Dao ham toan cap cap

Đây là tài liệu của các bạn sinh viện hiện tại đang học tại Đại học Bách Khoa TP HCM. Đồng thời cũng là giáo án của giảng viên tại Đại học Bách Khoa. Nó sẽ rất hữu ích cho công việc học tập của các Bạn. Chúc Bạn thành công.

CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm Bài tốn mở đầu 1: Tìm tiếp tuyến đường cong Xét đường cong y=f(x) Một điểm P(a,f(a)) cố định đường cong Cho điểm Q(x,f(x)) chạy đường cong tới điểm P Nếu cát tuyến PQ dần đến vị trí giới hạn Pt đường thẳng Pt gọi tiếp tuyến đường cong P Tiếp tuyến có hệ số góc: f ( x )  f (a ) m  lim x a xa qua P Tìm m, ta tìm tiếp tuyến Đạo hàm Bài tốn mở đầu 2: Tìm vận tốc thực chuyển động Xét vật chuyển động đường thẳng Tại thời điểm t0 vị trí M0 với hoành độ s0 = s(t0) Tại thời điểm t vị trí M với hồnh độ s= s(t) Ta tính quãng đường Δs = s – s0 khoảng thời gian Δt = t – t0 M0 M t0 t Vận tốc trung bình tỉ số Δs/ Δt Vận tốc gần với vận tốc thực khoảng thời gian nhỏ s(t )  s(t0 ) s v  lim  lim t 0 t t t0 t  t0 Đạo hàm Cả hai toán dẫn ta đến việc tính giới hạn tỉ số Δf/ Δx Δx→0 Tức dẫn đến việc lập hàm f(x) tính đạo hàm Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định lân cận x0, đạo hàm x0 hàm f(x) f ( x)  f ( x0 ) f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim  lim x  x0 x 0 x  x0 x Nếu giới hạn hữu hạn Các quy tắc tính đạo hàm  f  g   f   g   f g     g f fg   g f  f  f g g  g   Đạo hàm Bảng đạo hàm hàm 1 x  x x  x  1/ a  a ln a  e  e /  arccos x    x a  / x  a.x a 1  1 10 /  arctan x     /  log a x     ln x    x2 x ln a x 1  11 /  arccot x   /  sin x   cos x  x2 /  cos x    sin x 12 /  shx   chx    shx /  tan x     tan x 13 / chx   cos x  14 /  thx   2  /  cot x     (1  cot x) ch x sin x  15 /  cthx    sh x /  arcsin x    x2       Đạo hàm Đạo hàm phía: Đạo hàm trái: f (x  x0 )  f ( x0 ) f  ( x0 )  lim  x 0 x Đạo hàm phải: f (x  x0 )  f ( x0 ) f  ( x0 )  lim  x 0 x Định lý: Hàm f(x) có đạo hàm x0 có đạo hàm trái, đạo hàm phải x0 đạo hàm Đạo hàm vơ cùng: Nếu f (x  x0 )  f ( x0 ) lim  x 0 x Thì ta nói hàm f có đạo hàm vơ cực Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm hàm f ( x)  x  Áp dụng quy tắc bảng đạo hàm ta có f ( x)  3 ( x  1) Suy ra, x=1 khơng thể thay x=1 vào f ’ để tính mà phải dùng định nghĩa f (x  1)  f (1) x  f (1)  lim  lim   x 0 x 0 x x Vậy:  ,x 1  f ( x)   ( x  1)  , x   Đạo hàm Tại x=1: f (1)   Nên tiếp tuyến đường thẳng x=1 Khảo sát hàm y=f(x) ye x x 1 1x e x  x2 Cực trị: y   e    x x2 y  0, x  R* x   y’  y     ye x x Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Khảo sát dựng đồ thị hàm y  x ( x  1) MXĐ: R Tiệm cận: lim y  lim x ( x  1)2   x  x  y x ( x  1) ( x  1)  lim  lim  lim x  x  x x  x x Hàm khơng có tiệm cận Cực trị: y  ( x  1)2  x ( x  1) 33 x2 x  Và y’(0)=+∞ y     x  1/ Khảo sát hàm y=f(x) y  ( x  1)  x ( x  1) x2 Vì đạo hàm cấp phức tạp nên ta khơng tính Bảng biến thiên  1/7 x  y’ + + 0 +  y 0.3841  0 Tiếp tuyến nằm ngang Khảo sát hàm y=f(x) Đồ thị y=0.3841 x=1/7 y  0.3841 y  x ( x  1)2 y  x ( x  1) Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Khảo sát dựng đồ thị hàm y = lnx-x+1 MXĐ: R+ Tiệm cận: lim y  lim (ln x  x  1)   Hàm có TCĐ x = x 0 x 0  ln x     1 lim y  lim (ln x  x  1)   lim x  x   x x  x   y ln x  x  1  ln x lim  lim  lim      1 x  x x  x   x x x lim ( y  x)  lim (ln x  x   x)  lim  ln x  1   x  x  Hàm khơng có TCX x  Khảo sát hàm y=f(x) Cực trị: y   x Bảng biến thiên: x y’ + y -∞ y     x  x +∞ 0 - -∞ Đồ thị Khảo sát hàm y=f(x) Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Khảo sát dựng đồ thị hàm y  MXĐ R Tiệm cận: lim y  lim x  y lim  lim x  x x  y lim  lim x  x x  x 2 x  lim x  x 2 x x    x  x 2 x  lim (1) Hàm khơng có tiệm cận x 2 x   x  2 x   Khảo sát hàm y=f(x) Cực trị:  ( x  2) ,| x | y (2  x ) ,| x |  3x( x  2) ,| x |  y   3x(2  x ) ,| x | y   x  0,  Bảng biến thiên x   y’ y    0  0    Khảo sát hàm y=f(x) y x 2 Hàm có tiếp tuyến nằm ngang ứng với nghiệm pt y’=0 y=0 y  Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục Tìm tiệm cận hàm y  x ln(e  ) x y  x3  x 1 x ,y  x e e y  x sin x y x y=0 1 x y e x x=0, y=0 Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục Tìm cực trị hàm y  x 1 x y 1  y( ), y max  y( ) 2 x y ln x ymin  y (e) | x  1| y x2 ymin  y (1), ymax  y (2) y  x2  x ymin = y(1) Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục Khảo sát vẽ đồ thị y  (1  x) y  x x2 x2  | x 3| y  x y  x  x  y  e x x2 x y  x e 2 y  x ( x  3) x2  y  x  4x  8x y  x 4 10 y  x ln x  Đt y  3x Đt y=x 3 Đt y= -x   Đt: y x ... shx  x    y shx ch x   y2 1 Đạo hàm Đạo hàm hàm cho phương trình tham số  x  x(t ) Cho hàm y=f(x) cho pt tham số   y  y (t ) Đạo hàm hàm y tính y(t ) y( x)  x(t ) Ví dụ: Tính... cấp cao Đạo hàm cấp cao hàm cho pt tham số Cho hàm y = y(x) xác định x = x(t), y = y(t) y(t ) Đạo hàm cấp 1: y( x)  x(t ) Tức đạo hàm cấp hàm cho pt tham số y(t ) x  x(t ), y   g (t... ) x(t )  Đạo hàm cấp 2: y( x)  x(t ) ( x(t ))3 Tương tự, đạo hàm cấp (n-1) hàm cho pt tham số nên đạo hàm cấp n tính theo cách y (n) y  ( x)  ( n 1) ( x) x(t )   t Đạo hàm cấp cao