tài liệu hữu ích để quý thầy cô dạy thêm, dạy kèm mà không cần mất thời gian soạn thêm tài liệu; học sinh có thể tự ôn luyện, có đáp án câu hỏi trắc nghiệm và lời giải chi tiết câu hỏi khó, mức độ trải đều từ nhận biết đến vận dụng cao
CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG «»«»«» CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM I CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Dạng 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) VD1: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x B cos 3xdx = A cos xdx = 3sin x + C sin 3x +C sin 3x +C D cos xdx = sin x + C ……………………………………………………………………………………………………………… VD2: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 5x − dx dx = ln x − + C = − ( ln x − ) + C A B 5x − 5x − 2 dx dx = 5ln x − + C = ln x − + C C D 5x − 5x − ……………………………………………………………………………………………………………… VD3: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x C cos 3xdx = − 7x +C ln 7 x +1 +C C x dx = x +1 + C D x dx = x +1 ……………………………………………………………………………………………………………… x VD4: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = (1 + x ) A x dx = x ln + C A F ( x ) = − C F ( x ) = ( x + 1) ( x + 1) 3 − B x dx = B F ( x ) = +C ( x + 1) +C D F ( x ) = ( x + 1) 4 ( x + 1) +C − ( x + 1) +C ……………………………………………………………………………………………………………… VD5: Nguyên hàm hàm số x.ln x x ln x x x ln x x x2 x ln x − +C + +C +C +C B C D 4 ……………………………………………………………………………………………………………… VD6: Nguyên hàm hàm số y = x − 3x + x 3 x 3x x 3x x3 3x x3 3x − − ln x + C B − + + C C − + ln x + C D − + ln x + C A 3 x 3 ……………………………………………………………………………………………………………… x2 − x + VD7: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x −1 x2 +C + ln x −1 + C A x + B + C D x + ln x − + C + C x −1 ( x − 1) A ……………………………………………………………………………………………………………… Phan Anh Duy – Y18 VD8: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x3 A x + C B C 6x + C D x3 + x + C + x+C ……………………………………………………………………………………………………………… VD9: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x 3x 3x +1 C D 3x +1 + C +C +C ln x +1 ……………………………………………………………………………………………………………… 1 VD10: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + + − x x 1 A x + ln x − − x B x + ln x + − x + C x x 1 C x + ln x + − x + C D x + ln x − − x + C x x ……………………………………………………………………………………………………………… Dạng 3: Xác định nguyên hàm hàm số với điều kiện ràng buộc VD1: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x + cos x thỏa mãn F = 2 A F ( x ) = cos x − sin x + B F ( x ) = − cos x + sin x + A 3x.ln + C B C F ( x ) = − cos x + sin x − D F ( x ) = − cos x + sin x + ……………………………………………………………………………………………………………… VD2: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) = − 5sin x f ( ) = 10 Mệnh đề đúng? A f ( x ) = 3x + 5cos x + B f ( x ) = 3x + 5cos x + C f ( x ) = 3x − 5cos x + D f ( x ) = 3x − 5cos x + 15 ……………………………………………………………………………………………………………… VD3: Cho F ( x ) = x nguyên hàm hàm số f ( x ) e x Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) e x ? f '( x) e C f ' ( x ) e A 2x 2x = − x2 + 2x + C = 2x2 − 2x + C f '( x) e D f ' ( x ) e B 2x = − x2 + x + C 2x = −2 x + x + C ……………………………………………………………………………………………………………… VD4: Cho F ( x ) = ( x − 1) e x nguyên hàm hàm số f ( x ) e x Tìm nguyên hàm hàm số f ' ( x ) e2 x f '( x) e C f ' ( x ) e A 2x dx = ( − x )e x + C 2x dx = ( − x ) e x + C 2− x x e +C 2x dx = ( x − ) e x + C f '( x) e D f ' ( x )e B 2x dx = ……………………………………………………………………………………………………………… VD5: Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) = F ( ) = F (1) x +1 A ln B + ln C D ……………………………………………………………………………………………………………… e −1 VD6: Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = , biết F = là: 2x +1 A F ( x ) = ln x + − B F ( x ) = ln x + + Phan Anh Duy – Y18 1 ln x + + D F ( x ) = ln x + + 2 ……………………………………………………………………………………………………………… VD7: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = F ( ) = Tính F ( 3) x −1 A F ( 3) = ln − B F ( 3) = ln + C F ( 3) = D F ( 3) = ……………………………………………………………………………………………………………… Dạng 3: Chứng minh F ( x ) nguyên hàm hàm f ( x ) D C F ( x ) = VD1: Cho F ( x ) = ln ( ln ( ln x ) ) Hỏi F ( x ) nguyên hàm hàm số đây? A f ( x ) = 1 1 B f ( x ) = C f ( x ) = D f ( x ) = x.ln ( ln x ) ln x.ln ( ln x ) x.ln x.ln ( ln x ) ln ( ln ( ln x ) ) ……………………………………………………………………………………………………………… x −3 + Hỏi F ( x ) nguyên hàm hàm số đây? VD2: Cho F ( x ) = ln x + 12 1 x x + + A f ( x ) = B f ( x ) = C f ( x ) = D f ( x ) = x −9 x −9 x − 12 x + 12 ……………………………………………………………………………………………………………… VD3: Trong hàm số sau, hàm số có nguyên hàm hàm số F ( x ) = ln x ? x3 B f ( x ) = C f ( x ) = D f ( x ) = x x ……………………………………………………………………………………………………………… A f ( x ) = x VD4: Hàm số F ( x ) = e x nguyên hàm hàm số: 3 ex A f ( x ) = e B f ( x ) = x e C f ( x ) = D f ( x ) = x e x −1 3x ……………………………………………………………………………………………………………… Dạng 4: Tìm giá trị tham số để F ( x ) nguyên hàm f ( x ) x3 Tìm VD1: a, b, c, d để x3 F ( x ) = ( ax + bx + cx + d ) e x nguyên hàm f ( x ) = ( x3 + x − x + 5) e x A a = 3; b = 3; c = −7; d = 13 B a = 2; b = 3; c = −8; d = 13 C a = −2; b = 3; c = −8; d = 13 D a = 3; b = 3; c = −8; d = 15 ……………………………………………………………………………………………………………… VD2: Cho hai hàm số F ( x ) = ( x + ax + b ) e − x f ( x ) = ( − x + 3x + ) e − x Tìm a b để F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) A a = , b = −7 B a = −1 , b = −7 C a = −1 , b = D a = , b = ……………………………………………………………………………………………………………… II CÁC NGUYÊN HÀM ĐẶC BIỆT Dạng 1: Nguyên hàm hàm số dạng tích, thương: VD1: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = là: + ex A C f ( x ) dx = x − ln ( e f ( x ) dx = x + 1) + C B f ( x ) dx = ln ( e +C D f ( x ) dx = x ln ( e ln ( e x + 1) x x + 1) + C x + 1) + C Phan Anh Duy – Y18 ……………………………………………………………………………………………………………… + ex ) − ex + ex ) ' ( ( ex f ( x) = = = 1− = x '− = x '− ln ( e x + 1) ' + ex + ex + ex + ex ( ( ) ) = x − ln ( e x + 1) ' f ( x ) dx = x − ln ( e x + 1) + C VD2: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = A f ( x ) dx = ln + ( ln x ) +C ln x − ln x B f ( x ) dx = ln − +C ln x x x x −x +C +C C f ( x ) dx = D f ( x ) dx = ln x ln x ……………………………………………………………………………………………………………… Ta có f ( x ) = ( ln x ) −x 1 − ln x ( − x ) '.ln x − ( − x ) ( ln x ) ' − x − = = = f ( x ) dx = ln x + C 2 ln x ( ln x ) ln x ( ln x ) / VD3: : Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x.ln ( ex ) với x A F ( x ) = ex ln ( ex ) + C B F ( x ) = x ln ( ex ) + C C F ( x ) = x ln x + C D F ( x ) = x ln x + C ……………………………………………………………………………………………………………… f ( x ) = x ( ln e + ln x ) = x (1 + ln x ) = x + ( x ) ln x = x ( ln x ) '+ ( x ) '.ln x x = ( x ln x ) ' F ( x ) = x ln x + C Dạng 2: Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ: a/ Trường hợp phương trình Q ( x ) = khơng có nghiệm phức nghiệm nghiệm đơn VD1: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 4x − x − 3x + 2 x −1 x −1 +C +C B F ( x ) = ln x − − ln x−2 x−2 x−2 x−2 +C +C C F ( x ) = −4 ln x − − ln D F ( x ) = ln x − − ln x −1 x −1 ……………………………………………………………………………………………………………… 4x − −1 dx = + Ta có dx = − ln x − + 5.ln x − + C x − 3x + x −1 x − x−2 x −1 = 4.ln x − + ln + C = 4.ln x − − ln +C x −1 x−2 A F ( x ) = ln x − + ln b/ Trường hợp Q ( x ) = khơng có nghiệm phức, có nghiệm thực nghiệm bội VD2: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x (1 − x ) A F ( x ) = + +C x − ( x − 1)2 B F ( x ) = − +C x − ( x − 1)2 C F ( x ) = 1 + +C − x (1 − x )4 D F ( x ) = 1 − +C − x (1 − x )4 ……………………………………………………………………………………………………………… Phan Anh Duy – Y18 Nhận thấy 2x (1 − x ) x = nghiệm bội ba phương trình ( x − 1) = , ta biến đổi A ( x − x + 1) + B (1 − x ) + C Ax + ( −2 A − B ) x + A + B + C A B C = = + + = 3 − x (1 − x )2 (1 − x )3 (1 − x ) (1 − x ) A = A = Từ ta có −2 A − B = B = −2 A + B + C = C = TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ thực đưa dạng nguyên hàm sau: A A A dx = A.ln x − a + C k 1 dx = − +C k x−a k − ( x − a )k −1 ( x − a) BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – 01 (Nhận biết – Thông hiểu) Câu 1: Cho f ( x ) , g ( x ) hàm số xác định liên tục Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A B f ( x ) dx = f ( x ) dx f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx C f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx D f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx Câu 2: Nếu f ( x ) dx = x + ln x + C f ( x ) A f ( x ) = x + ln x + C B f ( x ) = x −1 1 C f ( x ) = − + ln x + C D f ( x ) = − x + + ln x + C x x x x3 + e x + C f ( x ) bằng: x4 x A f ( x ) = x + e B f ( x ) = + e x C f ( x ) = 3x + e x Câu 4: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = 10x Câu 3: Nếu f ( x ) dx = x4 D f ( x ) = + e x 12 10 x +1 + C A F (1) = B C 10x ln10 + C x +1 Câu 5: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x +3 2x +3 2x +3 A f ( x ) dx = e C f ( x ) dx = e 10 x +1 + C D 11 + C B f ( x ) dx = e + C D f ( x ) dx = 2e Câu 6: Giả sử nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x + + C 2x + + C khoảng F ( ) = Mệnh đề sau 3x + đúng? A F ( x ) = ln ( 3x + 1) + C C F ( x ) = ln x + + C Câu 7: Mệnh đề sau sai? A Nếu f ( x ) dx = F ( x ) + C B F ( x ) = ln ( −3x − 1) + C D F ( x ) = ln ( −3x − 1) + C f ( u ) du = F ( u ) + C B kf ( x ) dx = k f ( x ) dx ( G (1) = số k ) Phan Anh Duy – Y18 C Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) D f ( x ) + f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx 2 Câu 8: Khẳng định sau khẳng định sai? A kf ( x ) dx = k f ( x ) dx với k B f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục ( ) +1 x với −1 D f ( x ) dx = f ( x ) +1 Câu 9: Nếu f ( x ) dx = + ln x + C với x ( 0; + ) hàm số f ( x ) x 1 1 1 A f ( x ) = − + B f ( x ) = x + C f ( x ) = + ln ( x ) D f ( x ) = − + x x 2x x x 2x Câu 10: Mệnh đề đúng? 32 x 9x 32 x 32 x +1 A 32 x dx = + C B 32 x dx = + C C 32 x dx = + C D 32 x dx = +C ln ln ln 2x +1 Câu 11: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + sin x C x dx = 1 A x − cos x + C B x + cos x + C C x2 − 2cos x + C 2 Câu 12: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e 2018 x A f ( x ) dx = 2018 e C f ( x ) dx = 2018e 2018 x 2018 x +C +C B f ( x ) dx = e D f ( x ) dx = e 2018 x 2018 x D x2 + 2cos x + C +C ln 2018 + C Câu 13: Hàm số F ( x ) = cos x nguyên hàm hàm số: sin 3x B f ( x ) = −3sin x C f ( x ) = 3sin x Câu 14: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 52 x A f ( x ) = D f ( x ) = − sin x 52 x 25x 25x +1 + C B 52 x dx = + C C 52 x dx = 2.52 x ln + C D 52 x dx = +C ln ln x +1 Câu 15: Tìm nguyên hàm I = x cos xdx A 52 x dx = x x A I = x s in + C B I = x sin x + cosx + C C I = x sin x − cosx + C D I = x cos + C 2 Câu 16: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x là: A cos 3x + C B cos3x + C C − cos x + C ln x x f ( x ) dx = ln x + C C D − cos3x + C Câu 17: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A f ( x ) dx = ln x + C B f ( x ) dx = ln x + C D f ( x ) dx = e x +C Câu 18: Tính I = 3x dx 3x +C B I = 3x ln + C C I = 3x + C ln Câu 19: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − là: A I = D I = 3x + ln + C Phan Anh Duy – Y18 B x4 − x + C C x + C D x3 − x + C x − 9x + C Câu 20: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau x4 + C A x3dx = B dx = ln x + C C sin xdx = C − cos x D 2e x dx = ( e x + C ) x Câu 21: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 3x2 + 8sin x A f ( x ) dx = x − 8cos x + C C f ( x ) dx = x − 8cos x + C f ( x ) dx = x + 8cos x + C D f ( x ) dx = x + 8cos x + C A B 3 Câu 22: Cho hàm số f ( x ) xác định K F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K Khẳng định đúng? A f ( x ) = F ( x ) , x K B F ( x ) = f ( x ) , x K C F ( x ) = f ( x ) , x K D F ( x ) = f ( x ) , x K Câu 23: Biết x3 + x nguyên hàm hàm số f ( x ) Hỏi đa thức x − cuả hàm 4x x số f ( x ) ? A Là hàm số f ( x ) B Đạo hàm cấp C Đạo hàm cấp D Đạo hàm cấp , chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: x+2 A Trên ( −2; + ) , nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = ln ( x + ) + C1 ; khoảng ( −; −2 ) , Câu 24: Cho f ( x ) = nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = ln ( − x − ) + C2 ( C1 , C2 số) B Trên khoảng ( −; −2 ) , nguyên hàm hàm số f ( x ) G ( x ) = ln ( − x − ) − C Trên ( −2; + ) , nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = ln ( x + ) D Nếu F ( x ) G ( x ) hai nguyên hàm của f ( x ) chúng sai khác số Câu 25: Một nguyên hàm hàm số f ( x ) = f ( x ) dx = x − ln x + + C f ( x ) dx = x − ln ( x + 1) x x +1 A B f ( x ) dx = ln x + + x + D x + ln ( x + 1) BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – 02 (Nhận biết – Thông hiểu) Câu 1: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x) = ( 3x + 1) ? A F ( x ) ( 3x + 1) = + B F ( x ) 18 Câu 2: Khẳng định sau sai? ( 3x + 1) = 18 − C F ( x ) ( 3x + 1) = 18 D F ( x ) ( 3x + 1) = 6 x5 A dx = C B x dx = + C C dx = ln x + C D e x dx = e x + C x Câu 3: Khẳng định sai? A cos x dx = − sin x + C B dx = ln x + C C x dx = x + C D e x dx = e x + C x Câu 4: Khẳng định đúng? A sin x dx = − cos x + C B sin x dx = sin x + C C sin x dx = cos x + C D sin x dx = − sin x + C Phan Anh Duy – Y18 Câu 5: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x − sin x A f ( x ) dx = x cos x − +C B f ( x ) dx = x sin x − +C x cos x x sin x + + C f x d x = + +C D ( ) 6 Câu 6: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x + cos x + 2018 f ( x ) dx = C A F ( x ) = e x + sin x + 2018 x + C B F ( x ) = e x − sin x + 2018 x + C C F ( x ) = e x + sin x + 2018 x D F ( x ) = e x + sin x + 2018 + C Câu 7: Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) nguyên hàm f ( x ) , g ( x ) Xét mệnh đề sau: ( I ) F ( x ) + G ( x ) nguyên hàm f ( x ) + g ( x ) ( II ) k F ( x ) nguyên hàm k f ( x ) với k ( III ) F ( x ) G ( x ) nguyên hàm f ( x ) g ( x ) Các mệnh đề A ( II ) ( III ) B Cả mệnh đề C ( I ) ( III ) D ( I ) ( II ) Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục a; b số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b A a a f ( x ) dx = − f ( x ) dx B b a C kf ( x ) dx = D a b b a a xf ( x ) dx = x f ( x ) dx b b b a a a f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx Câu 9: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − x + A F ( x ) = x3 − + x + C B F ( x ) = x − + C 1 C F ( x ) = x3 − x + x + C D F ( x ) = x3 − x + x + C 3 Câu 10: Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx B f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx C f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx D kf ( x ) dx = k f ( x ) dx ( k 0;k ) A Câu 11: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x 2018 , ( x ) hàm số hàm số đây? A F ( x ) = 2017.x 2018 +C , (C ) C F ( x ) = x 2019 + C , (C ) Câu 12: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = − x4 + x2 + + C B −22 − 2x + C A 3x x x 2019 + C , (C ) B F ( x ) = 2019 D F ( x ) = 2018.x 2017 + C , (C ) 1 − x − x C − x4 + x2 + +C 3x − x3 x − − +C D x Phan Anh Duy – Y18 Câu 13: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? x n+1 + C ( C số; B x dx = n +1 x x D e dx = e − C ( C số) A dx = x + 2C ( C số) C 0dx = C ( C số) Câu 14: Cho n f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C C f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C ) f ( x ) dx = F ( x ) + C Khi với a , a , b A n số ta có f ( ax + b ) dx f ( ax + b ) dx = a + b F ( ax + b ) + C D f ( ax + b ) dx = aF ( ax + b ) + C B Câu 15: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x ) = x + sin x f ( ) = Tìm f ( x ) x2 − cos x + A f ( x ) = x2 f x = + cos x ( ) C x2 − cos x − B f ( x ) = x2 f x = + cos x + ( ) D 2 Câu 16: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin 2018 x cos 2018 x cos 2018 x cos 2018 x A B − +C + C C − +C 2018 2019 2018 Câu 17: Mệnh đề sai? D 2018cos 2018x + C f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx với hàm f ( x ) , g ( x ) liên tục B f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx với hàm f ( x ) , g ( x ) liên tục C f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx với hàm f ( x ) , g ( x ) liên tục D f ( x ) dx = f ( x ) + C với hàm f ( x ) có đạo hàm Câu 18: Họ nguyên hàm x x + 1dx A A ( x + 1) + C B 3 ( x + 1) + C C 3 ( x + 1) + C D A F ( x ) = x − tan x + C sin x B F ( x ) = x + tan x + C C F ( x ) = x + cot x + C D F ( x ) = x − cot x + C Câu 19: Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = − ( x + 1) + C Câu 20: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x B cos xdx = − sin x + C C cos xdx = sin x + C D cos xdx = sin x + C Câu 21: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3cos x + ( 0; + ) x 1 A −3sin x + + C B 3sin x − + C C 3cos x + + C D 3cos x + ln x + C x x x Câu 22: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e.x e + A cos xdx = 2sin x + C Phan Anh Duy – Y18 A 101376 B e x e−1 +C Câu 23: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = A f ( x ) dx = −2 ln − x + C C f ( x ) dx = − ln − x + C x e +1 C + 4x + C e +1 1− 2x Câu 24: Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) = A ln B + ln Câu 25: Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ln ( x + 3) + C B e.x e +1 D + 4x + C e +1 B f ( x ) dx = ln − x + C D f ( x ) dx = ln − x + C F ( ) = F (1) x +1 C D 2x + ln x + + C C ln x + + C D ln x + + C ln BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – 03 (Thơng hiểu) Câu 1: Tìm ngun hàm I = ( x − 1) e − x dx A I = − ( x + 1) e − x + C B I = − ( x − 1) e − x + C C I = − ( x + 3) e − x + C D I = − ( x − 3) e − x + C Câu 2: Tìm nguyên hàm I = x ln ( x − 1) dx x ( x + 1) x2 −1 ln x − + +C x ( x + 1) x2 −1 ln x − − +C C I = A I = x ( x + 1) 4x2 + ln x − + +C x ( x + 1) x2 + ln x − − +C D I = B I = Câu 3: Tìm nguyên hàm I = ( x − 1) sin x.dx A I = (1 − x ) cos x + sin x + C B I = ( − x ) cos x + sin x + C 2 (1 − x ) cos x + sin x + C ( − x ) cos x + sin x + C C I = D I = 4 Câu 4: Cho f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục Tìm khẳng định sai khẳng định sau? A k f ( x ) dx = k f ( x ) dx với k số f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx C f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx D f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx B Câu 5: Nguyên hàm hàm số f = e−2017 x là: A −2017 x e +C 2017 B e−2017x + C C −2017.e−2017 x + C Câu 6: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = A F ( x ) = D −1 −2017 x e +C 2017 biết F = cos x 9 4 tan 3x − B F ( x ) = tan x − 3 C F ( x ) = tan 3x + D F ( x ) = − tan 3x − 3 3 3 Phan Anh Duy – Y18 10 Câu 38: Giả sử A(a; a ) ; B(b; b2 ) (b a) , AB = 2018 Phương trình đường thẳng d là: y = (a + b) x − ab b b Khi S = (a + b) x − ab − x dx = ( ( a + b ) x − ab − x ) dx = a a ( (b − a ) Vì AB = 2018 ( b − a ) + ( b − a ) = 20182 ( b − a ) + ( b + a ) 2 2 ) = 2018 20183 20183 Vậy Smax = a = −1009 b = 1009 6 f ( x) f ( x) Câu 39: Ta có f ( x ) f ( x ) = x ( f ( x ) ) + = 2x ( f ( x )) + ( b − a ) 20182 b − a = b − a 2018 S Lấy nguyên hàm hai vế ta có ( f ( x )) + = x + C , f ( ) = nên C = Vậy f ( x ) = x + x = x x + đoạn 1;3 Ta có f ( x ) = x + + x2 x2 + với x 1;3 nên f ( x ) đồng biến 1;3 Vậy M = f ( 3) = 11 ; m = f (1) = Câu 40: • Thể tích khối trụ bán kính r = , chiều cao h = là: V = r 2h = 42.8 = 128 x2 • Thể tích giới hạn Parabol y = , trục tung, đường thẳng y = quay quanh Oy là: 4 0 V( P ) = π x dy = π ydy = 32π Suy thể tích ( H1 ) là: V1 = V − 2.V( P ) = 128π − 2.32π = 64π 256 πR = π 3 32 • Thể tích khối cầu bán kính r = : VN = π23 = π 3 256π 2.32π − Suy thể tích ( H ) là: V2 = VL − 2.VN = = 64π Vậy r = : V1 = V2 3 • Thể tích khối cầu bán kính R = : VL = Phan Anh Duy – Y18 47 CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC «»«»«» I CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA SỐ PHỨC: Dạng 1: Phần thực, phần ảo, phép tính tập số phức: VD1: Số phức số ảo A z = −2 + 3i B z = 3i C z = −2 D z = + i ……………………………………………………………………………………………………………… VD2: Cho số phức z = − i Mệnh đề sau đúng? A Số phức z có phần thực ; phần ảo − i B Số phức z có phần thực ; phần ảo − C Số phức z có phần thực − ; phần ảo D Số phức z có phần thực − ; phần ảo i ……………………………………………………………………………………………………………… VD3: Tìm số thực x; y thỏa mãn: ( x + y ) + ( y − x ) i = ( x − y + 3) + ( y + x + 1) i A ( x; y ) = ( 0;1) B ( x; y ) = (1;0 ) C ( x; y ) = (1; ) D ( x; y ) = ( −1; ) ……………………………………………………………………………………………………………… VD4: Cho số phức z = −2 + i Giá trị z A z = B z = C z = 13 D z = 13 ……………………………………………………………………………………………………………… VD5: Tìm z biết z = − i A z = B z = + i C z = D + 2i ……………………………………………………………………………………………………………… VD6: Tính giá trị i 2018 A B i C −1 D −i ……………………………………………………………………………………………………………… VD7: Tính giá trị I = (1 + i ) 2018 A I = 22018 B I = 22018 i C I = 21009 D I = 21009 i ……………………………………………………………………………………………………………… VD8: Cho hai số phức z1 = − i; z2 = + 2i Phần thực phần ảo số phức z1 , z2 tương ứng bằng: A B −i C −1 D ……………………………………………………………………………………………………………… VD9: Cho số phức z = a + bi Số phức z có phần ảo là: A 2ab B −2ab C a + b2 D ab ……………………………………………………………………………………………………………… VD10: Cho hai số phức z1 = + 3i ; z2 = − i Tìm số phức w = z1 − z2 A w = −4 − 9i B w = −3 + 2i C w = −3 − 2i D w = −4 + 9i ……………………………………………………………………………………………………………… BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC Câu 1: Tính mơđun số phức z = + 4i A B C D Câu 2: Cho hai số phức z1 = + 3i , z2 = + i Giá trị biểu thức z1 + z2 A 55 B C D Câu 3: Phần thực phần ảo số phức liên hợp số phức z = + i là: 61 Phan Anh Duy – Y18 48 B Phần thực , phần ảo −i D Phần thực , phần ảo A Phần thực , phần ảo −1 C Phần thực , phần ảo i Câu 4: Mô đun số phức z = − 3i A z = B z = 10 Câu 5: Cho số phức z i C z = 16 D z = 2i Số phức z có phần ảo là: A B C D 2i Câu 6: Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = − 3i Phần ảo số phức w = 3z1 − z2 A B 11 Câu 7: Cho số phức z = a + bi ( a, b A z = a + b C 12 ) Khẳng định sau sai? B z = a − bi C z số thực D 12i D z.z số thực Câu 8: Cho hai số phức z z Trong mệnh đề sai, mệnh đề sai? A z + z = z + z B z.z = z z C z.z = z.z D z + z = z + z Câu 9: Cho hai số phức z1 = − i z2 = − i Tính mơđun số phức z12 + z2 B 10 A 12 C 13 D 15 Câu 10: Gọi a, b phần thực phần ảo số phức z = − 3i (1 + 2i ) + − 4i ( + 3i ) Giá trị a − b là: A B −7 C 31 D −31 Câu 11: Cho số phức z có số phức liên hợp z = − 2i Tổng phần thực phần ảo số phức z A B −5 C D −1 Câu 12: Cho số phức z1 = + 3i , z2 = + 5i Số phức liên hợp số phức w = ( z1 + z2 ) A w = + 10i B w = 12 −16i C w = 12 + 8i D w = 28i Câu 13: Cho số phức z = a + bi với a , b số thực Mệnh đề sau đúng? A Phần ảo z bi B Môđun z a + b2 C z − z số thực D Số z z có môđun khác −1 Câu 14: Số phức nghịch đảo z số phức z = − 2i 1 1 1 1 A − i B − + i C + i D − − i 4 4 4 4 Câu 15: Cho số phức z = a + bi , với a, b Tìm mệnh đề mệnh đề sau? A z + z = 2bi B z − z = 2a C z.z = a2 − b2 D z = z Câu 16: Cho số phức z = (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) Phần thực số phức z là: A −211 B −211 + 22 C −211 − D 211 Câu 17: Cho số phức z = −1 + 3i Phần thực phần ảo số phức w = 2i − 3z là: A −3 −7 B −11 C −7 D 11 Câu 18: Cho ( x + 2i ) = 3x + yi ( x, y ) Giá trị x y bằng: A x = y = x = y = B x = y = x = y = −4 C x = −1 y = −4 x = y = 16 D x = y = x = y = Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn iz = + i Khi phần thực phần ảo z A Phần thực phần ảo −2i B Phần thực phần ảo 2i C Phần thực −1 phần ảo −2 D Phần thực phần ảo −2 Câu 20: Nếu số phức z thỏa z = phần thực bằng: 1− z Phan Anh Duy – Y18 49 A B − D giá trị khác C Câu 21: Cho số phức z1 = − i, z2 = + 2i Tìm số phức z thỏa mãn z.z1 + z2 = A z = − − i 2 B z = − i 2 C z = + i 2 D z = − + i 2 Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z + 2iz = + 3i Môđun z là: A z = B z = C z = () Câu 23: Cho số phức z = − + i Khi số phức z 2 D z = bằng: 3 A − − B − + C + 3i D − i i i 2 2 Câu 24: Tính tổng S = + i3 + i + + i 2016 A S = B S = i C S = −i D S = −1 Câu 25: Cho z1 , z số phức khác z1 z2 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A z1 + z2 B ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) C z1 z1 + z2 z2 z +z D z1 − z2 Dạng 2: Tập hợp biểu diễn số phức: VD1: Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức: A z = −2 + i B z = − 2i C z = + i D z = + 2i ……………………………………………………………………………………………………………… VD2: Cho số phức z = − 2i Điểm điểm biểu diễn số phức w = iz mặt phẳng tọa độ? A Q (1; ) B N ( 2;1) C M (1; −2 ) D P ( −2;1) ……………………………………………………………………………………………………………… VD3: Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực −4 phần ảo B Phần thực phần ảo 4i C Phần thực phần ảo −4 D Phần thực −4 phần ảo 3i ……………………………………………………………………………………………………………… VD4: Phương trình tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z + i = z + là? A x − y = B x + y = C x + y − = D x − y = ……………………………………………………………………………………………………………… VD5: Cho số phức z thỏa mãn z − + i = Chọn phát biểu đúng: A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Parabol C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có bán kính D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có bán kính ……………………………………………………………………………………………………………… Phan Anh Duy – Y18 50 VD6: Cho số phức z thỏa mãn (1 + 3i ) z + 2i = −4 Điểm sau điểm biểu diễn z điểm M, N, P, Q hình bên? A Điểm M C Điểm P B Điểm N D Điểm Q ……………………………………………………………………………………………………………… VD7: Cho hai số phức z1 = − i, z2 = + 2i Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm M, N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , gọi G trọng tâm tam giác OMN, với O gốc tọa độ Hỏi G điểm biểu diễn số phức sau đây? 1 D + i + i 3 ……………………………………………………………………………………………………………… VD8: Giả sử M ( z ) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tập hợp điểm M ( z ) thỏa mãn A − i B + i C điều kiện z − + i = đường tròn A Có tâm ( −1; −1) bán kính B Có tâm (1; −1) bán kính C Có tâm ( −1;1) bán kính D Có tâm (1; −1) bán kính 2 ……………………………………………………………………………………………………………… VD9: Cho số phức z thỏa mãn z + = z − 2i + Biết tập điểm biểu thị cho z đường thẳng Phương trình đường thẳng là: A x − y − = B x − y + = C x + y + = D x − y = ……………………………………………………………………………………………………………… VD10: Số phức có điều kiện có điểm biểu diễn phần