0.33 [s ] ω 19.21 Para el periodo obtenido: [ Sa = (0.475 − 0.25 ⋅ 0.33) ⋅ 9.8 = 3.864 m / s ] Sd = Sa / ω = 0.0104 [m] El desplazamiento máximo del extremo libre se obtiene como: z max = Γ ⋅ Sd = 1.67 ⋅ 0.0104 = 0.0174 [m] Donde Γ = L =1.67 m Además se conoce que: 182 u ( x, t ) = x2 z = 1.81 ⋅ 10 −5 x [m] max L [ ] Así: u (31 , t ) = u max = 0.0174 m (7.35) (7.36) La distribución de fuerzas estáticas se determina como: [ ] F ( x ) = ω ⋅ m( x ) ⋅ u ( x, t ) = 16.69 x [N ] (7.37) 183 CAPÍTULO ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 8.1 INTRODUCCIÓN Dentro de los métodos de análisis dinámico de sistemas, es posible realizar dos tipos de análisis para determinar su comportamiento y características dentro de un periodo de tiempo finito esto es a través de realizar un análisis en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia 8.2 CONTENIDO DE FRECUENCIA Debido a la naturaleza dispersiva que viajan las ondas en medios elásticos, que se manifiestan las diferentes velocidades en que se trasladan los distintos tipos de ondas sísmicas en un terremoto, el contenido de frecuencia de un acelerograma nos muestra una evolución temporal que describe el desfase en la llegada de las ondas sísmicas sus diferentes frecuencias Se observa también de los registros de aceleraciones que las ondas de periodos cortos llegan al 184 comienzo y las de periodos más largos lo hacen al final Estas características hacen necesario estudiar el contenido de frecuencias tanto en su estructura como en su evolución lo cual es una forma de representar los sismos Además, en ciertas situaciones es más conveniente utilizar el análisis en el campo de la frecuencia, porque se puede llegar más rápido a la obtención de la respuesta en comparación las técnicas numéricas presentadas para el cálculo en el campo del tiempo Para conocer el contenido de frecuencias dentro de un acelerograma de un sismo cualquiera y transformar el análisis en el campo de la frecuencia para la ecuación diferencial lineal que describe el fenómeno vibratorio es común utilizar la transformada de Fourier y su inversa 8.3 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA DINÁMICO Si se considera un sistema dinámico como el mostrado en la figura 8.1 cuya respuesta x(t) es producida por un movimiento sísmico del terreno de aceleración a(t) c a(t) m x k Figura 8.1 Modelo sísmico un grado de libertad Donde m representa la masa del sistema, c la razón de amortiguamiento del sistema, k la rigidez del sistema y x la coordenada del eje x La ecuación 185 diferencial que rige el movimiento del sistema bajo la hipótesis de invariancia temporal es decir si la respuesta a una excitación a(t) es x(t) y para una excitación a(t+t0) se traslada t0 proporciona una respuesta x(t+t0) t0 como una constante arbitraria es m&x&(t ) + cx& (t ) + kx (t ) = − ma(t ) = f (t ) (1) La ecuación (1) esta expresada en el dominio del tiempo para llevar tal ecuación al dominio de la frecuencia se utiliza a transformada de Fourier, en el caso particular la excitación f(t) y para la respuesta x(t) estas vienen definidas por: ∞ F (θ ) = ∫ ∞ f (t ) ⋅ e −iθt dt = − m ∫ a (t ) ⋅ e −iθt dt = − mA(θ ) −∞ (2) −∞ ∞ X (θ ) = ∫ x(t ) ⋅ e − iθt dt (3) −∞ En donde θ es la frecuencia de excitación del sistema y A(θ) la transformada de Fourier de la aceleración sísmica a(t) Considerando que en la Ingeniería Sísmica las sales de excitación y respuesta f(t) y x(t), respectivamente son finitas, continuas y