PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Bồi dưỡng học sinh khá giỏi là một nhiệm vụ mà giáo viên nào khi được phân công dạy học cũng quan tâm chú ý và luôn tìm cách để nâng cao chất lượng hơn nữa. Việc quan tâm đầu tiên của giáo viên khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi là soạn bài, tìm tài liệu phù hợp với phẩm chất năng lực của học sinh cũng như phải phù hợp với chuẩn kiến thức và kỹ năng mà Bộ Giáo Dục và Đào Tạo quy định. Sách giáo khoa là tài liệu để giáo viên và học sinh căn cứ giảng dạy và học tập, là tài liệu thực hiện chương trình giáo dục bám sát chuẩn kiến thức và kỹ năng. Vì thế tôi đã nghiên cứu kỹ các bài tập ở sách giáo khoa toán 8, lựa chọn những bài tập có khả năng phát triển, khai thác chúng để đưa ra những bài tập tương tự, nâng cao để bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán 8. Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi từ việc khai thác các bài tập ở sách giáo khoa là một việc làm đối với tôi là rất cần thiết, bởi làm như vậy giúp tôi nghiên cứu kỹ hơn chương trình dạy học, nội dung kiến thức cần làm cho học sinh nắm vững. Đồng thời giúp tôi bồi dưỡng được chuyên môn và có tài liệu để dạy học. Trong sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi khai thác các bài toán về đại số, những bài toán có tính phát triển để bồi dưỡng học sinh. Những bài toán được ra thêm là những bài toán hoàn toàn mới, không sao chép từ bất kỳ tài liệu nào của người khác sẽ gây hứng thú học tập cho học sinh vì đó là những bài toán mới. Tuy nhiên nó cũng không phải là khó quá để học sinh không thể làm được khi học sinh đã làm được các bài tập ở sách giáo khoa. PHẦN II: NỘI DUNG A. THỰC TRẠNG Hiện nay, trên thị trường có rất nhiều sách tham khảo mà học sinh có thể tìm hiểu. Nhưng những tài liệu đó không hẳn là được Bộ Giáo Dục và Đào tạo khuyến khích học sinh dùng, bởi chúng chưa hẳn đã bám sát vào chuẩn kiến thức và kỹ năng THCS. Theo tìm hiểu của tôi, Bộ Giáo Dục và Đào tạo đã có dự thảo về quy định sử dụng sách, tài liệu tham khảo trong các cơ sở giáo dục mầm non, giáo dục phổ thông và giáo dục thường xuyên, trong đó quy định hành vi bị cấm: “Cán bộ quản lý giáo dục các cấp, giáo viên, nhân viên của các cơ sở giáo dục không được lạm dụng vị trí công tác của mình để thực hiện hoặc tham gia thực hiện việc giới thiệu, quảng bá, vận động mua, phát hành sách tham khảo tới học sinh, học viên hoặc cha mẹ học sinh, học viên dưới bất kỳ hình thức nào”. Do vậy việc giáo viên khai thác các bài tập ở sách giáo khoa để làm tài liệu bồi dưỡng học sinh là rất phù hợp. Dưới đây là một số bài toán, tôi đã trăn trở suy nghĩ để tạo ra cho học sinh làm sau khi kết thúc mỗi tiết học liên quan đến nội dung đó. B. CÁC BIỆN PHÁP CHÍNH Bài toán 1: (Bài 23 sgk toán 8 tập 1 trang 12) Chứng minh rằng: Áp dụng: a) Tính , biết a + b = 7 và a.b = 12 b) Tính , biết a - b = 20 và a.b = 3 Hướng dẫn: Để chứng minh các đẳng thức, ta có các cách sau: - Biến đổi vế này thành vế kia - Biến đổi tương đương đưa về đẳng thức cuối cùng ta khẳng định là đúng - Biến đổi