Thông tin tài liệu
Hãy theo đuổi đam mêm thành công theo đuổi bạn! – Nguyễn Vui MỞ RỘNG VÀ PHÁT TRIỂN KẾT QUẢ TỪ MỘT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN TỚI TRỰC TÂM TAM GIÁC Mơ hình tốn: Cho tam giác ABC đường cao AD, BE , CF cắt H Ta có kết quen thuộc: A HD SCHD S BHD SCHD S BHD S BHC AD S ACD S ABD S ACD S ABD S ABC E F Tương tự: H HE S AHC HF S AHB ; BE S ABC CF S ABC Suy ra: B D C HD HE HF S BHC S AHC S AHB S ABC 1 AH BE CF S ABC S ABC HD HE HF 1 AD BE CF (1) Từ kết số (1) ta có: AD AH BE BH CF HF 1 AD BE CF AH BH CH 2 AD BE CF (2) Ta thấy kết (1) (2) thực chất khơng sử dụng tính vng góc đường cao nên kết D, E , F điểm thuộc cạnh tam giác đồng thời thỏa mãn AD, BE , CF đồng quy Từ (1) ta đặt HD HE HF 1 1 a; b; c áp dụng BĐT a b c (*) AD BE CF a b c Khi ta có kết sau: Từ (3) ta có: AD BE CF 9 HD HE HF (3) AH HD BH HE CH HF AH BH CH 9 6 HD HE HF HD HE HF Cũng áp dụng BĐT (*) ta suy kết Hà Nội tháng - 2018 HD HE HF AH BH CH (4) (5) Hãy theo đuổi đam mêm thành công theo đuổi bạn! – Nguyễn Vui Ta nhận thấy kết (1),(2),(3),(4) (5) kết AD, BE , CF đường đồng quy tam giác chưa sử dụng tới tính vng góc đường Với AD, BE , CF đường cao tam giác ABC ta có kết sau: AHE ~ BEC AHF ~ BFC Khi ta có tỉ số: AH AE AF BC BE CF BH BD BF AC AD CF Chứng minh tương tự ta có: CH CE CD AB BE AD Từ suy ra: AH BH CH AE CE AF BF BD CD AC AB BC BC AC AB BE CF AD BE CF AD AC AB BC 2S ABC 2S ABC 2S ABC AB BC AC AB AC BC S ABC 4 AH BH CH AB AC BC Khi ta có kết : BC AC AB S ABC (6) Xuất phát từ kết số (6) ta có bước đánh giá sau: AB AD BD BD CD AD BC 2 2 2 AB AC AD BD CD AD 2 2 AC AD CD Suy ra: AB AC BC AD 3BC BC 2 AD AD.BC 3S ABC 2 Như ta có kết quả: AB AC BC 3S ABC Từ kết số (6) số (7) ta thu BĐT sau: Hà Nội tháng - 2018 AH BH CH BC AC AB (7) (8) Hãy theo đuổi đam mêm thành công theo đuổi bạn! – Nguyễn Vui AH BH CH Từ BĐT số (8) ta có mà BC AC AB AH BH CH AH BH CH 3 2 AC AB BC AC AB BC 2 Khi ta lại có: AH BH CH 1 BC AC AB F Khi chứng minh kết quen thuộc là: AH 2OM E N H BC AH 4OM OC CM R O B D (9) Bây ta xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R A K M C AH R BC R 1 BC BC BC Tương tự ta có: BH R CH R 1; 1 AC AC AB AB AH BH CH 1 4R2 3 2 2 BC AC AB AC AB BC (10) 1 1 1 3 1 2 2 2 AC AB BC AC AB R BC Kết hợp với kết (9) ta có: R (11) Ta có áp dụng kết định lí Ptolemee vào tứ giác AKON , BKOM , CNOM ta có: Trong tứ giác AKON ta có: OA.KN AK ON AN OK R Tương tự: R Ta đặt p AC AB BC OM OK 2 AB AC BC Hà Nội tháng - 2018 R ( nửa chu vi ) BC AB AC ON OK 2 AB AC BC OM ON 2 Hãy theo đuổi đam mêm thành công theo đuổi bạn! – Nguyễn Vui Khi cơng vế đẳng thức lại với ta được: AB AC AB BC BC AC R p OM ON OK 2 R p OM ON OK p OM BC AC BC ON OK 2 R p OM ON OK p S ABC Mặt khác S ABC p.r với r tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi ta có: R p OM ON OK p P.r Suy ra: OM ON OK R r (12) Như ta có kết (12) đẹp AH 2OM Bây sử dụng kết BH 2ON AH BH CH R r CH 2OK Ta có từ kết số (2) (13) AH BH CH AH BH CH 2 2 AD BE CF AH AD BH BE CH CF Áp dụng BĐT Bunyakovski dạng phân thức ta có: AH BH CH AH BH CH 2 AH AD BH BE CH CF AH AD BH BE CH CF AH BH CH AH AD BH BE CH CF 2 4R r 2 ( theo kết số (13) ) AH AD AE AC AF AB Lại có BH BE BD.BC BF BA AH AD BH BE CH CF AB AC BC CH CF CD.CB CE.CA Khi ta có: AB2 AC BC R r (14) Ta thấy từ kết ban đầu sau số phép biến đổi ta suy nhiều kết đẹp, khó hay hình học Hà Nội tháng - 2018 ... (10) 1 1 1 3 1 2 2 2 AC AB BC AC AB R BC Kết hợp với kết (9) ta có: R (11) Ta có áp dụng kết định lí Ptolemee vào tứ giác AKON , BKOM , CNOM ta có: Trong tứ giác AKON ta... AD CD Suy ra: AB AC BC AD 3BC BC 2 AD AD.BC 3S ABC 2 Như ta có kết quả: AB AC BC 3S ABC Từ kết số (6) số (7) ta thu BĐT sau: Hà Nội tháng - 2018 AH BH CH BC AC AB (7)... Nguyễn Vui Ta nhận thấy kết (1),(2),(3),(4) (5) kết AD, BE , CF đường đồng quy tam giác chưa sử dụng tới tính vng góc đường Với AD, BE , CF đường cao tam giác ABC ta có kết sau: AHE ~ BEC AHF
Ngày đăng: 18/01/2019, 22:30
Xem thêm:
