Bài toán 1: Chứng mính đẳng thức (SBTtập1 bài 15d, toán 9 tr 15)Hướng dẫn giải: Nhận xét: Vế trái của đẳng thức cần chứng minh biến đổi được về dạng (), hay đẳng thức cần chứng minh sẽ có dạng: Hoặc có dạng: Từ đó ta sẽ có những bài toán tương tự như trên bằng cách thay a và b những số nào đó, với a không âm. Ví dụ ta cho a=2; b=3. Ta có: Từ đó ta có bài toán: Bài 1.1: Chứng minh đẳng thức: Cho a = 5; b = 3, ta có bài toán: Bài 1.2: Chứng minh đẳng thức: Cho a=5, b= 7, ta có bài toán: Bài 1.3: Chứng minh: Hoặc các bài rút gọn như: ......Bài toán 2: Chứng minh: (SBT tập 1, toán 9 bài 26a tr7)Giải: Nhận xét 2.1: Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có thể biến đổi thành căn bậc hai số học của một số chính phương. Từ đó giáo viên có thể ra thêm những bài toán tương tự để học sinh làm bằng cách suy ngược từ cuối như sau: Cho a, b, c những số bất kỳ, với lưu ý a2b 0, ta có những bài toán tương tự. Ví dụ: Chứng minh: Thực ra để biến đổi vế trái của các đẳng thức trên ta vận dụng hằng đẳng thức: (A+B)(AB) = A2 – B2 Bây giờ ta chọn , , ta có đẳng thức: Nếu chia cả hai vế của đẳng thức này cho ta được: Nhưng: Suy ra: Do đó ta có bài toán sau:Bài 2.4: Chứng minh rằng: () (Với n là số tự nhiên)(Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huyện Quỳ Hợp năm 20052006)Giải:Biến đổi vế trái, ta có: Nhận xét 2.2: Với kết quả bài 2.4 ta suy ra: Cho n=0, ta có: 1 < 2Cho n=1, ta có: Cho n=2, ta có: ……………..Cho n=2004, ta có: Suy ra: Vậy ta có tiếp bài toán sau cũng là một đề thi học sinh giỏi lớp 9:Bài 2.5: Chứng minh rằng: (1)(Đề thi học sinh giỏi toán 9, Huyện Quỳ Hợp, năm 20052006)Hướng dẫn giải:Nếu hai bài toán 2.4 và 2.5 ra cùng nhau như trên thì ta cần chứng minh bất đẳng thức ở bài 2.4 là vận dụng làm bài 2.5 dễ dàng như nhận xét 2.2 trên. Nhưng nếu chỉ ra bài toán 2.5 thôi thì làm thế nào để học sinh phát hiện được bài toán 2.5 có liên quan đến bài toán 2.4, tức là liên quan đến bất đẳng thức ? Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh (của bài 2.5) để nhận ra bất đẳng thức tổng quát cần vận dụng theo cách thức sau: Nhìn vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy các hạng tử đều có dạng: (với n là số tự nhiên). Còn vế phải có dạng: Ta xét: (n là số tự nhiên)Cho n=1, ta có: 1< 2 n=2, ta có: …….Cho n=2004, ta có: Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: (2) So sánh (1) và (2) ta thấy: Vế trái của (1) = Vế trái của (2)Nhưng: Vế phải của (1) = Vế phải của (2) Do đó ta có bất đẳng thức tổng quát cần vận dụng: (với n là số tự nhiên)(Tất nhiên là phải chứng minh trước, rồi mới vận dụng được)Nhận xét 2.3: Ta có: Kết hợp với () ta có bài toán: Bài 2.6: Chứng minh: (2.6) (n là số tự nhiên)Nhận xét 2.4: Đây là bài toán tổng quát, và bài toán này thường dễ hơn những bài toán cụ thể suy ra từ bài toán tổng quát trên. Ví dụ ta thay n lần lượt bằng 1; 2; …; 2005 vào bất đẳng thức (2.6) rồi cộng vế theo vế các bất đẳng thức thu được ta sẽ có bài toán sau: Bài 2.7: Chứng minh: (Đề thi học sinh giỏi toán 9 trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp, năm 20072008)Nhận xét 2.5: Bài toán 2.7 khó hơn bài toán 2.6, vì học sinh muốn làm bài 2.7 thì cần tìm ra và chứng minh được bất đẳng thức (2.6). Muốn tìm ra được bất đẳng thức (2.6) học sinh thực hiện tương tự như hướng dẫn giải ở bài 2.5.Bài toán 3: Xác định giá trị của biểu thức sau theo cách thích hợp: (Bài 72, Sách bài tập toán 9 tập 1, trang 14)Giải:Ta có: Nhận xét 3.1: Từ bài toán cụ thể này, tổng quát hóa ta có hai bài toán sau:Bài 3.1: Chứng minh rằng: Giải: Bài 3.2: Chứng minh: (Bài 71, sách bài tập toán 9 tập 1, trang 14)Giải:Ta có: Nhận xét 3.2: Biến đổi theo cách đưa vào trong dấu căn ta sẽ được bài toán thú vị khác. Vậy: (3.2)Dựa vào đẳng thức (3.2) ta có bài toán sau:Bài 3.3: Đơn giản biểu thức: (Đề thi học sinh giỏi cấp THCS năm học 20092010 của huyện Quỳ Hợp)Giải:Vận dụng đẳng thức (3.2) ta có: Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được: Bài toán 4: Rút gọn: (Bài 60a, SBTtoán 9T1. Tr12)Giải: Nhận xét 4.1: Kết quả của bài toán trên có dạng: (với m,n không âm). Từ đó giáo viên có thể tạo ra được những bài toán rút gọn tương tự để học sinh cùng làm bằng cách thay m, n và biến đổi a thành tổng hoặc hiệu các số sau đó biến đổi đưa về dạng ban đầu để trông nó có vẻ phức tạp lên một tí để học sinh hứng thú khám phá học tập. Ví dụ: Cho m = 7, n = 2, a = 3 = 4 – 2 +1. Ta biến đổi để có đề bài toán mới như sau: Vậy ta có bài toán: Bài 4.1: Rút gọn: (Kết quả: ) Nếu cho m=3, n=5, a=1=34+2, ta có bài toán: Bài 4.2: Rút gọn: (Kết quả : ) Nếu cho m=3, n=2, a=5=2+63, ta có bài toán: Bài 4.3: Rút gọn: (Kết quả: )Bài toán 5: Giải phương trình: (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 vòng 1 năm 20062007 của huyện Quỳ Hợp)Giải: Điều kiện: Với điều kiện , ta có: Vậy phương trình đã cho có nghiệm Nhận xét 5.1: Để giải phương trình trên, ta biến đổi về phương trình tích. Phương trình tích ở đây có dạng: . Dựa vào dạng tổng quát này, giáo viên có thể ra nhiều bài toán tương tự để học sinh làm. Ví dụ cho: A(x) = 2x – 1, B(x) = 3x, m = 1, ta có: Vậy ta có bài toán:Bài 5.1: Giải phương trình: Giải:Điều kiện: Vậy phương trình vô nghiệm.Bài 5.2: Giải phương trình: (Cho A(x) = x2+1; B(x) = x2; m = x2 – 3; x không âm)(Đề thi học sinh giỏi huyện Quỳ Hợp cấp THCS năm học 2009 – 2010)Giải: VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 2 và x = 2 Bài 5.3: Giải phương trình: (Cho A(x) = x; B(x) = 1x; m = 2)Giải:Điều kiện:
Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi Bài tốn 1: Chứng mính đẳng thức 23 (SBTtập1 15d, toán tr 15) Hướng dẫn giải: VT 2.4 16 ( 4) 7(*) 4 VP Nhận xét: Vế trái đẳng thức cần chứng minh biến đổi dạng (*), hay đẳng thức cần chứng minh có dạng: a b a b Hoặc có dạng: a b a b Từ ta có tốn tương tự cách thay a b số đó, với a khơng âm Ví dụ ta cho a=2; b=3 Ta có: 3 3 � 2 3 3 � 26 9 3 � 11 Từ ta có tốn: Bài 1.1: Chứng minh đẳng thức: 11 - Cho a = 5; b = -3, ta có tốn: Bài 1.2: Chứng minh đẳng thức: 14 - Cho a=5, b= -7, ta có tốn: Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi Bài 1.3: Chứng minh: 54 14 Hoặc rút gọn như: Bài1.4) 41 12 (a 5; b 6) Bài1.5) (a 3; b 2) Bài1.6) (a 5; b 2) Bài toán 2: Chứng minh: 17 17 (SBT tập 1, toán 26a tr7) Giải: VT 17 17 92 17 81 17 64 VP Nhận xét 2.1: Ta thấy vế trái đẳng thức cần chứng minh biến đổi thành bậc hai số học số phương Từ giáo viên thêm tốn tương tự để học sinh làm cách suy ngược từ cuối sau: c c2 a2 b a b a b Cho a, b, c số bất kỳ, với lưu ý a 2-b �0, b �0 ta có tốn tương tự Ví dụ: Chứng minh: Bài2.1) 11 11 (a 6; b 11) Bài2.2) 15 15 (a 8; b 15) Bài2.3) 13 13 (a 7; b 13) Thực để biến đổi vế trái đẳng thức ta vận dụng đẳng thức: Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi (A+B)(A-B) = A2 – B2 Bây ta chọn A n , B n , ta có đẳng thức: ( n n )( n n ) Nếu chia hai vế đẳng thức cho n n ta được: n 1 n Nhưng: n 1 n n 1 Suy ra: n 1 n n 1 n n 1 Do ta có tốn sau: Bài 2.4: Chứng minh rằng: n 1 n (*) (Với n số tự nhiên) n 1 (Đề thi học sinh giỏi lớp Huyện Quỳ Hợp năm 2005-2006) Giải: Biến đổi vế trái, ta có: ( n n )( n n ) n 1 n 1 VP n 1 n n 1 VT n n Nhận xét 2.2: Với kết 2.4 ta suy ra: 2( n n ) n 1 Cho n=0, ta có: < Cho n=1, ta có: 2( 1) Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi 2( 2) Cho n=2, ta có: …………… 2( 2005 2004) 2005 Cho n=2004, ta có: Suy ra: 1 2005 2005 Vậy ta có tiếp tốn sau đề thi học sinh giỏi lớp 9: Bài 2.5: Chứng minh rằng: 1 2005 2005 (1) (Đề thi học sinh giỏi toán 9, Huyện Quỳ Hợp, năm 2005-2006) Hướng dẫn giải: Nếu hai toán 2.4 2.5 ta cần chứng minh bất đẳng thức n 1 n 2.4 vận dụng làm 2.5 dễ dàng nhận xét n 1 2.2 Nhưng tốn 2.5 thơi làm để học sinh phát tốn 2.5 có liên quan đến toán 2.4, tức liên quan đến bất đẳng thức 2( n n ) ? Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào bất đẳng n 1 thức cần chứng minh (của 2.5) để nhận bất đẳng thức tổng quát cần vận dụng theo cách thức sau: - Nhìn vào vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hạng tử có dạng: (với n số tự nhiên) Còn vế phải có dạng: n n 1 - Ta xét: n 1 n 1 (n số tự nhiên) Cho n=1, ta có: 1< Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi 2 n=2, ta có: …… Cho n=2004, ta có: 2005 2005 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: 1 1 2 2005 (2) 2005 - So sánh (1) (2) ta thấy: Vế trái (1) = Vế trái (2) 2004 Nhưng: Vế phải (1) = Vế phải (2) - � n n 1 Do ta có bất đẳng thức tổng quát cần vận dụng: 2( n n ) (với n n 1 số tự nhiên) (Tất nhiên phải chứng minh trước, vận dụng được) Nhận xét 2.3: Ta có: 1 � n n 1 n n 1 n 1 n 1 Kết hợp với (*) ta có tốn: Bài 2.6: Chứng minh: n n 1 n n (2.6) (n số tự nhiên) n 1 Nhận xét 2.4: Đây toán tổng quát, toán