Mình ôn thi môn Toán Hóa Sinh có rất nhiều tài liệu liên quan nhưng chuẩn bị đi học tài liệu mềm còn nhiều mình upload lên bạn nào cần thì tải xuống mà dùng, hi vọng giúp các bạn tự học hoặc hoàn cảnh không cho phép đi ôn thi luyện thi có cơ hội và tài liệu tốt hơn như mình ngày xưa.
Tài Liệu Ôn Thi TỔNG HỢP LÝ THUYẾT CÁC DẠNG TỐN TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN OXYZ VÀ CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz I Bài toán mặt phẳng khơng gian: 1.Bài tốn viết phương trình mặt phẳng • Dạng 1: Qua A(x0 ; y0 ; z0 ) có vecto pháp tuyến n = (A; B; C): A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = Lưu ý: Để viết phương trình mặt phẳng không gian ta cần hai yếu tố, thứ điểm nằm mặt phẳng thứ hai vecto pháp tuyến mặt phẳng • Dạng 2: Cắt trục tọa độ điểm có tọa độ (a;0;0), (b;0;0), (0;0;c) x y z (P) có phương trình + + = a b c • Dạng 3: Qua A song song với mp(Q): - Từ ptmp(Q) ⇒ V T P T n(Q) = (A; B; C) - Vì (P)//(Q) ⇒ n(P ) = n(Q) = (A; B; C) - ptmp(P) qua A có VTPT n(P ) • Dạng 4: Qua A vng góc với hai mặt phẳng (R) (Q): - Từ ptmp (P) (Q) ⇒ n(Q) , n(R) - Vì (P )⊥(Q), (P )⊥(R) ⇒ n(P ) ⊥n(Q) , n(P ) ⊥n(Q) ⇒ n(P ) = [n(Q) , n(R) ] - Vậy mp(P) qua A có VTPT n(P ) = [n(Q) , n(R) ] • Dạng 5: Qua A vng góc với đường thẳng d: - Từ (d)⇒ ud = (A; B; C) - Vì (P) vng góc với d ⇒ n(P ) = ud = (A; B; C) - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A có n(P ) = (A; B; C) • Dạng 6: Qua điểm A,B,C khơng thẳng hàng: −→ −→ −→ −→ - Tính [AB, AC, [AB, AC] −→ −→ −→ −→ - Ptmp (P) qua A( B,C) có VTPT n(P ) = [AB, AC, AB, AC] • Dạng 7: Qua hai điểm A,B vng góc với (Q): Học Chắc Chắn Đỗ Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz −→ −→ - Tính AB, tính AB, n(Q) −→ - Vì A,B thuộc (P), (Q)⊥(P) nên n(P ) = [AB, n(Q) ] • Dạng 8: Qua A vng góc với mp(Q) song song với đường thẳng d: - Tính n(Q) , ud - Tính [ud , n(Q) ] Vì (P)⊥(Q) (P)//d nên n(P ) = [ud , n(Q) ] • Dạng 9: Qua điểm A chưa đường thẳng d: - Tính ud tìm điểm M ∈ d −−→ −−→ −−→ - Tính AM [ud , AM ] ⇒ n(P ) = [ud , AM ] • Dạng 10: Chứa đường thẳng d song song với d1 : - Từ d ⇒ ud điểm M ∈ d - Từ d1 ⇒ ud1 Tính [ud , ud1 ] ⇒ n(P ) = [ud , ud1 ] • Dạng 11: Chứa đường thẳng d vng góc với mp(Q): - Từ d ⇒ ud điểm M ∈ d - Từ (Q) ⇒ n(Q) Tính [ud , n(Q) ] ⇒ n(P ) = [ud , n(Q) ] - PT mp(P) qua M có n(P ) = [ud , n(Q) ] • Dạng 12: Chứa đường thẳng d có khoảng cách từ A đến mp(P) h: Gọi VTPT mp(P) n(P ) = (A; B; C) với điều kiện A2 + B + C > - Từ d ⇒ ud điểm M ∈ d - Vì d nằm (P) nên ud n(P ) = (1) - PT mp(P) qua M (x0 ; y0 ; z0 ) : A(x−x0 )+B(y−y0 )+C(z−z0 ) = 0, d(A,(P))=h (2) - Giải hệ (1),(2) tìm A,B theo C Chọn A,B,C tỉ lệ ta viết PT mp(P) • Dạng 13: Song song với mp(Q) có khoảng cách từ A đến (P) h: - n(Q) = (A; B; C) ⇒ (P ) : Ax + By + Cz + D = (D = 0) Học Chắc Chắn Đỗ Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz - Vì d(A,(P))=h nên thay vào ta tìm D • Dạng 14: Chứa d hợp với mp(Q) góc α = 900 - Gọi n(P ) = (A; B; C)A2 + B + C > - Từ d ⇒ ud điểm M ∈ d - Vì d nằm (P) nên ud n(P ) = (1) - Tính cosα (2) - Từ (1), (2) ta tính A,B theo C Từ chọn tỉ lệ phù hợp viết PT mp(P) • Dạng 15: Chứa d hợp với ∆ góc α = - Gọi n(P ) = (A; B; C)A2 + B + C > - Từ d ⇒ ud điểm M ∈ d - Vì d nằm (P) nên ud n(P ) = (1) - Tính sinα (2) - Từ (1), (2) ta tính A,B theo C Từ chọn tỉ lệ phù hợp viết PT mp(P) • Dạng 16: Chứa d khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất: - Gọi H hình chiếu vng góc A lên d - Ta có : d(A,(P))=AK≤AH - Do d(A,(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H - Viết PT mp(P) qua H nhận AH làm VTPT • Dạng 17: Chứa d tiếp xúc mặt cầu (S): - Xác định tâm I, bán kinh R mặt cầu (S) - Gọi VTPT mp(P) n(P ) = (A; B; C)(A2 + B + C > 0) - Từ d ⇒ ud điểm M ∈ d - Vì d nằm (P) nên ud n(P ) = (1) Học Chắc Chắn Đỗ Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))=R (2) - Giải hệ (1),(2) tìm A,B theo C từ viết PT mp(P) • Dạng 18: Mp(P) song song với mp(Q) tiếp xúc mặt cầu (S): - Xác định tâm I, bán kinh R mặt cầu (S) - Xác định n(Q) = (A; B; C) Do (Q)//(P) nên (P) : Ax+By+Cz+D=0 - Mà (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,(P))=R ⇒ D • Dạng 19: Chứa d cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bk r: - Xác định tâm I, bán kinh R mặt cầu (S) - Từ d ⇒ ud điểm M ∈ d - Vì d nằm (P) nên ud n(P ) = (1) - Gọi VTPT mp(P) n(P ) = (A; B; C)(A2 + B + C > 0) - PT mp(P) qua M (x0 ; y0 ; z0 ) có dạng A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = √ - Vì (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C) nên d(I, (P )) = R2 − r2 (2) - Giải hệ (1), (2) tìm A,B theo C từ viết PT mp(P) • Dạng 20: Song song với mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r: - Xác định tâm I, bán kinh R mặt cầu (S) - Xác định n(Q) = (A; B; C) Do (Q)//(P) nên (P) : Ax+By+Cz+D=0 (DP = DQ ) - d(I, (P )) = √ R2 − r - Giải tìm D suy PT mp(P) • Dạng 21: Chứa d cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r min: - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Bán kinh r = Học Chắc Chắn Đỗ R2 − d2 I(, (P )) Để r d(I,(P)) max Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz - Gọi H hình chiếu vng góc I lên d K hình chiếu vng góc I lên (P) - Ta có d(I, (P )) = IK = IH Do d(I,(P)) max AH=AK hay H ≡ K −→ - PT mp(P) qua H nhận IH làm VTPT • Dạng 22: Là mặt phẳng trung trực AB: −→ - Tính trung điểm I AB AB −→ - Mp(P) qua I nhận AB làm VTPT •Dạng 23: Là mặt phân giác tạo hai mặt phẳng: (Q) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (A21 + B12 + C12 ) > (R) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = (A2 + B + C ) > 2 ⇒ (P ) : |A1 x + B1 y + C1 z + D1 | A21 + B12 + C12 = |A2 x + B2 y + C2 z + D2 | A22 + B22 + C22 Vị trí tương đối hai mặt phẳng: - (P) cắt (Q) n(P ) = kn(Q) n(P ) = kn(Q) - (P) // (Q) D(P ) = kD(Q) n(P ) = kn(Q) - (P) ≡ (Q) D(P ) = kD(Q) - (P) ⊥ (Q) n(Q) n(P ) = *Biện luận theo m tương giao hai mặt phẳng: (Q) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (A21 + B12 + C12 ) > (R) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = (A2 + B + C ) > 2 