PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Câu 1: [1D1-3-4] (Chuyên Thái Bình – Lần – 2018) Cho phương trình 1  cos x  cos x  m cos x   m sin x Tìm tất giá trị m để phương trình  2  có nghiệm phân biệt thuộc 0;     1 A m    ;   2 B m    ;  1  1;      D m    ;1   C m   1;1 Lời giải Chọn D Ta có: 1  cos x  cos x  m cos x   m sin x  1  cos x  cos x  m cos x   m 1  cos x   cos x  1  1  cos x  cos x  m cos x  m 1  cos x     cos x  m  Xét phương trình cos x  1  x    k 2 k    2  Phương trình cos x  1 khơng có nghiệm đoạn 0;    Cách 1:  Xét phương trình cos 4x  m Đặt f  x   cos x Ta có: f   x   4sin x Xét f   x    sin x   x  k  x  k   2     Xét đoạn 0;  ta có: x  0; ;     2 Bảng biến thiên: k   Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình cos 4x  m có nghiệm phân  2  biệt đoạn 0;    m    Cách 2:  2   8   Xét cos 4x  m Ta có x  0;   x  0;     3 Với x  0; 2  \   m   1;1 phương trình cos 4x  m có nghiệm 8     Với x   2 ;  m    ;1 phương trình cos 4x  m có nghiệm 3       2  Vậy phương trình có nghiệm phân biệt thuộc 0;  m    ;1     (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần - 2018 - BTN) Cho phương trình: Câu 2: [1D1-3-4] sin x   cos x    2cos3 x  m  1 2cos3 x  m   2cos3 x  m  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm  2  x  0;  ?   A B D C Lời giải Chọn D Ta có: sin x   cos x    2cos3 x  m  1 2cos3 x  m   2cos3 x  m   sin x 1  2sin x    2cos3 x  m  2 2cos3 x  m   2cos3 x  m   2sin x  sin x    2cos3 x  m   2cos3 x  m  1 Xét hàm số f  t   2t  t có f   t   6t   0, t  , nên hàm số f  t  đồng biến Bởi vậy: 1  f  sin x   f  2  Với x  0;      cos3 x  m   sin x  cos3 x  m   2  2  sin x  2cos3 x  m   2cos3 x  cos x   m  3 Đặt t  cos x , phương trình  3 trở thành 2t  t   m  4   Ta thấy, với t    ;1 phương trình cos x  t cho ta nghiệm    2   2  x  0;  Do đó, để phương trình cho có nghiệm x  0;  điều kiện       cần đủ phương trình   có nghiệm t    ;1     Xét hàm số g  t   2t  t  với t    ;1   t  Ta có g   t   6t  2t , g   t     t    Ta có bảng biến thiên   Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình   có nghiệm t    ;1   28 4  m   27  2  Hay, giá trị ngun m để phương trình có nghiệm x  0;    là: 4; 3; 2 Câu 3: [1D1-3-4] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm phương trình: sin 2015 x  cos2016 x   sin 2017 x  cos2018 x   cos x  10;30 là: A 46 B 51 C 50 D 44 Lời giải Chọn D Ta có: sin 2015 x  cos2016 x   sin 2017 x  cos2018 x   cos x  sin 2015 x 1  2sin x   cos2016 x  2cos2 x  1  cos x cos x   sin 2015 x.cos x  cos 2016 x.cos x  cos x   2015 2016 sin x  cos x  Với cos 2x   x   k Vì x   10;30  10    ,k  k   30   20   60 k   6  k  18  Với sin 2015 x  cos 2016 x  Ta có sin 2015 x  sin x;cos 2016 x  cos x sin x  0,cos x  1 Do  sin 2015 x  cos 2016 x  sin x  cos x  suy  sin x  1,cos x  Nếu sin x   x  k , k  10 Vì x   10;30  10  k  30  Nếu sin x   x      30   3  k   k 2 , k  Vì x   10;30  10    k 2  30     15  k    1  k   Vậy số nghiệm phương trình cho là: 13   25  44 Câu 4: [1D1-3-4] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [1D1-4] Có giá trị nguyên m để phương trình A B sin x   m  sin x  có nghiệm C D Lời giải Chọn B Ta có sin x   m  sin x   u  sin x   u  Khi Đặt  v  m  sin x   Ta lại có u  v   v   u   u  sin x   u  v  m  (*)  v  m  sin x (*) trở thành u   u    m  1  m  u  5u  12u  10  f  u  Trên , ta có f  u   3u  10u  12 , f  u   : vô nghiệm nên f  u  đồng biến Để phương trình cho có nghiệm 1 có nghiệm  u  hay f 1  m  f    2  m  25  15 Vì m nguyên nên m  2;  1; 0 Vậy có giá trị nguyên m thỏa đề Câu 5: [1D1-3-4]Giải phương trình cos   x  k 3   A  x    k 3   5 x    k 3   x  k 3   x   5  k 3  4x  cos x   x  k   B  x    k   5 x    k   x  k 3 C   x     k 3  D Lời giải Chọn A cos 4x x  cos x 2x 2x  cos x  cos   cos   cos 3 3 2x  2x 2x 2x 2x 2x   2cos2  1   4cos3  3cos  4cos3  4cos  3cos   3 3 3    2x   k 2   x  k 3 2x  cos     2x        k 2   x    k 3  2x 3   cos    x 5    5  k 2 x    k 3   Câu 6: [1D1-3-4] Giải phương trình A x  k 2 , x    k 2 sin10 x  cos10 x sin x  cos6 x  4 cos 2 x  sin 2 x B x  k C x   D x  k , x   k   k 2 Lời giải Chọn B Ta có cos 2 x  sin 2 x  3cos 2 x   0, x  sin10 x  cos10 x sin x  cos6 x sin10 x  cos10 x sin x  cos6 x    4cos 2 x  sin 2 x 4  cos x  sin x   4sin x.cos x 2 2 sin10 x  cos10 x  sin x  cos x  sin x  sin x.cos x  cos x    4  cos x  sin x.cos x  cos x   sin10 x  cos10 x  1 sin10 x  sin x  sin10 x  cos10 x  sin x  cos x  Ta có  10 cos x  cos x Do  sin x   10  sin x   sin x  k sin x  sin x    sin x   x  k  x  1   10 2  cos x  cos x cos x   cos x   cos x   Câu 7: [1D1-3-4] Tìm m để phương trình  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x có 2 nghiệm x   0;   3 A 1  m   B  m  C 1  m    m 1 Lời giải Chọn C Ta có  cos x  1 cos x  m cos x   m sin x   cos x  1 cos x  m cos x   m 1  cos x 1  cos x  cos x  1 cos x  1   cos x  m cos x  m  m cos x cos x  m 2 Với cos x  1  x    k 2 : khơng có nghiệm x   0;   3 D Với cos x  m  cos x  m 1  2    Trên 0;  , phương trình cos x  a có nghiệm với a    ;1      m  1  m  1 m  1 m 1  1      m 1   Do đó, YCBT     1  m   2  2  m   2   1 m 1 1   2      cos  x    a  sin x  cos x có 3 6   nghiệm, tham số a phải thỏa điều kiện: Câu 8: [1D1-3-4] Để phương trình: 4sin  x  A 1  a  B 2  a  C  1 a 2 D 3  a  Lời giải Chọn B       Phương trình tương đương sin  x    sin   a  2sin  x   6 2 6           sin  x    1  a  2sin  x   6  6           sin  x    sin  x     a  6      4.cos x.sin   a2  a 2  cos x  2 Để phương trìnhcó nghiệm 1  Câu 9: [1D1-3-4] Để phương trình thỏa mãn điều kiện: a2    2  a  a2 sin x  a   có nghiệm, tham số a phải  tan x cos x B | a | A | a | C | a | D a  1, a   Lời giải Chọn D Điều kiện phương trình cos x  0,cos2 x  0, tan x  Phương trình tương sin x a  sin x a    2 a a cos2 x cos2 x  cos2 x cos2 x   sin x sin x  tan x  tan x 1  cos2 x cos2 x 2 đương  a  tan x  (a  2)(1  tan x )  (a  1) tan x   Nếu a   | a |  (1) vô nghiệm  Nếu a  1: (1)  tan x  Phương trình có nghiệm a 1 2 1 a  a 1 Vậy phương trình cho có nghiệm a  1, a   sin 3x  cos3x   