acotadas, las integrales de (2) y (3) y sus respectivas transformadas de Fourier existen, por lo cual siempre pueden ser evaluadas Lo mismo ocurre respecto a las transformadas inversas de Fourier las cuales se definen por x (t ) = f (t ) = 2π 2π ∞ ∫ X (θ ) ⋅ e iθt dθ (4) iθt dθ (5) −∞ ∞ ∫ F (θ ) ⋅ e −∞ La función de transferencia o función del sistema H(θ), formulada en el campo complejo de la frecuencia se expresa en la forma: 186 H (θ ) = X (θ ) F (θ ) (6) Por consiguiente, la respuesta compleja en frecuencias se expresa en la forma X (θ ) = H (θ ) ⋅ F (θ ) = H (θ ) ⋅ − m ⋅ A(θ ) = − m ⋅ H (θ ) ⋅ A(θ ) (7) Donde (7) no es más que el producto de la transformada de Fourier de la excitación y de la función de transferencia del sistema 8.4 Respuesta a una excitación cualquiera Si el sistema de la figura esta sometido a una acción sísmica cualquiera, definida por su aceleración a(t) La respuesta en desplazamiento del sistema se obtiene aplicando la transformada de Fourier a la ecuación (1) ∞ ∞ ∫ (m&x&(t ) + cx& (t ) + kx(t ) ) ⋅ e − iθt ⋅ dt = − m ⋅ ∫ a(t ) ⋅ e −iθt dt −∞ (8) −∞ Se supone que el sistema se encuentra inicialmente en reposo, se obtiene ecuación lineal de coeficientes complejos [− m ⋅ θ ] + iθ ⋅ c + k X (θ ) = − m ⋅ A(θ ) = F (θ ) (9) En donde A(θ) es la transformada de Fourier de la aceleración del terreno y X(θ) la transformada de Fourier de la respuesta Utilizando (9) la respuesta en el campo complejo de la frecuencia se puede expresar de la siguiente manera: X (θ ) = − m ⋅ A(θ ) F (θ ) = 2 − m ⋅ θ + iθ ⋅ c + k − m ⋅ θ + iθ ⋅ c + k (10) 187 De la comparación de (7) (10), resulta que en el caso dinámico más general, la función de transferencia compleja de un sistema de un solo grado de libertad adopta la expresión H (θ ) = − m ⋅θ + i ⋅ θ ⋅ c + k (11) Que puede escribirse como H (θ ) = m(−θ + i ⋅ ⋅ ξ ⋅ θ ⋅ ω + θ ) (12) En (11) se han utilizado las expresiones c = ⋅ξ ⋅ω ⋅ m Donde ω es la frecuencia del sistema y y ξ ω2 = k m la fracción del amortiguamiento critico Al utilizar la representación polar de números complejos, la función de transferencia compleja la podemos expresar como: H (θ ) = H (θ ) ⋅ e −iϕ (13) Cuyo modulo es definido por: H (θ ) = (ℜ[H (θ )])2 + (ℑ[H (θ )])2 (14) Mientras que el ángulo de fase de la función de transferencia también conocido como ángulo de fase de Fourier vale: 188 tan(ϕ ) = ℑ(H (θ )) ℜ(H (θ ) ) (15) En el caso sísmico, la función de transferencia compleja de un sistema un grado de libertad se escribirá, de acuerdo a (12), en la forma H (θ ) = (−θ + i ⋅ ⋅ ξ ⋅ θ ⋅ ω + θ ) (16) Otra forma de llegar a la expresión (11) es utilizar dos funciones f1(t) y f2(t) cuyas transformadas de Fourier son respectivamente F1(θ) y F2(θ) Se define como integral de convolución la expresión: t t 0 f (t ) = ∫ f1 (τ ) ⋅ f (t − τ )dτ = ∫ f1 (t − τ ) f (τ )dτ * (17) El teorema de Duhamel (llamado también teorema de Bohel) afirma que la transformada inversa del producto de dos transformadas de Fourier es igual a la integral de convolución de las inversas de las dos transformadas: t +∞ F ( θ ) F ( θ ) d θ = ∫ ∫f1(τ) f2 ( t 2π ∞ t τ)dτ = ∫f1(t τ) f2 ( τ)dτ = f * ( t ) (18) En conformidad este teorema, la respuesta en el dominio del tiempo del sistema analizado se puede expresar a partir de la ecuación (3) de la siguiente manera: x (t ) = 2π ∞ iθt ∫ X (θ ) ⋅ e dθ = −∞ ∞ −m H (θ ) ⋅ A(θ ) ⋅ eiθt dθ = ∫ 2π − ∞ 189 t t 0 = − m ∫ f (τ ) ⋅ a(t − τ )dτ = − m ∫ f (t − τ ) ⋅ a(τ )dτ (19) Para conocer la