Học Chắc Chắn Đỗ Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz A1 A2 m = m1 B1 Giải phương trình = ⇒ B1 B2 m = m2 B2 Xét trường hợp sau: -TH1: m = m1 , vào hai mặt phẳng (P) (Q), suy vị trí tương đối (P) (Q) -TH2: m = m2 , vào hai mặt phẳng (P) (Q), suy vị trí tương đối (P) (Q) -TH3: m = m1 m = m2 ⇒ B1 A1 = ⇒ (P) cắt (Q) A2 B2 Vị trí tương đối điểm mặt phẳng: - Cho mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 với hai điểm M1 (x1 ; y1 ; z1 ), M2 (x2 ; y2 ; z2 ) Đặt k = (Ax1 + By1 + Cz1 + D)(Ax2 + By2 + Cz2 + D) + Nếu k>0 M1 , M2 phía so với (P) + Nếu k (R) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = (A2 + B + C ) > 2 Có phương trình: m(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: - Cho mặt cầu (S) : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 tâm I(x0 ; y0 ; z0 ) Học Chắc Chắn Đỗ Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 đặt d=d(I,(P)) - Ta có ba trường hợp sau: + Nếu d > R ⇒ (P ) ∩ (S) = Ø + Nếu d = R ⇒ (P ) tiếp xúc (S) + Nếu d < R ⇒ (P ) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 Ax + By + Cz + D = * Trong (C) có tâm O hình chiếu vng góc I lên (P) có bán kính r= R2 − d2 (I, (P )) • a) Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu biết điều kiện K: Cách 1: B1: Dựa vào điều kiện K để thiết lập mp(P) B2: Để (P) tiếp diện mặt cầu (S) d(I,(P))=R B3: Từ tìm (P) kết luận Chú ý: Ngoài điều kiện K bình thường (tiếp diện (P) song song với mp(Q) hay chưa đường thẳng d chẳng hạn) ta có trường hợp đặc biệt sau: "Điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) tiếp điểm mặt cầu (S) tiếp diện (P) I(a;b;c) tâm mặt cầu (S)" −−→ - M tiếp điểm nên suy IM VTPT mp(P) −−→ - (P) qua M có VTPT IM = (x0 − a; y0 − b; z0 − c) suy (P) có phương trình (x0 − a)(x − x0 ) + (y0 − b)(y − y0 ) + (z0 − c)(z − z0 ) = Cách 2: B1: Giả sử điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) tiếp điểm (P) mặt cầu (S) B2: Suy phương trình tiếp diện có dạng Học Chắc Chắn Đỗ Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz (x0 − a)(x − x0 ) + (y0 − b)(y − y0 ) + (z0 − c)(z − z0 ) = (1) B3: M ∈ (S) ⇒ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 (2) B4: Từ điều kiện K ta có phương trình f (x0 ; y0 ; z0 ) = (3) B5: Giải hệ (1),(2),(3) suy tọa độ tiếp điểm suy phương trình mặt phẳng tiếp diện • b) Tìm tọa độ tiếp điểm mặt cầu (S) tiếp diện (P) : B1: Ta tìm mặt phẳng tiếp diện trước B2: Gọi d đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng tiếp diện B3: Viết phương trình đường thẳng d B4: Gọi M tiếp điểm suy M có tọa độ nghiệm hệ phương trình gồm pt đường thẳng d pt tiếp diện (P) M = (P ) ∩ d B5: Suy tọa độ điểm M tiếp điểm cần tìm II Bài tốn đường thẳng khơng gian: Một số phương trình đặc biệt: x=t Trục Ox có VTCP i ⇒ Ox : y = z = x=0 Trục Ox có VTCP k ⇒ Oz : y = z = t Trục Oy có VTCP j ⇒ Oy : x=0 y=t z = Vị trí tương đối hai đường thẳng d d’: - Xét hệ phương trình hai ẩn t t’ sau: Học Chắc Chắn Đỗ Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz x0 + a1 t = x0 + a2 t y0 + b1 t = y0 + b2 t z0 + c1 t = z0 + c2 t - TH1: Nếu hệ có nghiệm d cắt d’ - TH2: Nếu hệ có vơ số nghiệm d trùng d’ - TH3: Nếu hệ vơ nghiệm xảy hai khả + Nếu a, a phương d song song d’ + Nếu a, a khơng phương d chéo d’ Vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P): - Xét hệ phương trình bốn ẩn x,y,z,t sau: x = x0 + a1 t y = y0 + a2 tz = z0 + a3 t Ax + By + Cz = - TH1: Nếu hệ có nghiệm d căt (P) - TH2: Nếu hệ có vơ số nghiệm thi d năm (P) - TH3: Nếu hệ vô nghiệm d song song (P) Góc: a) Góc hai đường thẳng d1 , d2 : + d1 qua M1 (x1 ; y1 ; z1 ) có VTCP u = (a1 ; a2 ; a3 ) + d2 qua M2 (x2 ; y2 ; z2 ) có VTCP u = (b1 ; b2 ; b3 ) Góc ϕ ∈ [00 ; 900 ] d1 ; d2 xác định công thức: Học Chắc Chắn Đỗ 10 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz |u.v| |a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 | = |u|.|v| a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 b) Góc đường thẳng d mặt phẳng (P): Cosϕ = |cos(u, v)| = + d qua M (x; y; z) có VTCP u = (a1 ; a2 ; a3 ) + (P) có VTPT n = (A; B; C) |a1 A + b1 B + c1 C| |u.n| = Sinϕ = √ |u|.|n| a21 + a22 + a23 A2 + B + C Khoảng cách: • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng d qua A có VTPT u Khoảng cách từ điểm M (xM ; yM ; zM ) đến đường thẳng d là: −−→ |[AM , u]| d(M, d) = |u| Lưu ý: Nếu d d’ song song ta tìm điểm M năm d tính khoảng cách từ M đến d’ khoảng cách d d’ • Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: ∆1 qua A có VTCP u Giả sử ∆2 qua B có VTCP v Khi khoảng cách hia đường thẳng ∆1 , ∆2 là: −→ |[u.v].AB| d(∆1 ; ∆2 ) = |[u, v]| Bài toán viết phương trình đường thẳng: • Dạng 1: Qua M (x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp u = (a; b; c) Học Chắc Chắn Đỗ 11 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 x = x0 + at - Phương trình tham số : y = y0 + bt z = z0 + ct Tài liệu Oxyz với t ∈ R x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c *Lưu ý: Đây dạng Vậy muốn tìm phương trình đường thẳng - Nếu a, b, c = ta có phương trình tắc không gian ta cần biết hai yếu tố, thứ qua điểm cho trước thứ hai vtcp đường thẳng • Dạng 2: Qua hai điểm A B: −→ - Tìm AB −→ - Viết PT đường thẳng qua A nhận AB vtcp • Dạng 3: Qua A song song với d: - Từ pt d⇒ ud - Viết phương trình đường thẳng d’ qua A có vtcp ud • Dạng 4: Qua A cắt hai đường thẳng d1 , d2 Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A chứa đường thẳng d1 - Tìm B = (α) ∩ d2 - Đường thẳng cần tìm qua A B Cách 2: - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A chứa đường thẳng d1 - Viết phương trình mặt phẳng (β) qua điểm A chứa đường thẳng d2 - Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β) • Dạng 5: Song song với d1 cắt d2 ; d3 - Viết phương trình mặt phẳng (α) song song d1 chứa d2 Học Chắc Chắn Đỗ 12 Tài liệu Oxyz Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 - Viết phương trình mặt phẳng (β) song song d1 chứa d3 - PT đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β) • Dạng 6: Qua A vng góc với d1 điểm B - Viết ptmp(α) qua A vng góc với d1 - Tìm giao điểm