Đề cương toán 12 học kì 2 đại số ( có file word)

tài liệu hữu ích để quý thầy cô dạy thêm, dạy kèm mà không cần mất thời gian soạn thêm tài liệu; học sinh có thể tự ôn luyện, có đáp án câu hỏi trắc nghiệm và lời giải chi tiết câu hỏi khó, mức độ trải đều từ nhận biết đến vận dụng cao

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

«»«»«»

CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM

I CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Dạng 1: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )

VD1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos 3x

A cos 3 xdx=3sin 3x C+ B cos 3 sin 3

C 7x dx=7x+1+C D

177

1

x x

x

f x

x

=+ là

x C

C x

++

Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc

VD1: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=sinx+cosx thỏa mãn 2

2

F  = 

 

A F x( )=cosx−sinx+3 B F x( )= −cosx+sinx+3

C.F x( )= −cosx+sinx−1 D F x( )= −cosx+sinx+1

C ( ) 1

ln 2 1 12

34

………

Dạng 3: Chứng minh F x( ) là một nguyên hàm của hàm f x( ) trên D 

VD1: Cho F x( )=ln ln ln( ( x) ) Hỏi F x( ) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A a = ,1 b = − 7 B a = − ,1 b = − 7 C a = − ,1 b =7 D a = ,1 b =7

………

II CÁC NGUYÊN HÀM ĐẶC BIỆT

Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, thương:

f x

x x

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ:

a/ Trường hợp phương trình Q x =( ) 0 không có nghiệm phức và các nghiệm đều là nghiệm đơn

Nhận thấy x = là nghiệm bội ba của phương trình 1 ( )3

.1

x

C x

++

.11

x

C

++

Câu 5: Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) 2x 3

f x =e + là

A ( ) 1 2x 3

.3

đây đúng?

A ( ) 1 ( )

ln 3 13

ln 3 13

G = là hằng số và k  ) 0

C Nếu F x( ) và G x( ) đều là nguyên hàm của hàm số f x( ) thì F x( )=G x( )

ln 3

x x

f x = B f x( )= −3sin 3x C f x( )=3sin 3x D f x( )= −sin 3x

Câu 14: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2

Câu 22: Cho hàm số f x( ) xác định trên K và F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K Khẳng định

nào dưới đây đúng?

A Trên (− +2; ), nguyên hàm của hàm số f x( ) là F x( )=ln(x+2)+C1; trên khoảng (− −; 2), nguyên hàm của hàm số f x( ) là F x( )=ln(− − +x 2) C2 (C C là các hằng số) 1, 2

B Trên khoảng (− −; 2), một nguyên hàm của hàm số f x( ) là G x( )=ln(− − −x 2) 3

C Trên (− +2; ), một nguyên hàm của hàm số f x( ) là F x( )=ln(x+2)

D Nếu F x( ) và G x( ) là hai nguyên hàm của của f x( ) thì chúng sai khác nhau một hằng số

Câu 25: Một nguyên hàm của hàm số ( )

d5

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )= −x sin 6x

( )II k F x là một nguyên hàm của ( ) k f x với ( ) k 

( )III F x G x( ) ( ). là một nguyên hàm của f ( ) ( )x g x.

Các mệnh đề đúng là

A ( )II và ( )III B Cả 3 mệnh đề C ( )I và ( )III D ( )I và ( )II

Câu 8: Cho hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục trên a b;  và số thực k tùy ý Trong các khẳng định

sau, khẳng định nào sai?

Câu 11: Nguyên hàm của hàm số ( ) 2018

f x =x , ( x  ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

C x

− + + +

B 22 2x C x

− − +

33

C x

− − − +

Câu 13: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A dx= +x 2C (C là hằng số) B

1d

+ B cos 2018

2019

x C

2018

x C

Câu 17: Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A f x( )+g x( )dx= f x( )dx+g x( )dx với mọi hàm f x( ), g x( ) liên tục trên

