PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

đối xứng nhau qua trục Oy.. đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.. Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ... Nếu điểm Mcó hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của  

Câu 1: [0H3-3-3]Cho Elip  E : 1

25 9

x  y  Đường thẳng  d :x 4 cắt  E tại hai điểm

,

M N Khi đó:

25

MN  B 18

25

5

9 5

MN 

Lời giải

Chọn C

Dể thấy  d :x 4 là đường thẳng đi qua tiêu điểm F14; 0 của  E

5

M

c

a

    

Câu 2: [0H3-3-3]Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu

cự bằng 4 3

A

1

36 9

x  y  B

1

36 24

x  y  C.

1

24 6

x  y  D

1

16 4

x y

Lời giải

Chọn D

Gọi phương trình chính tắc của Elip x22 y22 1,a b 0

a b   

Ta có

Câu 3: [0H3-3-3]Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự

với độ dài trục lớn bằng 1

3

A

1

x  y  B

1

x  y  C

1

x  y  D.

1

x y

  Lời giải

Chọn B

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng x22 y22 1,a b 0

a b   

Tỉ số 2 1 3

c

a c

Lại có 2a     6 a 3 c 1 b2 a2c2 8

Câu 4: [NC] Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x 4 0 và một

tiêu điểm là điểm 1; 0

A

1

x  y  B

1

16 15

x  y  C

1

16 9

x  y  D

1

x  y 

Lời giải

Chọn A

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng x22 y22 1,a b 0

a b   

Ta có

2

2

e    a  

F c F    c a  b a c 

Câu 5: [0H3-3-3]Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A 0;5

( Không có đáp án đúng)

A

1

100 81

x y

1

15 16

x y

1

25 9

x y

1

25 16

x  y 

Lời giải

Chọn C

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng x22 y22 1,a b 0

a b   

2c 6 a b 9

A  E b  a   : 2 2 1

34 25

x y E

Câu 6: [0H3-3-3]Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua

điểm (2;2)

A

1

24 6

x y

1

36 9

x y

1

16 4

x y

1

20 5

x  y 

Lời giải

Chọn D

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng x22 y22 1,a b 0

a b    Theo đề ra: Trục lớn gấp đôi trục bé 2 2

Điểm (2;2) thuộc Elip 2 2 2  2

2 2

x y



Ta được hệ:

2

2

4

5

4

b a

b b

   

Câu 7: [0H3-3-3]Cho Elip (E):

1

16 9

x y

  M là điểm nằm trên  E Lúc đó đoạn thẳng

OM thoả:

A 4OM5. B OM5. C OM3. D

3OM4

Lời giải

Chọn D

Gọi M4 cos ;3sint t   E .Khi đó OM  16 cos2t9sin2t  9 7 cos 2t Vì

2

0cos t1 nên 3OM4

Câu 8: [0H3-3-3]Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là

 4;3

M

A

1

16 9

x  y  B

1

16 9

x  y  C

1

16 4

x  y  D

1

x  y 

Lời giải

Chọn A

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạngx22 y22 1,a b 0

a b    Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có tọa độ:   a b; , a;b , a b;  ,  a; b

Ta có M 4;3 là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở nên chọn 4

3

a b





 



Câu 9: [0H3-3-3]Phương trình của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

A 9x216y2 144. B

1

9 16

x y

  C 9x216y2 1 D

1

64 36

x  y 

Lời giải

Chọn A

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng x22 y22 1,a b 0

a b   



   

Câu 10: [0H3-3-3]Đường thẳng ykx cắt Elip x22 y22 1,a b 0

a b    tại hai điểm

A đối xứng nhau qua trục Oy B đối xứng nhau qua trục Ox

C đối xứng nhau qua gốc toạ độ O D Các khẳng định trên đều sai Lời giải

Chọn C

Vì  E có tâm đối xứng là gốc tọa độ O 0; 0 , hàm số ykx là hàm số lẻ nên đồ thị của nó cũng có tâm đối xứng là O 0; 0 nên chọn C

Cách khác:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng ykx với Elip x22 y22 1,a b 0

a b    là nghiệm của hệ:

2 2

y kx

a b x

x y

b ka

a b





 

Suy ra hai giao điểm là: A x0; kx0 ;B x kx0; 0;x o 2a b2 2 2

b kb



Câu 11: [0H3-3-3]Tìm phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm  6; 0 và có tâm sai

bằng 1

2

A

1

36 27

x  y  B

1

x  y  C

1

x  y  D

1

36 18

x y

Lời giải

Chọn A

Ta có có 1

a

    mà Elip qua điểm  6; 0 nên a6 từ đó

2

c b  Vậy  : 2 2 1

36 27

x y

E  

Câu 12: [0H3-3-3]Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn một elíp có

khoảng cách giữa các đường chuẩn là 50

3 và tiêu cự 6?