B = (α) ∩ d1 - Đường thẳng cần tìm qua A B • Dạng 7: Qua A vng góc với d1 cắt d2 - Giả sử d cắt d2 điểm B B thuộc d2 : x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct t∈R - Suy tọa độ điểm B B(x0 + at; y0 + bt, z0 + ct) - VTCP d1 ud1 = (a1 ; b1 ; c1 ) −→ −→ - Tìm vecto AB vtcp d Do d1 ⊥d nên ud1 AB = - Giải pt tìm t ⇒ B ⇒pt đường thẳng d • Dạng 8: Qua A vng góc với hai đường thẳng d1 ; d2 - Từ (d1 ), (d2 ) ⇒ vtcp d1 ; d2 ud1 , ud2 ⇒ tính [ud1 , ud2 ] - Vì d vng góc với d1 ; d2 nên ud = [ud1 , ud2 ] • Dạng 9: Qua A vng góc với d1 tạo với d2 góc α = 900 - Gọi VTCP d u = (a; b; c) (a2 + b2 + c2 > 0) - Vì d⊥d1 ⇒ u.ud1 = (1) |u.ud2 | - Vì cosα = (2) |u|.|ud2 | - Từ (1),(2) suy a,b theo c ⇒ ptđt • Dạng 10: Qua A vng góc với d1 tạo với mặt phẳng (P) góc α ∈ (00 ; 900 ) - Gọi VTCP d u = (a; b; c) (a2 + b2 + c2 > 0) - Vì d⊥d1 ⇒ u.ud1 = (1) Học Chắc Chắn Đỗ 13 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz |u.nP | (2) |u|.|nP | - Từ (1),(2) suy a,b theo c ⇒ ptđt - Vì sinα = • Dạng 11: Qua A vng góc với d1 d(M,d)=h - Gọi VTCP d u = (a; b; c) (a2 + b2 + c2 > 0) - Vì d⊥d1 ⇒ u.ud1 = (1) −−→ |[u, AM ]| - Vì d(M,d)=h⇒ = h (2) |u| - Từ (1),(2) suy a,b theo c ⇒ ptđt • Dạng 12: Qua A vng góc với mặt phẳng (P): - Tìm vtpt mp(P) n(P ) - Ptđt d qua A có vtcp u = n(P ) • Dạng 13: Qua A, cắt đường thẳng d’ song song với mặt phẳng (P) - Viết ptmp(α) qua A song songs với mp(P) - Gọi B = (α) ∩ d - Đường thẳng cần tìm qua A B • Dạng 14: Qua A tạo với d1 góc α ∈ (00 ; 900 ) nằm ( hay song song) với mặt phẳng (P) - Gọi VTCP d u = (a; b; c) (a2 + b2 + c2 > 0) - Vì d//(P ) ⇒ u.n(P ) = (1) |u.u1 | - Vì cos(d; d1 ) = = cosα |u|.|u1 | - Từ (1),(2) suy a,b theo c ⇒ ptđt • Dạng 15: Qua A vng góc với d1 nằm (hay song song) với mặt phẳng (P) - Vtcp vng góc với hai vecto ud1 n(P ) ⇒ u = [ud1 , n(P ) ] - Đường thẳng qua A có vtcp u • Dạng 16: Năm (P) cắt d1 , d2 - Tìm giao điểm A = d1 ∩ (P ), B = d2 ∩ (P ) Học Chắc Chắn Đỗ 14 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz - PT đường thẳng d qua hai điểm A B • Dạng 17: Nằm (P) vng góc với d’ giao điểm I (P) d’ - Tìm giao điểm I = d ∩ (P ) - Tìm vtcp u d’ vtpt n (P) vả tính v = [u, n] - Phương trình đường thẳng d qua I qua có vtcp v • Dạng 18: Vng góc với (P) cắt d1 ; d2 - Viết ptmp(Q) chứa d1 vng góc với mặt phẳng (P) - Viết ptmp(Q) chứa d2 vng góc với mặt phẳng (P) - Đường thẳng d = (Q) ∩ (R) • Dạng 19: Đường vng góc chung hai đường chéo nhau: Cách 1: Gọi M (x0 + at, y0 + bt; z0 + ct) ∈ d1 N (x0 + a t ; y0 + b t ; z0 + c t ) ∈ d2 chân đường vng góc chung −−→ M N u1 = suy t,t’ suy M N - Ta có hệ − − → M N u2 = - Đường vng góc chung đường thẳng MN Cách 2: - Viết phương trình mp(P) chứa d1 vng góc với d2 - Viết phương trình mp(P) chứa d2 vng góc với d1 - Đường vng góc chung giao tuyến hai mặt phẳng * Chú ý: Ở cách ta tính ln độ dài đường vng góc chung Ngồi ta có áp dụng cơng thức phần lý thuyết, khơng nhớ cơng thức ta có cách làm sau: - Viết ptmp(P) chứa d1 song song với d2 - Tính khoảng cách từ điểm d2 đến (P) Đó