B f x( ) ( )−g x dx= f x( )dx−g x( )dx với mọi hàm f x( ), g x( ) liên tục trên

C f x g x( ) ( )dx= f x( )d x g x ( )dx với mọi hàm f x( ), g x( ) liên tục trên

D  f( )x dx= f x( )+C với mọi hàm f x( ) có đạo hàm trên

Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos 2x

A cos 2 dx x=2 sin 2x+C B cos 2 d 1sin 2

A 101376 B 2 e 1

e x− +C C

e 14

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=x x

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số: f x( )=3sin 3x−cos 3x

A  f x dx( ) =cos 3x−sin 3x C+ B  f x dx( ) =cos 3x+sin 3x C+

A  f x dx( ) = −x 13ln x+ +2 C B  f x dx( ) =ln x+ +2 C

A ( ) 1

ln

x x

cos 20

F x =x + x+

C ( ) 2

cos 20

cos 202

( ) ( )

2 2

x x bằng

A 16

5log

5ln

4

27

ln 9

………

VD3: Tính tích phân

1 2 0

d9

x I



=

32

1

0

13

A −2 B 2 C 3 D 4

………

VD4: ) Cho hàm số f x có ( ) f( )x liên tục trên đoạn −1;3, f −( )1 = và3 3

1( ) d 10

2d

Dạng 1: Các bài toán về quãng đường, vận tốc,…

VD1: Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 km/h( ) thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )= − +5t 10 m/s( ), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ

lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

VD2: Một vật đang chuyển động với vận tốc v =20(m/s) thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính theo

+

………

Dạng 2: Ứng dụng hình học của tích phân: Tính diện tích, thể tích,…

VD1: Cho hình ( )H giới hạn bởi các đường y= − +x2 2x, trục hoành Quay hình phẳng ( )H quanh trục

Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

………

VD2: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn  a b; Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )

y= f x , trục hoành và hai đường thẳng x = , x b a = (ab) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi

quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

d

b a

b a

V =  f x x C 2 2( )

d

b a

V =  f x x D 2 ( )

d

b a

………

VD3: Cho hàm số y= f x( ) liên tục và không âm trên đoạn a b;  Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hàm số y= f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b Gọi S là diện tích của ( )H Chọn mệnh đề sai

b a

S = − f x x B ( )d

b a

VD7: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x2, trục hoành Ox, các đường thẳng

VD8: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f1( )x và f2( )x liên tục trên đoạn  a b;

và hai đường thẳng x=a , x= (tham khảo hình vẽ dưới) Công thức tính diện tích của hình b ( )H là

VD9: Cho hàm số y=x có đồ thị ( )C Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi ( )C , trục hoành và hai đường

thẳng x = , 2 x = Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công 3

thức:

A

2 2 3d

x

V =  x B

3 3 2d

x

3 2 2d

x

3 2 2d

f x

( )2

f x

3

Câu 8: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=x và y =ex, trục tung và đường

thẳng x = được tính theo công thức: 1

x I

x

=+

x x

2018

2

Câu 16: Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a b c là ba số bất kỳ trên khoảng , , K Khẳng định

nào sau đây sai?

Câu 17: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số y= − +x2 3x− , trục hoành và hai đường 2

thẳng x = , 1 x = Quay 2 ( )H xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là

A

2 2 1

3 2 d

V = x − x+ x B

2

2 2

1

2 2 1

Câu 24: Cho hai hàm số f x( ) và g x( ) liên tục trên đoạn  a b; Gọi ( )H là hình phẳng giời hạn bởi hai

đồ thị hàm số và hai đường thẳng x=a , x= b (ab) Khi đó, diện tích S của ( )H được tính bằng công thức:

Câu 5: Cho hình phẳng ( )D được giới hạn bởi các đường x = , 0 x= , y = và 0 y= −sinx Thể tích

V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( )D xung quanh trục Ox được tính theo công thức

A

0sin d



Câu 8: Cho hàm số y= f x( ) và y=g x( ) liên tục trên đoạn  a b; Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị các hàm số y= f x( ), y=g x( ) và hai đường thẳng x=a , x= b (ab) được tính theo công thức:

A ( ) ( ) d

b a

S = f x −g x  x B ( ) ( ) d

b a

S =f x −g x  x

Câu 10: Tính

e 2 1

Câu 11: Cho b ( )d 7

a f x x=

 và f b =( ) 5 Khi đó f a bằng ( )

Câu 12: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x.lnx, trục hoành và hai đường thẳng x =1

; x = Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới 2 ( )H khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định

Câu 18: Cho hàm số f x( ) liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ Gọi S là diện tích hình phẳng được giới

hạn bởi đồ thị hàm số f x( ), trục hoành và trục tung Khẳng định nào sau đây đúng?

0

1

1d

f x x =



3 2 d

2

2 2

1

2 2 1

Câu 24: Cho hàm số f t( ) liên tục trên K và , a b , K F t( ) là một nguyên hàm của f t( ) trên K Chọn

khẳng định sai trong các khẳng định sau

A ( ) ( ) ( )d

b a

b

b a a

C ( )d ( )d

b b

Câu 25: Cho hàm số y= f x( ) liên tục và có đồ thị như hình bên Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số đã cho và trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V

được xác định theo công thức

2sin

1

2 0

d4

x x

BÀI TẬP TÍCH PHÂN – 03 (Thông hiểu – Vận dụng)

Câu 1: Tính diện tích S của hình phẳng ( )H giới hạn bởi đường cong y= − +x3 12x và y= − x2

1

1 d2

2 2 1

1

1 d2

+ +

= ++

Câu 5: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường 2

y= , x y=2x Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( )H xung quanh trục Ox bằng:

Câu 6: Tìm giá trị của a để

Câu 8: Biết tích phân ( )

x dx x

x dx x

, (a x b) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S x( ) với y=S x( ) là hàm số liên tục trên  a b;

Thể tích V của thể tích đó được tính theo công thức

V = S x x C π ( )d

b a

V = S x x D ( )d

b a

( )

y= f x

BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – 01 (Nhận biết – Thông hiểu)

Câu 1: Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường y=ln(x+1), trục hoành và đường thẳng

dsin

x I

Câu 4: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A cos2 dx x= −2 sin 2x+C B cos2 dx x=2sin2x+C

Câu 5: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A e sin d x x x=e cosx x−e cos d x x x B e sin d x x x= −e cosx x+e cos d x x x

C e sin d x x x=e cosx x+e cos d x x x D e sin d x x x= −e cosx x−e cos d x x x

Câu 6: Nguyên hàm của hàm số ( ) 2

f x =x là ?

A

2 2

d3

x

3 2

d3

S =f x  x B ( )d

b a

b a

S = f x x D ( )d

b a

S= f x x

Câu 8: Tìm nguyên hàm F x( )của hàm số ( ) 42 2

11

420184

d3

x I

x

=+

t



=

Câu 14: Thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=a x; =b a( b) và thiết diện bị cắt bởi mặt

phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a(   có diện tích S(x) là x b)

b a

b a

b a

b a

V =S x dx

Câu 15: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số ( ) ( )

( )2

21

x

x +

Câu 16: Tính ( )F x =xcos dx x ta được kết quả

A F x( )=xsinx−cosx C+ B F x( )= −xsinx−cosx+C

C F x( )=xsinx+cosx+C D F x( )= −xsinx+cosx+C

Câu 17: Biết tích phân 1( )

x



=+

 Nếu đặt t= 1 cos+ x , ta được:

Câu 19: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx và đồ thị hàm số y=F x( ) đi qua điểm ( )0;1

0

164

234

e −

232

3

2( )d

2

0( )d

xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó:

BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – 02 (Vận dụng – Vận dụng cao)

Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có đồ thị ( )C là đường cong

như hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C , trục hoành và hai

đường thẳng x=0, x=2 (phần tô đen) là

2 2

3

2 1

O

A

2 2

2 ee

2 2

3 e2e

B

A 27 B 21 C 15 D 75

Câu 13: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm, liên tục trên và f x ( ) 0 khix  0;5

. Biết ( ) ( 5 ) 1

f x f −x =

, tính tích phân ( )

5 0

d1

x I

d1

a

x I

G = , G( )2 = và 2 2 ( ) ( )

1

67d12

2+ D 4

( )

Câu 22: Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y= 3x2, cung tròn có phương trình 2

Câu 23: Cho hàm số f x( ) liên tục trên và thỏa mãn 2 ( ) 16 ( )

2

1 4

Câu 26: Cho hàm số y= f x( ) Hàm số y= f( )x có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y= f( )x trên đoạn −2;1 và  1; 4lần lượt bằng 9 và 12 Cho f ( )1 =3 Giá trị biểu thức f ( )− +2 f ( )4 bằng

Câu 28: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f −( )2 =1, ( )

Câu 33: Cho hàm số y= f x( ),   , thỏa mãn x 0 ( ) ( ) ( ) ( )