từng vế về cùng một giá trị Giải Ta có: a2+2ab+b2 = a2 – 2ab + b2 +2ab + 2ab = (a – b)2 + 4ab a2-2ab+b2 = a2 + 2ab + b2 - 2ab - 2ab = (a + b)2 - 4ab Áp dụng: a) Với a + b = 7 và a.b = 12 ta có: b) Với a - b = 20 và a.b = 3 ta có: Các bài toán khai thác thêm: Bài 1.1: Chứng minh rằng: Áp dụng tính: a) Tính , biết 2x + y = 5 và xy = 3 b) Tính , biết 2x-y = 4 và xy = 10 Bài 1.2: Tính: a) (3x+2y)2, biết 3x-2y = 7 và xy = 6 b) (3x-2y)2, biết 3x+2y = 8 và xy = 9 c) xy, biết 2x+3y = 10 và 2x – 3y = 6 Bài toán 2: (Bài 42 sgk toán 8 tập 1 trang 19) Chứng minh rằng: 55n+1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên) Hướng dẫn: Phân tích 55n+1 – 55n thành một tích có chứa thừa số chia hết cho 54. 55n+1 – 55n = 55n.54 54. Từ bài toán này, tổng quát ta có: an+1-an = an(a-1) (a-1) Tương tự ta có các bài toán sau: Bài 2.1: Chứng minh rằng: 20142014-20142013 chia hết cho 2013 Hướng dẫn: Tương tự cách làm ở bài tập trên, phân tích 20142014-20142013 = 20142013.2013 2013 Bài 2.2: Chứng minh rằng: 20142018 + 20142015 2015 Hướng dẫn: 20142018 + 20142015=20142015(20143+1)=20142015.2015.(20142-2014+1) 2015 Bài 2.3: Chứng minh rằng: chia hiết cho 403 Hướng dẫn: Phân tích thành thừa số, trong đó có thừa số chia hết cho 403: = 2013.2015.20144026 403 (vì 2015 403) Bài toán 3: (Bài 52 sgk toán 8 tập 1 trang 24) Chứng minh rằng: (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n. Hướng dẫn: Ta phân tích (5n + 2)2 – 4 thành một tích có chứa thừa số chia hết cho 5: (5n + 2)2 – 4 = 5n(5n+4) 5 Tổng quát: (ax+b)2 – b2 a với a, b, x nguyên. Ta có các bài toán tương tự: Bài 3.1: Với mọi số nguyên m, n. Chứng minh rằng: a) (7n – 3)2 – 9 7 b) (5n + 3)2 – 9 5 c) (3n2 – 2)2 – 4 3 d) (4n-5m)2 – 25m2 8 Hướng dẫn: Dùng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A-B)(A+B) để phân tích thành nhân tử. a) (7n – 3)2 – 9 = (7n – 3 +3)(7n-3-3)=7n.(7n-6) 7 b) (5n + 3)2 – 9 = 5n.(5n+6) 5 c) (3n2 – 2)2 – 4 = 3n2(3n2-4) 3 d) (4n-5m)2 – 25m2 = 8n.(2n-5m) 8 Bài toán 4: (Bài 58 sgk toán 8 tập 1 trang 25) Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Hướng dẫn: Phân tích n3 – n thành một tích với chú ý: Tích của n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho n: n3 – n = n(n2- 1) = (n-1)n(n+1). Đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và trong 3 số này chắc chắn có một số chẵn nên tích này chia hết cho 2. Mà ƯCLN(2, 3) = 1 nên (n-1)n(n+1) (2.3) Nhận xét: Vận dụng tính chất: Tích n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho n ta có các bài toán sau: Bài 4.1: Chứng minh rằng: (n3 + 5n) 6 với mọi số nguyên n Hướng dẫn: n3 +5n = (n3 –n) + 6n 6 Bài 4.2: Chứng minh rằng: n5 + n3 -2n chia hết cho 12 với mọi số nguyên n Hướng dẫn: n5 + n3 -2n = n(n4+n2-2)=n(n-1)(n+1)(n2+2) n(n-1)(n+1) chia hết cho 3, nếu n lẻ thì (n-1) và (n+1) chẵn nên cùng chia hết cho 2. Nếu n chẵn thì n và (n2+2) cùng chia hết cho 2. Vậy: n(n-1)(n+1)(n2+2) 3.2.2=12 Bài 4.3: Chứng minh rằng: n5-10n3+9n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n. Hướng dẫn: Phân tích 30 thành tích các số: 30 = 5.6. Chứng minh n5-10n3+9n