khoảng cách cần tìm Học Chắc Chắn Đỗ 15 Tài liệu Oxyz Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: qua M (x0 ; y0 ; z0 ) + Đường thẳng d: có VTCP u = (a; b; c) + Mặt phẳng (P) có VTPT n = (A; B; C) d cắt (P) ⇔ u.n = d song song với (P) ⇔ u.n = M ∈ / (P ) d nằm (P) ⇔ u.n = M ∈ (P ) d⊥(P) ⇔ n phương với u ⇔ a : b : c = A : B : C Vị trí tương đối đường thẳng đường thẳng: d1 qua A có VTCP u d2 qua B có VTCP v −→ d1 , d2 chéo ⇔ [u.v].AB = d1 //d2 ⇔ [u, v] = → [u, − AB] = d1 ⊥d2 ⇔ u.v = d1 , d2 cắt ⇔ d1 trùng d2 ⇔ [u, v] = → [u, v].− AB = [u, v] = → [u, − AB] = −→ d1 , d2 đồng phẳng [u.v].AB = Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu: Học Chắc Chắn Đỗ 16 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz Cách 1: Xác định tâm I bán kính R mặt cầu (S) - Đặt h=d(I,d) - Ta có ba trường hợp sau: + Nếu h > R ⇒ d ∩ (S) = Ø + Nếu h = R ⇒ d tiếp xúc với mặt cầu (S) + Nếu h < R ⇒ d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt Cách 2: - Ta sử dụng phương trình tham số đường thẳng - Thế x,y,z phương trình tham số vào phương trình mặt cầu, ta phương trình bậc hai theo t - Ta có ba trường hợp: + Nếu pt vô nghiệm ⇒ d ∩ (S) = Ø + Nếu pt có nghiệm ⇒ d tiếp xúc với mặt cầu (S) + Nếu pt bậc hai có hai nghiệm phân biệt ⇒ d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt Các đường tam giác: - Cho tam giác ABC, biết tọa độ ba điểm A,B,C • a) Đường trung tuyến AM: - M trung điểm AB suy tọa độ M - AM qua A M • b) Đường cao AH: −−→ - AH nằm mặt phẳng (ABC) vuông góc với BC nên có vtcp a = [n(ABC) , BC] - AH qua H có vtcp a • c) Đường trung trực d cạnh BC (AB, AC) Học Chắc Chắn Đỗ 17 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz - Ta có d năm mặt phẳng (ABC) vng góc với BC nên có vtcp −−→ a = [n(ABC) , BC] - d qua trung điểm BC có vtcp a • d) Đường phân giác góc (AB,AC) - Gọi D chân đường phân giác góc A nằm cạnh BC AB DB = - Áp dụng tính chất tỉ lệ phân giác ta có: AC DC −−→ AB −−→ + Nếu AD phân giác ta có DB = − DC AC −−→ AB −−→ DC + Nếu AD phân giác ngồi ta có DB = AC - Tìm D từ viết phương trình đường thẳng AD phân giác AB, AC III Bài tốn mặt cầu khơng gian: Dạng tốn mặt cầu: • Dạng 1: Tìm mặt cầu tâm I qua A: - Ta có phương trính mặt cầu có dạng (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 I(a;b;c) - Thế tọa độ điểm A vào x;y;z tìm R suy phương trình mặt cầu • Dạng 2: Tìm mặt cầu đường kính AB: Tâm I trung điểm AB - Ta có (S): Bán kính R = AB • Dạng 3: Tìm mặt cầu I tiếp xúc với mặt phẳng (P): - Ta có R=d(I,(P)) nên từ suy phương trình mặt cầu • Dạng 4: Tìm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện: - Gọi I(a;b;c) tâm mặt cầu Học Chắc Chắn Đỗ 18 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 - Ta có: IA2 = IB IA2 = IC ID2 = IA2 Tài liệu Oxyz ⇒ tọa độ tâm I - Ta viết phương trình mặt cầu có tâm I có bán kính R=IA IV Bài Tốn Tìm Điểm Đối Xứng: • Bài tốn 1: Xác định điểm M’đối xứng với M qua mặt phẳng (P) (hay đường thẳng d) - Tìm điểm H hình chiếu M lên mặt phẳng (P) (hay đường thẳng d) -Gọi M’ điểm đối