Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm Đồng (Có đáp án)

Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm ĐồngĐề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Lâm Đồng

NHĨM TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018 - 2019 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN – Hệ : THPT Ngày thi : 18/01/2019 Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu 1: (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y   x3  3x   m  1 x  3m  có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  x2  Câu 2: (4,0 điểm) 2.1 Cho a  log b  log 12 Tính log3 60 theo a b 2.2 Giải phương trình 1 x   x   x2 NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG Câu 3: (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để sơn phần tô đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết AD  4m , DC  3m AE  EF  FB Câu 6: (4,0 điểm) 6.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB , AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt 2a phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC 6.2 Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có AB  , AA '  Gọi M , N , P trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ', BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  AB ' C '  MNP  Câu 7: (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình  x  y   xy   x y 2 2  m x  y  x  x  y  y  có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  1, y  Câu 8: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ( x  y )( y  z )( z  x)( xy  yz  zx) - HẾT -  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  Trang NHĨM TỐN VD – VDC Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;0;3 , B  3;1;3 , C 1;5;1 Tìm tọa độ    điểm M thuộc mặt phẳng Oxy cho biểu thức T  | MA |  | MB  MC | có giá trị nhỏ Câu 5: (2,0 điểm) k k 2019 Tính tổng S  22 C2019  32 C2019    1 k 2C2019   20192 C2019 NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y   x3  3x   m  1 x  3m  có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  x2  Lời giải Tập xác định: D   y   3x  x   m  1 NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 1: (2,0 điểm) x  1 m y    x  1 m Hàm số có hai điểm cực trị  y   có hai nghiệm phân biệt  m  x  1 m +) TH1:   x2   m Khi x1  x2    m  1  m    m   (TM) Khi x1  x2    m  1  m    m  Vậy m   NHĨM TỐN VD – VDC x  1 m +) TH2:  ,  x2   m (TM) giá trị cần tìm Câu 2: (4,0 điểm) 2.1 Cho a  log b  log 12 Tính log3 60 theo a b x2 2.2 Giải phương trình 1 x   x   Lời giải 2.1 Cho a  log b  log 12 Tính log3 60 theo a b log  a  log  b 1 log  a Ta có:    log 12  b log 12  a.b  log  a b 1 log 60  log 60  log 12  ab  ab    log log  log a  a b 1 a   b https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC 2.2 Giải phương trình 1 x   x   x2 Điều kiện: 1  x  t2   1 x , với  t        NHĨM TỐN VD – VDC Đặt t  1 x   x  t  Phương trình theo t có dạng: t   t  2 t  4t  8   t  2  1 x   x   1 x   x  Vậy phương trình có nghiệm x  Câu 3: (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để sơn phần tơ đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết AD  4m , DC  3m AE  EF  FB Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Gọi H , K trung điểm AB CD ; I giao điểm CE DF   EH  EF 1 Ta có:   EH  KC  IH  HK  (m) ,  EF  KC  IK  (m) Ta có: S ABCD  3.4  12 (m ) S ADE  S BCF  1.4  2(m ) 1 S IEF  IH EF  1.1  (m2 ) 2 1 S ICD  IK CD  3.3  (m ) 2 Gọi S1 diện tích phần tơ đậm S diện tích phần lại Ta có: S  S ADE  S BCF  S IEF  S ICD  (m ) Suy ra: S1  S ABCD  S  (m ) Vậy tổng số tiền để làm là: T  3.250 000  9.160 