cos x  Các nghiệm   2sin x   phương trình thuộc khoảng  0;2  là: Câu 10: [1D1-3-4] Cho phương trình:  sin x  A  5 , 12 12 B  5 , C  5 , D  5 , Lời giải Chọn C Điều kiện :  2sin2 x   sin x  2sin x sin x  sin 3x  cos3x  Phương trình tương đương     cos2 x  2sin x    sin x  cos x  cos 3x  sin 3x  cos 3x   5    cos x  2sin x    1  2sin x  cos x   5    cos x  2sin x    5cos x   cos x  cos2 x  5cos x    cos x     cos x  (loai ) Vì x   0;2   x   ,x  Câu 11: [1D1-3-4] Để phương trình x   k 5 (thỏa điều kiện) sin x  cos6 x  a | sin x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: A  a  B a 8 C a  D a  Lời giải Chọn D sin x  cos6 x  a | sin x | sin x  cos2 x   3sin x cos2 x sin x  cos2 x   a | sin x | 3   sin 2 x  a | sin x |  3sin 2 x  4a | sin x | 4  Đặt sin x  t  t   0;1 Khi ta có phương trình 3t  4t   1 Phương trình cho có nghiệm phương trình 1 có nghiệm   4a  12   t   0;1   f    1   a    f 1  4a   Câu 12: [1D1-3-4] Cho phương trình: sin x cos x  sin x  cos x  m  , m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m là: 1 A 2  m    B    m  2    m  Lời giải Chọn D C  m   2 D   Đặt sin x  cos x  t t   sin x cos x  t 1 Khi ta có phương trình t 1  t  m   t  2t  2m   * Phương trình cho có nghiệm phương trình * có nghiệm     2m     s   m  1   t    2;         m  1  f    2  2m  m       f   2  2m           Câu 13: [1D1-3-4] Cho phương trình: sin x  cos x  sin x  cos6 x  4sin x  m m tham số Để phương trình vơ nghiệm, giá trị thích hợp m là: A m  4 hay m  B   m  1 C 2  m   D m  2 hay m  Lời giải Chọn A Ta có: sin x  cos x   sin x  cos x   2sin x cos x   sin 2 x 3 sin x  cos6 x   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x    sin 2 x Phương trình cho trở thành     1  sin 2 x   1  sin 2 x   16sin 2 x cos 2 x  m      4sin 2 x  16sin 2 x 1  sin 2 x    m  16sin x  12sin 2 x   m  Đặt sin 2 x  t  t  0;1 Khi phương trình trở thành 16t  12t  m   * * vô nghiệm khi: TH1:   100  16m   m   25  25   m  4   100  16m   TH2:    f   f 1  m  m    m  Vậy giá trị cần tìm m  4 hay m  Khơng có đáp án Câu 14: [1D1-3-4] Cho phương trình: sin x  cos6 x  2m.tan x , m tham số Để cos x  sin x phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m là: 1 1 1 A m   hay m  B m   hay m  C m   hay m  D 8 8 2 m  1 hay m  Lời giải Chọn B ĐK: cos2x  sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x   sin x  cos6 x  2m.tan x   2m tan x cos2 x  sin x cos x 3  sin 2 x   2m tan x   sin 2 x  2m sin x  3sin 2 x  8m sin x   cos x Đặt sin x  t  t   1;1  Khi phương trình trở thành: 3t  8mt   * Phương trình cho có nghiệm phương trình * có nghiệm t   1;1 TH1: * có 1  m  t   1;1  f 1 f  1    8m  1 8m  1    m    nghiệm    16m2  12  m     f 1  8m    TH2: * có nghiệm t   1;1   f  1  8m    m   VN    1  s   4m      m   Câu 15: [1D1-3-4] Phương trình cos x  sin x    x    k 2    A  x   k   x  k   cos x có nghiệm là:  sin x   x   k 2    B  x   k   x  k   3  x   k    C  x    k 2   x  k 2   5   x   k   x  3  k   x  k   Lời giải Chon C ĐK sin 2x  cos x  sin x  cos x cos x  sin x  cos