ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập PHÂN DẠNG ĐỀ MINH HỌA – ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI THPTQG 2017 + 2018 + 2019 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN oOo -A – ĐỀ BÀI Câu [2D3-1-MH2] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos x  f  x  dx  sin x  C C  f  x  dx  2sin x  C A Câu Câu [2D3-1-MH3] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  A  C  x3  C x x3 f  x  dx    C x f  x  dx  C  cos xdx   Câu Câu  D  x3  C x x3 f  x  dx    C x f  x  dx  B  cos xdx  sin x C sin x C D  cos 3xdx  sin 3x  C 5x  dx B    ln  x    C 5x  2 dx D   ln x   C 5x  [2D3-1-102] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   dx A  x   ln x   C C  x   5ln 5x   C dx [2D3-1-103] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   sin x A  2sin xdx  cos x  C B  2sin xdx  sin x  C C  2sin xdx  sin x  C D  2sin xdx  2cos x  C [2D3-1-104] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x A  x dx  x ln  C B  x dx  Câu B ? x2 [2D3-1-101] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos x A  cos 3xdx  3sin 3x  C Câu  f  x  dx   sin x  C D  f  x  dx  2sin x  C B 7x  C ln C  x dx  x 1  C D  x dx  x 1  C x 1 [2D3-1-MH1] Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  , xung quanh trục Ox b A V    f  x  dx a b B V   f  x  dx a TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập b C V    f  x  dx a b D V   f  x  dx a Trang 1/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu [2D3-1-MH2] Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn 1; 2 , f 1  f    Tính I   f   x  dx A I  B I  1 Câu [2D3-1-102] Cho  f  x  dx  1 A I  B I  1 C I   Câu 10 [2D3-1-104] Cho  g  x  dx  1 Tính I    x  f  x   3g  x  dx 1 D I  C I  17 D I  11   f  x  dx  Tính I    f  x   2sin x  dx 0 B I   A I   D I    C I  Câu 11 [2D3-2-MH1] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  A  f  x  dx   x  1 C  f  x  dx   2x 1  C 2x 1  C B  f  x  dx   x  1 D  f  x  dx  2x 1  C 2x 1  C Câu 12 [2D3-2-103] Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x  x thỏa mãn F    Tìm F  x  A F  x   e x  x  C F  x   e x  x  B F  x   2e x  x  D F  x   e x  x    Câu 13 [2D3-2-104] Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 A F  x   cos x  sin x  B F  x    cos x  sin x  C F  x    cos x  sin x  Câu 14 [2D3-2-104] Cho F  x   D F  x    cos x  sin x  f  x nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm 2x x hàm số f   x  ln x   ln x  C x 2x  B  f   x  ln xdx  ln x  C x x2  ln x   C x2 x  D  f   x  ln xdx  ln x  C x 2x e2  D I  A  f   x  ln xdx    C  f   x  ln xdx    e Câu 15 [2D3-2-MH1] Tính tích phân I   x ln xdx : A I  2 B I  e 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I  e2  Trang 2/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Câu 16 [2D3-2-MH1] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  x đồ thị hàm số y  x  x A 37 12 B I  C 81 12 D 13 Câu 17 [2D3-2-MH1] Kí hiệu  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox : C V  e  B V    2e   A V   2e D V   e    y Câu 18 [2D3-2-MH3] Gọi S diện tích hình phẳng  H  giới hạn đường y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  1 , x  (như hình vẽ bên dưới) Đặt a   1 đúng? A S  b  a f  x  dx , b   f  x  dx , mệnh đề sau 1 B S  b  a C S  b  a 2x O D S  b  a Câu 19 [2D3-2-MH3] Tính tích phân I   x x  1dx cách đặt u  x  , mệnh đề đúng? B I   u du C I   u du A I   u du Câu 20 [2D3-2-MH3] Cho e A S  D I  u du 1 dx 1 e  a  b ln , với a , b số hữu tỉ Tính S  a  b3 1 x B S  2 C S  D S  Câu 21 [2D3-2-MH3] Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 1  x  3 thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x A V  32  15 B V  