Đề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ AnĐề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ An
Trang 1SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CON CUÔNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1.(5,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai x2- + =5x m 0 (1) với x là ẩn số
a) Giải phương trình (1) khi m = 6
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x x1 2 + x2 x1 = 6 Câu 2 (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
1 (2 1) 1
x x y xy xy y
ï í
Câu 3.(5,0 điểm)
a) Cho góc thỏa mãn tan = 2 Tính giá trị biểu thức 4sin3 cos3
sin 2cos
b) Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các BD 2BC; AE 1AC
uuu r uuu r uuu r uuu r
Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AD
AK Câu 4 ( 5,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm
AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD x y: 3 1 0- + = , 16;1
3
Eæç ö÷
a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD
và BE
b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm
Câu 5 (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
P
Hết
Họ tên thí sinh : Số báo danh :
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Khi m = 6 PT (1) có dạng: x 2 - + = 5 x 6 0 0,5
PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x = 1 2 và x = 2 3 0,5
Lập ∆ = 25 - 4m
Phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 khi ∆ ≥ 0 hay m £ 25
4
0,5
Áp dụng hệ thức Viet, ta có x x1+ =2 5; x x1 2 =m
Hai nghiệm x x 1 , 2dương khi 1 2
1 2
x x 0
ì + >
ï í
ï >
ï
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là 0 < m £ 25
4 (*) 0,5
Ta có: x1+ x2 2 =x1+x2+2 x x1 2 =5 2 m+
Suy ra x1 + x2 = 5 2 m+
Ta có x x1 2 +x x2 1 = Û6 x x1 2 x1+ x2 = 6
Hay m 5 2 m 6+ = Û2m m 5m 36 0+ - = (1)
0,5
Đặt t= m 0³ , khi đó (1) thành:
Û 2t3 + 5t2 - 36 = 0
Û (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0
0,5
Û t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0
Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*))
Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm
0,5
Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5
Trang 31 2 2 1
x x +x x =6
2 Giải hệ phương trình:
1 (2 1) 1
x x y xy xy y
ï í
Hệ
2 2
1
x y xy x y xy
ï
Û í
Đặt a x2 y
b xy
ì =
-í =
1
a ab b
a b
ì
í + =
Hệ (*) 3 2 22 0 ( 2 2 2) 0
Từ đó tìm ra ( ; )a b Î (0; 1); (1; 0); ( 2; 3)
-0,5
Với ( ; ) (0; 1)a b = ta có hệ 2 0 1
1
xy
í =
Với ( ; ) (1; 0)a b = ta có hệ 2 1 ( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0)
0
xy
-í =
0,5
Với ( ; ) ( 2; 3)a b = - - ta có hệ
2
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( ; )x y Î (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3)- - -
0,5
a) Cho góc thỏa mãn tan = 2 Tính giá trị biểu thức 3 3
4 sin cos sin 2 cos
4sin cos sin cos 4sin cos
=4sin3 -sin2 sincos3 +2cos4sin cos3 2 -cos3
4tan3 tan32 4 tan 1
-=
4.8 4 4.2 1 7
Trang 4b) b) Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các
uuu r uuu r uuu r uuu r
Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AD
AE = AC Þ BE = BC + BA
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
0,5
Giả sử uuur AK xAD = uuur Þ BK xBD uuu r = uuu r + - 1 x BA uuu r (1)
0,5
Mà BD 2BC
3
= uuu r uuu r
nên AK x.AD BK 2xBD (1 x)BA
3
-uuur uuur uuu r uuu r uuu r
0,5
Do BC;BA uuu r uuu r
không cùng phương nên m 2x 0&1 x 3m 0
Từ đó suy ra x 1;m 8
= = Vậy AK 1AD AD 3
uuur uuur
0,5
4
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là
trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình
CD x y - + = , 16 ;1
3
E æç ö÷
a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE 2,5
Ta có BA EA 2 E
0,5
A
I
A
B
C
D
E
K
Trang 5Do BD = BC Þ BE CD ^ Þ BE x y :3 + - 17 0 = 0,5
I BE CD = Ç Þ tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ ìí + - =î3xx y-3y+ =1 017 0 0,5
b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm 2,5
3
a
Do 45 0
CBE = Þ IB IC = = = (1)
Tam giác EIC vuông tại I 2 2 2
3 2
a
Þ = - Þ = (2)
0,5
Từ (1) và (2) Þ IB uu r = - 3 IE uu r Þ B (4;5)
3
c
c
= é
Với c = Þ 1 C (2;1), (12;1) (KTM) A
Với c = Þ 3 C (8;3), (0; 3) (TM) A
-Vậy A (0; 3), (4;5), (8;3) - B C
0,5
5
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1
Áp dụng BĐT AM- GM ta có
3 a2b2c2
3 ca bc
ab+ + ³
1= a + b + c 3 abc abc
3
³ Þ £ Þab+bc+ca ³33 abc 3 abc ³9abc
0,5
ca bc ab
9 c
b a
1
+ +
+ + +
³
+ + +
+ + +
³
Þ
ca bc ab
1 c
b a
1
ca bc ab
7 ca
bc ab
1
+ +
+ +
Trang 630 3
c b a
7 ca
2 bc 2 ab 2 c b a
9
2 2
2
+ +
+ + + + + +
³
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 khi chẳng hạn tại
3
1 c b