Đề thi môn toán

Đề thi tuyển sinh *Trường THPT Nguyễn Trãi ( Hải Duơng 2002- 2003, dành cho lớp chuyên tự nhiên)Thời gian: 150 phút Bài (3 điểm) Cho biểu thức A=  x   x   x   x     4  1 x2 x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài 2.( điểm) 1) Gọi x x hai nghiệm phơng trình x2 -(2m-3)x +1-m = Tìm giá trị m để: x12+ x22 +3 x1.x2(x1+ x2) đạt giá trị lớn 2) Cho a,b số hữu tỉ thoả mãn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003 Chứng minh phơng trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm hữu tỉ BC Bài ( điểm) : 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180 Tính tỉ số AB 2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA,OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung C Tính góc ACD Bài ( điểm) Chứng minh bất đẳng thức: | a2  b2  a  c |  | b-c| với a, b,c số thực *Trường khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150’) 2x  x  Bài ( điểm) cho biểu thức: P(x) = 3x  x  1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) < Bài ( điểm) x  2(2m  1) x  3m  6m 0 x 1) cho phơng trình: (1) a) Giải phơng trình m = b) Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x1 +2 x2 =16 2) Giải phơng trình: 2x 1   2 1 x 2x Bài (2 điểm) 1) Cho x,y hai số thực thoả mãn x2+4y2 = Chứng minh rằng: |x-y|  n2  2) Cho phân số : A= n  Hỏi có số tự nhiên thoả mãn n 2004 cho A phân số cha tối giản Bài 4( điểm) Cho hai đờng tròn (0 ) (0 ) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P hai đờng tròn tiếp xúc với (0 ) A, tiếp xúc với (0 ) B Tiếp tuyến (0 ) P cắt (0 ) điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD R Hãy chứng minh rằng: 1)Bốn điểm A, B, Q,R thuộc đường tròn 2)Tam giác BPR cân 3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB Bài (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE Trường Trần Đại Nghĩa - TP HCM (năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút) Câu Cho phơng trình x2 +px +1 = có hai nghiệm phân biệt a 1, a2 phơng trình x2 +qx +1 = có hai nghiệm phân biệt b1,b2 Chứng minh: (a1- b2)( a2- b1)( a1 + b1 b2+b2) = q2 - p2 Câu 2: cho số a, b, c, x, y, z thoả mãn x = by +cz y = ax +cz z = ax +by ; với x + y+z 0 1   2 Chứng minh:  a  b  c Câu 3: a) Tìm x; y thoả mãn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= b) Cho số dơng x;y;z thoả mãn x3+y3+z3 =1 x2 Chứng minh: 1 x2  y2 1 y2  z2 1 z2 2 Câu Chứng minh khơng thể có số ngun x,y thoả mãn phơng trình: x3-y3 = 1993 Chuyên Lê Q Đơn _ tỉnh Bình Định (năm học 2005-2006, mơn chung, thời gian:150’) Câu 1(1đ): 1 1  tính giá trị biểu thức A= a  b  với a=  b=  Câu 2(1.5đ): Giải pt: x  x   x 8 Câu 3(3đ): Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) hai điểm A,B thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 a) Viết phơng trình đờng thẳng AB b) Vẽ đồ thị (P) tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB có diện tích max Câu4(3,5đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O) có trực tâm H Phân giác góc A cắt đờng trịn (O) M Kẻ đờng cao Ak tam giác.Chứng minh: a) đờng thẳng OM qu trung điểm N BC b) góc KAM MAO c) AH=2NO Câu (1đ): tính tổng: S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN TÂN PHÚ TP.HCM NĂM HỌC 2003-2004 Bài (5,5 điểm) Đề thi toán (thời gian 90 phút) 5 1) Cho biểu thức A = n  a) Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b) Tìm số nguyên n để biểu thức A số nguyên 2) Tìm x biết: a) x chia hết cho 12; x chia hết cho 25; x chia hết cho 30; x 500 b) (3x - 24)73 =2.74 c)|x-5| =16+2(-3) 3) Bạn Đức đánh số trang sách số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Đức