124 C V  124 3x2    D V  32  15  Câu 22 [2D3-2-101] Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   cos x , trục hoành  đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V    B V    1  C V    1  D V    Câu 23 [2D3-2-101] Cho  f  x  dx  12 Tính I   f  3x  dx A I  B I  36 C I  Câu 24 [2D3-2-102] Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   A I  e B I  e TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I  D I  ln x Tính F  e   F 1 x D I  Trang 3/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu 25 [2D3-2-101] Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I  2;9  trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính quãng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s  23, 25 (km) B s  21,58 (km) C s  15,50 (km) Câu 26 y I O 123 t D s  13,83 (km) [2D3-2-102] Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   sin x , trục hoành đường thẳng x  , x   Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V     1 B V  2   1 C V  2 D V  2 Câu 27 [2D3-2-103] Cho  1    x   x   dx  a ln  b ln với a , b số nguyên Mệnh đề đúng? A a  b  B a  2b  C a  b  2 D a  2b  Câu 28 [2D3-2-103] Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  e x , trục hoành đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?   e  1   e  1  e2 e2  A V  B V  C V  D V  2 2 Câu 29 [2D3-2-104] Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y  x  , trục hoành đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? 4 A V  B V  2 C V  D V  3 Câu 30 [2D3-3-MH1] Một ô tô chạy với tốc độ 10 m/s người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với v  t   5t  10  m/s  , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ di chuyển mét? A 0, m B m C 10 m D 20 m  Câu 31 [2D3-3-MH1] Tính tích phân I   cos x.sin xdx A I    B I   C I  D I   F    Tính F  3 x 1 C F  3  D F  3  Câu 32 [2D3-3-MH2] Biết F  x  nguyên hàm f  x   A F  3  ln  B F  3  ln  Câu 33 [2D3-3-MH2] Cho  f  x  dx  16 Tính tích phân I   f  x  dx A I  32 B I  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I  16 D I  Trang 4/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Câu 34 [2D3-3-MH2] Biết I   S  a  b  c A S  dx  a ln  b ln  c ln , với a , b , c số nguyên Tính x x B S  Câu 35 [2D3-3-MH2] Cho hình thang cong C S  2 D S  y giới hạn đường H  y  e x , y  , x  , x  ln Đường thẳng x  k (0  k  ln 4) chia H  thành hai phần có diện tích S1 S hình vẽ bên Tìm k để S1  2S A k  ln C k  ln S2 B k  ln S1 D k  ln O Câu 36 [2D3-3-MH2] Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng x ln k 8m D 7.826.000 đồng Câu 37 [2D3-3-MH3] Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 f 1  f    Tính  f  x  dx A I  12 B I  C I  D I  8 Câu 38 [2D3-3-101] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x    5sin x f    10 Mệnh đề đúng? A f  x   x  cos x  B f  x   3x  5cos x  C f  x   x  cos x  D f  x   x  5cos x  15 Câu 39 [2D3-3-102] Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển A s  24, 25 (km) B s  26, 75 (km) C s  24, 75 (km) D s  25, 25 (km) v I O t Câu 40 [2D3-3-102] Cho F  x    x  1 e x nguyên hàm hàm số f  x  e x Tìm nguyên hàm hàm số f   x  e x  f  x e C  f   x  e A 2x dx  (4  x)e x  C 2x dx    x  e x  C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 2 x x e C 2x dx   x   e x  C 2x  f  x e D  f   x  e B dx  Trang 5/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu 41 [2D3-3-103] Cho F  x    f  x nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm 3x x hàm số f   x  ln x ln x  C x3 5x5 ln x f   x  ln xdx    C x 3x ln x  C x x5 ln x f   x  ln xdx     C x 3x A  f   x  ln xdx  B  f   x  ln xdx  C  D  Câu 42 [2D3-4-MH3] Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f   