thường dễ toán cụ thể suy từ toán tổng quát Ví dụ ta thay n 1; 2; …; 2005 vào bất đẳng thức (2.6) cộng vế theo vế bất đẳng thức thu ta có tốn sau: Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi Bài 2.7: Chứng minh: 2007 2 1 2006 2 2006 (Đề thi học sinh giỏi toán trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp, năm 20072008) Nhận xét 2.5: Bài tốn 2.7 khó tốn 2.6, học sinh muốn làm 2.7 cần tìm chứng minh bất đẳng thức (2.6) Muốn tìm bất đẳng thức (2.6) học sinh thực tương tự hướng dẫn giải 2.5 Bài toán 3: Xác định giá trị biểu thức sau theo cách thích hợp: 1 2 3 4 (Bài 72, Sách tập toán tập 1, trang 14) Giải: Ta có: 1 2 3 4 2 3 4 ( 1)( 1) ( 2)( 2) ( 3)( 3) 1 3 1 Nhận xét 3.1: Từ tốn cụ thể này, tổng qt hóa ta có hai toán sau: Bài 3.1: Chứng minh rằng: 1 n 1 1 2 3 n 1 n Giải: VT n n n VP Khai thác toán vô tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi Bài 3.2: Chứng minh: n 1 n n 1 n (Bài 71, sách tập toán tập 1, trang 14) Giải: Ta có: VT n n ( n n )( n n ) VP n 1 n n 1 n Nhận xét 3.2: Biến đổi n n theo cách đưa vào dấu ta toán thú vị khác n n ( n n ) 2n n n 2n 4n 4n 2n (2n 1) Vậy: n n 2n (2n 1) (3.2) Dựa vào đẳng thức (3.2) ta có tốn sau: Bài 3.3: Đơn giản biểu thức: 32 52 2005 2005 (Đề thi học sinh giỏi cấp THCS năm học 2009-2010 huyện Quỳ Hợp) Giải: Vận dụng đẳng thức (3.2) ta có: 32 52 2005 20052 1003 1002 Cộng vế theo vế đẳng thức ta được: Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi 32 52 2005 20052 1003 1002 1003 Bài toán 4: Rút gọn: 40 12 75 48 (Bài 60a, SBTtoán 9T1 Tr12) Giải: 40 12 75 48 22.5.2 2.3 52.3 2.3 2.2.5 5.4 3.2 (8 6) 0 Nhận xét 4.1: Kết tốn có dạng: a m n (với m,n khơng âm) Từ giáo viên tạo tốn rút gọn tương tự để học sinh làm cách thay m, n biến đổi a thành tổng hiệu số sau biến đổi đưa dạng ban đầu để trơng phức tạp lên tí để học sinh hứng thú khám phá học tập Ví dụ: Cho m = 7, n = 2, a = = – +1 Ta biến đổi để có đề tốn sau: (4 1) 28 28 32 98 Vậy ta có tốn: Bài 4.1: Rút gọn: 32 98 (Kết quả: ) - Nếu cho m=3, n=5, a=1=3-4+2, ta có toán: Bài 4.2: Rút gọn: 45 20 12 Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi (Kết : ) - Nếu cho m=3, n=2, a=5=2+6-3, ta có tốn: Bài 4.3: Rút gọn: 18 27 (Kết quả: ) Bài tốn 5: Giải phương trình: x 5x 4x (Đề thi học sinh giỏi lớp vòng năm 2006-2007 huyện Quỳ Hợp) Giải: x 5x 4x Điều kiện: x �0 Với điều kiện x �0 , ta có: x 5x 4x � x 5x 5x-(x+1) � x 5x ( x 5x )( x 5x ) � ( x 5x )(1 x 5x ) � x 5x � x 5x � x 5x � x (TM ) Vậy phương trình cho có nghiệm x Nhận xét 5.1: Để giải phương trình trên, ta biến đổi phương trình tích Phương trình tích có dạng: ( A( x) B ( x))( m A( x) B( x) Dựa vào dạng tổng quát này, giáo viên nhiều tốn tương tự để học sinh làm Ví dụ cho: A(x) = 2x – 1, B(x) = 3x, m = 1, ta có: Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi ( 2x 3x )(1 2x 3x ) � 2x 3x 2x 3x � 2x 3x x Vậy ta có tốn: Bài 5.1: Giải phương trình: 2x 3x x Giải: Điều kiện: x � 2x 3x x � 2x 3x 2x 3x � ( 2x 3x )(1 2x 3x ) � 2x 3x � 2x 3x � 2x 3x � x 1( KhôngTM ) Vậy phương trình vơ nghiệm Bài 5.2: Giải phương trình: x 3x ( x 3) x (Cho A(x) = x2+1; B(x) = x2; m = -x2 – 3; x không âm) (Đề thi học sinh giỏi huyện Quỳ Hợp cấp THCS năm học 2009 – 2010) Giải: x 3x ( x 3) x � x 3x x x x � (x x x 1) (3 x 3x) � x 1( x x) 3( x x) 10 Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi � ( x x)( x 3) � x2 x � x2 x �� �� 2 � � �x 1 � x 1 � �x �0 (VN ) �2 � �� � x � x �2 x x � � x2 � VËy ph¬ng trình có nghiệm x = 2 v x = - 2 Bài 5.3: Giải phương trình: x x 2x (Cho A(x) = x; B(x) = 1-x; m = 2) Giải: Điều kiện: �x �1 Cách 1: x x 2x � 2( x x ) x (1 x) � ( x x )(2 x x ) � x 1 x � x 1 x � x 1 x � x (TM ) Vậy phương trình cho có nghiệm x Cách 2: 11 Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi x x 2x � x+2 x x x � ( x 1) ( x 1) � x x (5.3) � x 1 1 x 1 � x 1 x � x 1 x � x (TM ) Vậy phương trình có nghiệm x Nhận xét 5.2: Từ đẳng thức (5.3) ta có dạng tổng quát: A( x) m B ( x) n Giáo viên dựa vào đẳng thức tổng quát để số đề tốn tương tự Ví dụ: Cho A(x) = x-2; m = -1; B(x) = 2x; n = ta có: x 1 2x � x 1 2x 2 � x x 2x 2x � 2x x x Vậy ta có đề tốn: Bài 5.4: Giải phương trình: 2x x x (5.4) Hướng dẫn giải: Điều kiện: x �2 Biến đổi phương trình (5.4) thành: ( x 1) ( 2x 2) 12 Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi � x 1 2x � x 2x 2(1) � � x 2x 2(2) (1) � x 2x � x 2x 2x � x+6 2x 11 0(3) Giải tiếp phương trình (3) ta được: x = (thỏa mãn) 2 � x 2x (Vô nghiệm) Vậy phương trình cho có nghiệm: x = Nhận xét 5.3: Để tốn giải có nghiệm đơn giản nghiệm phương trình trên, ta cho nghiệm trước sau chọn đề tương ứng với nghiệm Ví dụ ta cho nghiệm phương trình x = chẳng hạn, thay vào phương trình: x2 m 2x Ta được: 22 m 2.2 � m � m �4 Vậy ta có tốn sau: Bài 5.5: Giải phương trình: x 2x x 10 Giải Điều kiện: x �2 13 Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi x 2x x 10 � x x 16 2x 2x � x2 4 x2 4 � 2x 2x � x 2x � x 2x � �x �2 � 2x �0 �� �� �x 2x 2x �x 2x 0(*) Giải phương trình (*): x 2x Đặt t = x , t �0 , ta có phương trình: t 2t 0(**) ' 2 620 Phương trình (**) có nghiệm phân biệt: t1 2 2(TM ) t2 2 2(TM ) Với t ta có: x = Với t ta có: x = 18 Vậy phương trình cho có hai nghiệm là: x1 = 2; x2 = 18 14 .. .Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi Bài 1.3: Chứng minh: 54 14 Hoặc rút gọn như: Bài1 .4) 41 12 (a 5; b 6) Bài1 .5) (a 3; b 2) Bài1 .6) (a 5; b 2) Bài toán. .. qt hóa ta có hai toán sau: Bài 3.1: Chứng minh rằng: 1 n 1 1 2 3 n 1 n Giải: VT n n n VP Khai thác toán vô tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi Bài 3.2: Chứng... sau: Khai thác tốn vơ tỉ để bổi dưỡng học sinh giỏi Bài 2.7: Chứng minh: 2007 2 1 2006 2 2006 (Đề thi học sinh giỏi toán trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp, năm 20072008) Nhận xét 2.5: Bài