TRƯỜNG ĐẠI HOC CẦN THƠ HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2016 ĐỀ THI TUYỂN SINH TRÌNH ĐỘ THẠC SĨ NĂM 2016 (đợt 2) Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật Lý toán Thời gian làm bài: 180 phút Đề số: 01 NỘI DUNG ĐỀ Câu Momen xung lượng toàn phần (2,5 Điểm): a) Viết biểu thức tường minh toán tử thành phần hình chiếu momen xung lượng toàn phần Jˆ x , Jˆ y Jˆ z hệ tọa độ Descartes b) Khảo sát tính giao hốn hai tốn tử Jˆ x Sˆx c) Tốn tử Sˆz có hai hàm riêng tương ứng trị riêng − Cho biết toán tử Sˆx có hàm riêng Sˆz khơng ? Giải thích biểu thức tốn học 2 d) Tìm hàm riêng trị riêng tốn tử có dạng là: Qˆ = Sˆx − i Sˆy + i Sˆz Câu Hàm riêng trị riêng (2,5 Điểm): a) Hàm sóng 3D hệ tọa độ Descaster có dạng: F( x, y, z) = A exp{−ω ( x + y + z )} với A ω số Chuẩn hóa hàm sóng tồn khơng gian để xác định A 1 b) Khảo sát toán tử Bˆ = Pˆ x , Cˆ = Pˆ y Dˆ = Pˆ z để xác định tốn tử có x y z nhận hàm F(x, y, z) hàm riêng hay khơng? Tính trị riêng tốn tử nhận F(x, y, z) hàm riêng c) Viết biểu thức tường minh tốn tử bình phương Rˆ = Bˆ2 d) Tốn tử Rˆ = Bˆ2 có nhận hàm F(x, y, z) làm hàm riêng không? Giải thích Câu (2,5 Điểm): Hàm sóng R = A ( r r − 1) exp( − ) mô tả xác suất tìm electron khoảng cách r đến nhân 3a 2a nguyên tử Z; a bán kính Borh a) Dùng điều kiện chuẩn hóa để xác định hệ số A0 b) Xác định mật độ xác suất tìm electron vị trí r = 2a c) Tính trung bình tốn tử điện trường xác định trạng thái biểu diễn hàm sóng chuẩn hóa câu a) Cho biết tốn tử điện trường có dạng: e Eˆ = k k số điện, e điện tích electron r e2 ∂ d) Tính giá trị trung bình tốn tử Pˆ( r ) = k xác định trạng thái biểu diễn r ∂r hàm sóng chuẩn hóa câu a) Câu (2,5 Điểm): Bài toán electron (khối lượng me) hố vuông hai chiều (x y) có độ rộng a; Hàm sóng kích thích bậc hai mô tả biểu thức: ϕ2 (x, y) = A [ U1 (x).U1 (y) + U (x).U (y) ] , hàm U K (z) = kπz sin( ) a a ( kπh) A hàm z chọn biến x y ứng với mức lượng E K = 2 2ma số khác không a) Xác định hệ số A b) Tính mật độ xác suất x = (a/2) y = (a/2) a c) Tính xác suất tìm thấy electron khoảng ( ≤ x ≤ ;0 ≤ y ≤ ) a ) ˆ2 d) Tính trung bình tốn tử động theo x : E x = Px trạng thái mơ tả 2m hàm sóng ϕ2 (x, y) Cho biết tích phân bản: +∞ ∫ k! x exp( −λx).dx = k +1 , λ k +∞ ∫ −∞ exp( −αx )dx = π α Hết Đề thi gồm trang ĐÁP ÁN ( Đề số : 01) TRƯỜNG ĐẠI HOC CẦN THƠ HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2016 Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật Lý toán Thời gian làm bài: 180 phút NỘI DUNG ĐÁP ÁN Câu a) Biểu thức tường