Quy về 1 biến

SÅÍ GIẠO DỦC & ÂO TẢO THỈÌA THIÃN - HÚ TRỈÅÌNG THPT HỈÅNG VINH ÂÃƯÌ THI HC SINH GII TOẠN 12 (Thåìi gian lm bi :180 phụt ) Cáu 1: (3.5 âiãøm) Cho f : [0;1]→ [0;1] . Gi sỉí f liãn tủc trong âoản [0;1] v cọ âảo hm trong khong (0;1) v f(0) = 0 v f(1) =1 a) Chỉïng minh ràòng täưn tải säú c thüc khong (0;1) sao cho f(c) = 1- c. b) Chỉïng minh ràòng täưn tải hai säú a,b phán biãût thüc khong (0;1) sao cho : Têch f '(a) . f '(b) = 1. Cáu 2 : (3.5 âiãøm) Cho càûp säú thỉûc (x;y) tho mn âiãưu kiãûn : x-2y+4 = 0 . Tênh giạ trë nh nháút ca biãøu thỉïc P = 89161045126 2222 +−−+++−−+ yxyxyxyx Cáu 3 : (3âiãøm) Cho tam giạc ABC . Tçm qu têch cạc âiãøm M sao cho : a) 3 2 MA MB MC MB MC+ + = + uuur uuur uuuur uuur uuuur b) 2 4MA MB MB MC+ = − uuur uuur uuur uuuur Sồớ Giaùo Duỷc & aỡo taỷo Thổỡa Thión- Huóỳ Trổồỡng THPT Hổồng Vinh Tỉ TOAẽN AẽP AẽN& BIỉU IỉM CHM TOAẽN 12 ( HOĩC SINH GIOI) Cỏu 1 (3,5 õióứm) : a) * ỷt g(x) = f(x) + x -1 vồùi x thuọỹc õoaỷn [0;1] 0.5 õióứm Thỗ g(x) cuợng lión tuỷc trón õoaỷn [0;1] 0.5 õióứm * g(0) = -1 < 0 , g(1) =1 > 0 0.5 õióứm * Suy ra : c thuọỹc khoaớng (0;1) sao cho g(c) = 0 f(c) +c -1 = 0 f(c) = 1-c 0.5 õióứm b) *Aẽp duỷng õởnh lờ Lagrng cho f(x) trón õoaỷn (0;c) vaỡ (c;1) ta coù: a(0;c) sao cho : f ' (a) = 0 )0()( c fcf = c cf )( 0.5 õióứm b(c;1) sao cho : f '(b) = c cf c cff = 1 )(1 1 )()1( 0.5 õióứm * Roợ raỡng ab vaỡ tờch f '(a) . f '(b) = 1 1 . 1 1 )(1 . )( = = c c c c c cf c cf 0.5 õióứm Cỏu 2 :(3.5 õióứm ) * Bióỳn õọứi P= 2222 )8()5()6()3( +++ yxyx 0.5 õióứm Trong mỷt phúng vồùi hóỷ toaỷ õọỹ Oxy , goỹi laỡ õổồỡng thúng coù phổồng trỗnh x-2y+4 = 0 vaỡ caùc õióứm M(x;y) , A(3;6) , B(5;8) thỗ P = MA + MB 0.5 õióứm Baỡi toaùn trồớ thaỡnh tỗm toaỷ õọỹ cuớa õióứm M thuọỹc sao cho tọứng MA + MB õaỷt giaù trở nhoớ nhỏỳt. 0.25 õióứm * Roợ raỡng A,B nũm vóử mọỹt phờa cuớa 0.25 õióứm * Tỗm õổồỹc toaỷ õọỹ cuớa õióứm A' , õọỳi xổùng cuớa A qua , õoù laỡ : A' (5;2) 0.5 õióứm Vồùi M thuọỹc ta coù : MA + MB = MA' + MB A'B ( khọng õọứi) úng thổùc xaớy ra khi vaỡ chố khi A' , M , B thúng haỡng hay M chờnh laỡ giao õióứm cuớa vồùi õổồỡng thúng A' B. 0.5 õióứm * Tỗm õổồỹc phổồng trỗnh cuớa õổồỡng thúng A'B laỡ : x 5 = 0 0.25 õióứm * Giaới hóỷ phổồng trỗnh =+ = 042 05 yx x cho = = 2 9 5 y x 0.25 õióứm * Vỏỷy Min P = 6 khi x=5 vaỡ y= 2 9 0.25 õióứm Cỏu 3 : (3 õióứm ) a) Goỹi G laỡ troỹng tỏm cuớa tam giaùc ABC, I laỡ trung õióứm cuớa õoaỷn thúng BC.Ta coù G vaỡ I cọỳ õởnh M thuọỹc quyợ tờch 3 2 MA MB MC MB MC+ + = + uuur uuur uuuur uuur uuuur 3 3 2 2 MG MI= uuuur uuur MG = MI 0.5 õióứm Vỏỷy quyợ tich caùc õióứm M laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa õoaỷn thúng GI 0.5 õióứm b) Goỹi P laỡ õióứm sao cho 2 0PA PB+ = uuur uuur r ( tổùc laỡ P chia õoaỷn AB theo tố sọỳ k= - 2 1 ) 0.5 õióứm Q laỡ õióứm sao cho 4 0 = QCQB ( tổùc laỡ Q chia õoaỷn BC theo tố sọỳ k = 4 1 ) 0.5 õióứm Hỗnh veợ 0.25 õióứm M thuọỹc quyợ tờch 2 4MA MB MB MC+ = uuur uuur uuur uuuur 2( ) ( )MP PA MP PB+ + + uuur uuur uuur uuur 0.5 õióứm = 4( ) ( )MQ QB MQ QC+ + uuuur uuur uuuur uuur 3 2 3 4MP PA PB MQ QB QC+ + = + uuur uuur uuur uuuur uuur uuur 3 3MP MQ= uuur uuuur MP = MQ. Vỏỷy quyợ tờch caùc õióứm M laỡ trung trổỷc cuớa õoaỷn PQ 0.5 õióứm . GII TOẠN 12 (Thåìi gian lm bi :18 0 phụt ) Cáu 1: (3.5 âiãøm) Cho f : [0 ;1] → [0 ;1] . Gi sỉí f liãn tủc trong âoản [0 ;1] v cọ âảo hm trong khong (0 ;1) v f(0). 0.5 õióứm * g(0) = -1 < 0 , g (1) =1 > 0 0.5 õióứm * Suy ra : c thuọỹc khoaớng (0 ;1) sao cho g(c) = 0 f(c) +c -1 = 0 f(c) = 1- c 0.5 õióứm b) *Aẽp