solución x(t) la ecuación (19) es necesario conocer la función del sistema f(t) en el campo del tiempo La transformada de Fourier de esta función se puede obtener sin aplicar dicha transformada a cada término de la ecuación (1) Esto se realiza considerando que sobre el sistema actúa una excitación armónica de frecuencia θ, definida por la expresión: − m ⋅ a(t ) = −m ⋅ eiθt (20) La excitación se considera de duración infinita: t ∈ ( −∞, +∞ ) Con esto la ecuación (19) proporciona el siguiente resultado: ∞ ∞ x(t ) = −m ∫ f (τ ) ⋅ eiθ (t −τ ) dτ = −m ⋅ eiθt ∫ e − iθτ ⋅ f (τ )dτ −∞ (21) −∞ Si se tiene en cuenta que: ∞ ∫e − iθτ ⋅ f (τ )dτ = H (θ ) (22) −∞ resulta: x(t ) = − m ⋅ H (θ ) ⋅ eiθt (23) Esta ecuación expresa el hecho de que la respuesta del sistema producida por la excitación armónica es igual al producto entre la excitación armónica y la función del sistema en el campo complejo H(θ) Resulta que la función H(θ) se puede obtener sustituyendo (20) en la ecuación de movimiento (1): θ ⋅ m ⋅ H (θ ) ⋅ eiθt − θ ⋅ c ⋅ m ⋅ H (θ ) ⋅ eiθt − m ⋅ k ⋅ H (θ ) ⋅ eiθt = −m ⋅ eiθt (24) 190 De donde: = m θ +i θ c +k = m + i θ m ξ ω + m ω2 H(θ ) = θ 2 k θ2 +2 i ξ ω2 θ +1 ω (25) Es la misma expresión que (11) En los diagramas siguiente se observan los pasos para resolver los problemas en el campo complejo de la frecuencia Ecuación diferencial en el campo del tiempo Operación de Transformación directa Calculo de la solución de la ecuación algebraica coeficientes complejos Operación de Transformación inversa Solución en el campo del tiempo Figura 8.2 Diagrama del cálculo sísmico en el campo complejo de la frecuencia 191 Características estructurales f(t), H(θ) Excitación sísmica a(t) , A(θ) Datos de entrada Respuesta sísmica x(t), X(θ) Incógnita Figura 8.3 Diagrama del análisis sísmico CAPITULO REFERENCIAS BARBAT, Alex H (1983) “Calculo sísmico de las estructuras”, Editores técnicos asociados, S.A., Barcelona España BARBAT, Alex H y MIQUEL J (1994) “Estructuras sometidas a acciones sísmicas”, CIMNE, Barcelona Espa CHOPRA, Anil K (1995) “Dynamics of Structures”, theory and aplications to earthquake engineering, University of California at Berkeley, Editorial Prentice Hall, New Jersey CLOUGH, Ray W y PENZIEN, Joseph (1982) “Dynamics of Structures”, edition 5ª, International Student Edition, McGraw-Hill International Book Company OLLER, Sergio (1995) Apuntes del Curso “Dinámica Estructural”, Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona España 192 PAZ, Mario (1992) “Dinámica Estructural”, Teoría y Calculo, Editorial Reverte S.A., Barcelona Espa FEMA 451 http://www.bssconline.org/FEMA451B/451Bchapters.htm GOYTIA, I y VILLANUEVA, R (2001) Texto Guía de “Ingeniería Antisísmica”, Facultad de Ciencias y Tecnología, Carrera Ingeniería Civil Universidad Mayor de San Simón, Cochabamba, Bolivia http://www.umss.edu.bo/librostextoss.php 193 ... originales, se denomina número de grados de libertad dinámica del modelo El número de grados de libertad dinámica de una estructura se puede también definir como él número mínimo de desplazamientos... se define: A: amplitud del movimiento, que depende de las características mecánicas del péndulo y de las condiciones iniciales T: periodo (s), que depende de las características de masa y rigidez... estudio de la dinámica de los cuerpos deformables, puede realizarse desde dos enfoques: uno denominado determinista en el cual a través de las ecuaciones de la mecánica clásica aplicada sobre un modelo