x  sin x   sin x  sin x  cos x   cos x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x   sin x  cos x   cos x  sin x   cos x  sin x     cos x  sin x  1  0 sin x  cos x  sin x  cos x     sin  x     4 cos x  sin x     sin x  cos x  1  sin  x     1    4   D    x   k      x     k 2  k   4   5 x    k 2  4   x    k      x  k 2 k   3  k 2 x   Câu 16: [1D1-3-4] Phương trình 2sin x  A x  x   k B x  3   x   k      x    k 2  k   x  k 2    1  cos x  có nghiệm là: sin x cos x   k 12 C x  3  k D 3  k Lời giải Chọn A ĐK sin 2x  2sin x  1 1  cos x    sin x  cos x    sin x cos x cos x sin x   3sin x  4sin x    cos x  3cos x     3  sin x  cos x    sin x  cos x    sin x  cos x sin x cos x sin x  cos x sin x cos x  3  sin x  cos x    sin x  cos x   sin x  sin x cos x  cos x     3  sin x  cos x    sin x  cos x 1  sin x cos x      sin x  cos x  3  1  sin x cos x    sin x  cos x sin x cos x     sin x  cos x  6  1  sin x cos x   0 sin x cos x       sin x  cos x  2  8sin x cos x  0 sin x cos x      sin  x   2sin x cos x   sin x cos x   1     sin x  cos x sin x cos x sin x  cos x sin x cos x    sin  x   2sin 2 x  sin x  1  4     x   k     sin  x     x    k 2      sin x   k     x    k 2 sin x      7  k 2 2 x   có đáp án   Câu 17: [1D1-3-4] Phương trình 2sin  3x    x   k  A   x  5  k     x    k   x    k   k    x    k 12   7  k x   12  Không     8sin x.cos x có nghiệm là: 4   x   12  k B   x  5  k  12   x   k  12 C   x   7  2k  12 D    x  24  k   x  5  k  24 Lời giải Chọn C    sin  3x         2sin  3x     8sin x.cos 2 x   4  4sin  3x      8sin x.cos 2 x *    4     cos  x    cos x 2    8sin x  *  2  1  sin x    4sin x  4sin x cos x   2sin x   4sin x   sin x  sin x   2sin 2x 1    x   k 2   sin x    k   x  5  k 2    x   12  k 1  k   x  5  k    12      2n  sin  3x     12 4  + k chẵn 1  x  + k lẻ 1  x  + k chẵn  2  x  + k lẻ  2  x   11     2n  1     2n  sin  3x    1  12 12 4  5    2n  sin  3x    1  12 4  5 7     2n  1     2n  sin  3x     12 12 4     x  12  2k Vậy tập nghiệm   x   7  2k  12 tan x cos x   m Để phương trình vơ nghiệm,  tan x giá trị tham số m phải thỏa mãn điều kiện: Câu 18: [1D1-3-4] Cho phương trình A   m  m   hay m  2 B  m 1 C  m  D Lời giải Chọn D ĐK: cos x  tan x tan x cos x   m  cos x   m  cos x  4sin x cos x  m 2  tan x 2 cos x  1  2sin 2 x   2sin x  m  sin 2 x  2sin x  m    2 Đặt sin x  t  t   1;1 Khi phương trình trở thành: t  2t  m   (*) Phương trình (*) vơ nghiệm: TH1:   3 m0 m  2  m           m    m   TH2:   3  2  f  1 f 1   m   m             m     Câu 19: [1D1-3-4] Phương trình: 4sin x.sin  x     2   sin  x    cos3x  có nghiệm 3   là:  2  x   k  A   x  k 2    x   k  B  x  k     x   k 2 C    x  k    x   k 2  x  k   Lời giải Chọn A    2  4sin x.sin  x   sin  x    cos3x  3         2sin x  cos     cos  x      cos3x   3   1   2sin x   cos x   cos3x  2   sin x  sin 3x  sin   x   cos3x   sin3x  cos3x  D    sin  3x    4      sin  3x    sin 4  2  x  k  k   x    k 2  Câu 20: [1D1-3-4]Hàm số y   2sin x  cos x có tất giá trị nguyên? sin x  cos x  A C B D Lời giải Chọn B Ta có y  2sin x  cos x   y   sin x   y  1 cos x  3 y sin x  cos x  Điều kiện để phương trình có nghiệm   y     y  1   3 y   y  y    1  y  Câu 21: 2 y   y  1;0 nên có giá trị nguyên [1D1-3-4]Gọi x0 nghiệm dương nhỏ cos x  sin x  sin x  cos x  Mệnh đề sau đúng?    