xứng M MM’ nhận H trung điểm Từ suy tọa độ M’ • Bài toán 2: Xác định đường thẳng d’ đối xứng đường thẳng d qua mặt phẳng (P) (hay đường thẳng d) TH1: Khi đường thẳng d cắt (P) A - Lấy điểm M có tọa độ xác định thuộc d, tìm điểm M’ đối xứng M qua (P) - Khi đường thẳng d’ đường thẳng AM’ TH2: Khi d song song mp(P) - Lấy điểm M có tọa độ xác định thuộc d, tìm điểm đối xứng M’ M qua (P) - Khi đường thẳng d’ qua M’ song song với đường thẳng d V Các Bài Tốn Cực Trị: • Bài tốn 1: Cho mp(P) hai điểm A,B khơng thuộc (P) Tìm điểm M (P) cho (M A + M B)min : Học Chắc Chắn Đỗ 19 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz TH1: A B khác phía so với (P) - Với M (P) ta ln có M A + M B ≥ AB - Dấu "=" xảy M giao điểm AB mp(P) TH2: A B phía so với (P) - Tìm B’ điểm đối xứng B qua mp(P), ta có A B’ khác phía so với mp(P) - Từ trở TH1 • Bài toán 2: Cho mp(P) hai điểm A,B ko nằm (P) Tìm M thuộc (P) cho |M A − M B|max TH1: A B phía so với mp(P) - Với M nằm (P) ta có |M A − M B| ≤ AB - Dấu "=" xảy M giao điểm AB mp(P) TH2: A B khác phía so với mp(P) - Gọi B’ điểm đối xứng B qua mp(P) Do A,B’ khác phía so với mp(P) - Từ trở lại TH1 • Bài tốn 3: Cho mp(P) điểm A,B,C Tìm điểm M (P) cho −−→ −−→ −−→ |M A + M B + 3M C|min −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ − → - Ta có M A + M B + 3M C = 5M I + 3IC + IB + IA −→ −→ − → - Ta chọn I cho 3IC + IB + IA = −−→ −−→ −−→ −−→ - Suy M A + M B + 3M C = 5M I −−→ −−→ −−→ −−→ - Ta có: |M A + M B + 3M C|min ⇔ M I ⇔ M hình chiếu I (P) • Dạng 4: Cho d hai điểm A,B ko thuộc d Tìm M d cho (M A+M B)min TH1: A B - Tìm A’ B’ hình chiếu A B lên d Gọi N điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ −−→ NA AA số k = −−→ = − - Ta chứng minh M A + M B ≥ N A + N B: BB NB + Gọi C thuộc mp(d,B) cho C khác phía B so với d thỏa mãn: Học Chắc Chắn Đỗ 20 Tài liệu Oxyz Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 A C = A A A C⊥d −−→ −−→ NA CA ⇒ −−→ = −−→ ⇒ C, B, N NB BB thẳng hàng + Ta có M A + M B = M C + M B ≥ BC = N C + N B = N A + N B TH2: AB//d - Gọi B’ điểm đối xứng B qua d, suy M B = M B - Với điểm M d ta có M A + M B = M A + M B ≥ AB - Dấu "=" xảy M giao điểm AB’ d TH3: AB⊥d - Viết ptmp(P) mặt phẳng qua AB vng góc với d - Tìm H giao điểm d mp(P) - Ta có M A + M B ≥ HA + HB - Dấu "=" xảy H ≡ M TH4: AB d chéo - Ta có tọa độ điểm M theo phương trình tham số đường thẳng d - Tính MA+MB theo t, tạm gọi f(t) - Sử dụng khảo sát hàm số bất đẳng thức để tìm f(t) • Dạng 5: Cho đường thẳng d điểm A,B Tìm M d để (mM A2 +nM B )min - Ta có tọa độ điểm M theo phương trình tham số đường thẳng d - Ta tính (mM A2 + nM B ) theo t tạm gọi f(t) - Sử dụng khảo sát hàm số bất đẳng thức để tìm f(t) • Dạng 6: Cho mp(P) hai điểm A,B Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song mp(P) cách B khoảng lớn (nhỏ nhất) - d qua A song song (P), nên d nằm mp(Q) qua A song song (P) Học Chắc Chắn Đỗ 21 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz - Tìm H hình chiếu B (Q) - Vẽ HK vng góc với d, suy BK vng góc với d, hay d(B,d)=BK - Tam giác BHK vuông H nên BK ≥ BH + Dấu "=" xảy d qua H - Tam giác BAK vuông K nên BK ≤ BA −→ + Dấu "=" xảy d vng góc với AB Khi d qua A có ud = [n(Q) , AB] • Dạng 7: Cho hai điểm A B Viết phương trình đường thẳng d qua A, vng góc với d1 cách B khoảng lớn ( nhỏ nhất) - d qua A vng góc với d1 nên d nằm mặt phẳng (Q) qua A vng góc với d1 - Tìm H hình chiếu B (Q) - Vẽ HK vng góc với d, suy BK vng góc với d, hay d(B,d)=BK - Tam giác BHK vuông H nên BK ≥ BH + Dấu "=" xảy d qua H - Tam giác BAK vuông K nên BK ≤ BA −→ + Dấu "=" xảy d vng góc với AB Khi d qua A có ud = [n(Q) , AB] • Dạng 8: Cho mặt cầu (S), điểm A thuộc mp(P) nằm mặt cầu (S) Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A cắt mặt cầu (S) M,N cho MN lơn (nhỏ nhất) - Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) tâm I bán kính R theo đường tròn (C) tâm I bán kính r - Ta có M,N thuộc (C), gọi H trung điểm MN, suy JH vng góc MN MN=2MH - Tam giác JAH vuông H nên JH ≤ JA + Vậy MN JH max, lúc JH=JA, nói cách khác d vng góc với JA −→ + Từ suy d có vtcp ud = [n(P ) , JA] - MN max MN=2r, suy d qua hai điểm J A Học Chắc Chắn Đỗ 22 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz • Dạng 9: Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua A nằm mặt cầu (S), cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính r nhỏ - Gọi J hình chiếu I (P), suy d(I,(P))=IJ - Tam giác IJA vuông I nên IJ ≤ IA - Vậy r IJ max hay nói cách khác J trùng A, suy IA vng góc với (P) − → - Từ suy (P) qua A có vtpt IA • Dạng 10: Cho hai đường thẳng d1 , d2 chéo Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d1 , d2 có bán kính R nhỏ - Gọi M,N hai tiếp điểm - Ta có M N ≤ 2R, mặt khác M N ≥ HK với HK đoạn vng góc chung d1 , d2 - Từ suy 2R ≥ HK - Dấu "=" xảy HK đường kình mặt cầu - Tìm H,K suy phương trình mặt cầu (S) • Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cách B đoạn lớn - Gọi H hình chiếu B (P) - Tam giác ABH vuông H nên BH ≤ BA −→ - Dấu "=" xảy H trùng A Do AB vtpt (P) • Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cách B đoạn lớn - Gọi A,H hình chiếu B d (P) - Tam giác ABH vuông H nên BH ≤ BA −→ - Dấu "=" xảy H trùng A Do AB vtpt (P) − − − − − − − − − − − − − − HẾT − − − − − − − − − − − − − − Học Chắc Chắn Đỗ 23 Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Tài liệu Oxyz CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Học Chắc Chắn Đỗ 24 ... lệ phân giác ta có: AC DC −−→ AB −−→ + Nếu AD phân giác ta có DB = − DC AC −−→ AB −−→ DC + Nếu AD phân giác ngồi ta có DB = AC - Tìm D từ viết phương trình đường thẳng AD phân giác AB, AC III Bài. .. - PT đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β) • Dạng 6: Qua A vng góc với d1 điểm B - Viết ptmp(α) qua A vng góc với d1 - Tìm giao điểm B = (α) ∩ d1 - Đường thẳng cần tìm qua A B • Dạng 7: Qua A vng... Nếu pt vô nghiệm ⇒ d ∩ (S) = Ø + Nếu pt có nghiệm ⇒ d tiếp xúc với mặt cầu (S) + Nếu pt bậc hai có hai nghiệm phân biệt ⇒ d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt Các đường tam giác: - Cho tam giác