Đề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ An (Có đáp án)

Đề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ An

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn : TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(5,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x - 5x + m = (1) với x ẩn số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x + x x = Câu (3,0 điểm) ìï x + x y - xy + xy - y = Giải hệ phương trình: í ïỵ x + y - xy (2 x - 1) = Câu 3.(5,0 điểm) 4sin - cos sin + cos3 uuur uuur uuur uuur b) Cho tam giác ABC Gọi D, E BD = BC; AE = AC Điểm K đoạn a) Cho góc thỏa mãn tan = Tính giá trị biểu thức P = thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AD AK Câu ( 5,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm 16 AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình CD : x - 3y +1 = , E ổỗ ;1ửữ ố3 ứ a) Chng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao CD BE b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Câu (2,0 điểm) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + 2 a +b +c abc Hết -Họ tên thí sinh : Số báo danh : HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm Phương trình x - x + m = 5,0 a) Giải phương trình (1) m = 1,5 Khi m = PT (1) có dạng: x - x + = 0,5 Ta có: D ' = + = > 0,5 PT (1) có nghiệm phân biệt: x1 = x2 = 0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5 Lập ∆ = 25 - 4m Phương trình có nghiệm x1 , x2 ∆ ≥ hay m £ 0,5 25 Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = 5; x1 x2 = m 0,5 ì ïx + x > Hai nghiệm x1 , x2 dương ïí hay m > ï ï ỵx1x > Điều kiện để phương trình có nghiệm dương x1, x2 Ta có: x1 + x Suy x1 + x = + m 25 (*) 0,5 = x1 + x + x1 x = + m Ta có x1 x + x x1 = Û x1.x Hay 0 t = => m = (thoả mãn (*)) 0,5 Với 2t2 + 9t + 18 = : phương trình vơ nghiệm Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5 x1 x + x x1 = ìï x + x3 y - xy + xy - y = Giải hệ phương trình: í ïỵ x + y - xy (2 x - 1) = 3,0 ìï( x - y ) + xy ( x - y ) + xy = Hệ Û í 2 ïỵ x - y + xy = 1,0 ìa = x - y Đặt í Hệ trở thành: ỵb = xy ì a + ab + b = (*) í ỵa + b = 0,5 ìï a + a - 2a = ìï a(a + a - 2) = Ûí Hệ (*) Û í 2 ỵïb = - a ỵïb = - a 0,5 Từ tìm ( a; b) Ỵ (0; 1); (1; 0); ( -2; - 3) ì x2 - y = Với (a; b) = (0; 1) ta có hệ í Û x = y = ỵ xy = ì x2 - y = Với (a; b) = (1; 0) ta có hệ í Û ( x; y ) = (0; -1);(1;0);(-1;0) ỵ xy = 0,5 Với (a; b) = (-2; -3) ta có hệ 3 ì ì ì x - y = -2 ïy = ïy = Ûí Ûí Û x = -1; y = x x í xy = 3 ỵ ïx + 2x + = ï( x + 1)( x - x + 3) = ỵ ỵ 0,5 Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y ) Ỵ (1; 1);(0; - 1);(1; 0);(-1; 0);(-1; 3) 5,0 a) Cho góc thỏa mãn tan = Tính giá trị biểu thức P = 4sin - cos P= sin + cos3 = = = = 4sin - cos sin sin + cos3 4sin - sin cos + 4sin cos sin + cos3 tan - tan + tan - tan + 4.8 - + 4.2 - = 8+2 + cos2 - cos3 sin - co s sin + co s 2,5 1.0 0,5 0,5 0,5 uuur uuur uuur b) AD đoạn thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK b) Cho tam giác ABC Gọi D, E BD = BC; AE = AC Điểm K uuur Vì AE = uuur 2,5 A uuur uuur uuur uuur AC Þ BE = BC + BA (1) 4 E K 0,5 B D C uuur uuur uuur uuur uuur Giả sử AK = x AD Þ BK = xBD + - x BA (1) uuur Mà BD = BC nên AK = x.AD Þ BK = uuur uuur uuur uuur Do BC; BA không phương nên uuur uuur uuur 2x uuur BD + (1 - x)BA 0,5 m 2x 3m = &1 - x =0 4 0.5 uuur 0,5 Từ suy x = ; m = Vậy AK = AD Þ uuur 0,5 AD =3 AK Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình ỉ 16 CD : x - 3y +1 = , E ỗ ;1 ữ ố ø 5,0 Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao 2,5 a) CD BE Ta có BA EA = = Þ E chân đường phân giác BC EC A D B 0,5 I E C Do BD = BC Þ BE ^ CD Þ BE : 3x + y - 17 = 0,5 ìx - 3y +1 = I = BE Ç CD Þ tọa độ điiểm I nghiệm hệ í ỵ3x + y - 17 = 0,5 Giải hệ phương trình Þ I 5; 1,0 b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Đặt BC = a > Þ AB = 2a, AC = a 5, CE = Do CBE = 450 Þ IB = IC = 2,5 a 0,5 BC a = 2 (1) Tam giác EIC vng I Þ IE = EC - IC Þ IE = 2 0,5 a (2) Từ (1) (2) Þ IB = -3IE Þ B (4;5) uur Gọi C (3c - 1; c) từ 0,5 uur éc = BC = Û c - 4c + = Û ê ëc = 0,5 Với c = Þ C (2;1), A(12;1) (KTM) Với c = Þ C (8;3), A(0; -3) (TM) 0,5 Vậy A(0; -3), B(4;5), C (8;3) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + 2 a +b +c abc 2,0 Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab + bc + ca ³ 33 a b c 1= a + b + c ³ 3 abc Þ abc £ ÞP³ ÞP³ 0,5 Þ ab + bc + ca ³ 33 abc 3 abc ³ 9abc + 2 a +b +c ab + bc + ca 1 + + + 2 a +b +c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 0,5 0,5 ³ + a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca a + b + c 2 2 = 30 Vậy giá trị nhỏ P 30 chẳng hạn a = b = c = 0,5 ... a) Cho góc thỏa mãn tan = Tính giá trị biểu thức P = 4sin - cos P= sin + cos3 = = = = 4sin - cos sin sin + cos3 4sin - sin cos + 4sin cos sin + cos3 tan - tan + tan - tan + 4.8 - + 4.2 - = 8+2...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm Phương trình x - x + m = 5,0 a) Giải phương trình (1)