A x0   0;   12     B x0   ;  12     C x0   ;   3    x0   ;   2 Lời giải Chọn B 3 sin x  sin x  cos x  Phương trình  cos x  2 2      sin   x   sin  x    6 6   D Đặt t  x    x t   x  2t    2x    2t     Phương trình trở thành  sin  2t    sin t   cos 2t  sin t  2   2sin t  sin t   sin t  2sin t  1  x   sin t   t  k   k   k   k     kmin   x  6   k    t   k    x   k    k      k   x   6 sin t    k t  5  k 2   x    k 2   k      kmin   x    Suy nghiệm dương nhỏ phương trình x        ;  12  Câu 22: [1D1-3-4] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018)Số nghiệm phương trình   ;   sin x sin x  2sin x cos x  sin x  cos x  cos x khoảng sin x  cos x là: A B C D Lời giải Chọn A Điều x Ta có:    sin x  cos x   sin  x     x   k 4  kiện   k ,  k   sin x sin x  2sin x cos x  sin x  cos x  cos x sin x  cos x  sin x  sin x  cos x   sin x  cos x  cos x sin x  cos x   sin x  1 sin x  cos x   sin x  cos x cos x      sin x  cos x  1  sin  x    sin    3   6       x     k 2  x  12  k   k   x        k 2  x  3  k    Thử lại điều kiện, phương trình cho có nghiệm là: x  Trên   ;   phương trình cho có nghiệm là:  12  12 ;  k  k   11 12 Câu 23: [1D1-3-4] Tìm m để phương trình cos2 x   2m  1 cosx  m   có   nghiệm x    ;   2 A 1  m  B  m  1  m  C  m  D Lời giải Chọn B  cosx    cos2 x   2m  1 cosx  m   1  2cos x   2m  1 cosx  m    cos x  m   Vì x    ;  nên  cosx  Do cosx   (loại)  2   Vậy để phương trình (1) có nghiệm x    ;   2  cosx    m  Câu 24: [1D1-3-4] Giải phương trình cos   x  k 3   A  x    k 3   5 x    k 3   x  k 3   x   5  k 3  4x  cos x   x  k   B  x    k   5 x    k  Lời giải  x  k 3 C   x     k 3  D Chọn A cos 4x x  cos x 2x 2x  cos x  cos   2cos   cos3 3 3 2x  2x 2x 2x 2x 2x   2cos  1   4cos3  3cos  4cos3  4cos  3cos   3 3 3    2x    k 2  x  k 3 2x  cos     2x        k 2   x    k 3  2x 3   cos    x 5    5  k 2 x    k 3      ;  2  Câu 25: [1D1-3-4] Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x   m có nghiệm x    A 3  m  1  m  B 2  m  C  m  D Lời giải Chọn D x    Đặt t  tan , để x    ;  t   1;1  2 2t 1 t pt  m   m  4t  m  mt   m  1  m  t  t  4t   2m 2 1 t 1 t Vậy để u cầu tốn xảy f  t   t  4t   1;1 Ta có f '  t   2t  4; f '  t    t  Vậy để yêu cầu tốn xảy 2  2m   1  m  ... có phương trình 3t  4t   1 Phương trình cho có nghiệm phương trình 1 có nghiệm   4a  12   t   0;1   f    1   a    f 1  4a   Câu 12: [1D1-3-4] Cho phương trình: ... a  1: (1)  tan x  Phương trình có nghiệm a 1 2 1 a  a 1 Vậy phương trình cho có nghiệm a  1, a   sin 3x  cos3x   cos x  Các nghiệm   2sin x   phương trình thuộc khoảng ... Đặt t  cos x , phương trình  3 trở thành 2t  t   m  4   Ta thấy, với t    ;1 phương trình cos x  t cho ta nghiệm    2   2  x  0;  Do đó, để phương trình cho có nghiệm