000  2190 000 (đồng) Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;0;3 , B  3;1;3 , C 1;5;1 Tìm tọa độ    điểm M thuộc mặt phẳng Oxy cho biểu thức T  | MA |  | MB  MC | có giá trị nhỏ Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC NHĨM TỐN VD – VDC    Gọi K trung điểm BC , ta có: K  1;3;2  MB  MC  2MK Suy ra:   T  | MA | 2 | MK |   MA  MK  Nhận xét: A, K nằm khác phía so với mặt phẳng  Oxy  Gọi A ' điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng  Oxy  Khi đó: T   MA  MK    MA  MK  Suy : Tmin   MA  MK min  A, M , K thẳng hàng hay M giao điểm A ' K với mặt phẳng  Oxy   Ta có: H 1; 0;   A 1; 0; 3  AK   2;3;5  Do đó: Phương trình tham số A ' K NHĨM TỐN VD – VDC  x  1 2t     M  ; ;0  y  3t   5   z  3  5t Câu 5: (2,0 điểm) k k 2019 Tính tổng S  22 C2019  32 C2019    1 k 2C2019   20192 C2019 Lời giải - Trước hết ta chứng minh đẳng thức: k Cnk  n  n  1 Cnk22  nCnk11 1   k  n, k , n     Thật vậy: k Cnk  k  k  1 Cnk  kCnk Mà: kCnk  k  2  n  1!  n  n  1! n!  n  nCnk11 k !  n  k  !  k  1!  n  k !  k  1!   n  1   k  1 ! Áp dụng (3) hai lần ta được:  k  1 kCnk   k  1 nCnk11  n  k  1 Cnk11  n  n  1 Cnk22  3  4 Từ   ,  3 ,   ta 1 - Áp dụng 1 ta được: 2019 k 2019 k 2019 S    1 k C k 2 k k 2 k 1    1  2019.2018.C2017  2019.C2018  k 2 2017 2018 k k k  2018.2019. C2017  1  2019  C2018  1 k 0  2018.2019 1  1 k k 1 2017   2019 1  1 2018    2019 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Vậy S  2019 NHĨM TỐN VD – VDC Câu 6: (4,0 điểm) 6.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB , AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt 2a phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC Lời giải Theo giả thiết ABCD hình vng, suy ADM  DCN (c.g.c)   DM  CN Từ suy  ADH  DCN HM  MD  HD  NHÓM TOÁN VD – VDC CD 2a DC.DN a a a   Vậy có: NC  DC  DN  a     ; HC  ; HD  ; CN NC 5 2 a a 3a 1 2a 3a 3a   S HMC  HC.HM   10 2 10 10 Mặt khác, ta có SH  ( ABCD)  SH  DM Theo chứng minh DM  CN , suy DM  ( SCN ) Kẻ HK  SC HK khoảng cách DM SC Suy HK  Tam giác SHC vuông H , đường cao HK suy  2a 1   2 HK SH HC 1 1 1       SH  a 2 2 SH HK HC a  2a   2a         5 1 3a a3 Vậy VSHMC  S HMC SH  a  3 10 10 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD – VDC 6.2 Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có AB  , AA '  Gọi M , N , P trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ', BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  AB ' C '  MNP  NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải  Cách 1: A C P B Δ G A' C' N I Q M Gọi I , Q trung điểm cạnh MN B ' C ' , AQ  2, PI  Giả sử PI  AQ  G  G   AB ' C '    MNP  MN   MNP  , B ' C '   AB ' C ' Hơn  nên giao tuyến mặt phẳng  AB ' C '  MNP  MN  B ' C ' đường thẳng  qua G song song với MN B ' C ' Ta có B ' C '   AA ' QP   AG   Chứng minh tương tự ta có PG   Do  AG, PG  Mặt khác IQ  AP , theo định lý Ta-lét có  AB ' C ' ,  MNP     GQ GI IQ 2     GA  2GQ  AQ  2 ; GP  2GI  PI  GA GP AP 3 2 GA  GP  AP Xét tam giác AGP có cos  AGP  2GA.GP Vậy cos   AB ' C ' ,  MNP    10  Cách https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 2      2  32  10 Trang NHĨM TỐN VD – VDC B' NHĨM TỐN VD – VDC A T A' NHĨM TỐN VD – VDC X P Q I Gọi I , Q, X trung điểm cạnh MN , B ' C ' AA ' Ta có AP  PQ  QA '  A ' A   A ' AP  900  tứ giác APQA ' hình vng  IPQ  XQA '  c  g  c   IPQ XQA '  PI  QX 1 Ta có B ' C '   APQA '  B ' C '  QX , mà MN  B ' C '  MN  QX  2 Từ 1    QX   MNP  Chứng minh tương tự ta có A ' P   AB ' C '  Do  A ' P, QX   AB ' C ' ,  MNP     TP TQ PQ    TA TX AX Từ ta TP  2, XQ  Xét tam giác PTQ , theo định lý côsin ta có Ta có XA  PQ , theo định lý Ta-lét có 2   TP  TQ  PQ cosPTQ 2TP.TQ 2      2  32  10 NHĨM TỐN VD – VDC Vậy cos   AB ' C ' ,  MNP    10  Cách Gọi I , O, J trung điểm cạnh B ' C ', MN AP Ta có MN  B ' C ' A ' I  B ' C '  MN  A ' I Đặt hình lăng tru tam giác ABC A ' B ' C ' hệ trục tọa độ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC  Oxyz  với gốc tọa độ O  0;0;0  , chiều dương Ox trùng với tia ON, chiều dương Oy trùng với tia OI , chiều dương Oz trùng với tia OJ Khi ta có :   Khi cos  cos n1 , n2    04  02  22  22  02   2   12 Vậy cos   AB ' C ' ,  MNP    10 Câu 7: (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình  x  y   xy   x y 2 2  m x  y  x  x  y  y  có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  1, y  Lời giải  x  y   xy 1  Xét hệ  x  y (với x, y  ) 2  m x  y  x  x  y  y       NHÓM TOÁN VD – VDC             A  0;  ;3  , B '   3; ;  , C '  3; ;0  , M   ; 0;  , N  ; 0;0  , P  0; ;                 Gọi n1 , n2 véctơ pháp tuyển mặt phẳng  AB ' C '  MNP        Ta có n1   AB ', AC '   0; 2;  , n1   MN , MP    0; 2;1 Gọi  góc tạo hai mặt phẳng  AB ' C '  MNP  10    Thế vào   ta x  y  m x  y  x  xy  y   2x y  m x  y   Đặt t  x  y  x  y  1  NHĨM TỐN VD – VDC Từ 1 ta có x  y  xy      x  y x  y   xy  2  x y  4t  Do x  , y  nên  x  1 y  1   xy  x  y    xy  x  y   xy   x  y    x  y   2 x  y   x  y    Do    2t  m t  t   m  2t   t2 1  t Hệ cho có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  1, y  phương trình  m  2t   t   t có nghiệm t   4;6 Xét hàm số f  t   2t   t   t với  t  Có f   t   2t https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc    t   t  ln   t 1    Trang NHĨM TỐN VD – VDC Mà t   t  t t2 1    t 1  1 nên f   t   với  t    17   64   37  Câu 8: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ( x  y )( y  z )( z  x)( xy  yz  zx) Lời giải Cách Đặt Q  ( x  y )( y  z )( x  z )( xy  yz  zx ) ta có Q   P + xy  yz  zx  ta có Q  NHĨM TỐN VD – VDC Suy f  t  hàm số đồng biến Do f    m  f    16 + xy  yz  zx  đặt t  xy  yz  zx  (x  z)  x y y z Áp dụng BĐT Cơsi ta có ( x  y )( y  z )( x  z )   (1)  ( x  z)    Mà  x  y  z  xy  yz  zx   2( x  z )  2( x  y )2  2( y  z ) 2  2( x  z )2   ( x  y )  ( y  z )  3( x  z )2 hay   t   3( x  z )2  (2)  t  Xét hàm số f (t )  t (5  t )3  t  ta có f (t )  t (5  t ) (10  t), f (t )   t  t  f (0)  0, f (5)  0, f (0)  0, f (2)  108 Do Q  nên GTLN Q x  2, y  1, z  Suy P  4 nên GTNN P 4 x  2, y  1, z  Cách 2: Đặt t  xy  yz  zx  x  y  z  t  2 2 2 Giả thiết: 10  x  y  z   x  y    y  z    z  x   2t   x  y    y  z    z  x   10  2t 2 Mà  x  y    y  z    z  x  2  z  x   t 2   x  y  y  z   z  x   z  x  2 4  x  z    t  x  y  y  z   x  z 2   x  y  y  z   x  y  y  z        16     https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC 4  Từ (1) (2) suy Q  t  (5  t )   t (5  t )3 5  NHĨM TỐN VD – VDC Ta có: P   x  y   t  20  4t 2 t   y  z   z  x   xy  yz  zx    5  t  t  27   NHĨM TỐN VD – VDC Xét hàm số suy P  16  P  4 t    x; y; z    2;1;0  NHĨM TỐN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 ... ta được: 2019 k 2019 k 2019 S    1 k C k 2 k k 2 k 1    1  2019 .2018. C2017  2019. C2018  k 2 2017 2018 k k k  2018. 2019.  C2017  1  2019  C2018  1 k 0  2018. 2019 1... NHĨM TỐN VD – VDC  x  1 2t     M  ; ;0  y  3t   5   z  3  5t Câu 5: (2,0 điểm) k k 2019 Tính tổng S  22 C2019  32 C2019    1 k 2C2019   20192 C2019 Lời giải... 2018. 2019 1  1 k k 1 2017   2019 1  1 2018    2019 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Vậy S  2019 NHĨM TỐN VD – VDC Câu 6: (4,0 điểm) 6.1 Cho hình