A

1

64 25

x  y  B

1

89 64

x  y  C

1

25 16

x  y  D

1

16 7

x y

Lời giải

Chọn C

Ta có: Tiêu cự 2c  6 c 3, khoảng cách giữa 2 đường chuẩn

3

a

Câu 13: [0H3-3-3]Biết Elip (E) có các tiêu điểm F1 7;0 , F2 7;0 và đi qua

9 7;

4

M 

  Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ Khi đó

A 1.

16 12

x  y  B M 2;3 C F12;0 , F 2;0  2 D

NF  MF 

Lời giải

Chọn D

Ta có: 7; 9

4

N  

2

NF       MF 

Từ đó: NF1 MF1 8

Câu 14: [0H3-3-3]Cho elíp có phương trình 2 2

16x  25y  100.Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x  2 đến hai tiêu điểm

Lời giải

Chọn C

Ta có:

4

x y

x  y      a Tổng khoảng cách từ 1 điểm

thuộc

Elip đến 2 tiêu điểm bẳng 2a5

Câu 15: [0H3-3-3]Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng

10

A

1

25 9

x  y  B

1

100 81

x  y  C

1

25 16

x  y  D

1

25 16

x  y  .

Lời giải

Chọn D

16

  

   

Câu 16: [0H3-3-3]Cho Elip  E :

1

16 12

x  y  và điểm M nằm trên  E Nếu điểm Mcó hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của  E bằng

A 4 2 B 3 và 5 C 3, 5 và 4, 5 D

2

2



Lời giải

Chọn C

c      c F  F Điểm M thuộc  E và

3 5 1

2

x  y   Từ đó 1 9; 2 7

MF  MF 

Câu 17: [0H3-3-3]Đường thẳng qua M 1;1 và cắt elíp  E : 2 2

4x 9y 36 tại hai điểm

1; 2

M M sao cho MM1MM2 có phương trình là

A 2x4y 5 0 B 4x9y130 C x  y 5 0 D

16x15y1000

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Thử điểm M 1;1 vào các đáp án, thỏa phương án B

Cách 2: Gọi M1x y0; 0   E Vì MM1 MM2 nên M là trung điểm của M M1 2

   Hai điểm M M1; 2 cùng thuộc  E nên ta có hệ phương

trình





 Giải hệ ta tìm được tọa độ hai điểm M M1; 2, suy ra phương trình đường thẳng

Câu 18: [0H3-3-3]Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F12;0 , F 2;0  2 và đi

qua điểm M 2;3 là

A

1

16 12

1

16 9

x  y  C.

1

16 4

x  y  D.

1

16 8

x  y 

Lời giải

Chọn A

c c a b  nên chỉ có A thỏa

Câu 19: [0H3-3-3]Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 26, tâm sai

12 13

e là

A.

1

25 169

x y

1

169 25

x y

1

36 25

x y

1

25 36

x y

Lời giải

Chọn B

13

c

a

Phương trình chính tắc của elip là:  : 2 2 1

25 16

x y

E  

Câu 20: [0H3-3-3] Tìm phương trình chính tắc của elip nếu phương trình đường chuẩn của

nó là 3

5

x  và độ dài trục lớn là 10?

A

25 9

x y

1

25 9

x y

25 16

x y

81 64

x y 

Lời giải

Chọn A

Gọi phương trình chính tắc của elip

x y

a b 

Phương trình đường chuẩn của elip là 3

5

x  nên

2

e   c 

Độ dài trục lớn A A1 2 2a10 a 5

Thay vào công thức

2

25

4 4

a

c

c   

Từ công thức 2 2 2

3

b a c  b Phương trình đường chuẩn

25 9

x y 

Câu 21: [0H3-3-3] Cho Elip : 1

25 9

x y

E Đường thẳng d :x 4 cắt E tại hai

điểm M N Khi đó: ,

25

25

5

9 5

MN

Lời giải:

Chọn C

Phương trình tung độ giao điểm của E và

4

y

5

y

Khi đó, 9; 4 ; 9; 4

5

MN

Câu 22: [0H3-3-3] Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu

cự bằng 4 3

A

1

x y

1

36 24

x y

1

x y

1

x y

Lời giải:

Chọn D

Giả sử phương trình chính tắc của

a b

Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3 2

2 3

a b c

Mặt khác:

Vậy

x y

Câu 23: [0H3-3-3] Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x 4 0 và

một tiêu điểm là điểm 1;0

A

1

x y

1

16 15

x y

0

x y

1

x y

Lời giải:

Chọn A

Giả sử phương trình chính tắc của E :x2 y2 1 a b 0

a b

Elip có một đường chuẩn là x 4 0 và một tiêu điểm là điểm 1;0

2

2

1 1

1

c c

c

a

Mặt khác b2 a2 c2 4 1 3

Vậy

x y

Câu 24: [0H3-3-3] Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm

(5; 0)

A

A

1

100 81

x y

1

15 16

x y

1

25 9

x y

1

25 16

x y

Lời giải:

Chọn C

Giả sử phương trình chính tắc của

a b

Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A 0;5 2

2 2

3

3 5

25 1

c

c a a

Mặt khác b2 a2 c2 25 9 16

Vậy

25 16

x y

Câu 25: [0H3-3-3] Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua

điểm 2;2

A

1

x y

1

x y

1

x y

1

x y

Lời giải:

Chọn D

Giả sử phương trình chính tắc của

a b

Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm 2; 2

2

2

20

4

a b

Vậy : 1

x y

Câu 26: [0H3-3-3] Cho Elip có phương trình: 2 2

E x y Lúc đó hình chữ nhật

cơ sở có diện tích bằng:

Lời giải:

Chọn C

25 9

x y

2

2

3 9

b b

Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng:A A B B1 2 1 2 2 2a b 60

Câu 27: [0H3-3-3] Cho Elip

x y

E M là điểm nằm trên E Lúc đó đoạn thẳng

OM thoả:

3 OM 4

Lời giải:

Chọn D

x y E

2

2

3 9

b b

Ta có: b OM a

Vậy 3 OM 4

Câu 28: [0H3-3-3] Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở

là M 4;3

A

1

x y

1

x y

1

x y

1

x y

Lời giải:

Chọn A

Giả sử phương trình chính tắc của

a b

Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M 4;3 4

3

a b

Vậy

x y

Câu 29: [0H3-3-3] Đường thẳng d :y kx cắt Elip E :x2 y2 1

a b tại hai điểm

A đối xứng nhau qua trục Oy B đối xứng nhau qua trục Ox

C đối xứng nhau qua gốc toạ độ O D Các khẳng định trên đều sai

Lời giải:

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của d và E :

2

Vậy đường thẳng d cắt E tại hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

Câu 30: [0H3-3-3] Biết Elip  E có các tiêu điểm F1( 7;0),F2( 7;0) và đi qua

9 7;

4

M 

  Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ Khi đó:

A NF1MF2  9

2 B NF2 MF1  23

2 C NF NF2 1  7

2 D .

NF MF 

Lời giải Chọn D

1( 7;0), 2( 7;0),

4

M 

 

N là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ Suy ra 9

7;

4

N  

  Vậy NF1MF1 8

Câu 31: [0H3-3-3] Cho Elíp có phương trình 2 2

16x 25y 100 Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc Elíp có hoành độ x2 đến hai tiêu điểm

Lời giải Chọn C

25 4 4

2

2

2 4

b b



Ta có: 1 2 2 2.5 5

2

MF MF  a  Vậy tổng khoảng cách từ điểm thuộc Elíp có hoành độ x2 đến hai tiêu điểm bằng

5

Câu 32: [0H3-3-3] Cho Elip  : 1

169 144

x y

E   và điểm M nằm trên  E Nếu điểm M có hoành độ bằng 13 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của  E bằng:

A 8 và18 B 13 5 C 10 và 16 D

13 10

Lời giải Chọn A

Ta có:  : 2 2 1

169 144

x y

2

12 144

b b



    Mặt khác c2 a2 b2 169 144 25 c 5

Ta có:

1

2

5 13 13 18

13 5

13

M

M

c

a c

a

Câu 33: [0H3-3-3] Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x 5 0và

đi qua điểm (0; 2)

A

1

16 12

x y

1

20 4

x y

1

16 10

x y

1

20 16

x  y 

Lời giải Chọn B

Gọi phương trình chính tắc của Elíp (E) là:

x y

a  b  với a b 0 Đường chuẩn x a

e

  nên ta chọn a 5 a 5 a2 5c

c e

a

     

Elíp đi qua 2  2

2

2 0



4

c

c





          

 . Với c 4 a2 20

Vậy phương trình chính tắc của Elíp (E) là

1

20 4

x  y 

Câu 34: [0H3-3-3] Tìm phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm  2;1 và có tiêu cự bằng

2 3

A 1

x  y  B 1

x  y  C 1

x  y  D

Lời giải Chọn D

Gọi phương trình chính tắc của Elíp (E) là: với

Elíp đi qua (1)

Tiêu cự

Mà (2)

Thay (2) vào (1) ta được :

Chọn suy ra

Vậy phương trình chính tắc của Elíp (E) là

Câu 35: [0H3-3-3] Cho Elip (E) có các tiêu điểm và một điểm M nằm trên (E) biết rằng chu

vi của tam giác MF1F2 bằng 18 Lúc đó tâm sai của (E) là:

Lời giải Chọn D

Vì tiêu điểm suy ra

Chu vi của tam giác MF1F2 bằng

Theo định nghĩa Elíp thì

Tâm sai của (E) là :

Câu 36: [0H3-3-3] Dây cung của elip  E :x22 y22 1

a b  0 b a vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:

A.