gạch chéo hình bên (tính biên) A Số phức có phần ảo nằm khoảng ( −1;1) mô đun không vượt B Số phức có phần thực nằm khoảng ( −1;1) mơ đun nhỏ C Số phức có phần ảo nằm đoạn −1;1 mô đun không vượt D Số phức có phần thực nằm đoạn −1;1 mô đun không vượt ……………………………………………………………………………………………………………… BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TẬP HỢP BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC Câu 1: Số phức liên hợp số phức z = i (1 − 2i ) có điểm biểu diễn điểm đây? A E ( 2; −1) B B ( −1; ) C A (1; ) D F ( −2;1) Câu 2: Điểm A hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z Mệnh đề sau đúng? Phan Anh Duy – Y18 51 y A x O A Phần thực , phần ảo B Phần thực , phần ảo 2i C Phần thực −3 , phần ảo 2i D Phần thực −3 , phần ảo Câu 3: Cho số phức z = + 2i Điểm điểm biểu diễn số phức w = z + iz mặt phẳng toạ độ? A M ( 3;3 ) B Q ( 3; ) C N ( 2;3) D P ( −3;3 ) Câu 4: Điểm biểu diễn số phức z M (1; ) Tọa độ điểm biểu diễn cho số phức w = z − 2z A ( 2; −3) B ( 2;1) C ( −1;6 ) D ( 2;3) Câu 5: Điểm M hình bên điểm biểu diễn cho số phức A z = − 2i B z = + 4i C z = + 2i Câu 6: Điểm M hình vẽ biểu thị cho số phức y M D z = − 4i x −2 O A − 2i B −2 + 3i C − 3i D + 2i Câu 7: Trong mặt phẳng phức gọi M điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi ( a, b , ab ), M điểm biểu diễn cho số phức z Mệnh đề sau đúng? A M đối xứng với M qua Oy B M đối xứng với M qua Ox C M đối xứng với M qua đường thẳng y = x D M đối xứng với M qua O Câu 8: Cho hai số phức z = − 5i w = −1 + 2i Điểm biểu diễn số phức z = z − w.z mặt phẳng Oxy có tọa độ A ( −4; − ) B ( 4; − ) C ( 4; ) D ( −6; − ) Câu 9: Cho bốn điểm A , B , C , D hình vẽ biểu diễn số phức khác Chọn mệnh đề sai y A −1 −2 x O −1 D A B biểu diễn số phức z = − 2i −2 B C B D biểu diễn số phức z = −1 − 2i Phan Anh Duy – Y18 52 C C biểu diễn số phức z = −1 − 2i D A biểu diễn số phức z = −2 + i Câu 10: Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 = , z2 = 4i , z3 = + 4i mặt phẳng tọa độ Oxy Tính diện tích tam giác ABC A B C D Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 − i ) z + 2i A Một đường tròn B Một đường thẳng C Một Elip D Một parabol hyperbol Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn: z − = z − + 3i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z A Đường tròn tâm I (1; ) , bán kính R = B Đường thẳng có phương trình x − y + 12 = C Đường thẳng có phương trình x − y − = D Đường thẳng có phương trình x − y − = Câu 13: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả z + − 2i = A Đường tròn tâm I ( −1; ) , bán kính r = B Đường tròn tâm I (1; ) , bán kính r = C Đường tròn tâm I (1; − ) , bán kính r = D Đường tròn tâm I ( −1; ) , bán kính r = Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = z (1 + i ) đường tròn A Tâm I ( 3; −1) , R = B Tâm I ( −3;1) , R = C Tâm I ( −3;1) , R = D Tâm I ( 3; −1) , R = Câu 15: Xét số phức z thỏa điều kiện z − + 2i = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + − i là? A Đường tròn tâm I ( 4; −3) , bán kính R = B Đường tròn tâm I ( −4;3 ) , bán kính R = C Đường tròn tâm I ( 3; −2 ) , bán kính R = D Đường tròn tâm I ( −2;1) , bán kính R = Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn (1 + z ) số thực Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là? A Hai đường thẳng B Parabol C Đường thẳng D Đường tròn Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện zi − ( + i ) = là: A ( x − ) + ( y − 1) = B ( x − ) + ( y + 1) = C ( x − 1) + ( y − ) = D ( x − 1) + ( y + ) = 2 2 2 2 Câu 18: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên Mơđun lớn số phức z C z max = D z max = 2 Câu 19: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ phần tô đậm Môđun nhỏ số phức z A z max = B z max = Phan Anh Duy – Y18 53 C z = D z = 3 Câu 20: Trong số phức z thỏa điều kiện z − − 4i = z − 2i (*) Điểm biểu diễn cho số phức z có A z = B z = mơđun nhỏ có tọa độ là: A ( 2; ) B ( −2; −2 ) C ( 2; −2 ) D ( −2; ) Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ, miền hình chữ nhật ABCD (kể cạnh AB, BC, CD, DA) hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z Chọn khẳng định A Phần ảo số phức z − z lớn B Phần thực số phức z + z nhỏ C Giá trị nhỏ z D Giá trị lớn z 13 Câu 22: Điều kiện để số phức z có điểm biểu diễn thuộc phần tô đậm (kể bờ) hình vẽ bên A z có phần thực khơng lớn B z có mơđun thuộc đoạn −1; 2 C z có phần ảo thuộc đoạn −1; 2 D z có phần thực thuộc đoạn −1; 2 Câu 23: Điều kiện để số phức z có điểm biểu diễn thuộc phần tơ đậm (kể bờ) hình vẽ bên A z có phần thực thuộc đoạn −3; −1 B z có mơđun khơng lớn C z có phần thực thuộc đoạn −3; −1 có mơđun khơng lớn D z có phần ảo thuộc đoạn −3; −1 () Câu 24: Cho số phức z có số phức liên hợp z thỏa mãn z − z = Tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Phan Anh Duy – Y18 54 A Đường cong y = x B Đường thẳng y = x C Hai đường thẳng y = x y = − x D Hai đường cong y = 1 y = − x x Câu 25: Cho số phức z có số phức liên hợp z thỏa mãn z − i = z − z + 2i Tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ A Đường thẳng y = 2 x C Parabol y = B Parabol y = x D Hai đường thẳng y = y = Dạng 3: Phương trình tập số phức: VD1: Gọi z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z + z + 