3 Hệ phơng trình tơng đơng: Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm 4 Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế, phơng pháp cộng.. + Bớc 1: Từ một phơ
Trang 1Chuyên đề: hệ phơng trình Các kiến thức cần nhớ
1) Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
- Định nghĩa: Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax+by=c và a'x+b'y=c' Khi đó ta
có hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:ỡùùùax a x' +by b y'=c c'(2)(1)
ớù + =
- Nếu hai phơng trình ấy có nghiệm chung (x 0 ; y 0 ) thì (x 0 ; y 0 ) đợc gọi là nghiệm của
hệ (I)
- Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
2) Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm
Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)
Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')
- Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
- Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
- Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
3) Hệ phơng trình tơng đơng:
Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
4) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế, phơng pháp cộng.
a) Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phơng trình thành hệ phơng
trình tơng đơng.
+ Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phơng trình thứ hai để đợc một phơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ
(ph-ơng trình thứ nhất cũng thờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia
có đợc ở bớc 1).
b) Quy tắc cộng đại số: Quy taộc coọng ủaùi soỏ duứng ủeồ bieỏn ủoồi moọt heọ phửụng trỡnh
thaứnh heọ phửụng trỡnh tửụng ủửụng.
+ Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để
đợc một phơng trình mới.
Trang 2u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hoặc trừ) hai vế của hệ Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).
Bài tập
Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1: : Giải các HPT sau:
1.1
a + =23x y x y− =37 b + =52x x+23y y= −62
Giải:
a Dùng PP thế: 2 3
x y
x y
− =
+ =
Vọy HPT đã cho có nghiệm là: 2
1
x y
=
=
Dùng PP cộng: 2 3
x y
x y
− =
+ =
Vậy HPT đã cho có nghiệm là: 2
1
x y
=
=
- Để giảI loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi
+ =25x x+32y y= −62 1010 154 1210 115 2 226 5 2.( 2 6)2 22
Vaọy HPT có nghiệm là = −x y=22
- Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giảI sau đây:
1.2
1 1
1 1
+
+
+ Cách 1: Sử dụng PP cộng ĐK: x≠ − 1,y≠ 0.
Trang 3
1 1
1 1
+
+
2
1
1
+
Vaọy HPT có nghiệm là
3 2 1
x y
= −
=
+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ ĐK: x≠ − 1,y≠ 0.
Đặt 1
1 a
1
b
y = HPT đã cho trở thành:
2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
1
1
2 1
x x
y y
(TMĐK)
Vaọy HPT có nghiệm là
3 2 1
x y
= −
=
Lu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải
Baứi 2: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau (baống pp theỏ)
1.1: ) 3
x y a
− =
− =
)
b
x y
+ =
1.2 ) 2 2 5
a
+ =
)
x y b
Baứi 3: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau (baống pp coọng ủaùi soỏ)
2.1 ) 3 3
x y a
x y
+ =
− =
)
b
x y
+ =
3
c
− =
Trang 4a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1
Baứi 5:
a) Xaực ủũnh heọ soỏ avaứb, bieỏt raống heọ phửụng trỡnh − = −2bx ay x by+ =45coự
nghieọm laứ (1; -2)
b) Cuừng hoỷi nhử vaọy neỏu heọ phửụng trỡnh coự nghieọm ( 2 1; 2 − )
Baứi 6: Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau: + =2x x y+3y= −12
a) Tửứ ủoự suy ra nghieọm cuỷa heọ phửụng trỡnh
2
2
3
1
Baứi 7: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau:
− =23x y x y+ =14 ; 3 2 1 3
x y
− =
+ =
; − =3x x y+2y=15 ; 3 3 05 0
x y
x y
− − =
+ − =
0, 2 3 2
15 10
− =
3 2
= −
+ =
x y
− =
− + =
;
5 2
y x
x y
− =
− =
;
5
x y
+ =
Bài 8: Cho hệ phơng trình
= +
=
−
1
2
by ax
b ay x
a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( 2 ; 3 )
Bài 9: GiảI các hệ phơng trình sau
a)
=
−
− +
=
−
− +
3 4 5
2 2 1
y x y x
y x y x
b)
= +
−
=
−
2 2
8 4
3
y x
y
x
c)
=
− +
−
=
−
−
−
1 2 2
2
3 2 4 2 3
y x
y
x
(đk
x;y≥2 )
Trang 53 5 1
x y
− + = −
;
;
4 3
1
− =
;
− =
3 3 3 2 3
( 1) 2( 2) 5 3( 1) ( 2) 1
( 5)( 2) ( 2)( 1) ( 4)( 7) ( 3)( 4)
( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
− + + − =
5
5
+ =
− =
;
2
3
;
;
4,5
4
1 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
a 3 0
x y
x y
+ − =
− + =
(TN THCS 2000- 2001, VP) b
5 10
− =
c
2
3
x
y
(TS THPT 2001- 2002, VP) d
+ =
e
2 3
5
3 2
1
+ =
− =
(TS THPT 2002- 2003, VP) f − =42x x−35y y=2121
g 2 3
x y
− =
(TS THPT 2004- 2005, VP) h
− = −
i 5 3 8
+ =
(TS THPT 2005- 2006, VP)
k 4 1
x y
+ =
− =
(TS THPT NK TrÇn Phó 2003- 2004, HP)
Trang 6n 4 3 7
+ =
(TN THCS 2003- 2004, TP HCM)
x y
p
2 Giải các hệ phơng trình sau:
a
2 2 20
6
x y
− =
b
2 2 29 10
xy
=
c
2 2 25 12
x y
+ =
d
2 2 7
5
x y
+ =
e
4 4
17 3
f
+ + = −
g
2 2 18
( 1) ( 1) 72
+ + + =
h
2 2
2 2
i
12 28
x y y x
x x y y
3 Giải các hệ phơng trình sau:
a 1 3 2 2
b
c
2
4 Cho hệ phơng trình: ( 1)
+ − =
gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x; y)
a Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
b Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 − 7y= 1
c Tìm các giá trị của m để biểu thức 2x y x−+3y nhận giá trị nguyên
(trích đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Hải Dơng, năm 2004 - 2005)
5 Cho hệ phơng trình (x; y là các ẩn số):
2 2
(1)
a Giải hệ phơng trình với m = 7
b Tìm m sao cho hệ phơng trình (1) có nghiệm
2
x ay
ax y
+ =
(1)
a Giải hệ phơng trình (1) khi a = 2
b Với giá trị nào của a thì hệ (1) có nghiệm duy nhất
(trích ĐTTS lớp 10 BCSP Hải Phòng, năm 2003- 2004)
Trang 77 Cho hệ phơng trình:
1 2
334 3
mx y y x
− =
− =
a Giải hệ phơng trình khi cho m = 1
b Tìm giá trị của m để hệ phơng trình vô nghiệm
(trích ĐTTN THCS tỉnh Thái Bình 2001- 2002)
8 Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm:
a 3 3
2
x y
− =
− =
b 2 2
x y xy m
+ =
9 Với giá trị nào của tham số m thì hệ phơng trình sau:
2
1
mx y m
x my
+ =
a Vô định
b Vô nghiệm
10 Xác định giá trị của tham số m để hệ phơng trình sau vô nghiệm:
3
3
mx y
x my
+ =
+ =
11 Giải và biện luận hệ phơng trình: 2 2
3
x y
+ =
mx y
x my
+ =
+ = −
a Giải hệ phơng trình khi m = 3
b Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm? vô nghiệm?