2

2c

2

2b

2

2a

2

a

c

Lời Giải Chọn B

Xét tiêu điểm trái F1c; 0 Phương trình đường thẳng qua F và vuông góc với 1

trục Ox là x c

Giao điểm A B, của  E và đường thẳng x c có tọa độ

;b , ; b

Suy ra độ dài của dây cung

2

2b 2b AB

 

   

Câu 37: [0H3-3-3] Cho đường tròn  C tâm F bán kính 1 2a và một điểm F ở bên trong của 2

 C Tập hợp tâm M của các đường tròn  C' thay đổi nhưng luôn đi qua F và

tiếp xúc  C là đường nào sau đây?

A. Đường thẳng B. Đường tròn C Elip D. Parabol

Lời Giải Chọn C

Gọi bán kính của đường tròn C là r

Ta có:  C tiếp xúc trong với đường tròn  C nên F M1 2 –a r

 

F  C nên F M2  r

Ta có: F M1  F M2 2 –a r r 2a

Suy ra: Tập hợp tâm M của đường tròn  C là một elip

Câu 38: [0H3-3-3] Khi cho t thay đổi, điểm M5cos ; 4sint t đi dộng trên đường nào sau 

đây?

A Elip B. Đường thẳng C. Parabol D. Đường tròn

Lời Giải Chọn A

Ta có

25 cos 16 sin

1

x  y  t t  Nên khi cho t thay đổi, điểm M5cos ; 4sint t đi dộng trên đường Elip : 

1

25 16

x y

 

Câu 39: [0H3-3-3] Cho elip  E :x22 y22 1

a b  0 b a Gọi F F là hai tiêu điểm và cho 1, 2 điểm M0;b Giá trị nào sau đây bằng giá trị biểu thức 2

1 2

MF MF OM ?

A. 2

a b

Lời Giải Chọn D

Ta có F1c; 0, F c2 ; 0 nên MF1 c2b2  a2 a ( do b2 a2c2 ), tương

tự MF2 a

MF MF OM a a b a b

Câu 40: [0H3-3-3] Cho elip  E có tiêu điểm F1(4; 0) và có một đỉnh là A 5;0 Phương trình

chính tắc của  E là

A. 1

25 16

25 9

x  y  D.

1

x y

Lời giải Chọn C

Ta có: c2 a2b2 2 2 2

b a c

Mặt khác ta có  E :x22 y22 1

a b  hay

1

25 9

x  y 

Câu 41: [0H3-3-3] Elip  : 2 2 1

25 16

x y

E   và đường tròn   2 2

C x y  có bao nhiêu điểm chung?

Lời giải Chọn C

Ta có phương hệ phương trình: 2 2 2 2  

25

Giải phương trình  1 :

25

1

16x 25 25 x 25.16 0

2

9x 225 0

225

5 9

x

     Vậy có hai điểm chung

Câu 42: [0H3-3-3] Cho elip  : 2 2 1

16 9

x y

E   và đường thẳng :y3 Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của  E đến  bằng giá trị nào sau đây?

Lời giải Chọn B

Ta có: c  16 9   7 F1 7;0, F2 7;0

Do đó:  1 

3

1

   ,  2 

3

1

   Vậy tích d F 1, .d F2,  9

Câu 43: [0H3-3-3] Tìm phương trình chính tắc của elip  E có trục lớn gấp đôi trục bé và đi

qua điểm 2; 2 

A.  : 1

 : 2 2 1

Lời giải Chọn B

Phương trình Elip có dạng  E :x22 y22 1

a b 

Trục lớn gấp đôi trục bé nên 2a2.2b a 2b (1)

Vì elip đi qua điểm M2; 2  nên 42 42 1

a b  (2) Thay (1) vào (2), ta có:

Vậy phương trình elip là:  : 2 2 1

§3 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 44: [0H3-3-3] [THPT Chuyên Bình Long - 2017 ] Một mảnh vườn hình elip có độ dài

trục lớn bằng 12 m, độ dài trục bé bằng 8m Người ta dự định trồng hoa trong một hình chữ nhật nội tiếp của elip như hình vẽ Hỏi diện tích trồng hoa lớn nhất có thể

là ?

AA'=12 BB'=8

B'

B

A 576 2

m

2

46 m

Lời giải Chọn B

AA'=12 BB'=8

B'

Đặt phương trình chính tắc của  E : x22 y22 1

a b 

Ta có 2a  12 a 6, 2b  8 b 4 Suy ra  : 2 2 1

36 16

x y

E   Chọn A x A;y A là đỉnh hình chữ nhật và x A 0, y A 0

1

36 16

A A

x y

Diện tích hình chữ nhật là

A A