x    cos x , 3 x   Tính I   f  x d x  3 A I  6 C I  2 B I  D I  Câu 43 [2D3-4-104] Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Đặt g  x   f  x    x  1 Mệnh đề đúng? y A g  3  g  3  g 1 B g  3  g  3  g 1 3 C g 1  g  3  g   x O D g 1  g  3  g  3  2 Câu 44 [2D3-4-104] Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Đặt y g  x   f  x   x Mệnh đề đúng? A g  3  g  3  g 1 B g 1  g  3  g  3 O 1 3 C g 1  g  3  g  3 x 3 D g  3  g  3  g 1 Câu 45 [2D3-1-MH18] Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a ; b  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b A V    f  x  dx a b b b B V  2  f  x  dx C V    f  x  dx D V    f  x  dx a a a Câu 46 [2D3-1-MH18] Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  A x  C x3 B  xC Câu 47 [2D3-1-MH18] Tích phân dx  x3 C 6x  C D x  x  C C ln D A 16 225 B log TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 15 Trang 6/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập H  Câu 48 [2D3-3-MH18] Cho hình phẳng giới hạn parabol y  x , cung tròn có phương trình y   x (với  x  ) y trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích  H  A 4  12 B 4  C 4   D  2 Câu 49 [2D3-3-MH18] Biết I    x  1 2 x O dx  a  b  c với a , b , c số nguyên x  x x 1 dương Tính P  a  b  c A P  24 B P  12 C P  18 D P  46 1  Câu 50 [2D3-3-MH18] Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f   x   , f  0  2x 1 2 f 1  Giá trị biểu thức f  1  f  3 A  ln15 C  ln15 B  ln15 D ln15 Câu 51 [2D3-4-MH18] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  , 1 0  f   x   dx  0 x f  x  dx  Tích phân A B  f  x  dx C D Câu 52 [2D3-1-MĐ101] Nguyên hàm hàm số f  x   x3  x A x  x  C B x   C C x  x  C D x  x C D x  x C Câu 53 [2D3-1-MĐ102] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x3   C C x  x  C Câu 54 [2D3-1-MĐ103] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x  x C C x  x  C D x  x  C Câu 55 [2D3-1-MĐ104] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x  x C C x  x  C D x  x  C Câu 56 [2D3-1-MĐ101] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? A S    e x dx B S   e x dx TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C S    e x dx D S   e x dx Trang 7/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu 57 [2D3-1-MĐ102] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? 2 A S   x dx B S    22 x dx C S   22 x dx D S    x dx 0 Câu 58 [2D3-1-MĐ103] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? 2 A V     x  3 dx 2 2 B V    x  3 dx C V     x  3 dx D V    x  3 dx 0 0 Câu 59 [2D3-1-MĐ104] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 A V    x   dx 2 2 B V    x   dx C V     x   dx D V     x   dx 2 1 Câu 60 [2D3-2-MĐ101]  e3 x 1dx A e  e  B e e C e5  e D e  e  Câu 61 [2D3-2-MĐ102]  e3 x 1dx A e  e B e  e Câu 62 [2D3-2-MĐ103] dx  3x  C e  e D e3  e A ln B Câu 63 [2D3-2-MĐ104] dx  2x  ln C ln D ln A 2ln B ln C ln 35 D ln Câu 64 [2D3-3-MĐ101] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 11 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian tính 180 18 từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22  m s  B 15  m s  C 10  m s  D  m s  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Câu 65 [2D3-3-MĐ102] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 59 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian tính 150 75 từ lúc a bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m/s2  ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20  m/s  B 16  m/s  C 13  m/s  D 15  m/s  Câu 66 [2D3-2-MĐ103] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 13 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian 100 30 