SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009-2010 Mơn Tốn Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề Câu (4đ) a) Chứng minh A 2n 1 2n 1 chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm số số nguyên n cho B n2 n 13 số phương Câu (5đ) a) Giải phương trình x2 2x 2x2 4x b) Giải hệ phương trình x y2 xy 2 x y 3xy 11 Câu (3đ) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x y z 2010 1 1 x y z 2010 Tính giá trị biểu thức P x2007 y2007 y2009 z2009 z2011 x2011 Câu (6đ) Cho đường tròn (O;R) dây cung AB cố định, AB R Điểm P di động dây AB (P khác A B) Gọi C;R1 đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn (O;R) A , D;R2 đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn (O;R) B hai đường tròn C;R1 D;R2 cắt điểm thứ hai M a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD điểm C, D, O, M thuộc đường tròn b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường tròn cố định đưởng thẳng MP ln qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn ? Câu Cho số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 670 Chứng minh rằng: x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z ĐÁP ÁN ĐỀ PHÚ THỌ 2009-2010 Câu a) Theo giả thiết n số tự nhiên nên 2n 1;2n ;2n số tự nhiên liên tiếp Vì tích số tự nhiên liên tiếp chia hết 2n 1 2n 2n 1 chia hết cho Mặt khác 2n ;3 nên 2n 1 2n 1 chia hết cho Vậy A chia hết cho với số tự nhiên n b) Ta thấy B số phương 4B số phương Đặt 4B= k k 4B 4n2 4n 52 k 2n k 2n k 51 Vì 2n k 2n k nên ta có hệ 2n k 2n k 2n k 51 2n k 17 (1) (2) (3) (4) 2n k 51 2n k 17 2n k 1 2n k 3 Giải hệ (1) (2) (3) (4) ta tìm n 12;n 3;n 13;n Vậy số nguyên cần tìm n 12; 3;4;13 Câu a) Ta có 2x2 4x 2(x 1)2 nên tập xác định phương trình R Phương trình cho tương đương với 2x2 4x 2x2 4x Đặt y 2x2 4x phương trình cho trở thành y y2 4y (thỏa mãn điều kiện) y Với y ta có 2x2 4x 2x2 4x x x 1 x Với y ta có 2x2 4x 2x 4x Vậy phương trình cho có nghiệm x 1,x 1,x b) hệ cho tương đương với 11(x xy y2 ) 11 x xy y2 x xy y2 (*) 2 2 (x 2y)(5x 3y) x 3xy y 11 11(x xy y ) x 3xy y Từ hệ (*) ta suy x xy y2 x xy y2 (I) (II) x 2y 5x 3y x 2y Giải hệ (I) ta tìm (x;y) (2; 1);(2;1) Hệ II vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm (x;y) (2; 1);( 2;1) Câu Từ giả thuyết suy x, y, z khác 1 1 x y z xyz 1 1 1 0 x y z xyz xy xy 0 xy z(x y z) x y 0 xy xz yz z (x y)(xz yz z xy) (x y) z(z x) y(z x) x y y z z x x 2007 y 2007 x 2007 y 2007 x y x y z y y z y 2009 z 2009 y 2009 z 2009 P z 2011 x 2011 z 2011 x 2011 x z z x Câu O M C A D HK B P N a) Nối CP, PD ta có ACP, OAB cân C, O nên CPA CAP OBP CP // OD (1) Tương tự DPB, OAB cân D, O nên DPB DBP OAB nên OD//CP (2) Từ (1) (2) suy ODPC hình bình hành Gọi CD cắt MP H cắt OP K K trung điểm OP Theo tính chất đường tròn cắt ta có CD MP H trung điểm MP Vậy HK // OM CD // OM Ta phải xét trường hợp AP < BP AP > BP, đáp án yêu cầu xét trường hợp giả sử AP < BP Vì tứ giác CDOM hình bình hành nên OC = DP, DP=DM=R2 nên tứ giác CDOM hình thang cân điểm C, D, O, M thuộc đường tròn b) Xét tam giác AOB có OA2 OB2 2R2 AB2 nên tam giác OAB vuông cân O Vì điểm C, D, O, M cùn thuộc đường tròn (kể M O ) nên COB CMD (1) Xét MAB MCD có: MAB MCD (cùng sđ MP (C )) sd MP (D)) Nên MAB đồng dạng MCD (g.g) MBD MDC (cùng Vì MAB đồng dạng với MCD suy AMB COD hay AMB AOB 900 Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB Ta có ACP BDP AOB 900 nên ACP 450 (Góc nội tiếp góc tâm (C)) BMP BDP 450 (góc nội tiếp góc tâm (D)) Do MP phân giác AMB AMP Mà AMB AOB 900 nên M thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB Giả sử MP cắt đường tròn (I) N N trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định c) MAP BNP có MPA BPN (đối đỉnh); AMP PBN (góc nơi tiếp chắn cung) nên MAP đồng dạng BNP (g.g) PA PM AB R2 PA PB Do (khơng đổi) PM.PN PA PB PN PB Vậy PM.PN lớn R2 PA=PB hay P trung điểm dây AB Vì tam giác AMB vng M nên 1 AB2 R2 S AMB AM.BM AM2 BM 4 Diện tích tam giác AMB lớn R2 PA=PB hay P trung điểm dây AB Câu Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức : Với a, b,c a b c2 a b c x y z xyz a b c Dấu “=” xảy x y z Thật vậy, với a, b x, y ta có: a b2 a b x y xy x, y, z ta có: (*) (**) a y b2 x x y xy a b (bx ay)2 (luôn ) Dấu “=” xảy a b x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: a b c2 a b c2 a b c x y z xy z xyz a b c Dấu “=” xảy x y z 2 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: VT x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z x2 y2 z2 3 (1) 2 x(x yz 2010) y(y zx 2010) z(z xy 2010) x y z 3xyz 2010(x y z) Chú ý: x(x2 yz 2010) x(x2 xy zx 1340) 0;y(y2 zx 2010) z z xy 2010 Chứng minh x3 y3 z3 3xyz x y z x y2 z xy yz xz x y z x y z xy yz zx (2) Do đó: x3 y3 z3 3xyz 2010(x y z) x y z x y z 3(xy yz zx) 2010 (x y z)3 (3) Từ (1) (3) ta suy x y z VT x y z Dấu “=” xảy x y z xyz 2010 ... y 2007 x 2007 y 2007 x y x y z y y z y 20 09 z 20 09 y 20 09 z 20 09 P z 2011 x 2011 z 2011 x 2011 x z z x Câu O... x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z x2 y2 z2 3 (1) 2 x(x yz 2010) y(y zx 2010) z(z xy 2010) x y z 3xyz 2010( x y z) Chú ý: x(x2 yz 2010) ...ĐÁP ÁN ĐỀ PHÚ THỌ 20 09- 2010 Câu a) Theo giả thiết n số tự nhiên nên 2n 1;2n ;2n số tự nhiên liên tiếp Vì tích