minh (0.5) d d 1 Jˆ x = Lˆ x + Sˆ x = yPz − zPy + S x = ( − i ) ( y − z ) + dz dy d d 0 − i Jˆ y = Lˆ y + Sˆ y = zPx − xPz + S y = ( − i ) ( z − x ) + dx dz i d d 1 Jˆ z = Lˆ z + Sˆz = xPy − yPx + S z = ( − i ) ( x − y ) + dy dx − 1 b) Toán tử Jˆ x giao hoán với toán tử Sˆ x Jˆ x = Lˆ x + Sˆ x giao hốn Sˆ x (vì Sˆ x giao hốn với Sˆz ) nên xét với Lˆ x xét tác dụng toán tử lên hai hàm sóng biểu diễn (0.5) ψ1 ψ2 ψ d d ψ1 d d ψ Lˆ x Sˆ x = ( −i ) ( y − z ) = ( −i ) ( x − y ) = ψ2 dz dy ψ 2 dy dx ψ = ( −i ) ydψ / dz − zdψ / dy ydψ1 / dz − ydψ1 / dx ) 0 ý : ψ 1 d d ψ ydψ1 / dz − zdψ1 / dy Sˆ z Lˆ z = ( −i ) ( y − z ) = ( −i ) ψ2 dz dy ψ 2 ydψ / dz − ydψ / dx ) ( −i ) ydψ / dz − zdψ / dy ydψ1 / dz − ydψ1 / dx ) 0 biêu thức Kết luận toán tử Lˆ x giao hoán với toán tử Sˆ x c) tốn tử Sˆ x khơng giao hốn với tốn tử Sˆ Z nên khơng hàm riêng CM đây: 0 1 Sˆz Sˆz = = − 1 − ý : 1 Sˆz Sˆz = = − 1 (0.5) khác nên khơng giao hốn −1 2 2 d-xác định toán tử Sˆx = Sˆx = Sˆx = vậy: ˆ = Sˆ2 − i Sˆ2 + i Sˆ2 = Q x x z 0 2 − i 2 + i 0 2 = 0 (0.5) Chứng minh Q giao hoán với Sz nên hàm riêng (0.25) 2 ˆ = Sˆ2 − i Sˆ2 + i Sˆ2 = ψ1 = ψ1 trị riêng cho hàm có giá Q x x z ψ ψ2 trị 2 (0.25) Bài a) Chuẩn hóa: để xác định A: (0,5) ∞ A exp( −2ω {x + y + z })dx.dy.dz = A ∫ exp( −2ω x )dx = −∞ ∞ ∫ −∞ π A 2ω 2 2 2ω =1→ A = π 3/ b) Xác định hàm riêng trị riêng: cho câu c ˆ F( x , y, z ) = − i ∂ A exp( −ω {x + y + z }) = −i ( −2ω ) A exp( −ω {x + y + z }) B x ∂x Vậy F hàm riêng B với trị riêng 2iω − i ∂ CˆF( x, y, z ) = A exp( −ω {x + y + z }) = −i ( −2ω ) A exp( −ω {x + y + z }) y ∂y Vậy F hàm riêng C với trị riêng 2iω ˆ F( x, y, z ) = − i ∂ A exp( −ω {x + y + z }) = −i ( −2ω ) A exp( −ω {x + y + z }) D z ∂z Vậy F hàm riêng D với trị riêng 2iω (0,5) c) tường minh tốn tử bình phương: ˆB ˆ ϕ = − i ∂ ( − i ∂ϕ ) = − B x ∂x x ∂x x (0,5) − ∂ϕ ∂ ϕ + x ∂x x ∂x d)Trị riêng hàm riêng F(x) ˆB ˆ F( x, y, z ) = − B x (0,5) (0,5) −1 ∂ ∂ A exp( − ω {x + y + z }) = Q( x ) A exp( −ω {x + y + z }) + x ∂x x ∂x với Q(x) có dạng hàm theo x……………………………… Như BB không nhận F(x) hàm riêng Bài a) Chuẩn hóa: để xác định A: R = A ( r r − 1) exp(− ) 3a 2a (0,5) ∞ 2r 23! r 2 4! 