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a  m/s2  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 m/s  B 15 m/s  C  m/s  D 42 m/s  Câu 67 [2D3-3-MĐ104] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 58 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian 120 45 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 21  m s  B 36  m s  55 Câu 68 [2D3-2-MĐ101] Cho x 16 đúng? A a  b   c 21 Câu 69 [2D3-2-MĐ102] Cho  sau đúng? A a  b  2c C 30  m s  D 25  m s  dx  a ln  b ln  c ln11 với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x9 B a  b  c C a  b  3c D a  b  3c dx  a ln  b ln  c ln , với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x x4 B a  b  c C a  b   c D a  b  2c Câu 70 [2D3-2-MĐ103] Cho x  với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b   c B a  b  c C a  b  c D a  b  c e Câu 71 [2D3-2-MĐ104] Cho    x ln x  dx  a.e  b.e  c với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b  c B a  b   c C a  b  c D a  b  c g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , e   ) Biết đồ thị y Câu 72 [2D3-3-MĐ101] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 3 1 O x D Trang 9/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập A 4  12 B 33 4  C 4   D  2 Lời giải Chọn B y O x Phương trình hoành độ giao điểm parabol y  x cung tròn y   x (với  x  )  x2   x  3x2   x2  x    x  (vì  x  ) x    Cách 1: Diện tích  H  2 31 x I   I với I    x dx  x dx  3 2 S   x dx      Đặt: x  2sin t , t    ;   dx  2cos t.dt  2   Đổi cận: x   t  , x   t      I    4sin t 2cos t.dt   4cos t.dt   1  cos 2t  dt   x  sin 2t  2     6 2  3 2 4  I     3 Cách 2: Diện tích  H  diện tích phần tư hình tròn bán kính trừ diện tích hình Vậy S  phẳng giới hạn cung tròn, parabol trục Oy Tức S        x  x dx Câu 49 [2D3-3-MH18] Biết I    x  1 dx  a  b  c với a , b , c số nguyên x  x x 1 dương Tính P  a  b  c A P  24 B P  12 C P  18 Lời giải D P  46 Chọn D Ta có: x   x  , x  1;2 nên: I   x  1 dx dx  x  x x  1 x  x  1 x   x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập   Trang 33/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG  x  x  1    x  x   x dx x 1  2 x 1  x    34  x   x dx x  x  1    x  x      32  12     d x  x x 1  1 a  32  Mà I  a  b  c nên b  12 Suy ra: P  a  b  c  32  12   46 c     1  Câu 50 [2D3-3-MH18] Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f   x   , f  0  2x 1 2 f 1  Giá trị biểu thức f  1  f  3 A  ln15 B  ln15 C  ln15 Lời giải D ln15 Chọn C Ta có: f  x    f   x  dx   1  dx  ln x   C , với x   \   2x 1 2 1  + Xét  ;  Ta có f    , suy C  2  1  Do đó, f  x   ln x   , với x   ;  Suy f  1   ln 2  1  + Xét  ;   Ta có f 1  , suy C  2  1  Do đó, f  x   ln x   , với  ;   Suy f  3   ln 2  Vậy f  1  f  3   ln  ln   ln15 Câu 51 [2D3-4-MH18] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  , 1   f   x   dx  A  x f  x  dx  Tích phân B  f  x  dx C D Lời giải Chọn A  du  f   x  dx u  f  x   Cách 1: Tính:  x f  x  dx Đặt   x3 d v  x d x v    1 x3 f  x  Ta có:  x f  x  dx    x f   x  dx 30  1 f 1  f   1   x f   x  d x    x f   x  dx 30 30 Mà  x f  x  dx  1 1    x f   x  dx    x f   x  dx  1 30 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 34/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Ta có   f   x   35 dx  (1) 1 x7 1 x d x     49 x dx  49  (2) 0 7 1  x f   x  dx  1   14 x f   x  dx  14 (3) 0 1 Cộng hai vế (1) (2) (3) suy   f   x   dx   49 x dx   14 x f   x  dx    14    2    f   x    14 x f   x   49 x dx     f   x   x3  dx  0 2 Do  f   x   x      f   x   x3  dx  Mà   f   x   x  dx   f   x   7 x 0 7 7x  C Mà f 1     C   C  4 4 7x Do f  x     4 f  x   Vậy  1  x4   x5  f  x  dx       dx     x  4  20  0 Cách 2: Tương tự ta có:  x