10 = Tính iz0 A iz0 = − i B iz0 = −3i + C iz0 = −3 − i D iz0 = 3i −1 ……………………………………………………………………………………………………………… VD2: Gọi z1 z hai nghiệm phương trình z − z + = Giá trị biểu thức P = ( z1 − z2 ) z2 − z1 bằng: A −10 B 10 C −5 D −15 ……………………………………………………………………………………………………………… VD3: Cho z1 , z hai nghiệm phức phương trình z + z + = , z1 có phần ảo dương Số phức liên hợp số phức z1 + z2 là? A −3 + 2i B − 2i C + i D − i ……………………………………………………………………………………………………………… VD4: Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 = , z2 = z1 + z2 = Giá trị z1 − z2 A B C D giá trị khác ……………………………………………………………………………………………………………… VD5: Kí hiệu z1 , z , z3 , z bốn nghiệm phương trình z + z − = Tính S = z1 + z2 + z3 + z4 A S = B S = ( ) 2− C S = 2 D S = ( ) 2+ ……………………………………………………………………………………………………………… VD6: Cho số phức z thỏa mãn: z (1 − 2i ) + z.i = 15 + i Tìm modun số phức z ? A z = B z = C z = D z = ……………………………………………………………………………………………………………… VD7: Cho số phức z thỏa mãn z − z = Biết phần thực z a Tính z theo a a − a2 + a + a2 + a + a2 + B z = C z = D z = 1− a 2 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… VD8: Có số phức thỏa mãn z + z i − − i = ? A B C D ……………………………………………………………………………………………………………… A z = Phan Anh Duy – Y18 55 ……………………………………………………………………………………………………………… VD9: Giá trị b c để phương trình z + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm là? A b = c = B b = c = −2 C b = −2 c = D b = −3 c = ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 1 VD10: Biết z nghiệm phương trình z + = Tính giá trị biểu thức P = z + z z A P = −2 B P = C P = D P = ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC Câu 1: Gọi z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z + z + 37 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w = iz0 ? 1 −1 1 −1 A M −3; B M 3; C M 3; D M −3; 2 2 Câu 2: Gọi z nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z − z + = Tìm iz0 ? 3 3 A iz0 = − + i B iz0 = + i C iz0 = − − i D iz0 = − i 2 2 2 2 Câu 3: Cho số phức z = a + bi , ( a, b ) thỏa mãn z + + 3i − z i = Tính S = a + 3b 7 C S = − D S = 3 Câu 4: Gọi z1 z2 = + 2i hai nghiệm phương trình az + bz + c = ( a, b, c , a ) Tính B S = A S = −5 T = z1 + z2 B T = A T = C T = D T = Câu 5: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị biểu thức z12 + z2 A B C D 8i Câu 6: Gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình z − 3z + = Tính w = 1 + + iz1 z2 z1 z2 3 3 B w = + 2i C w = + i D w = − + 2i + 2i 2 Câu 7: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Tìm phần ảo số phức A w = w = ( i − z1 )( i − z2 ) 2018 A 21009 B −21009 A B C 21008 z − z − 3i = = 1? Câu 8: Có số phức z thỏa mãn z −i z +i C D −21008 D Câu 9: Gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị biểu thức z1 z2 + z2 z1 A B − C D − Phan Anh Duy – Y18 56 Câu 10: Cho ba số phức z1 , z , z3 thỏa mãn z1 + z2 + z3 = z1 = z2 = z3 = 2 Mệnh đề đúng? A z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 B z1 + z2 + z3 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 C z1 + z2 + z3 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 D z1 + z2 + z3 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Câu 11: Cho hai số phức z1 = −1 + 2i , z2 = −1 − 2i Giá trị biểu thức z1 + z2 A 10 C −6 B 10 D z −1 z − 3i = = Tính P = a + b z −i z +i A P = B P = −1 C P = D P = Câu 13: Gọi z1 , z nghiệm phương trình z + z + 10 = tập hợp số phức, z1 Câu 12: Cho số phức z = a + bi , ( a, b ) thỏa mãn nghiệm có phần ảo dương Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w = 3z1 − z3 A M ( −1;15 ) B M (15; −2 ) Câu 14: Biết z = a + bi ( a, b ) C M ( −2;15 ) D M (15; −1) số phức thỏa mãn ( − 2i ) z − 2iz = 15 − 8i Tổng a + b A a + b = B a + b = −1 C a + b = D a + b = Câu 15: Tính mơđun số phức z thỏa mãn: z.z + 2017 ( z − z ) = 48 − 2016i A z = B z = 2016 C z = 2017 D z = Câu 16: Cho m số thực, biết phương trình z + mz + = có hai nghiệm phức có nghiệm có phần ảo Tính tổng mơđun hai nghiệm A B C D Câu 17: Kí hiệu z nghiệm phức phương trình z − z + = cho z có phần ảo số thực âm Điểm M biểu diễn số phức w = −2 z0 thuộc góc phần tư mặt phẳng phức? A Góc phần tư ( I ) B Góc phần tư ( II ) C Góc phần tư ( III ) D Góc phần tư ( IV ) Câu 18: Có số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + ( − i ) z = 13 + 2i ? A B C D Câu 19: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình z − 3z − = Tổng: T = z1 + z2 + z3 + z4 bằng: A T = B T = C T = D T = Câu 20: Cho hai số thực b c ( c ) Kí hiệu A, B hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức phương trình z + 2bz + c = Tìm điều kiện b c để tam giác OAB tam giác vuông (O gốc tọa độ) A b2 = 2c B c = 2b2 C b = c D b2 = c BÀI TẬP TỔNG ÔN SỐ PHỨC – 01 (Nhận biết – Thông hiểu) Câu 1: Cho hai số thực x , y thoả mãn phương trình x + 2i = + yi Khi giá trị x y là: 1 A x = , y = B x = 3i , y = C x = , y = D x = , y = − 2 Câu 2: Phần thực phần ảo số phức z = + 2i là: A B 2i C D i Câu 3: Cho hai số phức z = a + bi , z = a + bi (a, b, a, b ) Tìm phần ảo số phức zz Phan Anh Duy – Y18 57 A ( ab + ab ) i B ab + ab C ab − ab D aa − bb Câu 4: Tìm tất nghiệm phương trình z + z + = tập số phức A + 2i ; − 2i B 1+ i ; 1− i C −1 + 2i ; −1 − 2i D −1 + i ; −1 − i Câu 5: Cho hai số phức