1

2 O

Câu 34: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành Hai đường thẳng

và chia thành phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ)

x x

++

+

+

34

x

C x

++

++

++

f = và ( )3 ( )3 0

max

B

320183

max

3

2018 16

max

D

320186

f = Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= f x( ) trên đoạn  1;3 lần lượt là

A M =20; m =2 B M =4 11; m = 3

C M =20; m = 2 D M =3 11; m = 3

Câu 40: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi ( )H1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường

24

x

24

Cho ( )H1 và ( )H2 quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V , 1 V2 Đẳng thức nào

a b c

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y=(b+a x) −ab

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P và đường thẳng AB ta có

d

b a

b a

d93

a a

t I

1 d2

t

1 2

1

d2

f t t t

1 8

41

d 4

x x

1 4

1 8

41

d2

x x

Suy ra 14 ( )

1 1

1

2 f t dt t

1 4

1 4

4

2 f x dx x

Suy ra 1 ( )

2 1

Câu 26: Theo giả thiết ta có 1 ( )

Câu 31: Dựa vào đồ thị của hàm f( )x trên đoạn −2;6 ta suy ra bảng biến thiên của hàm số f x( ) trên đoạn −2;6 như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−



= − = f( )− −1 f ( )2 Dựa vào đồ thị ta thấy S1S2 nên f ( )− −1 f ( )− 2 f ( )− −1 f( )2  f ( )− 2 f ( )2

2 2

f

C f



( )

2 2

1

Diện tích S giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y= − +x2 4x và đường thẳng y= là n

( )3 3

3 3

2 3

3 3

++

Câu 37: Hàm số y= f x( ) đồng biến trên (0; +) nên suy ra f( )x   0, x (0;+ )

Mặt khác y= f x( ) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +) nên

32

Câu 38: Giả sử A a a ; ( ; 2) B b b( ; 2) (b ,a) AB =2018 Phương trình đường thẳng d là: y= +(a b x ab) −

20186

Câu 13: Cho số phức z a bi = + với a , b là các số thực bất kỳ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Phần ảo của z là bi B Môđun của 2

z bằng a2+ b2

C z− không phải là số thực z D Số z và z có môđun khác nhau

Câu 14: Số phức nghịch đảo z−1 của số phức z= − là 2 2i

A 1

12

Dạng 2: Tập hợp biểu diễn của số phức:

VD1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức:

VD5: Cho số phức z thỏa mãn z− + =1 i 2 Chọn phát biểu đúng:

A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol

C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2

D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 4

………

VD6: Cho số phức z thỏa mãn (1 3+ i z) + = −2i 4 Điểm nào sau đây là điểm biểu

diễn của z trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?

………

VD7: Cho hai số phức z1= −1 i z, 2 = + Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu 3 2i

diễn số phức z z , gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ Hỏi G là điểm biểu diễn của 1, 2

số phức nào sau đây?

A 5 i− B 4 i+ C 4 1

3+3i D 2 1

2i+

VD10: Số phức có điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong hình bên (tính cả biên)

A Số phức có phần ảo nằm trong khoảng (−1;1) và mô đun không vượt quá 2

B Số phức có phần thực nằm trong khoảng (−1;1) và mô đun nhỏ hơn 2

C Số phức có phần ảo nằm trong đoạn −1;1 và mô đun không vượt quá 2

D Số phức có phần thực nằm trong đoạn −1;1 và mô đun không vượt quá 2

Câu 7: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z a bi= + ( ,a b  , ab  ), 0 M  là

điểm biểu diễn cho số phức z Mệnh đề nào sau đây đúng?

A M  đối xứng với M qua Oy

B M  đối xứng với M qua Ox

C M  đối xứng với M qua đường thẳng y= x

D M  đối xứng với M qua O

Câu 8: Cho hai số phức z= − và 3 5i w= − + Điểm biểu diễn số phức 1 2i z = −z w z trong mặt phẳng

Oxy có tọa độ là

A (− −4; 6) B (4;−6) C (4; 6) D (− −6; 4)

Câu 9: Cho bốn điểm A , B , C , D trên hình vẽ biểu diễn 4 số phức khác nhau Chọn mệnh đề sai

A B là biểu diễn số phức z= − 1 2i B D là biểu diễn số phức z= − − 1 2i

−1

1

−2