f   x  dx   Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1  1  1  2    x f   x  dx      x  dx      f   x   dx       f   x   dx    f   x  dx 0 0  0  0  Dấu xảy f   x   ax , với a   1 ax Ta có  x f   x  dx  1   x ax dx  1   1  a  7 0 3 Suy f   x   7 x  f  x    x4  C , mà f 1  nên C  4  x  x     x4   x5  f  x  dx       dx     x  4 20 0    Do f  x   Vậy  Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f  x  g  x  liên tục đoạn  a; b  b  b  b  Khi đó, ta có   f  x  g  x  dx     f  x  dx     g  x  dx  a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h  x  liên tục không âm đoạn  a; b   h  x  dx  a TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 35/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 36 Xét tam thức bậc hai   f  x   g  x     f  x   2 f  x  g  x   g  x   , với    Lấy tích phân hai vế đoạn  a; b  ta b  b b  f  x  dx  2  f  x  g  x  dx   g  x  dx  , với    * a a a Coi  * tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   b  b  b     f  x  dx     f  x  dx    g  x  dx   a  a  a  b  b  b     f  x  dx     f  x  dx   g  x  dx  (đpcm) a  a  a  Câu 52 [2D3-1-MĐ101] Nguyên hàm hàm số f  x   x3  x A x  x  C B x   C C x  x  C D x  x C D x  x C Lời giải Chọn D Ta có x  x  dx  x  x C Câu 53 [2D3-1-MĐ102] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x3   C C x  x  C Lời giải Chọn D Ta có x  x  dx  x  x C Câu 54 [2D3-1-MĐ103] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x  x C C x  x  C D x  x  C Lời giải Chọn B Theo công thức nguyên hàm Câu 55 [2D3-1-MĐ104] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x  x C C x  x  C Lời giải D x  x  C Chọn B Ta có F  x     x  x  dx  x  x C Câu 56 [2D3-1-MĐ101] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? 2 2x A S    e dx x B S   e dx x C S    e dx 0 D S   e x dx Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 36/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 37 Chọn B Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  tính theo cơng 2 thức S   e x dx   e x dx 0 Câu 57 [2D3-1-MĐ102] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? 2 A S   x dx B S    22 x dx C S   22 x dx D S    x dx 0 Lời giải Chọn A 2 S   x dx   x dx (do x  0, x   0; 2 ) 0 Câu 58 [2D3-1-MĐ103] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? 2 A V     x  3 dx 2 2 B V    x  3 dx C V     x  3 dx D V    x  3 dx 2 0 Lời giải Chọn C Ta tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox b 2 V     f  x   dx     x  3 dx a Câu 59 [2D3-1-MĐ104] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 A V    x   dx 2 2 B V    x   dx C V     x   dx D V     x   dx 2 1 Lời giải Chọn C Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  giới hạn đường 2 y  x  , y  , x  , x  xung quanh trục Ox V     x   dx 2 Câu 60 [2D3-2-MĐ101]  e3 x 1dx A e  e  B e e C e5  e D e  e  Lời giải Chọn A 2 1 Ta có:  e3 x 1dx  e3 x1   e5  e  3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 37/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 38 Câu 61 [2D3-2-MĐ102]  e3 x 1dx A e  e B e  e C e  e D e3  e Lời giải Chọn A e 1 1 dx   e3 x 1d  3x  1  e3 x1   e  e  30 3 x 1 Câu 62 [2D3-2-MĐ103] dx  3x  A ln B ln C ln D ln Lời giải Chọn D Ta có: dx 2 1 1 C ln 35  3x    ln 3x     ln  ln1  ln  ln Câu 63 [2D3-2-MĐ104] dx  2x  A 2ln B ln D ln Lời giải Chọn B 2 dx 1 1 x   ln  x  3  ln Câu 64 [2D3-3-MĐ101] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 11 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian tính 180 18 từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22  m s  B 15  m s  C 10  m s  D  m s  Lời giải Chọn B +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 15 giây, B 10 giây +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB  t    adt  at  C , lại có vB    nên vB  t   at +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 15 10  11  0  180 t  18 t  dt  0 atdt  75  50a  a  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 38/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 39 Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB 10   10  15  m s  Câu 65 [2D3-3-MĐ102] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 59 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian tính 150 75 từ lúc a bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m/s2  ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20  m/s  B 16  m/s  C 13  m/s  D 15  m/s  Lời giải Chọn B 15  59  Quãng đường chất điểm A từ đầu đến B đuổi kịp S    t  t  dt  96  m  150 75   Vận tốc chất điểm B vB  t    adt  at  C Tại thời điểm t  vật B trạng thái nghỉ nên vB  3   C  3a Lại có quãng đường chất điểm B đến gặp A 15 15  at  S    at  3a  dt    3at   72a  m   3 Vậy 72a  96  a   m/s  Tại thời điểm đuổi kịp A vận tốc B vB 15  16  m/s  Câu 66 [2D3-2-MĐ103] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 13 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian 100 30 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a  m/s2  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 m/s  B 15 m/s  C  m/s  D 42 m/s  Lời giải Chọn A Khi B đuổi kịp A tức A chuyển động 25 giây kể từ thời điểm bắt đầu xuất phát A chuyển động quãng đường  25 13  375 S  t  t (m) 100 30 0  Vì B chuyển động với gia tốc a m/s  nên vận tốc B v  t   at  C Tại thời điểm bắt đầu xuất phát t  10; v   c  10a Vận tốc chất điểm B thời điểm t v  t   at  10a (m/s) Quãng đường chất điểm B 15  s  kể từ bắt đầu xuất phát TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 39/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 25 S   at  10a  dt  10 40 225 a Vì sau chuyển động 15 giây chất điểm B đuổi kịp chất điểm A , ta có: 225a 375  m  a  2 50  v t   t  3 50 Vậy vận tốc B đuổi kịp A ứng với t  25( s )  v  25   25   25  m/s  3 Câu 67 [2D3-3-MĐ104] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 58 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian 120 45 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 21  m s  B 36  m s  C 30  m s  D 25  m s  Lời giải Chọn C +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 18 giây, B 15 giây +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB  t    adt  at  C , lại có vB    nên vB  t   at +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 18 15 225  58  t  t d t  0  120 45  0 atdt  225  a  a  Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB 15   2.15  30  m/s  55 Câu 68 [2D3-2-MĐ101] Cho x 16 đúng? A a  b   c dx  a ln  b ln  c ln11 với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x9 B a  b  c C a  b  3c D a  b  3c Lời giải Chọn A Đặt t  x   t  x   2tdt  dx Đổi cận: x  16  t  ; x  55  t  8 2tdt dt  dt dt  dx    16 x x  5  t   t 5 t   5 t   5 t   55 Khi 1   ln x   ln x   = ln  ln  ln11 3 3 Vậy a  1 , b  , c   Mệnh đề a  b   c 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 40/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 21 Câu 69 [2D3-2-MĐ102] Cho x sau đúng? A a  b  2c 41 dx  a ln  b ln  c ln , với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x4 B a  b  c C a  b   c Lời giải D a  b  2c Chọn A Đặt t  x   2tdt  dx Với x   t  ; x  21  t  21 5 dx dt 1 1 Ta có   2   ln t   ln t    ln  ln  ln t 4 2 2 x x4 Câu 70 [2D3-2-MĐ103] Cho x  với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b   c B a  b  c C a  b  c D a  b  c Lời giải Chọn D e e e e Ta có  1  x ln x  dx   dx   x ln xdx  e    ln xd  x  