chia hết cho cả 5 và 6. n5-10n3+9n = n(n4 – 10n3 + 9) = (n-1)n(n+1)(n2 – 9) (n-1)n(n+1) 6. Suy ra: (n-1)n(n+1)(n2 – 9) 6 (n-1)n(n+1)(n2 – 9) = (n-1)n(n+1)(n2 – 4 - 5) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) - 5(n-1)n(n+1) 5 Vậy n5-10n3+9n 30 Bài toán 5: (Bài 74 sgk toán 8 tập 1 trang 32) Tìm số a để đa thức 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho đa thức x+2 Hướng dẫn: Đa thức 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho đa thức x+2 khi đó ta có: 2x3 – 3x2 + x + a = Q(x).(x+2), trong đó Q(x) là đa thức ẩn x. Vậy x = -2 là một nghiệm của đa thức 2x3 – 3x2 + x + a do đó: -16-12-2+a=0 suy ra: a = 30 Ta có một số bài toán tương tự: Bài 5.1: Tìm số a để đa thức 3x3 – 2x2 + x + a chia hết cho đa thức 3x+2 Hướng dẫn: 3x3 – 2x2 + x + a chia hết cho đa thức 3x+2 nên là một nghiệm của đa thức 3x3 – 2x2 + x + a, do đó: Suy ra: a = Bài 5.2: Tìm số a để đa thức x3 – 3x2 + 2x + a chia hết cho đa thức x-2 Hướng dẫn: Tương tự cách làm trên ta tìm được a = 0 Bài 5.3: Tìm số a để đa thức 2x3 +3x2 - x + a chia hết cho đa thức x+1 Đáp số: a = -2 Bài 5.4: Tìm số a để đa thức 2x3 – 3x2 - x + a chia hết cho đa thức x+3 Đáp số: a = -78 *Nếu thay x bởi n là số nguyên, ở skg có bài toán sau: Bài toán 6: (Bài 83 sgk toán 8 tập 1 trang 33) Tìm n Z để 2n2 – n +2 chia hết cho 2n+1 Hướng dẫn: Đây là chia hai số nguyên cho nhau chứ không phải chia đa thức cho đa thức như những bài trên, nên ta không áp dụng cách làm như trên để làm cho bài này được. Chẳng hạn nếu là đa thức thì x3 +1 chia hết cho 2x+2, nhưng nếu là số nguyên dạng x3 +1 thì không chia hết cho số nguyên dạng 2x+2, vì (x3+1): (2x+2)= , mà luôn không phải là một số nguyên khi x nguyên. (vì nếu x lẻ thì lẻ nên không chia hết cho 2, nếu x chẵn thì cũng lẻ nên cũng không chia hết cho 2) Ta có thể đặt chia 2n2 – n +2 cho 2n+1 rồi viết kết quả phép chia dưới dạng sau: Với n Z để 2n2 – n +2 chia hết cho 2n+1 thì Z, muốn vậy (2n +1) phải là ước của 3. Ta tìm được các giá trị của n là: -2; -1; 0; 1. Ta có các bài toán tương tự: Bài 6.1: Tìm n Z để n2 +3n +4 chia hết cho n+1 Hướng dẫn: Ta tìm n để n+1 là ước của 2. Các giá trị của n là: -3; -2; 0; 1 Bài 6.2: Tìm n Z để 2n2 – n +4 chia hết cho n-1 Hướng dẫn: Ta tìm n để n-1 là ước của 5. Các giá trị của n là: -6; -4; 0; 2 Bài 6.3: Tìm n Z để 2n2 +3n +5 chia hết cho n+2 Hướng dẫn: Ta tìm n để n+2 là ước của 7. Các giá trị của n là: -9; -3; -1; 5 Bài toán 7: (Bài 82 sgk toán 8 tập 1 trang 33) Chứng minh: a) x2 – 2xy +y2 +1 > 0 với mọi số thực x và y b) x – x2 -1 < 0 với mọi số thực x Hướng dẫn: a) x2 – 2xy +y2 +1 = (x-y)2 + 1 1>0 với mọi số thực x và y b) x – x2 -1 = - (x2 – 2.x. + ) + - 1 = - (x - )2 - < 0 với mọi số thực x Tổng quát ta có: (ax+ by)2 + m m - (ax+ by)2 + m m Các bài tương tự: Bài 7.1: Chứng minh: a) với mọi số thực x Hướng dẫn: Phân tích về dạng tổng quát trên: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = b) với mọi số thực x Giải: Ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = c) với mọi số thực x Giải: Ta có: d) - 4x(x+1) 1 với mọi số thực x