z1 = − i z2 = − i Tính môđun số phức z1 + z2 A 12 B 10 C 13 D 15 Câu 6: Số phức z = + 2i có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ M Tìm tọa độ điểm M A M ( 4; ) B M ( 2; ) C M ( 4; −2 ) D M ( −4; −2 ) Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn (1 + z )(1 + i ) − + i = Số phức w = + z A −1 + 3i B − 3i C −2 + 3i D − 3i Câu 8: Cho số phức z có số phức liên hợp z = − 2i Tổng phần thực phần ảo số phức z A B −5 C D −1 Câu 9: Gọi z1 , z2 , z3 ba nghiệm phương trình z − = Tính S = z1 + z2 + z3 A S = B S = C S = D S = Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy , điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Số phức z A −2 + i B − 2i C −2 − i D + 2i Câu 11: Cho hai số phức z = − 5i w = −1 + 2i Điểm biểu diễn số phức z = z − w.z mặt phẳng Oxy có tọa độ A ( −4; − ) B ( 4; − ) C ( 4; ) D ( −6; − ) Câu 12: Gọi z1 , z hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị biểu thức z12 + z22 A 10 B 20 C D − 8i Câu 13: Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z − z + = Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức − 4i mặt phẳng phức? z1 A P ( 3; ) B N (1; − ) Câu 14: Tìm phần ảo số phức z biết z = C Q ( 3; −2 ) ( +i )( D M (1; ) ) −i A B C −4 D −4 Câu 15: Cho số phức z = − 4i Mệnh đề sai? A Môđun số phức z B Số phức liên hợp z − 4i C Phần thực phần ảo z −4 D Biểu diễn số phức z lên mặt phẳng tọa độ điểm M ( 3; − ) Câu 16: Cho số phức z = − 5i Gọi w = x + yi ( x, y ) bậc hai z Giá trị biểu thức T = x4 + y 17 43 C T = D T = 34 2 Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z − ( + 3i ) z = − 9i Tính tích phần thực phần ảo số phức z A T = 706 B T = A B −2 C −1 D Phan Anh Duy – Y18 58 Câu 18: Tính tổng S = + i3 + i + + i 2016 A S = B S = i C S = −i D S = −1 Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = 10 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Khi M − m A B 15 C 10 D 20 10 − + i Mệnh đề đúng? z 1 A z B z C z D z 2 2 Câu 21: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình tròn tơ đậm hình vẽ bên Mơđun lớn số phức z Câu 20: Xét số phức z thỏa mãn: (1 + 2i ) z = D z = 2 Câu 22: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường tròn tơ đậm hình vẽ bên Tập hợp điểm biểu diễn số phức z −1 A z = B z = A đường tròn tâm (1; ) , bán kính C z = B đường tròn tâm ( 2; ) , bán kính C đường tròn tâm ( −3; −2 ) , bán kính D đường tròn tâm ( 2; −2 ) , bán kính Câu 23: Cho số phức z có số phức liên hợp z thỏa mãn z − z + − i = Tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ A Đường thẳng y = C Đường thẳng y = B Hai đường thẳng y = y = D Hai đường thẳng y = y = −1 biểu diễn bốn z điểm P, Q, R, S hình vẽ bên Hỏi điểm biểu diễn w điểm nào? Câu 24: Cho số phức z có điểm biểu diễn M Biết số phức w = A S B Q C P D R Câu 25: Cho hai điểm M, N mặt phẳng phức hình vẽ, gọi P điểm cho OMNP hình bình hành Điểm P biểu thị cho số phức số phức sau? Phan Anh Duy – Y18 59 A z4 = − 3i B z2 = + 3i C z3 = −2 + i D z1 = − i BÀI TẬP TỔNG ÔN SỐ PHỨC – 02 Câu 1: Biết số phức z có phần ảo khác thỏa mãn z − ( + i ) = 10 z.z = 25 Điểm sau biểu diễn số phức z trên? A P ( 4; − 3) B N ( 3; − ) Câu 2: Số phức z = (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) A 21009 − B 21009 + C M ( 3; ) 2018 D Q ( 4; ) có phần ảo C − 21009 D − ( 21009 + 1) Câu 3: Tìm mơđun số phức z biết z − = (1 + i ) z − ( + z ) i B z = C z = D z = Câu 4: Trong số phức z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i Số phức z có mơđun nhỏ A z = A z = −1 + i B z = −2 + 2i C z = + 2i D z = + 2i Câu 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + + z − = mặt phẳng tọa độ A đường thẳng B đường tròn C elip D hypebol Câu 6: Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 = + i , z2 = (1 + i ) , z3 = a − i (a ) Biết tam giác ABC vng B Tính P = a2 − 2a A P = B P = 18 C P = D P = 15 Câu 7: Điều kiện để số phức z có điểm biểu diễn thuộc phần tơ đậm (kể bờ) hình vẽ bên A z có phần ảo khơng lớn B z có mơđun thuộc đoạn −2;3 C z có phần ảo thuộc đoạn −2;3 D z có phần thực thuộc đoạn −2;3 Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ, hình tròn tơ đậm hình vẽ bên tập hợp điểm biểu diễn số phức z Hỏi số phức z thỏa mãn bất đẳng thức sau đây? A z − B z − i C z + D z + i Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ, hình vẽ bên hình tròn tâm (1; ) , bán kính R = hình biểu diễn tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z Phan Anh Duy – Y18 60 Khẳng định sau sai: A max z = B z − C z.z ( D z + ) Câu 10: Biết số phức z thỏa mãn u = ( z + − i ) z + + 3i số thực Tìm giá trị nhỏ z A 2 B C D Phan Anh Duy – Y18 61 ... , (C ) C F ( x ) = x 20 19 + C , (C ) Câu 12: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = − x4 + x2 + + C B 22 − 2x + C A 3x x x 20 19 + C , (C ) B F ( x ) = 20 19 D F ( x ) = 20 18.x 20 17 + C , (C... −; 2 ) , Câu 24 : Cho f ( x ) = nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = ln ( − x − ) + C2 ( C1 , C2 số) B Trên khoảng ( −; 2 ) , nguyên hàm hàm số f ( x ) G ( x ) = ln ( − x − ) − C Trên ( 2; ... + f ( x ) dx 2 Câu 22 : Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x.e x 1 A F ( x) = e2 x x − + C 2 1 B F ( x) = 2e2 x x − + C 2 C F ( x) = 2e x ( x − ) + C D F ( x) = e2 x ( x − )