13 Tìm a và b để hệ phơng trình − − = −((a b x ay a b x by+ )) + = −32 có nghiệm là x =-1; y =1
Chứng minh hệ phơng trình trên có nghiệm với mọi m Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
15 Cho hệ phơng trình:
+ + =
a Giải hệ phơng trình khi m = 3
b Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
16 Cho hệ phơng trình:
2 2 0
0
x y m
− − =
+ + =
(m là tham số)
Trang 817 Cho hệ phơng trình ẩn x; y:
n
a Giải hệ phơng trình khi n = 1
b Với những giá trị nào của tham số n thì hệ vô nghiệm
(trích ĐTTS THPT 2003- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc)
18 Cho phơng trình bậc nhất hai ẩn x, y; tham số m: 2
x y
+ =
+ = + +
a Giải hệ phơng trình với m = 0
b Xác định các giá trị của tham số m để hệ phơng trình có nghiệm (x0; y0) thoả mãn điều kiện: x0 = y0
c Xác định các giá trị nguyên của tham số m để hệ phơng trình đã cho có nghiệm (a; b), với a và b là các số nguyên
(trích ĐTTS THPT 2004- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc)
19 Cho hệ phơng trình: x my mx+−2y==21
a Giải hệ phơng trình khi m = 2
b Tìm giá trị nguyên của tham số m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0; y > 0
c Tìm giá trị nguyên của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x; y là các số nguyên
5
ax y
x ay
− =
+ =
a giải hệ phơng trình khi a = 3
b Chứng minh rằng hệ phơng trình có nghiệm với mọi giá trị của a
c Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn: x− 2y= 0 (trích ĐTTS THPT 1996- 1997, VP)
21 Cho hệ phơng trình: − + = −(− + +b a x ay ax )(a b y) = −32
a Tìm a, b để hệ có nghiệm x = 2; y = 1
b Giải hệ phơng trình khi a = 2; b = 1
c Cho b ≠ 0 Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn y - x > 0.
(trích ĐTTS THPT 1997- 1998, VP)
ax y
x ay
+ =
+ =
a Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số a
b Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
Trang 923 Cho hệ phơng trình: 2
x y m
+ =
− =
(m là tham số nguyên)
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0; y < 0
24 Cho hệ phơng trình: 4 10
4
x my
+ =
(m là tham số)
a Giải và biện luận hệ phơng trình theo m
b Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x và y là những số nguyên
2
mx y m
Xác định tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà tích xy đạt giá trị lớn nhất
26 Giải các hệ phơng trình sau:
a 2 1 2 7
x y
+ =
+ + = b
24
xy
=
c
2
1 1 9
4
xy
x y
= + = d
e ( )2 3( ) 4
2 3 12
+ = f 4 3 5 y x xy x y xy
− =
g
+ + = h
1 1
7
x y
+ = k
( 1)( 1) 8 ( 1) ( 1) 17
l
+ = + m.
2 2
2 2
n
3 6 2 7.
+ = o
2
2 2 1
p
2x xy y 5x y 2 0
q
2 2 (x y x)( y ) 5
Trang 10a
5
x y
+ =
ĐS (1; 4) b
6 1
2 2 2 14
x y z
xy yz zx
+ + = + + = −
28* Giải hệ phơng trình:
1 1 1 51
4
x y z
x y z
+ + + + + =
(trích ĐTTS lớp 10 chuyên Toán- Tin, ĐH Vinh 2004- 2005)
(Hớng dẫn: Đặt u x= +1x; v y= +1y; p z= +1z và để ý 3(u2+v2+p2)=(u+v+p)2
mà theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski thì 3(u2+v2+p2)≥(u+v+p)2suy ra u=v=p=17/4).
29 Tìm m sao cho hệ phơng trình hai ẩn x, y:
1
nx y m
x y
+ = + =
có nghiệm với mọi giá trị của n
30 Cho hệ phơng trình: mx y x my m2m1
+ =
a Giải hệ phơng trình khi m = -1
b Xác định giá trị của tham số m để hệ phơng trình có nghiệm, trong đó có nghiệm x = 1; y = 1
31.Cho hệ phơng trình:
5
x y
+ =
a Giải hệ phơng trình khi m = 5
2
b Tìm m để hệ phơng trình vô nghiệm
32 Cho hệ phơng trình: (2m x y m1)x my5 3m 1
− = + Xác định tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà 2x +y2
đạt giá trị nhỏ nhất