sử dụng chữ số? Trong chữ số sử dụng có chữ số 0? Bài ( điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia BA lấy điểm N cho AM = BN So sánh độ dài đoạn thẳng BM AN Bài 3( 2,5 điểm) Cho góc XOY = 1000 Vẽ tia phân giác Oz góc XOY; Vẽ tia Ot nằm góc XOY cho YOT = 250 1) Chứng tỏ tia OT nằm hai tia OZ OY 2) Tính số đo góc ZOT 3) Chứng tỏ OT tia phân giác góc ZOY Mơn tốn (thời gian làm 90 phút) Bài ( điểm) a) Tính 1 2     2003 2004 2005  2002 2003 2004 5 3     2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết 13+ 23+… +103 = 3025 Tính S = 23+43+63+….+203 x  3x  0,25 xy  x2  y c) Cho A = Tính giá trị A biết x = 1/2, y số nguyên âm lớn Bài (1 điểm) Tìm x biết : 3x+3x+1+3x+2 = 117 Bài ( điểm) Một thỏ chạy đờng mà hai phần ba đ- ờng băng qua đồng cỏ đoạn đờng lại qua đầm lầy Thời gian thỏ đồng cỏ nửa thời gian đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ chạy đoạn đờng qua đầm lầy hay vận tốc thỏ chạy đoạn đờng qua đồng cỏ lớn lớn lần? Bài 4.( điểm) Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng: a) ABE ADC b) Góc BMC = 1200 Bài ( điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đờng thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm a) Tam giác ABC tam giác gì? Chứng minh điều b) Trên tia HC, lấy HD = HA Từ D vẽ đờng thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh AE = AB ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THĨ XÃ HÀ ĐÔNG ( 2003-2004) Toán (120’) Bài 1( điểm) Cho đa thức: f(x) = 2x5 - 4x3 +x2 -2x +2 g(x) = x5 - 2x4 +x2 - 5x +3 h(x) = x4 +4x3 +3x2 -8x + 16 a)Tính M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x) b) Tính giá trị M(x) x =  0,25 c) Có giá trị x để M(x) = 0? Bài (4 điểm) a) Tìm số a,b,c biết: 3a=2b,5b=7c, 3a +5c-7b=60 b) Tìm x biết |2x-3|-x=|2-x| Bài (4) Tìm giá trị nguyên m n để biểu thức a)P =  m có giá trị lớn 8 n b) Q n  có giá trị nguyên nhỏ  Bài 4.(5) Cho tam giác ABC có AB c+1 Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y số thực thoả mãn đẳng thức sau: x+y=a, x +y =b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ a,b,c không phụ thuộc x,y 3 Bài 4(1,5) Chứng minh phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm số hữu tỉ với số nguyên n Bài 5(2,5) Cho đờng trịn tâm O dây AB( AB khơng qua O) M điểm đờng tròn cho tam giác AMB tam giác nhọn, đờng phân giác góc MAB góc MBA cắt đờng trịn tâm O lần lợt P Q Gọi I giao điểm AP BQ 1) Chứng minh MI vng góc với PQ 2) Chứng minh tiếp tuyến chung đờng tròn tâm P tiếp xúc với MB đờng trịn tâm Q tiếp xúc với MA ln song song với đờng thẳng cố định M thay đổi *Chuyên tỉnh Bà Địa – Vũng Tàu (2004-2005) thời gian:150 phút Bài 1:1/giải phương trình: x x 2 x  4 2x 2/chứng minh không tồn số nguyên x,y,z thoả mãn: x3+y3+z3 =x +y+z+2005 Bài 2: Cho hệ phương trình: x2 +xy = a(y – 1) y2 +xy = a(x-1) 1/ giải hệ a= -1 2/ tìm giá trị a để hệ có nghiệm Bài 3: 1/ cho x,y,z số thực thoả mãn x 2+ y2+z2 =1 Tìm giá trị nhỏ A ... AH=2NO Câu (1đ): tính tổng: S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN TÂN PHÚ TP.HCM NĂM HỌC 2003-2004 Bài (5,5 điểm) Đề thi toán (thời gian 90 phút) 5 1) Cho biểu thức A = n  a)... HD = HA Từ D vẽ đờng thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh AE = AB ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THĨ XÃ HÀ ĐÔNG ( 2003-2004) Toán (120’) Bài 1( điểm) Cho đa thức: f(x) = 2x5 - 4x3 +x2 -2x +2 g(x)... có tỷ số diện tích 0.5 Chứng minh 2005 đờng thẳng có 502 đờng thẳng đồng quy Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (toán – bảng B – thời gian: 150’) Bài a) Rút gọn biểu thức: P= x 2y ( x  y)