3 π A − ∫− ∞ 9a 3a + r exp( − r / a )dr = πA 9a a − 3a a + 2! a = 3 a =1→ A = 8πa πA b) Mật độ xác suất tìm electron r = 2a (0,5) exp( −1) exp( −1) 2 ρ = R = A − 1 exp( −1) = A r =2a ρ = 8πa 9 3 e c) - Xác định trị trung bình tốn tử Eˆ = k (0,75) r +∞ e2 e2 4π r r k = ∫ πr dr.k R = A ke ( − 1) exp( − )dr ∫ r r 3a a = A ke 4π 2a 20π 20π 5a 2 4π = A ke a= ke a − a + a = A ke 9 8πa e2 ∂ d)) Tính giá trị trung bình tốn tử Pˆ( r ) = k (0,75) r ∂r +∞ e2 ∂ e2 ∂ r r ∂ r r P = k = ∫ πr R k Rdr = A ke 4π ∫ ( − 1) exp( − ) dr ( − 1) exp( − ) r ∂r r ∂r 3a 2a ∂r 3a 2a +∞ = A ke 4π ∫ ( 2 +∞ A ke π ∫ ( r r r −1 1 r − 1) exp( − ) ( − 1)( ) + exp( − )dr = 3a 2a 3a a 3a 2a +∞ r r r2 4r r r −r − 1) ( + exp( − )dr = A ke 4π ∫ ( − + + − ) exp( − )dr = 3a 3a a 9a 9a 3a 3a a 3a a 3 r2 7r r 2 A ke π ∫ ( − + − ) exp( − )dr = A ke π − + 9a 9a 9a 9a 3a a +∞ 2 a a − = 3a 28π 12 = A ke 4π − + − = A ke 4π( − ) = − A ke 9 9 9 Câu 4: a) chuẩn hóa : ϕ2 (x, y) = A [ U1 (x).U1 (y) + U (x).U (y) ] a →A ∫ (0,5) 1πx 1πy 2 πx πy 2 ) sin( ) + sin( ) sin( ) dx.dy = sin( a a a a a a tính trực giao a 1πx 1πy πx πy → A ∫ sin ( ) sin ( ) + sin ( ) sin ( ) dx.dy = a a a a a a a a a a 1πx 1πy πx πy = A ∫ sin ( )dx.∫ sin ( )dy + A 2 ∫ sin ( )dx.∫ sin ( )dy = a a a a a a 0 = A2 a2 a + A = 2A = → A = / 2 a a b)) Tính mật độ xác suất x = (a/2) y = (a/2) (0,5) 12 1π 1π → sin( ) sin( ) + sin( π) sin( π) = = 2 2a 2 a 2a a a c) Xác suất tìm thấy electron khoảng ( ≤ x ≤ ;0 ≤ y ≤ a/4 →A ∫ = A2 a2 =A a a ) (0,75) 1πx 1πy 2 πx πy 2 ) sin( ) + sin( ) sin( ) dx.dy = sin( a a a a a a a/4 ∫ a/4 sin ( 1πx 1πy )dx ∫ sin ( )dy + A 2 a a a a/4 ∫ a /4 sin ( 2 πx πy )dx ∫ sin ( )dy a a a /4 a / 1πx πx ∫ sin ( + A 2 ∫ sin ( = ) dx ) dx a a a 2 πx πx ) ) a / − cos( a / − cos( 4 a dx + A a dx = A2 ∫ a a ∫0 A a 2 πx 1 a a − sin( ) a 2π ) a /4 a πx 1 a − sin( ) +A a 2π a −2 ˆ2 a /4 ∂2 =( ) d) trung bình E x = Px 2m m ∂x − ∂2 < ϕ2 ( x, y) ( ) ϕ2 ( x, y ) >= 2m ∂x < U1 (x )U1 ( y) ( a a = A − +0 a 4π (0,75) tính trực giao: − ∂2 − ∂2 ) U1 (x )U1 ( y) > + < U ( x )U ( y) ( ) U ( x ) U ( y) >= m ∂x 2m ∂x a a πx − ∂ πx πy ∫0 a sin( a )( 2m ) ∂x sin( a )dx.∫0 sin ( a )dy + a a πx − ∂ 2 πx πy sin( )( ) sin( )dy.∫ sin ( )dy = 2a a m ∂x a a 0 +∫ 2 − π a a − 2π a a − π2 = 2( ) + 2( ) =( ) a 2m a 2 a 2m a 2 ma ... exp( −αx )dx = π α Hết Đề thi gồm trang ĐÁP ÁN ( Đề số : 01) TRƯỜNG ĐẠI HOC CẦN THƠ HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2016 Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật Lý toán Thời gian làm bài:... − y ) + dy dx − 1 b) Toán tử Jˆ x giao hoán với toán tử Sˆ x Jˆ x = Lˆ x + Sˆ x giao hốn Sˆ x (vì Sˆ x giao hốn với Sˆz ) nên xét với Lˆ x xét tác dụng toán tử lên hai hàm sóng biểu diễn... dx ) ( −i ) ydψ / dz − zdψ / dy ydψ1 / dz − ydψ1 / dx ) 0 biêu thức Kết luận toán tử Lˆ x giao hoán với toán tử Sˆ x c) tốn tử Sˆ x khơng giao hốn với tốn tử Sˆ Z nên khơng hàm riêng CM đây: