GH day GH ham toán cao cấp

Đây là tài liệu của các bạn sinh viện hiện tại đang học tại Đại học Bách Khoa TP HCM. Đồng thời cũng là giáo án của giảng viên tại Đại học Bách Khoa. Nó sẽ rất hữu ích cho công việc học tập của các Bạn. Chúc Bạn thành công.

Chương 1: Giới hạn dãy số I Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa : lim un  a    0,  N  R : n  N  xn  a   n  Tức là: phần lớn phần tử dãy “tụ tập” xung quanh a ta nói dãy HỘI TỤ a Tính chất cần nhớ: Dãy hội tụ bị chặn:  lim un  a  A, B : A  un  B, n n  Dãy có giới hạn giới hạn nhất: lim un  a & lim un  b  a  b n  n  Chương 1: Giới hạn dãy số Tóm tắt lý thuyết Dãy VCB : lim n   n  : gọi dãy VCB n   un  a    un  a  n ,n : VCB  n : VCB& n : VCB  n  n : VCB n : VCB & un  M  n   n un : VCB Dãy VCL : lim An     An  : gọi dãy VCL n  Chương 1: Giới hạn dãy số Tóm tắt lý thuyết Định lý kẹp: un   wn a Định lý HT bị chặn : Dãy tăng  un  un 1, n  bị chặn  M : un  M , n  gỉam  un  un 1, n  bị chặn dưới m : un  m, n  hội tụ Chương 1: Giới hạn dãy số Tóm tắt lý thuyết   Dãy con: lim un  a  lim un  a,  un k k n  nk    n  un  : lim un n       lim un n   a2  a1    unk : lim unk  a1 k k l l Số e: n 1    e  1        n  n n 1 n 1  , n  lim     e  2,718 n   n Chương 1: Giới hạn dãy số Tóm tắt lý thuyết Một số giới hạn bản: ln p n lim   0,   lim   0, p,   n  n n  n n p lim n  lim n  1, p n  e n  np lim n  0, p n  e lim n  n a  1, a  lim qn  0,| q | lim   0,   n  n  ln n n  lim     e , a n   n Chương 1: Giới hạn dãy số II Các Ví dụ VD1: Tính giới hạn sau  lim  lim n  n   n  1 n2   n2  n 1  n n   n  lim n  n2   n4  n VD2: Tính giới hạn sau lim n  n n 3.3n  5n 2n 1   1 3n 1 n lim n  2n   1 n 1 n 1 Chương 1: Giới hạn dãy số II Các Ví dụ VD3: Tính giới hạn sau 2n    lim   n   2n    n   lim   n   n   n 1 n  2 lim   n   n   n2 n 1 n 1 n 2n    2n    lim     n   2n    n   VD4: Tính giới hạn sau lim n  n.sin n n 1 n   lim      n   n  n  n n Chương 1: Giới hạn dãy số II Các Ví dụ VD3: Tính giới hạn sau 2n    lim   n   2n    n   lim   n   n   n 1 n  2 lim   n   n   n2 n 1 n 1 n 2n    2n    lim     n   2n    n   VD4: Tính giới hạn sau lim n  n.sin n n 1 n   lim      n   n  n  n n Chương 1: Giới hạn dãy số III Bài tập: Tính lim un với: n  1.un  2.un  3n 1  5n 6.un  3n  5n 1 2n 7.un  2n 3 3.un  n 3.3n  7n n  n 1  n3  n  n  1 n     n 5.un  n   1 n  sin n  ln  n  1 2 n  3n  n 4.un   ln n  n.sin n  n 8.un  n  n2   n  n5   5n n  2n 3n n  2  n   9.un      n n      Chương 1: Giới hạn dãy số III Bài tập: Tính lim un với: 10.un   ln n 20 n    3n  5n 20  13n  11.un  n  ln n  3n  n   1  1  12.un               n  13.un  n  n   n  Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn liên tục: Liên tục phía: Thay giới hạn định nghĩa hàm liên tục giới hạn phía, tương ứng ta có khái niệm liên tục trái, liên tục phải Định lý: Hàm liên tục x=a liên tục trái liên tục phải x=a Tính chất hàm liên tục: Tổng, tích, thương hợp hàm liên tục lại hàm liên tục  x  1, x  Ví dụ: Tìm a để hàm f ( x )   3  ax , x  liên tục với x Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn VCB - VCL: VCB: Hàm số α(x) gọi vô bé (VCB) x→x0 lim  ( x)  x  x0 Tính chất VCB 1) Tổng hữu hạn VCB VCB 2) Tích hai VCB VCB 3) Tích VCB hàm bị chặn VCB 4) Thương hai VCB khơng VCB Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn VCB - VCL : So sánh VCB: α(x) β(x) hai vô bé x→x0  ( x) Giả sử lim k x  x0  ( x ) 1) k = 0: α(x) gọi VCB bậc cao β(x), kí hiệu α(x) = 0(β(x)) 2)  k   : α(x) β(x) hai VCB cấp 3) k = 1, α(x) β(x) hai VCB tương đương, kí hiệu :  ( x ) ~  ( x ) 4) Nếu α(x) bậc với (β(x))m ta nói bậc α(x) m so với β(x) Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn VCB - VCL : Ví dụ: So sánh VCB sau 2 Khi x→0 :  ( x)  sin x  x ,  ( x)  t an2x 1 x Khi x→1 :  ( x)  ln x,  ( x)  e 1 Các VCB tương đương thường gặp x→0 1) sin x  x x 2) e -1  x x 3) 1- cos x  4) ln(1  x)  x  5) (1  x) -1   x 6) arcsin x  x 7) arctan x  x 8) tan x  x 9) sinh x  x 10) cosh x   x2 Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn VCB - VCL : Qui tắc thay VCB tương đương với tích, thương Cho VCB tương đương f1 ( x ) ~ f ( x ), g1 ( x ) ~ g2 ( x ) Ta có: f1 ( x ) g1 ( x ) ~ f ( x ) g2 ( x ) f1 ( x ) f ( x ) ~ g1 ( x ) g2 ( x ) Qui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCB Giả sử a≠0, b ≠0, α, β số thực cho   f ( x ) ~ ax , f ( x ) ~ bx x→0 f1(x), f2(x) VCB: 1.ax ,    (   )  f1 ( x )  f ( x ) ~  2.( a  b) x ,    & a  b  3.khong thay duoc,khi    &a+b=0  Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn VCB - VCL : Ví dụ: So sánh VCB sau x→0: 1. ( x)  x,  ( x)  x sin x x2 2. ( x)   cos x,  ( x)  sin x Dùng đ/n  arcsin x Tính bậc Ví dụ: Tìm a, b để α(x) tương đương với axb x→0 1. ( x)  sin(  x  1) 2. ( x)  tan x  x Ví dụ: Tính giới hạn L1  lim  cos(2 x) x 0 x  ln(1  x) Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn VCB - VCL : Ví dụ: Tính giới hạn L2  lim sin 2( x  1) x 1 Ví dụ: Tính giới hạn L3  lim e e x 1 e t an3x 2x x 0  cos x  sin x 32  x  Ví dụ: Tính giới hạn L4  lim x 0 x cos 3x  cos x Ví dụ: Tính giới hạn L5 = lim x 0 x Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn VCB - VCL : Ví dụ: Tính giới hạn L6  lim cot x  cot( /  x ) x  /4  Ví dụ: Tính giới hạn L  lim  tan x x 0  1/sin (2 x ) e x  esin x Ví dụ: Tính giới hạn L8  lim x 0 3x x sin x x sin x e e (e  1)  ( e  1) L8  lim  lim x 0 x 0 3x 3x Khi thay VCB tương đương, e x  ~ x Vì:  tử số thành  KHÔNG sin x  ~ sin x ~ x ĐƯỢC THAY e Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn VCB - VCL : VCL: Hàm số A(x) gọi vô lớn (VCL) x→x0 lim A( x)   x  x0 So sánh VCL: A(x), B(x) hai vô lớn x  x.0 A( x) Giả sử: lim  k x  x0 B ( x ) 1) k   : A(x) gọi VCL bậc cao B(x), 2)  k   : A(x) B(x) hai VCL cấp 3) k  : A(x) B(x) hai VCL tương đương 4) Nếu A(x) bậc với (B(x))m bậc A(x) m so với B(x) Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn VCB - VCL : Qui tắc ngắt bỏ VCL VCL bậc cao tử Tổng hữu hạn VCL  lim lim xx Tổng hữu hạn VCL x x VCL bậc cao mẫu 0 Ví dụ: Tính lim x  x  2x   2x  x 10 x5  x3  x  x  3x3  x Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn – Bài tập: lim x 1 lim m x 1 x  n tan lim x 0  tan x  sin x x3 x 0   2x  x ax  a lim x 1 x  log x  lim x2 x2  cos x lim 4x   x   2x   lim   x   x   x e lim x  lim x2  x  cos arctan x x log5 1  x  arcsin x x 0   1  11 lim  sin  cos  x   x x x 10 lim cos x  sin x x 0 1 x ln x 0 x 1 x 12 lim sin x Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn – Bài tập: 13 lim x 1 14 lim x n 1  ( n  1) x  n 19 lim sin x cos x  cos 20 lim x 3 x3 ( x  1)2 x 0 1  x 1  x   x 0 x x  x  x   x  n 15 lim x 1 x 1  2x  16 lim x4 x 2 cos x  cos x 17 lim x 0 x2 x 18 lim 1  x  tan x 1 2 cos x  cos x n ax 1 21 lim ( a  0) x 0 x  x sin x  22 lim x2 x 0 e 1 a x  am 23 lim xm x  m 24 lim 1  x  log x x 1 Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn – Bài tập: ln x  ln m 25 lim ( m  0) xm xm 26 lim x  ln( x  1)  ln x  x   x 0 27 lim  x   sin x  28 lim   x  a  sin a  tan x x a  x2   29 lim   x  x    x2 30 lim x  x x 0 31 lim  sin x  x  tan x  x2  32 lim   x   x   x2 Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn – Bài tập: Tính bậc VCB sau so với x, x0 1  x   sin x  sin x 6  x   tan x  sin x   x   esin x  cos x 7  x   arctan 3  x   cos x  cos x 4  x    x   x 5  x   arcsin   x2  8  x    x  x4   1 9  x   x  x  x 10  x    cos3 x Tính bậc VCB sau so với (x-1), x1 1  x   e x  e 2  x    x   x   ln x  x    x   arctan x    Chương 2: Giới hạn Liên tục III Giới hạn – Bài tập: Tính giới hạn phía lim x   x  x 1  x  x 1 2  lim arctan x 1 x 1 Tìm a để hàm sau liên tục với x: Tìm f(0) để hàm f(x) liên tục x=0: lim x  x x2  lim  x  1 e x x 0  sin(ln x ) ,x 1  f ( x)   x  ax  1, x  eax  ebx a f ( x )  x tan(  x  1) b f ( x )  x ... tục: Các hàm sơ cấp lớp hàm sau Hàm số mũ : y=ax Hàm lũy thừa: y=xa Hàm loga: y=logax Các hàm lượng giác: hàm Các hàm lượng giác ngược: hàm Hàm sơ cấp hàm tạo từ hàm sơ cấp với phép toán số học (cộng,... a  x x x x Chương 2: Giới hạn Liên tục I Các hàm sơ cấp bản: Hàm logarit: y=logax , a>0, a ≠1 a>1: Hàm đồng biến 0