21 1 e e e   1 1 1 x2  e    x ln x   x d  ln x    e    e   xdx   e    e  2 1 2 2   e  1 1 e2   e   e2     e2  e  2 2 4 Suy a  ; b  1; c    a  b  c 4 e Câu 71 [2D3-2-MĐ104] Cho    x ln x  dx  a.e  b.e  c với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b  c B a  b   c C a  b  c Lời giải D a  b  c Chọn C e e e 1    x ln x  dx  x   e x ln xdx  2e    x ln xdx dx  u  ln x  du  x Đặt  dv  xdx  v  x  e e e e e e2 x ln x x e2 x2 e2 x ln x d x   d x       x ln x d x   2e    1   12 4 4 Vậy a  b  c g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , e   ) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh Câu 72 [2D3-3-MĐ101] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  độ 3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 41/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG y 42 A x 1 O 3 B C D Lời giải Chọn C Diện tích hình phẳng cần tìm 1 S    f  x   g  x   dx    g  x   f  x  dx 3 1 1 3 3      ax3   b  d  x   c  e  x   dx    ax3   b  d  x   c  e  x   dx 2 2 3  1  Trong phương trình ax3   b  d  x   c  e  x  0  * phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  Phương trình  * có nghiệm 3 ; 1 ; nên 3    27a   b  d    c  e    27a   b  d    c  e   a     3     a  b  d  c  e     a  b  d  c  e              b  d   2    3    a   b  d    c  e    a   b  d    c  e    c  e       1 3 3 1 1 Vậy S    x  x  x   dx    x  x  x   dx    2   2 2 2 2 3  1  Câu 73 [2D3-3-MĐ102] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , e   ) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 2 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) y 2 1 O x Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 37 13 A B C 2 Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị f  x  g  x  D 37 12 ax3  bx  cx   dx  x   a   b  d  x   c  e  x   * TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 42/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 43 Do đồ thị hai hàm số cắt ba điểm suy phương trình  * có ba nghiệm x  2 ; x  1 ; x  Ta ax3   b  d  x   c  e  x   k  x   x  1 x  1 Khi 4  2k  k  Vậy diện tích hình phẳng cần tìm   x   x  1 x  1 dx  2 37 (a, b , c, d , e   ) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ Câu 74 [2D3-4-MĐ103] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) y x 3 1 O Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho 125 253 253 125 A B C D 12 12 48 48 Lời giải Chọn C Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x   ax   b  d  x   c  e  x   1 2 Đặt m  b  d , n  c  e , phương trình 1 có dạng  ax  mx  nx     Đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 3 ; 1 ; ax3  bx  cx   dx  ex  nên phương trình   có ba nghiệm x  3 ; x  1 ; x  Do đó, ta có hệ phương trình   27a  9m  3n  a       m  a  m  n  2     8a  4m  2n  n     Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  2 1 3 3 253 1 1 S    x3  x  x   dx    x  x  x   dx  4 2 4 2 48 3  2  Cách 2: Từ giả thiết ta có: f  x   g  x   k  x  3 x  1 x    f    g    k   3  1    k  Vậy f  x   g  x   2 Khi đó: S   3  x  3 x  1 x   1  x  3 x  1 x   dx    x  3 x  1 x   dx Bấm máy đáp án C 4 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 43/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 44 3 Câu 75 [2D3-4-MĐ104] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  ( a , b , c , 4 d , e   ) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 2 ; ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích y 2 A 125 48 B 253 24 O x 125 24 Lời giải C D 253 48 Chọn D Ta có: f  x   g  x   1  x   x  1 x  3   x3  x2  x   4 S   f  x   g  x  dx    g  x   f  x   dx 2 Câu 76 [2D3-3-MĐ101] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     2 