ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VÕ THỊ NGỌC THUẬN VÀNH GIAO HOÁN MÀ CÁC IĐÊAN LÀ TỔNG TRỰC TIẾP CỦA CÁC MÔĐUN CYCLIC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 Demo Version - Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS PHAN VĂN THIỆN Thừa Thiên Huế, năm 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử Demo Version - Select.Pdf SDK dụng chưa cơng bố cơng trình khác Võ Thị Ngọc Thuận ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn Thầy giáo, PGS.TS Phan Văn Thiện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc kính trọng Thầy Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Khoa Tốn, Thầy Đại học Huế Viện Toán học dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho suốt q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế tạo điều kiện cho tơi suốt khóa học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, anh chị Cao học Tốn khóa XXV trường ĐHSP Huế chun ngành Đại số Lý thuyết số động viên, giúp đỡ trình học tập vừa qua Ngày 15 tháng 09 năm 2018 Học viên thực Demo Version - Select.Pdf SDK Võ Thị Ngọc Thuận iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Một số ký hiệu thường dùng Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành Noether Vành Artin Địa phương hóa Vành địa phương Vành Boolean 1.2 Môđun cyclic Iđêan tổng trực tiếp môđun cyclic Chiều Demo Version - Select.Pdf SDK Krull 5 18 Vành giao hoán mà iđêan tổng trực tiếp mơđun cyclic 21 2.1 Một số tính chất vành địa phương có mơđun đơn hạng tử trực tiếp iđêan cực đại 21 2.2 Một số tính chất vành địa phương Noether mà iđêan tổng trực tiếp R-môđun cyclic 25 Kết luận 40 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG Kí hiệu Ý nghĩa (R, M) Ann(M ) Spec(R) Max(R) Nil(R) Rad(R) Rad(M ) J(R) PID dim(R) Vành địa phương với iđêan cực đại M Annihitor M Tập iđêan nguyên tố R Tập iđêan cực đại R Tập phần tử lũy linh R Căn lũy linh vành gia hoán R Căn Jacobson môđun M Căn Jacobson vành R Miền iđêan Chiều Krull R Demo Version - Select.Pdf SDK LỜI NĨI ĐẦU Vành giao hốn đóng vai trò quan trọng tốn học, vành sử dụng ngành Đại số giao hốn Hình học đại số vành giao hốn Vì việc nghiên cứu cấu trúc vành giao hoán nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Năm 1935, Kothe ([9]) vành R giao hốn Artin có tính chất mơđun tổng trực tiếp môđun cyclic R vành iđêan Sau vào năm 1951 Cohen Kaplansky ([5])đã thu kết quả: "Một vành R giao hốn có tính chất R-môđun tổng trực tiếp R-môđun cyclic R vành iđêan Artin" Cho R vành giao hốn, R R-mơđun Nếu I iđêan R xem I R-mơđun Ta nói iđêan I tổng trực tiếp R- môđun cyclic, nghĩa là: I = Rω1 ⊕ Rω2 ⊕ · · · ⊕ Rωn với ω1 , ωn ∈ R Một câu hỏi thú vị đặt "Lớp vành R giao hốn thỏa mãn tính chất iđêan tổng trực tiếp R- mơđun cyclic có đặc tính gì?" Năm 2011, M Behboodi, A Ghorbani, A Moradzadeh-Dehkordi ([2]) chứng minh: Nếu iđêan vành Noether R tổng trực tiếp Rmơđun cyclic dim(R) ≤ -([2, Hệ 2.7]); vành địa phương (R, M) có Demo Version Select.Pdf SDK tính chất iđêan vành R tổng trực tiếp R- mơđun cyclic M = ⊕λ∈Λ Rωλ với Λ tâp số, ωλ ∈ R cho λ ∈ Λ nhiều hai môđun Rωλ không đơn ([2,Hệ 2.3]); vành địa phương Noether R có tính chất iđêan vành R tổng trực tiếp R-mơđun cyclic | Spec(R) ≤ | ([2,Định lý 2.5]) Hơn nữa, với vành địa phương Noether (R, M) khẳng định tương đương ([2, Định lý 2.11]) (1) Mọi iđêan R tổng trực tiếp R-môđun cyclic (2) M = Rw1 ⊕ Rw2 ⊕ · · · ⊕ Rwn với n ≥ nhiều hai môđun Rw1 , , Rwn không đơn (3) Tồn giá trị n ≥ cho iđêan R tổng trực tiếp nhiều n R-môđun cyclic (4) Mọi iđêan R số hạng tổng trực tiếp R-mơđun cyclic Khi đó, R = R1 × R2 × · · · × Rk , với Ri (1 ≤ i ≤ k) vành địa phương Noether, iđêan R tổng trực tiếp R-môđun cyclic Ri thỏa mãn điều kiện tương đương Cụ thể, họ chứng minh [2, Định lý 2.13] trình bày lại luận văn Định lý 2.2.17: Cho R = R1 × · · · × Rk , k ∈ N Ri vành địa phương Noether với iđêan cực đại Mi (1 ≤ i ≤ k).Khi đó, khẳng định sau tương đương: (1) Mọi iđêan R tổng trực tiếp R-môđun cyclic (2) Với i, Mi = Ri ω1i ⊕ · · · ⊕ Ri ωni n ≥ nhiều Ri ω1i Ri ωni không đơn (3) Tồn n ≥ cho iđêan R tổng trực tiếp nhiều n R-môđun cyclic (4) Mọi iđêan R hạng tử tổng trực tiếp R-môđun cyclic Trong luận văn chúng tơi trình bày lại cách có hệ thống, chứng minh chi tiết, tường minh kết [2] Luận văn gồm có hai chương Chương : Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm mục đích giúp cho người đọc dễ dàng nắm kiến thức trình bày chương Trong chương chúng tơi trình bày số định nghĩa, tính chất mơđun, vành Noether, vành Artin, địa phương hóa, chiều Krull, tổng trực tiếp môđun cyclic Chương : Vành giao hoán mà iđêan tổng trực tiếp môđun cyclic Chương nhằm mục đích đặc tính lớp vành R thỏa mãn tính chất iđêan tổng trực tiếp R-mơđun cyclic Mục 2.1 trình bày số tính chất vành địa phương có mơđun đơn hạng tử trực tiếp iđêan cực đại Mục 2.2 trình bày đặc tính lớp vành R thỏa mãn tính chất iđêan tổng trực tiếp R-môđun cyclic Demo Version - Select.Pdf SDK ... R giao hốn Artin có tính chất môđun tổng trực tiếp môđun cyclic R vành iđêan Sau vào năm 1951 Cohen Kaplansky ([5])đã thu kết quả: "Một vành R giao hốn có tính chất R -môđun tổng trực tiếp R -môđun. .. phương với iđêan cực đại M Annihitor M Tập iđêan nguyên tố R Tập iđêan cực đại R Tập phần tử lũy linh R Căn lũy linh vành gia hoán R Căn Jacobson môđun M Căn Jacobson vành R Miền iđêan Chiều... 1.2 Môđun cyclic Iđêan tổng trực tiếp môđun cyclic Chiều Demo Version - Select.Pdf SDK Krull 5 18 Vành giao hoán mà iđêan tổng trực tiếp mơđun