Giải: Ta có: - 4x(x+1) = -[(4x2+4x+1)-1] = - (2x+1)2 + 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = Nhận xét: Những bài toán nêu ở bài 7.1 có thể thay việc “chứng minh” bằng việc “tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức”. Bài 7.2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau: a) Ta có thể giải như sau: Ta có: Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 4, đạt được khi và chỉ khi: x = b) Đáp số: Giá trị nhỏ nhất bằng 3 đạt được khi x = c) Đáp số: Giá trị nhỏ nhất bằng 3, đạt được khi x = 1 hoặc x = -1 d) - 4x(x+1) Đáp số: Giá trị lớn nhất bằng 1 đạt được khi x = Bài toán 8: (Bài 32 sgk toán 8 tập 1 trang 50) Đố tính nhanh tổng sau: Hướng dẫn: Ta nhận thấy: ....... Cộng vế theo vế ta được: = Nhận xét: Quan sát mẫu của các phân thức ở bài toán trên ta thấy chúng được lập có qui luật: nếu xét x là số nguyên thì các mẫu đều là tích của 2 số nguyên liên tiếp, các thừa số đều được lặp lại 2 lần trừ số nhỏ nhất và số lớn nhất chỉ được viết 1 lần còn tử thì bằng nhau. Từ đó ta có bài toán tương tự: Bài 8.1: Tính tổng sau: (Bài này tôi đưa ra là để nhằm cũng cố thêm ở bài trên với số phân thức giảm đi nhưng thay đổi tử số.) Giải: = = = = Bây giờ ta xét hạng tử của tổng trên dưới dạng tổng quát, ta có: . Vậy để thu gọn được như tổng trên ta cần lấy các hạng tử là các phân thức sao cho d không thay đổi và bn = cn-1. Chẳng hạn ta các bài toán sau: Bài 8.2: Tính tổng sau: Giải: (Ở đây a1=a2=a3=2, c1-b1=c2-b2=c3-b3=2, d=1) Ta có: Bài 8.3: Tính tổng sau: Giải: (Ở đây an = n; b1=0; c1=1; bn = cn-1; cn = bn + an; n nhận giá trị từ 1 đến 100) Ta có: Thay cho việc tính tổng, ta có thể ra bài toán giải phương trình như sau: Bài 8.4: Giải phương trình: Giải: ĐKXĐ: x -13,x -6, x -1, x 2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm của phương trình là: Bài toán 9: (Bài 59 sgk toán 8 tập 1 trang 62) a) Cho biểu thức . Thay P vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức. b) Cho biểu thức . Thay P và Q vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức. Giải: a) Cách 1: Cách 2: Ta có thể biến đổi về phân thức rồi thay P vào mới rút gọn. Ta có: = = Thay P ta được: = x+y b) Cách 1: Với P và Q , ta có: Cách 2: Đặt , Với P và Q , ta có: Suy ra: A = 1 Giáo viên cho học sinh so sánh hai cách làm và nêu nhận xét: Ở mỗi bài cách nào làm nhanh hơn và ít bị nhầm lẫn hơn? Cảm nhận của giáo viên: Khi đọc đề và giải bài toán này tôi nhận thấy với bài toán ở sách giáo khoa nhưng bài toán này có tính chất khó ở trong đó, với học sinh không có tính cẩn thận, không chịu khó thì không thể làm được bài này vì nó dễ gây nhầm lẫn. Với việc cho học sinh giải bài toán trên và khai thác thêm các bài toán tương tự giúp rèn luyện tính cẩn thận và củng cố thêm kỹ năng biến đổi biểu thức hữu tỉ cho học sinh. Khai thác bài toán: Đối với câu a) thêm hệ số cho ẩn ta có bài toán: Bài 9.1: Cho biểu thức . Thay vào biểu thức đã cho rồi rút gọn. Giải tóm tắt: Bài 9.2: Cho biểu thức . Thay vào biểu thức đã cho rồi rút gọn. Giải tóm tắt: Từ câu a) nâng bậc của biến ta có bài toán: Bài 9.3: Cho biểu thức . Thay vào biểu thức đã cho rồi rút gọn. Giải tóm tắt: Đối với câu b) ta nhận thấy với biểu thức P và Q khi cộng tử với mẫu của chúng ta được bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu. Với qui luật đó, ta có bài toán tương tự: Bài 9.4: Cho biểu thức . Thay P và Q vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức. Giải: Với P và Q , ta có: Suy ra: Bài toán 10: (Bài 53 toán 8 tập 2, trang 34) Giải phương trình: Hướng dẫn giải: Đọc đề toán ta sẽ nghĩ ngay đến cách giải nào? Ta có thể giải bài toán này theo cách thông thường là quy đồng hai vế rồi khử mẫu. Nhưng ở bài này có sự đặc biệt: Nếu cộng cả tử và mẫu của mỗi phân thức đều cho ra kết quả là x+10, nên nếu cộng thêm 2 vào hai vế rồi biến đổi sẽ đơn giản hơn. Giải: Vậy tập nghiệm của phương trình là: Khai thác bài toán: Xét bài toán ở dạng tổng quát đơn giản có 4 hạng tử ở một vế, vế kia là một số: Với b = d1c1+b1=d2c2+b2=d3c3+b3=d4c4+b4; d = -(d1+d2+d3+d4) Ta có bài toán sau: Bài 10.1: Giải phương trình: Hướng dẫn: (Ở đây d1=d2=1; d3= -2; d=0) Tập nghiệm là Bài 10.2: Giải phương trình: Hướng dẫn: Vế phải bằng -6 là gợi ý để ta biết cần cộng 6 vào hai vế. Cần tách 6 cho các hạng tử ở vế trái sao cho phù hợp. Tập nghiệm là: C. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Khi vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên một số đối tượng học sinh khá giỏi lớp 8 năm học 2013 – 2014 tôi thấy: Nhìn chung, học sinh hứng thú hơn trong học tập, từ đó tính tự giác cũng được nâng cao hơn, khả năng sáng tạo của học sinh có phần được cải thiện, học sinh nhanh nhẹn, linh hoạt hơn trong việc giải một số bài toán. Khi so sánh một số học sinh được thực nghiệm với một số học sinh không được thực nghiệm năm học 2013-2014, kết quả đạt được như sau: Nhóm thực nghiệm Nhóm đối chứng Số học sinh KT đầu năm KT trước tác động KT sau tác động KT đầu năm KT trước tác động KT sau tác động 1 7 7 6 5 7 6 2 6 5 6 4 5 6 3 7 7 7 8 2 2 4 6 4 5 3 6 5 5 7 7 8 8 7 6 6 5 8 8 6 6 7 7 4 5 6 4 7 7 8 8 3 7 8 8 6 9 4 5 8 6 6 5 10 8 7 7 5 8 5 11 5 6 8 7 4 5 12 4 5 3 7 5 4 13 5 6 6 7 8 5 14 6 7 6 4 6 7 15 5 5 9 3 8 8 16 4 5 8 7 4 4 17 3 3 7 6 5 6 Môt(mode) 5.0 5.0 6.0 7.0 6.0 6.0 Trung vị(median) 5.0 5.0 7.0 6.0 6.0 6.0 Giá trị trung bình(average) 5.53 5.59 6.76 5.76 6.00 5.53 Độ lệch chuẩn(stdev) 1.50 1.46 1.44 1.71 1.70 1.42 Giá trị p(ttest) độc lập 0.67 0.45 0.02 Giá trị p(ttest) theo cặp 0.01 0.19 Mức độ ảnh hưởng(SE) 0.87 - Phân tích nhóm đối chứng, giá trị trung bình kết quả kiểm tra sau tác động là: p=0.19>0.05 cho thấy độ lệch không có ý nghĩa ( không xẩy ra ngẫu nhiên) - Giá trị trung bình kết quả kiểm tra sau tác động tăng so với kết quả kiểm tra trước tác động: P=0,01 với số thực x y b) x – x2 -1 < với số thực x Hướng dẫn: a) x2 – 2xy +y2 +1 = (x-y)2 + ≥ 1>0 với số thực x y b) x – x2 -1 = - (x2 – 2.x + ) + = - (x - -1 ) - < với số thực x Tổng quát ta có: (ax+ by)2 + m ≥ m - (ax+ by)2 + m ≤ m Các tương tự: Bài 7.1: Chứng minh: a) x + 20 x + 29 ≥ với số thực x Hướng dẫn: Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Phân tích dạng tổng quát trên: x + 20 x + 29 = x + 20 x + 25 + = ( x + ) + ≥ 4∀x Đẳng thức xảy khi: x = − b) x − 2 x + ≥ với số thực x Giải: Ta có: x − 2 x + = x − 2 x + + = ( x − ) + ≥ 3∀x Đẳng thức xảy khi: x = c) x − x + > với số thực x Giải: Ta có: x − x + = ( x − 1) + ≥ > ∀x d) - 4x(x+1) ≤ với số thực x Giải: Ta có: - 4x(x+1) = -[(4x2+4x+1)-1] = - (2x+1)2 + ≤ ∀x Đẳng thức xảy khi: x = −1 Nhận xét: Những tốn nêu 7.1 thay việc “chứng minh” việc “tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức” Bài 7.2: Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức sau: a) x + 20 x + 29 Ta giải sau: Ta có: x + 20 x + 29 = x + 20 x + 25 + = ( x + ) + ≥ 4∀x Vậy giá trị nhỏ biểu thức 4, đạt khi: x = − b) x − 2 x + Đáp số: Giá trị nhỏ đạt x = c) x − x + Đáp số: Giá trị nhỏ 3, đạt x = x = -1 d) - 4x(x+1) Đáp số: Giá trị lớn đạt x = −1 Bài toán 8: (Bài 32 sgk toán tập trang 50) Đố tính nhanh tổng sau: Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi toán 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) Hướng dẫn: Ta nhận thấy: 1 = − x( x + 1) x x + 1 1 = − ( x + 1)( x + 2) x + x + 1 = − ( x + 5)( x + 6) x + x + Cộng vế theo vế ta được: 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) 1 = x − x + = x( x + 6) Nhận xét: Quan sát mẫu phân thức tốn ta thấy chúng lập có qui luật: xét x số nguyên mẫu tích số nguyên liên tiếp, thừa số lặp lại lần trừ số nhỏ số lớn viết lần tử Từ ta có tốn tương tự: Bài 8.1: Tính tổng sau: 2 + + ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) (Bài đưa để nhằm cố thêm với số phân thức giảm thay đổi tử số.) Giải: 2 + + ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) = 2 1 1 1 − − − ÷+ ÷+ ÷ x +1 x + x + x + x + x + = 2 1 1 1 − + − + − ÷ x +1 x + x + x + x + x + = 2 1 − ÷ x +1 x + = ( x + 1)( x + 4) Bây ta xét hạng tử tổng dạng tổng quát, ta có: Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi toán an ( x + bn ) ( x + cn ) d= 1 = d − ( x + bn ) ( x + cn ) d ( cn − bn ) = ÷ ÷ ( x+b ) ( x+c ) n n an Vậy để thu gọn tổng ta cần lấy hạng tử cn − bn phân thức cho d không thay đổi bn = cn-1 Chẳng hạn ta tốn sau: Bài 8.2: Tính tổng sau: 2 + + ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 5) Giải: (Ở a1=a2=a3=2, c1-b1=c2-b2=c3-b3=2, d=1) 2 Ta có: ( x − 1)( x + 1) + ( x + 1)( x + 3) + ( x + 3)( x + 5) = 2 2 2 − + − + − x −1 x +1 x +1 x + x + x + = 2 12 − = x − x + ( x − 1)( x + 5) Bài 8.3: Tính tổng sau: 99 100 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 6) ( x + 4851)( x + 4950) ( x + 4950)( x + 5050) Giải: (Ở an = n; b1=0; c1=1; bn = cn-1; cn = bn + an; n nhận giá trị từ đến 100) Ta có: 99 100 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 6) ( x + 4851)( x + 4950) ( x + 4950)( x + 5050) = 1 1 1 1 1 − + − + − + + − + − x x +1 x +1 x + x + x + x + 4851 x + 4950 x + 4950 x + 5050 = 1 5050 − = x x + 5050 x( x + 5050) Thay cho việc tính tổng, ta tốn giải phương trình sau: Bài 8.4: Giải phương trình: + + = ( x − 2)( x + 1) ( x + 1)( x + 6) ( x + 6)( x + 13) ( x + 1)( x + 13) Giải: ĐKXĐ: x ≠ -13,x ≠ -6, x ≠ -1, x ≠ 10 Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi toán + + = ( x − 2)( x + 1) ( x + 1)( x + 6) ( x + 6)( x + 13) ( x + 1)( x + 13) ⇔ 1 1 1 − + − + − = x − x + x + x + x + x + 13 ( x + 1)( x + 13) ⇔ 1 − = x − x + 13 ( x + 1)( x + 13) ⇔ 15 = ( x − 2)( x + 13) ( x + 1)( x + 13) ⇒ 5( x + 1) = x − ⇔ x − x = −5 − ⇔ x = −7 ⇔x= −7 (thỏa mãn ĐKXĐ) −7 4 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = Bài toán 9: (Bài 59 sgk toán tập trang 62) xP yP xy a) Cho biểu thức x + P − y − P Thay P = x − y vào biểu thức cho rút gọn biểu thức b) Cho biểu thức 2xy 2xy P 2Q = = vào biểu thức Q 2 Thay P x −y x + y2 P −Q cho rút gọn biểu thức Giải: a) Cách 1: xy xy y xP yP x− y x− y − = − xy xy x+P y−P x+ y− x− y x− y x = x2 y x− y xy x− y − x − y x − xy + xy x − y xy − y − xy = x y xy − = x+ y x2 − y xP yP xy Cách 2: Ta biến đổi x + P − y − P phân thức thay P = x − y vào rút gọn xP yP x y Ta có: x + P − y − P = P( x + P − y − P ) 11 Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi toán xy − xP − xy − yP = P ( x + P)( y − P) = −P2 x+ y ( x + P )( y − P ) xy Thay P = x − y ta được: −P2 x+ y xy x+ y = −( ) ( x + P )( y − P ) x − y ( x + xy )( y − xy ) x− y x− y xy ( x + y )( x − y ) = −( ) x − y ( x − xy + xy )( xy − y − xy ) = −( xy ) ( x + y) x (− y ) = x+y 2xy 2xy b) Cách 1: Với P = x − y Q = x + y , ta có: P 2Q 2 xy 2 xy =( ) ( ) 2 2 xy 2 xy P −Q x −y x +y ( ) −( ) x −y x + y2 = ( xy ) (x −y ) ( xy ) 2 (x −y − ) (x 2 + y2 ) 2 xy = ÷ x − y − + x2 − y x2 + y ÷ x2 − y x2 + y ÷ xy = ÷ 2y x2 x −y x4 − y x4 − y 2 xy x − y = ÷ =1 ÷ x − y xy Cách 2: Đặt A = 2xy 2xy P 2Q = = , ta có: Q 2 , Với P x −y x + y2 P −Q P2 − Q2 1 1 = 2 = 2− = − 2 A PQ Q P xy xy x2 + y ÷ x2 − y ÷ 12 Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi toán 2 x2 + y x2 − y x2 + y x2 − y x2 + y x2 − y = − + ÷ − ÷ = ÷ ÷ xy xy xy xy xy xy y2 2x2 = =1 xy xy Suy ra: A = Giáo viên cho học sinh so sánh hai cách làm nêu nhận xét: Ở cách làm nhanh bị nhầm lẫn hơn? Cảm nhận giáo viên: Khi đọc đề giải tốn tơi nhận thấy với toán sách giáo khoa toán có tính chất khó đó, với học sinh khơng có tính cẩn thận, khơng chịu khó khơng thể làm dễ gây nhầm lẫn Với việc cho học sinh giải toán khai thác thêm toán tương tự giúp rèn luyện tính cẩn thận củng cố thêm kỹ biến đổi biểu thức hữu tỉ cho học sinh Khai thác toán: Đối với câu a) thêm hệ số cho ẩn ta có tốn: xP yP 2xy Bài 9.1: Cho biểu thức x + P − y − P Thay P = x − y vào biểu thức cho rút gọn Giải tóm tắt: x2 y xy xP yP x− y x−y − = − = y+x xy xy 2x + P y − P 2x + 2y − x− y x− y xP yP xy Bài 9.2: Cho biểu thức x + P − y − P Thay P = x − y vào biểu thức cho rút gọn Giải tóm tắt: 2x2 y xy xP yP x x + 4y x − 2y x − 2y − = − = 2y + = xy x + P y − P x + xy 2 2y − x − 2y x − 2y Từ câu a) nâng bậc biến ta có toán: Bài 9.3: Cho biểu thức x2 P y2P x2 y + P = Thay vào biểu thức cho x2 + P y − P x2 − y rút gọn Giải tóm tắt: 13 Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi toán x4 y2 x2 y4 x2 P y2 P x2 − y x2 − y + = + x2 y2 x2 y2 x2 + P y2 − P x2 + y − x − y2 x2 − y = y2 − x2 Đối với câu b) ta nhận thấy với biểu thức P Q cộng tử với mẫu bình phương tổng bình phương hiệu Với qui luật đó, ta có tốn tương tự: xy xy P 2Q Bài 9.4: Cho biểu thức 2 Thay P = x − y Q = x + y vào biểu P −Q thức cho rút gọn biểu thức Giải: 2xy 2xy Với P = x − y Q = x + y , ta có: P2 − Q2 1 1 = 2− = − 2 2 PQ Q P xy xy x2 + y2 ÷ x2 − y2 ÷ 2 x2 + y x2 − y x2 + y2 x2 − y x2 + y x2 − y = − + ÷ − ÷ = ÷ ÷ xy xy xy xy xy xy = y2 2x2 =1 xy xy P 2Q Suy ra: 2 = P −Q Bài toán 10: (Bài 53 tốn tập 2, trang 34) Giải phương trình: x +1 x + x + x + + = + Hướng dẫn giải: Đọc đề toán ta nghĩ đến cách giải nào? Ta giải tốn theo cách thông thường quy đồng hai vế khử mẫu Nhưng có đặc biệt: Nếu cộng tử mẫu phân thức cho kết x+10, nên cộng thêm vào hai vế biến đổi đơn giản Giải: x +1 x + x + x + + = + 14 Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi toán ⇔( ⇔ x +1 x+2 x+3 x+4 + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) x + 10 x + 10 x + 10 x + 10 + = + 1 1 1 ⇔ ( x + 10) + − − ÷ = ⇔ x = −10 9 6 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { −10} Khai thác toán: Xét toán dạng tổng quát đơn giản có hạng tử vế, vế số: ax + b1 ax + b2 ax + b3 ax + b4 + + + =d c1 c2 c3 c4 1 1 1 ⇔ ( ax + b ) + + + ÷ = c1 c2 c3 c4 Với b = d1c1+b1=d2c2+b2=d3c3+b3=d4c4+b4; d = -(d1+d2+d3+d4) Ta có tốn sau: Bài 10.1: Giải phương trình: x+7 x+5 x−5 + + =0 −8 Hướng dẫn: (Ở d1=d2=1; d3= -2; d=0) x+7 x+5 x−5 x+7 x+5 x−6 + + =0⇔( + 1) + ( + 1) + ( − 2) = −8 −8 ⇔ ( x + 11) = ⇔ x = −11 Tập nghiệm S = { −11} Bài 10.2: Giải phương trình: 2x + 2x + 2x + 2x + + + + = −6 Hướng dẫn: Vế phải -6 gợi ý để ta biết cần cộng vào hai vế Cần tách cho hạng tử vế trái cho phù hợp 2x + 2x + 2x + 2x + + + + = −6 ⇔( 2x + 2x + 2x + 2x + + 1) + ( + 2) + ( + 2) + ( + 1) = ⇔ x + 10 = ⇔ x = −5 15 Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tập nghiệm là: S = { −5} C KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Khi vận dụng sáng kiến kinh nghiệm số đối tượng học sinh giỏi lớp năm học 2013 – 2014 tơi thấy: Nhìn chung, học sinh hứng thú học tập, từ tính tự giác nâng cao hơn, khả sáng tạo học sinh có phần cải thiện, học sinh nhanh nhẹn, linh hoạt việc giải số toán Khi so sánh số học sinh thực nghiệm với số học sinh không thực nghiệm năm học 2013-2014, kết đạt sau: Nhóm thực nghiệm Nhóm đối chứng KT KT đầuKT trướcKT sau tác đầuKT trướcKT sau Số học sinh năm tác động động năm tác động tác động 7 6 6 7 2 6 5 7 8 6 8 6 7 7 8 8 6 10 7 11 12 13 6 14 6 15 5 8 16 4 17 3 6 Môt(mode) 5.0 5.0 6.0 7.0 6.0 6.0 16 Khai thác toán sách giáo khoa để bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung vị(median) 5.0 5.0 7.0 6.0 6.0 6.0 Giá trị trung bình(average) 5.53 5.59 6.76 5.76 6.00 5.53 Độ lệch chuẩn(stdev) 1.50 1.46 1.44 1.71 1.70 1.42 Giá trị p(ttest) độc lập 0.67 0.45 0.02 0.01 Giá trị p(ttest) theo cặp 0.19 0.87 Mức độ ảnh hưởng(SE) - Phân tích nhóm đối chứng, giá trị trung bình kết kiểm tra sau tác động là: p=0.19>0.05 cho thấy độ lệch khơng có ý nghĩa ( khơng xẩy ngẫu nhiên) - Giá trị trung bình kết kiểm tra sau tác động tăng so với kết kiểm tra trước tác động: P=0,01