f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 A  35 36 B  C  19 36 D  15 Lời giải Chọn B f  x  0 Ta có f   x   x  f  x       2x    x2  C   2 x  f  x  f  x    f  x  f  x suy C   2 Do f 1    1 12      2 Từ f     Câu 77 [2D3-3-MĐ102] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 A  11 B  C  Lời giải D  Chọn B TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 44/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 45 Từ hệ thức đề cho: f   x   x  f  x   (1), suy f   x   với x  1;  Do f  x  hàm không giảm đoạn 1; 2 , ta có f  x   f    với x  1;  f  x  x, x  1; 2  f  x   Lấy tích phân vế đoạn 1; 2 hệ thức vừa tìm được, ta được: Chia vế hệ thức (1) cho  f  x    f  x 2 1 1 1  f  x  dx  1 xdx  1  f  x  df  x    f  x    f 1  f        Do f     nên suy f 1   3 Chú ý: tự kiểm tra phép biến đổi tích phân có nghĩa Câu 78 [2D3-3-MĐ103] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   với 25 x   Giá trị f 1 A  10 B  41 400 C  40 D  391 400 Lời giải Chọn A f  x f  x 2 f   x   x  f  x     4x   dx   x dx    x4 2 f  x  f  x     f  x   1 1    15  25   15  f 1   f   f 1 f 1 10 3 Câu 79 [2D3-3-MĐ104] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 A  35 B  79 20 C  Lời giải D  71 20 Chọn C   f  x 1 Ta có f   x   x  f  x     x3     x4  C   x  f  x f  x  f  x  Mà f     nên C  1 4 Khi f  x   x 4 Vậy f 1   Câu 80 [2D3.2-1-MH2019] Cho  f  x  dx   g  x  dx    f  x   g  x  dx A 3 B 12 C 8 Lời giải D Chọn C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 45/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Ta có 1  g  x  dx   2 g  x  dx  10   g  x  dx  10 0 1   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Xét 46 0   10  8 Câu 81 [2D3.1-1-MH2019] Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  x B e x  A e x  x  C x C x e  x  C D e x   C x 1 C Lời giải Chọn B Ta có  e x x C  x  dx  e x  Câu 82 [2D3.3-2-MH2019] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? y y  x2  2x 1 x 1 O y  x2  A   2x 2  x   dx B 1 C   2 x   dx 1   x   dx D 1   2 x  x   dx 1 Lời giải Chọn D Ta thấy: x   1;2 :  x   x  x  nên 2 S     x  3   x  x  1  dx  1   2 x  x   dx 1 Câu 83 [2D3.1-2-MH2019] Họ nguyên hàm hàm số f  x   x 1  ln x  A x ln x  x B x ln x  x C x ln x  3x  C D x ln x  x  C Lời giải Chọn D Cách Ta có  f  x  dx   x 1  ln x  dx   xdx   x ln xdx + Tính  xdx  x  C1 + Tính  x ln xdx  u  ln x  du  dx Đặt   x dv  xdx v  x  Suy  x ln xdx  x ln x   xdx  x ln x  x  C2 Do I  x ln x  x  C Cách Ta có  x ln x  x    x  ln x  x  ln x    x  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 46/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập  x.ln x  x  x x  x 1  ln x  47 Do x ln x  x nguyên hàm hàm số f  x   x 1  ln x  Hay x ln x  x  C họ nguyên hàm hàm số f  x   x 1  ln x  Câu 84 [2D3.2-2-MH2019] Cho xdx   x  2  a  b ln  c ln với a , b , c số hữu tỷ Giá trị 3a  b  c A 2 Chọn B xdx B 1 C Lời giải D 1 x  2   dx 2dx 0  x  2  0  x  2 dx  0 x   0  x  22  ln  x    x  2  1 1  ln  ln      ln  ln 3 Vậy a   ; b  1; c   3a  b  c  1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 47/47 ...GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập PHÂN DẠNG ĐỀ MINH HỌA – ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI THPTQG 2017 + 2018 + 2019 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN oOo -A – ĐỀ BÀI Câu [2D3-1-MH2]... thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I  2;9  trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian... , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? A S    e x dx B S   e x dx TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C S    e x dx D S   e x dx Trang 7/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH